Primitivele funcțiilor raționale: rădăcini multiple și factori de gradul al doilea

Rețeta fracțiilor simple, așa cum a fost construită la clasa a 12-a în lecția despre descompunerea în fracții simple, acoperă un singur caz: numitor cu rădăcini reale distincte. E cazul cel mai frecvent, dar nu e singurul. Numitorul $x^2(x+1)$ are rădăcina $0$ de două ori, iar numitorul $(x+1)(x^2+1)$ are un factor care nu se mai desface deloc peste numerele reale.

Ambele apar constant în subiectele de Bacalaureat M1 — $\int \frac{1}{x^2(x+1)}dx$ și $\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)}dx$ sunt, practic, exerciții-etalon. Lecția aceasta completează Etapa 2 și Etapa 3 ale rețetei, astfel încât metoda să funcționeze pentru orice numitor de grad cel mult $4$.

Ce vei învăța

• Vei ști de ce o rădăcină de ordinul $k$ aduce $k$ termeni în descompunere, nu unul singur.
• Vei ști să integrezi fracțiile de forma $\frac{A}{(x-a{)}^k}$ cu $k\ge 2$, care nu dau logaritm.
• Vei ști să tratezi factorii de gradul al doilea fără rădăcini reale, cu numărător de forma $Bx+C$.
• Vei ști când se pune modul la logaritm și când nu, și de ce.
• Vei ști să combini metodele — valori particulare plus identificare — la numitori de gradul al treilea și al patrulea.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu ajunge un singur termen la o rădăcină dublă?

Să încercăm, greșit dinadins, să descompunem $\frac{1}{(x-1{)}^2}$ în stilul lecției anterioare, cu un singur termen $\frac{A}{x-1}$. Ar trebui ca $\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{A}{x-1}$ pentru orice $x\ne 1$, adică $1=A(x-1)$ — imposibil, pentru că membrul drept se anulează în $x=1$, iar cel stâng nu.

Ceva mai subtil e cazul $\frac{1}{x^2(x+1)}$: aici forma $\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$ ar da, după aducerea la același numitor, $\frac{Ax(x+1)+B{x}^2}{x^2(x+1)}$, iar numărătorul obținut se divide cu $x$ — deci nu poate fi niciodată egal cu $1$. Lipsește un termen, și anume unul cu $x^2$ la numitor.

O rădăcină multiplă a numitorului este o rădăcină care apare de mai multe ori în descompunerea în factori; numărul de apariții se numește ordinul de multiplicitate. Regula, pe care o luăm ca fapt de lucru: un factor $(x-a{)}^k$ contribuie în descompunere cu $k$ termeni, câte unul pentru fiecare putere de la $1$ la $k$: $$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a{)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{(x-a{)}^k}.$$

Numărătorii rămân constante. Numărul total de coeficienți necunoscuți este mereu egal cu gradul numitorului — un control excelent înainte de a începe calculul.

De ce sunt necesari exact $k$ termeni, nici mai mulți, nici mai puțini? Ideea se vede pe cazul $k=2$, cu numitorul $(x-a{)}^{2}R(x)$, unde $R(a)\ne 0$. Alegem $A_2=\frac{P(a)}{R(a)}$ și scădem: $$\frac{P(x)}{(x-a{)}^{2}R(x)}-\frac{A_2}{(x-a{)}^2}=\frac{P(x)-A_{2}R(x)}{(x-a{)}^{2}R(x)}.$$ Numărătorul din dreapta se anulează în $a$, deci se divide cu $x-a$; după simplificare a mai rămas o singură putere a lui $x-a$ la numitor, adică situația cunoscută din lecția anterioară. Repetând, fiecare pas coboară exponentul cu $1$ — de unde exact $k$ termeni. Mecanismul dă și o scurtătură practică: coeficientul puterii maxime se obține acoperind factorul $(x-a{)}^k$ și înlocuind $x=a$ în ce rămâne.

