Primitivele funcțiilor definite pe ramuri

Un automobil accelerează uniform două secunde, apoi rulează cu viteză constantă. Viteza lui nu se scrie cu o singură formulă: are una pe primele două secunde și alta după. Spațiul parcurs este însă o singură funcție, netedă, fără colțuri — și el este o primitivă a vitezei. Întrebarea acestei lecții de clasa a 12-a este exact aceasta: cum se scrie primitiva unei funcții cu formule diferite pe bucăți diferite, astfel încât rezultatul să fie derivabil pe tot intervalul, nu două funcții lipite prost?

Răspunsul are două jumătăți, amândouă necesare. Prima: pe fiecare ramură se caută o primitivă cu tabelul, ca de obicei. A doua: constantele nu mai sunt independente — se leagă printr-o condiție de continuitate, iar la final trebuie verificat că funcția obținută e într-adevăr derivabilă în punctul de legătură. A doua jumătate aduce puncte la Bacalaureat M1 și tot ea e uitată cel mai des.

Ce vei învăța

• Vei ști să verifici mai întâi, cu rezultatele lecției precedente, dacă funcția pe ramuri admite sau nu primitive.
• Vei ști să determini o primitivă pe fiecare ramură și să scrii funcția $F$ cu două constante distincte.
• Vei ști să legi constantele prin condiția de continuitate a lui $F$ în punctul de racord și să obții familia tuturor primitivelor, cu o singură constantă.
• Vei ști să verifici derivabilitatea lui $F$ în punctul de racord, fie din definiție, fie cu Consecința 3 a teoremei lui Lagrange.
• Vei ști să lucrezi cu funcțiile care conțin modul, rescriindu-le pe ramuri.
• Vei ști de ce, pe o reuniune de intervale, constanta se poate alege diferit pe fiecare bucată.

Hai să descoperim împreună

1. De ce funcțiile pe ramuri cer un tratament aparte?

O funcție definită pe ramuri este o funcție dată prin formule diferite pe subintervale diferite ale domeniului ei; punctul în care două formule se întâlnesc se numește punct de racord. Exemplul cel mai simplu este funcția modul, $f(x)=|x|$, care valorează $-x$ pentru $x<0$ și $x$ pentru $x\ge 0$, cu punctul de racord $0$.

Ce se schimbă? Tabelul primitivelor se aplică pe fiecare ramură separat, fără dificultate; dificultatea apare la lipire. Iată de ce.

Presupunem că am găsit $F_1$ cu $F_1^{\prime }=f$ pe ramura din stânga și $F_2$ cu $F_2^{\prime }=f$ pe ramura din dreapta. Tentația e să scriem direct $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{F}_1(x),& x\le x_0\\ F_2(x),& x>x_0\end{array}$$ și să declarăm că am terminat. Dar o primitivă a lui $f$ pe întregul interval trebuie să fie derivabilă peste tot, deci și în $x_0$; iar o funcție derivabilă într-un punct este continuă acolo. Dacă $F_1(x_0)\ne F_2(x_0)$, funcția lipită are un salt exact în punctul de racord: nu e continuă, deci nu e derivabilă, deci nu e primitivă.

Salvarea vine din faptul că primitivele nu sunt unice: pe fiecare ramură putem adăuga câte o constantă, iar constantele sunt libere și independente cât timp ramurile sunt privite separat. Alegându-le potrivit, forțăm egalitatea valorilor în $x_0$ — operație numită racordare.

2. Pasul zero: are funcția primitive?

Înainte de orice calcul, o întrebare de trei rânduri. Este $f$ continuă în punctul de racord?

• Dacă da, funcția este continuă pe tot intervalul (pe ramuri era deja) și, prin teorema de existență din lecția despre funcțiile care admit primitive și teorema lui Darboux, admite primitive. Poți începe.
• Dacă nu, la funcțiile obișnuite de examen limitele laterale sunt finite, deci punctul de racord este o discontinuitate de speța I, iar Consecința 1 a teoremei lui Darboux spune că funcția nu admite primitive pe niciun interval care îl conține. (Numele se scrie întreg de fiecare dată: „Consecința 1 a teoremei lui Lagrange" este cu totul altceva și apare, tot în această lecție, la secțiunea 8.) Calculul nu mai are obiect, iar răspunsul complet este chiar această justificare.

⚠️ De aceea, la o cerință de tipul „determinați primitivele funcției $f$", răspunsul poate fi și „funcția nu admite primitive". Verificarea continuității nu este o formalitate: ea decide dacă exercițiul are soluție.

Consecință practică: la exercițiile cu parametru, condiția de continuitate în racord este condiția de existență a primitivelor și se pune înaintea oricărei integrări.

3. Cum se racordează constantele?

Iată rețeta completă. O vom numi, în tot restul unității, cei patru pași ai racordării.

Pasul 1 — verificarea. Studiezi continuitatea lui $f$ în punctul de racord $x_0$ și decizi, ca în secțiunea 2, dacă funcția admite primitive.

Pasul 2 — o primitivă pe fiecare ramură. Cu tabelul canonic, găsești $F_1$ pe ramura din stânga și $F_2$ pe ramura din dreapta. Nu adăuga încă nicio constantă; le pui la pasul următor. ⚠️ Ramura din stânga conține adesea numere negative, iar rândul 2 al tabelului este scris pe $(0,+\infty )$; se aplică atunci precizarea fixată la lecția despre tabelul primitivelor funcțiilor uzuale: pentru exponent întreg formula rămâne valabilă și pe intervale de numere negative, iar verificarea se face prin derivare.

