Raționale: rădăcini multiple și trinoame: pe scurt

Când numitorul are rădăcini multiple sau factori de gradul al doilea fără rădăcini reale, descompunerea se schimbă, dar rețeta rămâne aceeași. Un factor $(x-a{)}^k$ aduce $k$ termeni, cu numitorii $x-a$, $(x-a{)}^2$, …, $(x-a{)}^k$ și numărători constanți. Un factor $x^2+px+q$ cu $p^2-4q<0$ aduce un singur termen, dar cu numărător $Bx+C$ — adică doi coeficienți, cât gradul factorului.

Controlul de dinaintea oricărui calcul: numărul total de coeficienți necunoscuți este egal cu gradul numitorului.

Integrarea se schimbă și ea. Fracțiile $\frac{A}{(x-a{)}^k}$ cu $k\ge 2$ nu dau logaritm, ci puteri negative: $-\frac{A}{(k-1)(x-a{)}^{k-1}}+\mathcal{C}$. Termenul cu trinom se rupe în două: bucata cu derivata numitorului dă un logaritm, restul dă o arctangentă, după completarea pătratului. Regula modulului: $\ln |x-a|$ la factorii de gradul întâi, $\ln \left(x^2+px+q\right)$ fără modul la trinoamele cu $\Delta <0$, pentru că acestea sunt strict pozitive.

Coeficienții se află prin metoda mixtă: valori particulare la rădăcinile reale, identificare pentru restul. Iar înainte de a scrie $\frac{Bx+C}{x^2+px+q}$, se calculează $\Delta$: dacă e pozitiv, trinomul se sparge.

Exerciții din această mini-lecție

1. Funcția rațională $\frac{3x+1}{(x-2{)}^2(x+1)}$ se descompune în:

   • a) $\frac{A}{(x-2{)}^2}+\frac{B}{x+1}$
   • b) $\frac{Ax+B}{(x-2{)}^2}+\frac{C}{x+1}$
   • c) $\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$
   • d) $\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2{)}^2}+\frac{C}{x+1}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2{)}^2}+\frac{C}{x+1}$

   Factorul $(x-2{)}^2$ aduce doi termeni, cu numitorii $x-2$ și $(x-2{)}^2$, iar factorul $x+1$ încă unul: în total $3$ coeficienți, cât gradul numitorului. Cu descompunerile care au numai doi termeni, identitatea de polinoame nu are soluție.

2. Pe intervalul $(-4,+\infty )$, $\int \frac{dx}{(x+4{)}^3}$ este egală cu:

   • a) $\ln |x+4|+\mathcal{C}$
   • b) $-\frac{1}{3(x+4{)}^2}+\mathcal{C}$
   • c) $-\frac{1}{2(x+4{)}^2}+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{1}{2(x+4{)}^2}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-\frac{1}{2(x+4{)}^2}+\mathcal{C}$

   Este o putere cu exponent $-3$: $\int (x+4{)}^{-3}dx=\frac{(x+4{)}^{-2}}{-2}+\mathcal{C}=-\frac{1}{2(x+4{)}^2}+\mathcal{C}$. Logaritmul apare numai la exponentul $1$, iar la numitor stă $k-1=2$, nu $k=3$.

3. Pe $\mathbb{R}$, $\int \frac{2x}{x^2+13}dx$ este egală cu:

   • a) $\ln \left(x^2+13\right)+\mathcal{C}$
   • b) $\ln \left|x^2+13\right|+\mathcal{C}$
   • c) $2\ln \left(x^2+13\right)+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{2x^2}{x^2+13}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\ln \left(x^2+13\right)+\mathcal{C}$

   Numărătorul este exact derivata numitorului, deci integrala este $\ln$ de numitor. Modulul nu se pune: $x^2+13$ este strict pozitiv ($\Delta <0$). Scrierea cu modul semnalează, la corectare, că nu s-a calculat discriminantul.