2. Cum se integrează fracțiile cu putere la numitor?

Aici apare prima surpriză: $\frac{A}{(x-a{)}^k}$ nu dă logaritm când $k\ge 2$. Scriem fracția ca putere cu exponent negativ și folosim formula puterii: $$\int \frac{A}{(x-a{)}^k}dx=A\int (x-a{)}^{-k}dx=A\cdot \frac{(x-a{)}^{-k+1}}{-k+1}+\mathcal{C}=-\frac{A}{(k-1)(x-a{)}^{k-1}}+\mathcal{C}.$$

Cazurile pe care le vei folosi cel mai des: $$\int \frac{A}{(x-a{)}^2}dx=-\frac{A}{x-a}+\mathcal{C},\int \frac{A}{(x-a{)}^3}dx=-\frac{A}{2(x-a{)}^2}+\mathcal{C}.$$

Logaritmul apare numai la exponentul $1$; e granița dintre rândurile $1$–$2$ și rândul $3$ din tabelul primitivelor funcțiilor uzuale, pe care le-ai deosebit deja acolo.

Uneori se poate scurta drumul, fără sistem. Pentru $\frac{3x-1}{(x-1{)}^2}$ scriem numărătorul „în jurul rădăcinii": $3x-1=3(x-1)+2$. Împărțind termen cu termen, $$\frac{3x-1}{(x-1{)}^2}=\frac{3}{x-1}+\frac{2}{(x-1{)}^2},$$ deci descompunerea a ieșit dintr-o singură rescriere. Trucul merge ori de câte ori numitorul e o singură putere $(x-a{)}^k$.

La exponentul $3$ rescrierea se face cu binomul. Pentru $\frac{x^2}{(x-2{)}^3}$ scriem $x^2=((x-2)+2{)}^2=(x-2{)}^2+4(x-2)+4$ și împărțim termen cu termen: $$\frac{x^2}{(x-2{)}^3}=\frac{1}{x-2}+\frac{4}{(x-2{)}^2}+\frac{4}{(x-2{)}^3},\int \frac{x^{2}dx}{(x-2{)}^3}=\ln |x-2|-\frac{4}{x-2}-\frac{2}{(x-2{)}^2}+\mathcal{C}.$$ Se vede și aici regula: un singur logaritm, cel de la exponentul $1$, restul sunt puteri negative.

3. Ce se întâmplă când numitorul are un factor de gradul al doilea fără rădăcini reale?

Din descompunerea în factori ireductibili, studiată în clasa a X-a, știi că peste $\mathbb{R}$ un polinom se descompune în factori de gradul întâi și factori de gradul al doilea cu $\Delta <0$. Aceștia din urmă nu se mai pot sparge, deci descompunerea trebuie să-i accepte ca atare.

Regula: un factor $x^2+px+q$ cu $p^2-4q<0$ contribuie cu un singur termen, dar cu numărător de gradul întâi: $$\frac{Bx+C}{x^2+px+q}.$$

De ce numărător de gradul întâi? Pentru că numărul de coeficienți trebuie să fie egal cu gradul numitorului: un factor de gradul al doilea „merită" doi coeficienți, $B$ și $C$. Cu numărător constant, sistemul ar fi, în general, incompatibil.

Două verificări concrete, ca să vezi cât de repede se face triajul: pentru $x^2+1$ avem $\Delta =-4<0$, deci factorul rămâne întreg și primește numărător $Bx+C$; pentru $x^2+x-6$ avem $\Delta =1+24=25>0$, deci factorul se sparge în $(x-2)(x+3)$ și primește doi numărători constanți. Aceeași expresie, două tratamente complet diferite — și tot ce le desparte este semnul unui discriminant.

⚠️ Condiția $p^2-4q<0$ nu e un moft. Dacă trinomul are rădăcini reale, el se sparge în doi factori de gradul întâi și te întorci la lecția anterioară. Prima ta mișcare la Etapa 2 rămâne, deci, calculul discriminantului.

4. Cum rupi fracția în logaritm plus arctangentă?

Fracția $\frac{Bx+C}{x^2+px+q}$, luată singură, este obiectul rețetei trinomului de la lecția despre primitivele cu trinom de gradul al doilea; acolo ai învățat-o ca tip de sine stătător. Aici o reîntâlnești ca piesă a unei descompuneri, deci reluăm doar ideea de care avem nevoie la Etapa 4 și trecem imediat la folosirea ei.

Fracția se integrează spărgând-o în două bucăți cu roluri diferite. Observăm că derivata numitorului este $2x+p$ și potrivim numărătorul după ea: $$\frac{Bx+C}{x^2+px+q}=\frac{B}{2}\cdot \frac{2x+p}{x^2+px+q}+\frac{C-\frac{Bp}{2}}{x^2+px+q}.$$

Prima bucată are la numărător exact derivata numitorului, deci primitiva ei este un logaritm — e cazul cel mai simplu de schimbare de variabilă, cu $u$ chiar numitorul. A doua are numărător constant și se rezolvă cu rețeta trinomului: forma canonică, apoi rândul $12$ al tabelului, cel cu arctangenta, fixat la lecția despre primitivele care duc la arctangentă, arcsinus și logaritm.