Pasul 3 — legarea constantelor. Scrii $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{F}_1(x)+c_1,& x\le x_0\\ F_2(x)+c_2,& x>x_0\end{array}$$ și impui continuitatea în $x_0$, adică $F_1(x_0)+c_1=F_2(x_0)+c_2$. Obții o singură relație între două constante: $$c_2=c_1+F_1(x_0)-F_2(x_0).$$ Notând $c_1=\mathcal{C}$, familia primitivelor rămâne cu o singură constantă liberă, așa cum trebuie.

Pasul 4 — verificarea derivabilității în $x_0$. Arăți că $F$ este derivabilă în punctul de racord și că $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$. Fără acest pas, rezolvarea este incompletă.

Observă economia rețetei: constantele nu sunt nici „ambele arbitrare", nici „amândouă egale" — diferă exact cu decalajul $F_1(x_0)-F_2(x_0)$, calculat o singură dată.

4. De ce nu e de ajuns continuitatea lui $F$?

Continuitatea lui $F$ în $x_0$ ne scapă de salt, dar nu ne garantează, prin ea însăși, că funcția are derivată acolo — gândește-te la $|x|$, care e continuă în $0$ și nederivabilă. Pasul 4 trebuie făcut, iar el se poate face pe două căi.

Calea 1 — din definiție. Calculezi cele două derivate laterale ale lui $F$ în $x_0$, folosind rapoartele incrementale, exact cum s-a lucrat la clasa a XI-a în lecția despre derivatele laterale: $$F_s^{\prime }(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0},F_d^{\prime }(x_0)=\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}.$$ Dacă amândouă există, sunt finite și egale cu $f(x_0)$, atunci $F$ este derivabilă în $x_0$ și $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$.

Calea 2 — cu Consecința 3 a teoremei lui Lagrange. Rezultatul, fixat la clasa a XI-a în lecția despre consecințele teoremei lui Lagrange, spune: dacă $F$ este continuă în $x_0$, derivabilă pe o vecinătate a lui $x_0$ mai puțin eventual în $x_0$, și dacă există $\underset{x\to x_0}{\lim }{F}^{\prime }(x)=\ell$ finită, atunci $F$ este derivabilă în $x_0$ și $F^{\prime }(x_0)=\ell$.

La noi, $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru $x\ne x_0$, iar $f$ este continuă în $x_0$ (asta am verificat la pasul 1), deci $\underset{x\to x_0}{\lim }{F}^{\prime }(x)=f(x_0)$, valoare finită. Concluzia vine imediat: $F$ este derivabilă în $x_0$ și $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$.

Cele două căi dau același rezultat, cu roluri diferite. Calea 2 e mai scurtă și e cea folosită la examen; calea 1 apare la teste ca cerință explicită („verificați din definiție"). Morala: racordarea reușește exact atunci când $f$ este continuă în punctul de racord — aceeași condiție care asigură existența primitivelor.

5. Firul roșu, pas cu pas

Luăm funcția $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+1,& x\le 1\\ 3x^2,& x>1\end{array}$$ și parcurgem cei patru pași.

Pasul 1. $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=2\cdot 1+1=3=f(1)$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=3\cdot 1^2=3$. Toate trei coincid, deci $f$ este continuă în $1$; fiind polinomială pe fiecare ramură, este continuă pe $\mathbb{R}$ și admite primitive.

Pasul 2. Pe $(-\infty ,1]$, o primitivă a lui $2x+1$ este $F_1(x)=x^2+x$. Pe $(1,+\infty )$, o primitivă a lui $3x^2$ este $F_2(x)=x^3$.

Pasul 3. $F_1(1)=2$ și $F_2(1)=1$, deci decalajul este $F_1(1)-F_2(1)=1$ și $c_2=c_1+1$. Cu $c_1=\mathcal{C}$: $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+x+\mathcal{C},& x\le 1\\ x^3+1+\mathcal{C},& x>1.\end{array}$$ Controlul rapid: în $x=1$ ambele expresii dau $2+\mathcal{C}$. ✓

Pasul 4, din definiție. Cu $F(1)=2+\mathcal{C}$: $$F_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=3,$$ $$F_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{x^3+1-2}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{x^3-1}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\left(x^2+x+1\right)=3.$$ Cele două derivate laterale sunt finite și egale cu $3=f(1)$, deci $F$ este derivabilă în $1$ și $F^{\prime }(1)=f(1)$. Prin urmare $F$ este primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$. (Verificat numeric: rapoartele incrementale tind la $3$ din ambele părți, iar $F^{\prime }=f$ în câte trei puncte pe fiecare ramură.)

6. Funcțiile cu modul

Orice funcție care conține modul este, de fapt, o funcție pe ramuri deghizată. Primul pas este întotdeauna eliminarea modulului, după semnul expresiei dinăuntru.

Pentru $f(x)=|x|$ scriem $f(x)=-x$ pe $(-\infty ,0)$ și $f(x)=x$ pe $[0,+\infty )$. Primitivele pe ramuri sunt $-\frac{x^2}{2}$ și $\frac{x^2}{2}$, iar în $0$ amândouă valorează $0$: decalajul este nul, deci constantele coincid. Rezultatul se scrie compact: $$F(x)=\frac{x|x|}{2}+\mathcal{C}.$$ Translatată, aceeași formă rezolvă orice modul de expresie de gradul întâi: pentru $f(x)=|x-a|$ primitiva este $\frac{(x-a)|x-a|}{2}+\mathcal{C}$.

La expresiile de gradul al doilea, ramurile se citesc din tabelul de semn. Pentru $f(x)=|x^2-1|$ sunt trei ramuri: $x^2-1$ pe $(-\infty ,-1]$, $1-x^2$ pe $(-1,1)$, $x^2-1$ pe $[1,+\infty )$; racordarea se face de două ori, în $-1$ și în $1$. Funcția rămâne continuă (modulul unei funcții continue e continuu), deci primitivele există.

⚠️ Greșeala de aici este scrierea $\int |g(x)|dx=\left|\int g(x)dx\right|$. Ea este falsă: modulul nu iese și nu intră sub semnul de integrare. Singura cale corectă este ruperea pe ramuri.

7. Când racordarea nu are ce racorda

Să vedem ce se întâmplă dacă sărim pasul 1. Fie $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 0\\ x^2,& x>0.\end{array}$$ Pe ramuri, primitivele sunt $F_1(x)=\frac{x^2}{2}+x$ și $F_2(x)=\frac{x^3}{3}$, amândouă nule în $0$; racordarea prin continuitate reușește fără efort, cu $c_1=c_2$. Și totuși funcția obținută nu este primitivă a lui $f$.

Motivul îl dă pasul 4, în varianta unilaterală a Consecinței 3 — limita bilaterală a lui $F^{\prime }$ în $0$ nu există, dar demonstrația merge neschimbată pe fiecare parte: $F_s^{\prime }(0)=1$ și $F_d^{\prime }(0)=0$, adică exact cele două limite laterale ale lui $f$, finite și diferite, deci $F$ nu este derivabilă în $0$. Graficul ei are acolo un punct unghiular. Am fi putut ști asta de la început: $f$ sare în $0$ de la $1$ la $0$, o discontinuitate de speța I, deci nu admite primitive, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux.

De aici și regula generală care închide pasul 4: derivatele laterale ale lui $F$ în punctul de racord sunt întotdeauna egale cu cele două limite laterale ale lui $f$, așa că ele coincid exact atunci când $f$ e continuă acolo.

Morala: continuitatea lui $F$ se obține întotdeauna prin alegerea constantelor; derivabilitatea, nu — ea vine numai dacă $f$ e continuă în racord. Un răspuns oprit după pasul 3 poate fi complet greșit.

8. Capcana reuniunii de intervale

Ultima observație a lecției privește un caz vecin, care se confundă des cu cel de față: funcțiile al căror domeniu nu este interval.

Funcția $f(x)=\frac{1}{x}$, privită pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, nu are punct de racord — ea nici nu e definită în $0$. Domeniul ei este reuniunea a două intervale, iar pe fiecare dintre ele primitivele sunt $\ln |x|+c$. Diferența esențială: cele două constante nu se leagă prin nimic. Funcția fixată ca etalon la lecția despre noțiunea de primitivă, $$G(x)=\{\begin{array}{ll}\ln |x|+1,& x<0\\ \ln |x|+5,& x>0,\end{array}$$ are $G^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ pe tot ${\mathbb{R}}^{\ast }$, deși cele două constante sunt diferite. (Verificat prin derivare, în câte trei puncte pe fiecare ramură.)

Aici se vede de ce definiția primitivei se dă pe un interval și de ce afirmația „două primitive diferă printr-o constantă", care vine din Consecința 1 a teoremei lui Lagrange, este adevărată doar pe un interval. Pe o reuniune de intervale ea este falsă, iar $\frac{1}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ este contraexemplul standard al capitolului.

Rezumatul deosebirii: la funcțiile pe ramuri domeniul este un interval, punctul de racord aparține domeniului, iar constantele se leagă; la funcțiile definite pe o reuniune de intervale, punctul care lipsește nu aparține domeniului, iar constantele rămân independente.

Aici se încheie calculul „direct" al primitivelor, sprijinit numai pe tabel și pe liniaritate; metodele propriu-zise încep cu formula de integrare prin părți și se aplică tot pe fiecare ramură, racordarea rămânând pasul final.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Racordare cu decalaj nul

Determinați mulțimea primitivelor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& x\le 0\\ 3x^2,& x>0.\end{array}$

Rezolvare. Pasul 1. $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)=0=f(0)$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=0$: funcția e continuă în $0$, deci continuă pe $\mathbb{R}$ și admite primitive.

Pasul 2. $F_1(x)=x^2$ pe $(-\infty ,0]$, $F_2(x)=x^3$ pe $(0,+\infty )$.

Pasul 3. $F_1(0)=0=F_2(0)$, deci decalajul este nul și $c_2=c_1=\mathcal{C}$: $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+\mathcal{C},& x\le 0\\ x^3+\mathcal{C},& x>0.\end{array}$$

Pasul 4. $F$ e continuă în $0$, derivabilă în jurul lui $0$, iar $\underset{x\to 0}{\lim }{F}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$, finită. Prin Consecința 3 a teoremei lui Lagrange, $F$ e derivabilă în $0$ și $F^{\prime }(0)=0=f(0)$. ✓

Exemplul 2 — Funcția modul, translatată

Determinați o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-2|$.