Regula modulului, de reținut pe viață. La logaritmul care vine dintr-un factor $x-a$ modulul este obligatoriu. La logaritmul care vine dintr-un trinom cu $p^2-4q<0$ modulul este inutil, pentru că un astfel de trinom are semn constant și, fiind cu coeficientul dominant pozitiv, este strict pozitiv pe tot $\mathbb{R}$. Scriem deci $\ln |x-a|$, dar $\ln (x^2+px+q)$.

Exemplu complet, în care piesa apare exact așa cum o vei întâlni. Descompunem $\frac{1}{x(x^2+2x+2)}$, unde $\Delta =4-8=-4<0$, deci trinomul rămâne întreg: $$\frac{1}{x(x^2+2x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+2x+2},1=A(x^2+2x+2)+(Bx+C)x.$$ Pentru $x=0$: $2A=1$, deci $A=\frac{1}{2}$; coeficientul lui $x^2$ dă $A+B=0$, deci $B=-\frac{1}{2}$; coeficientul lui $x$ dă $2A+C=0$, deci $C=-1$. Rămâne de integrat bucata $\frac{-\frac{1}{2}x-1}{x^2+2x+2}$. Derivata numitorului este $2x+2$, iar $-\frac{1}{2}x-1=-\frac{1}{4}(2x+2)-\frac{1}{2}$, deci $$\int \frac{dx}{x(x^2+2x+2)}=\frac{1}{2}\ln |x|-\frac{1}{4}\ln (x^2+2x+2)-\frac{1}{2}\mathrm{arctg}(x+1)+\mathcal{C},$$ unde ultima bucată a folosit forma canonică $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1$.

Reține ordinea de lucru: întâi potrivești derivata numitorului, apoi ce rămâne merge pe forma canonică. Nu invers — dacă începi cu forma canonică, numărătorul rămâne de gradul întâi și nu se simplifică nimic. Și observă că arctangenta a ieșit cu argument deplasat, $x+1$: e semnul că trinomul avea $p\ne 0$.

5. Cum afli coeficienții acum: metoda mixtă

La rădăcini reale distincte, valorile particulare rezolvau totul. Acum nu mai ajung: un factor $(x-a{)}^2$ îți dă o singură rădăcină pentru doi coeficienți, iar un trinom cu $\Delta <0$ nu îți dă niciuna. Procedăm în trei mișcări, în această ordine:

1. înlocuiești rădăcinile reale — fiecare îți dă gratis coeficientul termenului cu puterea cea mai mare a factorului respectiv;
2. identifici coeficienții cei mai ieftini — cel al puterii maxime a lui $x$ și termenul liber se citesc dintr-o privire, fără să desfaci toate parantezele;
3. înlocuiești o valoare comodă ($x=1$ sau $x=-1$), dacă mai lipsește o ecuație.

Pe $\frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}$, identitatea este $1=Ax(x+1)+B(x+1)+C{x}^2$. Mișcarea 1: $x=0$ dă $B=1$, iar $x=-1$ dă $C=1$. Mișcarea 2: coeficientul lui $x^2$ în dreapta este $A+C$, iar în stânga este $0$, deci $A=-C=-1$. Trei coeficienți în trei rânduri.

Al doilea exemplu, cu trinom: pe $\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$ identitatea este $1=A(x^2+1)+(Bx+C)x$. Mișcarea 1: singura rădăcină reală e $0$ și dă $A=1$. Mișcarea 2: coeficientul lui $x^2$ este $A+B=0$, deci $B=-1$, iar coeficientul lui $x$ este $C=0$. Descompunerea e $\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}$, iar primitivele sunt $\ln |x|-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+\mathcal{C}$. Observă din nou cele două logaritme, unul cu modul și celălalt fără.

Criteriul de alegere, completat: valori particulare la rădăcini reale, identificare pentru restul. Nu sunt metode rivale, ci etape ale aceleiași metode — se folosesc împreună.