Rezolvare. Eliminăm modulul: $f(x)=2-x$ pentru $x<2$ și $f(x)=x-2$ pentru $x\ge 2$. Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$ (modulul unei funcții continue), deci admite primitive.

Pe ramuri: $F_1(x)=2x-\frac{x^2}{2}$ și $F_2(x)=\frac{x^2}{2}-2x$. Valorile în $2$: $F_1(2)=4-2=2$ și $F_2(2)=2-4=-2$, deci decalajul este $4$ și $c_2=c_1+4$. Alegând $c_1=-2$ obținem forma simetrică $$F(x)=\{\begin{array}{ll}2x-\frac{x^2}{2}-2,& x<2\\ \frac{x^2}{2}-2x+2,& x\ge 2,\end{array}\text{adica˘}F(x)=\frac{(x-2)|x-2|}{2}.$$ Derivabilitatea în $2$: $\underset{x\to 2}{\lim }{F}^{\prime }(x)=\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=0$, finită, deci Consecința 3 dă $F^{\prime }(2)=0=f(2)$. ✓ (Verificat prin derivare pe ambele ramuri și prin rapoarte incrementale în $2$.)

Exemplul 3 — Cu parametru

Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+a,& x\le 1\\ 2x,& x>1\end{array}$ admite primitive pe $\mathbb{R}$ și scrieți apoi mulțimea primitivelor.

Rezolvare. Condiția. $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=1+a=f(1)$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=2$. Dacă $1+a=2$, adică $a=1$, funcția e continuă și admite primitive; dacă $a\ne 1$, punctul $1$ este discontinuitate de speța I și, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, funcția nu admite primitive. Deci $a=1$.

Primitivele. Pe $(-\infty ,1]$: $F_1(x)=\frac{x^3}{3}+x$, cu $F_1(1)=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$. Pe $(1,+\infty )$: $F_2(x)=x^2$, cu $F_2(1)=1$. Decalajul este $\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$, deci $$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{3}+x+\mathcal{C},& x\le 1\\ x^2+\frac{1}{3}+\mathcal{C},& x>1.\end{array}$$ Control: în $x=1$ ambele expresii dau $\frac{4}{3}+\mathcal{C}$ ✓, iar $\underset{x\to 1}{\lim }{F}^{\prime }(x)=2$, finită, deci $F$ e derivabilă în $1$. ✓

Exemplul 4 — Cu exponențială

Determinați mulțimea primitivelor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x,& x\le 0\\ x+1,& x>0.\end{array}$

Rezolvare. Pasul 1. $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)=e^0=1=f(0)$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=1$: funcția e continuă în $0$, deci admite primitive.

Pasul 2. $F_1(x)=e^x$ și $F_2(x)=\frac{x^2}{2}+x$.

Pasul 3. $F_1(0)=1$, $F_2(0)=0$, decalajul este $1$: $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x+\mathcal{C},& x\le 0\\ \frac{x^2}{2}+x+1+\mathcal{C},& x>0.\end{array}$$

Pasul 4. $\underset{x\to 0}{\lim }{F}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=1$, finită, deci $F$ e derivabilă în $0$ cu $F^{\prime }(0)=1=f(0)$. ✓ (Verificat numeric.)

Exemplul 5 — Cu arctangentă

Determinați mulțimea primitivelor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^2+1},& x<0\\ \cos x,& x\ge 0.\end{array}$

Rezolvare. Pasul 1. $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{1}{0+1}=1$, $f(0)=\cos 0=1$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=1$: continuă în $0$, deci admite primitive.

Pasul 2. Pe ramura din stânga folosim rândul 12 al tabelului, cu $a=1$, din lecția despre primitivele cu arctangentă, arcsinus și logaritm: $F_1(x)=\mathrm{arctg}x$. Pe ramura din dreapta, rândul 7: $F_2(x)=\sin x$.

Pasul 3. $F_1(0)=\mathrm{arctg}0=0$ și $F_2(0)=\sin 0=0$: decalajul este nul, deci $$F(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{arctg}x+\mathcal{C},& x<0\\ \sin x+\mathcal{C},& x\ge 0.\end{array}$$

Pasul 4. $\underset{x\to 0}{\lim }{F}^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=1$, finită, deci $F^{\prime }(0)=1=f(0)$. ✓ Alegerea fericită a punctului de racord — un punct în care ambele primitive se anulează — a făcut decalajul nul; în general nu se întâmplă așa, iar decalajul trebuie calculat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2+2x,& x\le 1\\ \frac{a}{x},& x>1,\end{array}$ unde $a$ este un număr real. a) Determinați $a$ pentru care $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$. b) Pentru valoarea găsită, determinați mulțimea primitivelor lui $f$. c) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ cu proprietatea $F(1)=3$.

Rezolvare. a) Pe $(-\infty ,1]$ funcția e polinomială, deci continuă; pe $(1,+\infty )$ e continuă ca raport cu numitorul nenul. În $1$: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=3+2=5=f(1),\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=\frac{a}{1}=a.$$ Dacă $a=5$, funcția e continuă pe $\mathbb{R}$ și, prin teorema de existență, admite primitive. Dacă $a\ne 5$, punctul $1$ este discontinuitate de speța I și, prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, funcția nu admite primitive. Deci $a=5$.

b) Pe $(-\infty ,1]$: $F_1(x)=x^3+x^2$, cu $F_1(1)=2$. Pe $(1,+\infty )$: $F_2(x)=5\ln |x|$, cu $F_2(1)=0$. Decalajul este $2-0=2$, deci $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+x^2+\mathcal{C},& x\le 1\\ 5\ln |x|+2+\mathcal{C},& x>1.\end{array}$$ Derivabilitatea în $1$: $\underset{x\to 1}{\lim }{F}^{\prime }(x)=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=5$, finită, deci $F^{\prime }(1)=5=f(1)$.

c) $F(1)=1+1+\mathcal{C}=2+\mathcal{C}$, iar condiția $F(1)=3$ dă $\mathcal{C}=1$. Prin urmare $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+x^2+1,& x\le 1\\ 5\ln |x|+3,& x>1.\end{array}$$ Control: pe ramura din dreapta, $F(1)=5\ln 1+3=3$ ✓, la fel ca pe cea din stânga. ✓ (Verificat numeric pe ambele ramuri și în punctul de racord.)

Să exersăm

1. Arătați că funcția $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2,& x\le 0\\ 2x,& x>0\end{array}$ admite primitive pe $\mathbb{R}$ și determinați mulțimea primitivelor ei.

2. Determinați mulțimea primitivelor funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+3,& x\le 2\\ 7,& x>2.\end{array}$

3. Determinați o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x+1|$.

4. Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1\\ a,& x>1\end{array}$ admite primitive pe $\mathbb{R}$ și scrieți primitivele.

5. Determinați mulțimea primitivelor funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}\cos x,& x\le 0\\ 1-x^2,& x>0.\end{array}$

6. Determinați mulțimea primitivelor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x,& x<0\\ \frac{1}{x+1},& x\ge 0.\end{array}$

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție definită pe ramuri, cu fiecare ramură continuă, admite întotdeauna primitive."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă alegi constantele astfel încât $F$ să fie continuă în punctul de racord, atunci $F$ este automat derivabilă acolo."

9. Arătați că funcția $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 0\\ x^2,& x>0\end{array}$ nu admite primitive pe $\mathbb{R}$, dar admite primitive pe $(0,+\infty )$.

10. Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f(x)=\{\begin{array}{ll}a{e}^x,& x\le 0\\ x+2,& x>0\end{array}$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

11. (Problemă aplicată.) Viteza unui mobil este $v(t)=4t$ metri pe secundă pentru $t\in [0,2]$ și $v(t)=8$ metri pe secundă pentru $t>2$. Determinați spațiul parcurs $s(t)$, știind că $s^{\prime }=v$ și $s(0)=0$.

12. Determinați primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^2-1|$, cu proprietatea $F(0)=0$.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Mulțimea primitivelor funcției $\frac{1}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ este formată din funcțiile $\ln |x|+c$, cu $c$ număr real."

14. Determinați primitiva $F$ a funcției $f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2,& x\le 1\\ 3,& x>1\end{array}$ cu proprietatea $F(0)=5$.

15. Verificați din definiție că primitiva găsită la exercițiul 1 este derivabilă în $0$.

16. Explicați, folosind Consecința 3 a teoremei lui Lagrange, de ce derivabilitatea lui $F$ în punctul de racord este asigurată ori de câte ori $f$ este continuă acolo.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}4x^3,& x\le 1\\ ax,& x>1.\end{array}$ a) Determinați $a$ pentru care $f$ admite primitive. b) Determinați mulțimea primitivelor. c) Determinați primitiva $F$ cu $F(0)=3$.

18. (Provocare.) Determinați primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|+|x-1|$, cu proprietatea $F(0)=0$.

Răspunsuri și explicații

1. În $0$: $l_s(0)=0=f(0)=l_d(0)$, deci $f$ e continuă pe $\mathbb{R}$ și admite primitive. Primitive pe ramuri: $x^3$ și $x^2$, ambele nule în $0$, deci decalajul e nul: $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+\mathcal{C},& x\le 0\\ x^2+\mathcal{C},& x>0.\end{array}$$

2. În $2$: $l_s(2)=7=f(2)=l_d(2)$, deci $f$ e continuă. Pe ramuri: $F_1(x)=x^2+3x$ cu $F_1(2)=10$, $F_2(x)=7x$ cu $F_2(2)=14$; decalajul este $-4$: $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+3x+\mathcal{C},& x\le 2\\ 7x-4+\mathcal{C},& x>2.\end{array}$$

3. $F(x)=\frac{(x+1)|x+1|}{2}$, adică $-\frac{(x+1{)}^2}{2}$ pentru $x<-1$ și $\frac{(x+1{)}^2}{2}$ pentru $x\ge -1$. Derivând pe fiecare ramură se obține $|x+1|$, iar în $-1$ rapoartele incrementale tind la $0=f(-1)$.