6. Care este catalogul complet al formelor?

Punem totul într-un singur tabel, care încheie Etapa 3 a rețetei fracțiilor simple. Pentru fiecare factor al numitorului, scrii termenii din coloana a doua:

Ordinea în care scrii termenii nu contează matematic, dar contează pentru viteză: scrie-i în ordinea factorilor din numitor, iar pentru un factor repetat, de la puterea $1$ la puterea maximă. Așa nu uiți niciun termen și, la verificarea finală, recunoști imediat care fracție a fost adusă la ce numitor.

⚠️ Un factor de gradul al doilea ridicat la putere, de tipul $(x^2+1{)}^2$, iese din programa clasei a 12-a pentru descompunere; integralele de acest fel se calculează prin recurență, la lecția despre relațiile de recurență pentru integrale nedefinite.

7. Numitor de gradul al treilea și al patrulea

Cu catalogul de mai sus, orice numitor de grad cel mult $4$ se tratează la fel. Câteva combinații pe care le vei întâlni des:

• $x^2(x+1)$ — o rădăcină dublă și una simplă: trei termeni;
• $(x-1)(x-2{)}^2$ — o rădăcină simplă și una dublă: tot trei termeni;
• $x(x^2+1)$ și $(x+1)(x^2+1)$ — o rădăcină simplă și un trinom: doi termeni, dar trei coeficienți;
• $x^2(x^2+1)$ — o rădăcină dublă și un trinom: patru coeficienți, adică exact gradul numitorului;
• $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ — două rădăcini simple și un trinom.

Un exemplu de numărare, pe $(x-1)(x-2{)}^2$: rădăcina simplă $1$ aduce un termen, rădăcina dublă $2$ aduce doi, deci trei coeficienți — cât gradul numitorului. Pe $x^2(x^2+1)$: rădăcina dublă $0$ aduce doi termeni, iar trinomul aduce un termen cu doi coeficienți, deci patru în total — tot cât gradul. Verificarea aceasta, făcută în cinci secunde, prinde din start forma greșită.

O scurtătură utilă la ultimele două: când numitorul se scrie doar cu $x^2$, poți descompune mai întâi în raport cu $x^2$. Pentru $\frac{x^2+2}{x^4+x^2}$, notând provizoriu $u=x^2$, avem $\frac{u+2}{u(u+1)}=\frac{2}{u}-\frac{1}{u+1}$, adică $\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}$ — descompunerea completă, obținută în două rânduri. Rezultatul coincide, firește, cu cel dat de forma generală $\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$, în care iese $A=0$, $B=2$, $C=0$, $D=-1$.

8. Unde se oprește metoda fracțiilor simple?

Merită spus limpede ce nu face lecția aceasta. Descompunerea în fracții simple îți dă primitivele — adică mulțimea funcțiilor a căror derivată e funcția dată. Calculul unor valori concrete pentru astfel de funcții, pe un interval cu capete precizate, se face cu instrumentele unității următoare și îl vei relua la lecția despre integralele definite din funcții raționale.

De asemenea, metoda cere ca numitorul să fie efectiv factorizat. Când rădăcinile nu sunt „frumoase", exercițiul nu se dă la Bacalaureat M1; toate numitoarele din subiecte au rădăcini întregi mici sau se descompun evident.

Merită totuși știut că teoretic metoda nu se oprește niciodată: orice polinom cu coeficienți reali se descompune, peste $\mathbb{R}$, în factori de gradul întâi și factori de gradul al doilea cu discriminant negativ, deci catalogul din subsecțiunea $6$ acoperă toate cazurile posibile. Limita de grad $4$ din programă e o limită practică, nu una de principiu: peste ea nu mai există formule care să dea rădăcinile, deci Etapa 2 devine imposibilă cu creionul.

O consecință liniștitoare a acestui fapt: orice funcție rațională are primitive care se scriu cu funcții elementare — combinații de polinoame, logaritmi și arctangente. Nu vei întâlni niciodată, la funcțiile raționale, situația de la $e^{-x^2}$ sau $\frac{\sin x}{x}$, unde primitiva există (funcțiile fiind continue), dar nu se poate scrie cu funcțiile pe care le cunoști.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rădăcină dublă, rezolvată prin rescriere

Calculați $\int \frac{3x-1}{(x-1{)}^2}dx$ pe $(1,+\infty )$.

Rezolvare. Scriem numărătorul în jurul rădăcinii: $3x-1=3(x-1)+2$, deci $\frac{3x-1}{(x-1{)}^2}=\frac{3}{x-1}+\frac{2}{(x-1{)}^2}$. Primul termen dă logaritm, al doilea o putere negativă: $$\int \frac{3x-1}{(x-1{)}^2}dx=3\ln |x-1|-\frac{2}{x-1}+\mathcal{C}.$$

Verificare. Derivăm: $\frac{3}{x-1}+\frac{2}{(x-1{)}^2}=\frac{3(x-1)+2}{(x-1{)}^2}=\frac{3x-1}{(x-1{)}^2}$ ✓.