4. Continuitatea în $1$ cere $1=a$. Pentru $a\ne 1$, discontinuitate de speța I, deci fără primitive. Pentru $a=1$: $F_1(x)=\frac{x^3}{3}$ cu $F_1(1)=\frac{1}{3}$, $F_2(x)=x$ cu $F_2(1)=1$; decalajul este $-\frac{2}{3}$, deci $$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{3}+\mathcal{C},& x\le 1\\ x-\frac{2}{3}+\mathcal{C},& x>1.\end{array}$$

5. În $0$: $\cos 0=1$ și $1-0=1$, deci continuă. $F_1(x)=\sin x$ și $F_2(x)=x-\frac{x^3}{3}$, amândouă nule în $0$: $$F(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x+\mathcal{C},& x\le 0\\ x-\frac{x^3}{3}+\mathcal{C},& x>0.\end{array}$$

6. În $0$: $l_s(0)=e^0=1$ și $f(0)=\frac{1}{0+1}=1$, deci continuă. $F_1(x)=e^x$ cu $F_1(0)=1$; pe $[0,+\infty )$ propunem $F_2(x)=\ln |x+1|$ și verificăm prin derivare, $(\ln |x+1|{)}^{\prime }=\frac{1}{x+1}$, cu $F_2(0)=0$. Decalajul este $1$: $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x+\mathcal{C},& x<0\\ \ln |x+1|+1+\mathcal{C},& x\ge 0.\end{array}$$

7. Fals. Continuitatea fiecărei ramuri nu spune nimic despre punctul de racord. Funcția din exercițiul 9 are ambele ramuri polinomiale, deci continue, dar are un salt în $0$ și nu admite primitive. Condiția care contează este continuitatea în punctul de racord.

8. Fals. Continuitatea lui $F$ se poate obține întotdeauna prin alegerea constantelor, oricare ar fi $f$. Derivabilitatea, în schimb, are loc exact atunci când $f$ este continuă în $x_0$: derivatele laterale ale lui $F$ în $x_0$ sunt egale cu cele două limite laterale ale lui $f$, deci dacă $f$ sare, $F$ are un punct unghiular.

9. În $0$: $l_s(0)=1=f(0)$, dar $l_d(0)=0$. Limitele laterale sunt finite și diferite, deci $0$ e punct de discontinuitate de speța I; prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, $f$ nu admite primitive pe $\mathbb{R}$. Pe $(0,+\infty )$ însă $f(x)=x^2$ este continuă, deci admite primitive, de pildă $\frac{x^3}{3}$.

10. Continuitatea în $0$ cere $a{e}^0=0+2$, adică $a=2$. Pentru $a\ne 2$, discontinuitate de speța I, deci funcția nu admite primitive.

11. Viteza e continuă în $t=2$ ($4\cdot 2=8$), deci $s$ există. Pe $[0,2]$: $s_1(t)=2t^2$, cu $s_1(2)=8$; pe $(2,+\infty )$: $s_2(t)=8t$, cu $s_2(2)=16$; decalajul este $-8$. Din $s(0)=0$ rezultă $\mathcal{C}=0$, deci $$s(t)=\{\begin{array}{ll}2t^2,& 0\le t\le 2\\ 8t-8,& t>2,\end{array}$$ măsurat în metri. După $10$ secunde, mobilul a parcurs $72$ de metri. (Verificat numeric pe ambele ramuri.)

12. Ramurile: $x^2-1$ pe $(-\infty ,-1]$, $1-x^2$ pe $(-1,1)$, $x^2-1$ pe $[1,+\infty )$. Primitiva de pe ramura din mijloc, $x-\frac{x^3}{3}+\mathcal{C}$, dă $F(0)=\mathcal{C}=0$. Racordând în $1$ și în $-1$ (decalaje $\pm \frac{4}{3}$): $$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{3}-x-\frac{4}{3},& x\le -1\\ x-\frac{x^3}{3},& -1<x<1\\ \frac{x^3}{3}-x+\frac{4}{3},& x\ge 1.\end{array}$$ (Verificat prin derivare în opt puncte și prin rapoarte incrementale în $-1$ și în $1$.)

13. Fals. Mulțimea ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval, iar constanta se poate alege independent pe fiecare dintre cele două intervale. Funcția care valorează $\ln |x|+1$ pentru $x<0$ și $\ln |x|+5$ pentru $x>0$ are derivata $\frac{1}{x}$ pe tot ${\mathbb{R}}^{\ast }$ și nu este de forma $\ln |x|+c$.

14. Continuitatea în $1$: $3\cdot 1^2=3$ ✓. Pe ramuri: $F_1(x)=x^3$ cu $F_1(1)=1$, $F_2(x)=3x$ cu $F_2(1)=3$; decalajul este $-2$. Din $F(0)=\mathcal{C}=5$: $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+5,& x\le 1\\ 3x+3,& x>1.\end{array}$$ Control: în $x=1$ ambele expresii dau $6$ ✓.

15. Cu $F(0)=\mathcal{C}$, alegem $\mathcal{C}=0$. Atunci $$F_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{x^3-0}{x-0}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }{x}^2=0,F_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{x^2-0}{x-0}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }x=0.$$ Amândouă există, sunt finite și egale cu $0=f(0)$, deci $F$ e derivabilă în $0$ și $F^{\prime }(0)=f(0)$.

16. Funcția $F$ este continuă în $x_0$ (așa au fost alese constantele) și derivabilă pe o vecinătate a lui $x_0$, cu excepția eventuală a lui $x_0$, unde $F^{\prime }(x)=f(x)$. Dacă $f$ e continuă în $x_0$, atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }{F}^{\prime }(x)=f(x_0)$, limită finită; Consecința 3 a teoremei lui Lagrange dă atunci că $F$ e derivabilă în $x_0$ și $F^{\prime }(x_0)=f(x_0)$. Ipoteza de finitudine e esențială: fără ea, concluzia ar fi doar existența derivatei, nu derivabilitatea.

17. a) Continuitatea în $1$: $4\cdot 1^3=a\cdot 1$, deci $a=4$; pentru $a\ne 4$ apare o discontinuitate de speța I și funcția nu admite primitive. b) $F_1(x)=x^4$ cu $F_1(1)=1$, $F_2(x)=2x^2$ cu $F_2(1)=2$; decalajul este $-1$, deci $$F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^4+\mathcal{C},& x\le 1\\ 2x^2-1+\mathcal{C},& x>1.\end{array}$$ c) $F(0)=\mathcal{C}=3$, deci $F(x)=x^4+3$ pentru $x\le 1$ și $F(x)=2x^2+2$ pentru $x>1$. Control: în $x=1$ ambele dau $4$ ✓.

18. Semnele celor două module dau trei ramuri: pentru $x<0$, $f(x)=-x+1-x=1-2x$; pentru $0\le x<1$, $f(x)=x+1-x=1$; pentru $x\ge 1$, $f(x)=x+x-1=2x-1$. Funcția e continuă (sumă de module de funcții continue), deci admite primitive. Primitive pe ramuri: $x-x^2$, $x$ și $x^2-x$. Racordul în $0$: ambele expresii dau $0$, decalaj nul. Racordul în $1$: $1$ față de $0$, decalaj $1$. Din $F(0)=0$ rezultă $\mathcal{C}=0$, deci $$F(x)=\{\begin{array}{ll}x-x^2,& x<0\\ x,& 0\le x<1\\ x^2-x+1,& x\ge 1.\end{array}$$ (Verificat prin derivare în opt puncte și prin rapoarte incrementale în $0$ și în $1$.)

De reținut

• O funcție definită pe ramuri admite primitive pe un interval dacă și numai dacă este continuă în punctul de racord; verificarea aceasta se face înaintea oricărui calcul de primitivă.
• Cei patru pași ai racordării sunt: verificarea continuității, o primitivă pe fiecare ramură, legarea constantelor prin continuitatea lui $F$, verificarea derivabilității în punctul de racord.
• Constantele de pe cele două ramuri nu sunt independente: ele diferă exact cu decalajul $F_1(x_0)-F_2(x_0)$, iar familia primitivelor rămâne cu o singură constantă liberă.
• Derivabilitatea lui $F$ în punctul de racord se justifică fie din definiție, cu cele două rapoarte incrementale, fie cu Consecința 3 a teoremei lui Lagrange, care este calea scurtă de examen.
• Pe o reuniune de intervale, cum este domeniul funcției $\frac{1}{x}$, constantele rămân independente pe fiecare interval, iar afirmația „două primitive diferă printr-o constantă" nu mai este valabilă.

Greșeli frecvente

• Lipești primitivele fără să legi constantele. Scrierea $F(x)=x^2+x$ pentru $x\le 1$ și $F(x)=x^3$ pentru $x>1$ dă o funcție cu salt în $1$, deci nici măcar continuă. Decalajul se calculează întotdeauna, chiar dacă uneori iese nul.
• Te oprești după racordarea prin continuitate. Continuitatea lui $F$ se poate obține pentru orice funcție pe ramuri, chiar și pentru una care nu admite primitive. Pasul 4 nu este decorativ: el este singurul care arată că ai obținut într-adevăr o primitivă.
• Scoți modulul de sub semnul de integrare. Egalitatea $\int |g(x)|dx=\left|\int g(x)dx\right|$ este falsă. Modulul se elimină înainte, pe ramuri, după semnul expresiei dinăuntru.
• Rezolvi doar ecuația de continuitate la exercițiile cu parametru. Cerința „determinați $a$ pentru care $f$ admite primitive" cere ambele ramuri ale discuției: pentru valoarea găsită, continuitate și existență; pentru celelalte, discontinuitate de speța I și neexistență.
• Confunzi funcția pe ramuri cu funcția definită pe o reuniune de intervale. La prima, punctul de racord aparține domeniului și constantele se leagă; la a doua, punctul lipsă nu aparține domeniului, iar constantele rămân independente. Din confuzia aceasta vine greșeala de a scrie „$\ln |x|+c$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$" ca și cum ar fi întreaga mulțime a primitivelor.

Aplică acasă

1. Cardul celor patru pași. Scrie pe o fișă, în patru rânduri, pașii racordării, iar pe verso un exemplu complet, cu decalajul calculat. Ține-o la vedere când rezolvi din culegere: după cinci exerciții nu-ți va mai trebui.

2. Decalajul, dintr-o privire. Ia cinci funcții pe ramuri din culegere și scrie, pentru fiecare, doar cele două primitive de ramură și valorile lor în racord, fără să duci calculul mai departe. Înveți astfel să vezi decalajul înainte de a scrie familia primitivelor.

3. Graficul lipit. Desenează pe hârtie milimetrică primitiva funcției din firul roșu, pentru $\mathcal{C}=0$: parabola $x^2+x$ până în $x=1$, cubica $x^3+1$ după. Verifică cu rigla că în punctul de lipire cele două curbe au aceeași tangentă, de pantă $3$ — imaginea geometrică a pasului 4.