Exemplul 2 — Exercițiul-etalon $\int \frac{dx}{x^2(x+1)}$

Calculați $\int \frac{1}{x^2(x+1)}dx$ pe $(0,+\infty )$.

Rezolvare. Numitorul are gradul $3$, deci trei coeficienți: $\frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}$, cu identitatea $1=Ax(x+1)+B(x+1)+C{x}^2$. Pentru $x=0$: $B=1$; pentru $x=-1$: $C=1$; identificând coeficientul lui $x^2$: $A+C=0$, deci $A=-1$. Prin urmare $$\int \frac{dx}{x^2(x+1)}=-\ln |x|-\frac{1}{x}+\ln |x+1|+\mathcal{C}=\ln \left|\frac{x+1}{x}\right|-\frac{1}{x}+\mathcal{C}.$$

Verificare. $-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x+1}=\frac{-x(x+1)+(x+1)+x^2}{x^2(x+1)}=\frac{1}{x^2(x+1)}$ ✓.

Exemplul 3 — Rădăcină simplă și rădăcină dublă

Calculați $\int \frac{x+3}{(x-1)(x-2{)}^2}dx$ pe $(2,+\infty )$.

Rezolvare. Forma este $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2{)}^2}$, cu $$x+3=A(x-2{)}^2+B(x-1)(x-2)+C(x-1).$$ Pentru $x=1$: $4=A\cdot 1$, deci $A=4$. Pentru $x=2$: $5=C\cdot 1$, deci $C=5$. Coeficientul lui $x^2$: $A+B=0$, deci $B=-4$. Așadar $$\int \frac{x+3}{(x-1)(x-2{)}^2}dx=4\ln |x-1|-4\ln |x-2|-\frac{5}{x-2}+\mathcal{C}.$$

Observă tiparul: rădăcinile reale au dat coeficienții puterilor maxime ($A$ și $C$), iar identificarea l-a dat pe cel rămas. Un control care nu costă nimic: termenul liber din dreapta este $4A+2B-C=16-8-5=3$, exact cât în stânga ✓.

Exemplul 4 — Exercițiul-etalon $\int \frac{xdx}{(x+1)(x^2+1)}$

Calculați $\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)}dx$ pe $(-1,+\infty )$.

Rezolvare. Trinomul $x^2+1$ are $\Delta =-4<0$, deci rămâne întreg. Forma este $\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$, cu $$x=A(x^2+1)+(Bx+C)(x+1).$$ Pentru $x=-1$: $-1=2A$, deci $A=-\frac{1}{2}$. Coeficientul lui $x^2$: $A+B=0$, deci $B=\frac{1}{2}$. Termenul liber: $A+C=0$, deci $C=\frac{1}{2}$. Rămâne de integrat $$\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)}dx=-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1}+\frac{1}{2}\int \frac{x+1}{x^2+1}dx.$$ A doua integrală se rupe la rândul ei: $\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)$ și $\int \frac{dx}{x^2+1}=\mathrm{arctg}x$. În total: $$\int \frac{x}{(x+1)(x^2+1)}dx=-\frac{1}{2}\ln |x+1|+\frac{1}{4}\ln (x^2+1)+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}.$$

⚠️ Compară cele două logaritme: primul are modul, al doilea nu. E deosebirea pe care baremele o urmăresc cel mai atent.

Exemplul 5 — Numitor de gradul al patrulea

Calculați $\int \frac{x^2+2}{x^4+x^2}dx$ pe $(0,+\infty )$.

Rezolvare. $x^4+x^2=x^2(x^2+1)$: o rădăcină dublă și un trinom fără rădăcini reale, deci patru coeficienți. Cu descompunerea în raport cu $x^2$ obținută în subsecțiunea $7$, $\frac{x^2+2}{x^2(x^2+1)}=\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}$, deci $$\int \frac{x^2+2}{x^4+x^2}dx=-\frac{2}{x}-\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}.$$

Verificare. $\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^2+1}=\frac{2(x^2+1)-x^2}{x^2(x^2+1)}=\frac{x^2+2}{x^4+x^2}$ ✓. Reține că termenii $\frac{A}{x}$ și cel cu $x$ la numărătorul trinomului au ieșit nuli — se întâmplă des la funcțiile pare.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x(x^2+1)}$. a) Arătați că $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2+1}$, pentru orice $x>0$. b) Determinați mulțimea primitivelor lui $f$ pe $(0,+\infty )$. c) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ cu $F(1)=0$ și calculați $F(\sqrt{3})$.