Pentru părinți și profesori

Lecția aplică rezultatele lecției precedente la tipul de exercițiu cel mai frecvent al unității și acoperă competențele XII.CS.2.5 și XII.CS.4.5 din programa de matematică-informatică, legând tabelul primitivelor, criteriul de existență bazat pe continuitate și Consecința 3 a teoremei lui Lagrange de la clasa a XI-a.

Ce verifică lecția: (1) continuitatea în racord, ca prim pas obligatoriu; (2) o primitivă pe fiecare ramură; (3) decalajul și familia cu o singură constantă; (4) derivabilitatea în racord, pe una dintre cele două căi; (5) funcțiile cu modul, rescrise pe ramuri.

Întrebări bune de control: „Ce verifici înainte de a calcula ceva?"; „De ce nu poți lăsa două constante independente?"; „De ce continuitatea lui $F$ nu este suficientă?"; „Ce se schimbă dacă domeniul nu este interval?".

Semne că a înțeles: începe cu limitele laterale ale lui $f$, nu cu integrarea; calculează decalajul explicit, chiar când iese nul; scrie pasul de derivabilitate neîndemnat.

Dificultatea tipică: confuzia dintre continuitatea lui $f$ (condiția de existență) și continuitatea lui $F$ (condiția de racordare) — două verificări diferite, în momente diferite; secțiunea 7 arată ce se întâmplă când prima e sărită.

Unde apare la BAC: constant, în problema de analiză din Subiectul al III-lea: „determinați $a$ astfel încât $f$ să admită primitive", apoi „determinați primitiva $F$ cu $F(x_0)=k$". Baremele punctează separat condiția de continuitate, primitivele de ramură, relația dintre constante și determinarea finală.

Întrebări frecvente

Cum se calculează primitiva unei funcții definite pe ramuri?

Se verifică întâi continuitatea funcției în punctul de racord; dacă nu este continuă, funcția nu admite primitive și rezolvarea se oprește. Dacă este continuă, se caută o primitivă pe fiecare ramură, se adaugă câte o constantă, apoi se impune continuitatea funcției obținute în punctul de racord, ceea ce leagă cele două constante între ele.

De ce trebuie legate constantele la primitivele pe ramuri?

Pentru că o primitivă pe un interval trebuie să fie derivabilă pe tot intervalul, deci și continuă. Dacă cele două constante ar rămâne independente, funcția lipită ar avea, în general, un salt în punctul de racord și nu ar fi nici măcar continuă acolo, cu atât mai puțin derivabilă.

Care este primitiva funcției modul?

Pentru $f(x)=|x|$, primitivele sunt $F(x)=\frac{x|x|}{2}+\mathcal{C}$, adică $-\frac{x^2}{2}+\mathcal{C}$ pentru $x<0$ și $\frac{x^2}{2}+\mathcal{C}$ pentru $x\ge 0$. Decalajul dintre cele două ramuri este nul, pentru că amândouă primitivele se anulează în $0$. Pentru $|x-a|$ formula se translatează: $\frac{(x-a)|x-a|}{2}+\mathcal{C}$.

Cum verific derivabilitatea primitivei în punctul de racord?

Cel mai rapid, cu Consecința 3 a teoremei lui Lagrange: $F$ este continuă în $x_0$, derivabilă în jurul lui, iar $\underset{x\to x_0}{\lim }{F}^{\prime }(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$ este finită, deci $F$ este derivabilă în $x_0$. Cealaltă cale este calculul celor două derivate laterale din definiție, cu rapoartele incrementale.

Ce fac dacă funcția pe ramuri nu este continuă în punctul de racord?

Scrii că punctul respectiv este o discontinuitate de speța I, pentru că ambele limite laterale sunt finite și nu coincid amândouă cu valoarea funcției, apoi invoci Consecința 1 a teoremei lui Darboux: funcția nu admite primitive pe niciun interval care conține acel punct. Aceasta este rezolvarea completă, nu un eșec al calculului.

De ce pe mulțimea numerelor reale nenule constanta se poate alege diferit?

Pentru că această mulțime nu este interval, ci reuniunea a două intervale disjuncte, iar rezultatul care spune că două primitive diferă printr-o constantă se aplică numai pe un interval. Funcția care valorează $\ln |x|+1$ pentru $x$ negativ și $\ln |x|+5$ pentru $x$ pozitiv are derivata $\frac{1}{x}$ peste tot pe domeniu, cu constante diferite pe cele două ramuri.

Cum determin parametrul dintr-un exercițiu cu primitive pe ramuri?

Pui condiția ca cele două limite laterale și valoarea funcției în punctul de racord să fie egale; ecuația obținută dă valoarea parametrului. Scrii apoi și cealaltă ramură a discuției — pentru celelalte valori funcția are o discontinuitate de speța I, deci nu admite primitive —, pentru că baremul o punctează separat.

Ce este decalajul dintre cele două primitive de ramură?

Este diferența $F_1(x_0)-F_2(x_0)$ dintre valorile, în punctul de racord, ale primitivelor găsite pe cele două ramuri. El arată exact cât trebuie adăugat constantei de pe ramura a doua ca funcția lipită să fie continuă: $c_2=c_1+F_1(x_0)-F_2(x_0)$. Când decalajul este nul, cele două constante coincid.