Rezolvare. a) Aducem membrul drept la același numitor: $\frac{(x^2+1)+x}{x(x^2+1)}=\frac{x^2+x+1}{x(x^2+1)}$ ✓. (Pe drumul general: din $x^2+x+1=A(x^2+1)+(Bx+C)x$, cu $x=0$ obținem $A=1$; coeficientul lui $x^2$ dă $A+B=1$, deci $B=0$; coeficientul lui $x$ dă $C=1$.)

b) Pe $(0,+\infty )$ avem $x>0$, deci modulul dispare: $$\int f(x)dx=\ln x+\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}.$$

c) Primitivele sunt $F(x)=\ln x+\mathrm{arctg}x+c$. Din $F(1)=\ln 1+\mathrm{arctg}1+c=\frac{\pi }{4}+c=0$ obținem $c=-\frac{\pi }{4}$, deci $F(x)=\ln x+\mathrm{arctg}x-\frac{\pi }{4}$. Atunci $$F(\sqrt{3})=\ln \sqrt{3}+\mathrm{arctg}\sqrt{3}-\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\ln 3+\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\ln 3+\frac{\pi }{12}.$$

Să exersăm

La fiecare exercițiu numără întâi coeficienții necunoscuți: trebuie să fie exact cât gradul numitorului. Intervalul de lucru e precizat sau, unde nu e, se ia unul pe care funcția e definită.

1. Calculează $\int \frac{1}{(x-2{)}^2}dx$ pe $(2,+\infty )$.

2. Calculează $\int \frac{2x+5}{(x+1{)}^2}dx$ pe $(-1,+\infty )$, folosind rescrierea numărătorului în jurul rădăcinii.

3. Calculează $\int \frac{1}{x(x-1{)}^2}dx$ pe $(1,+\infty )$.

4. Reia rețeta trinomului de la lecția anterioară și calculează $\int \frac{1}{x^2+4x+13}dx$ pe $\mathbb{R}$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Modulul din scrierea $\int \frac{2x+3}{x^2+3x+5}dx=\ln |x^2+3x+5|+\mathcal{C}$ este necesar."

6. Calculează $\int \frac{1}{x(x^2+4x+5)}dx$ pe $(0,+\infty )$.

7. Calculează $\int \frac{1}{x^2(x-1)}dx$ pe $(1,+\infty )$.

8. Calculează $\int \frac{x^2+8}{x(x^2+4)}dx$ pe $(0,+\infty )$.

9. Calculează $\int \frac{1}{(x+1)(x^2+1)}dx$ pe $(-1,+\infty )$.

10. Calculează $\int \frac{5}{(x-1)(x^2+4)}dx$ pe $(1,+\infty )$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Descompunerea funcției $\frac{1}{(x-1{)}^2(x+2)}$ are forma $\frac{A}{(x-1{)}^2}+\frac{B}{x+2}$."

12. (Problemă aplicată.) Viteza unui mobil este $v(t)=\frac{t+3}{(t+1{)}^2}$ metri pe secundă, unde $t\ge 0$ este timpul în secunde. Determină legea spațiului $s$, știind că $s(0)=0$, și calculează $s(3)$.

13. Calculează $\int \frac{x^3+2}{x^2(x+1)}dx$ pe $(0,+\infty )$. Atenție la gradele numărătorului și numitorului.

14. Explică, în două-trei fraze, de ce logaritmul care provine dintr-un factor $x-a$ se scrie cu modul, iar cel care provine dintr-un trinom cu $\Delta <0$ se scrie fără.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+2}{x^2(x+1)}$. a) Arată că $f(x)=-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x+1}$. b) Determină mulțimea primitivelor lui $f$. c) Determină primitiva $F$ cu $F(1)=0$.

16. Calculează $\int \frac{1}{x^4+4x^2}dx$ pe $(0,+\infty )$, descompunând mai întâi în raport cu $x^2$.

17. Calculează $\int \frac{x}{(x-2{)}^3}dx$ pe $(2,+\infty )$.

18. (Provocare.) Calculează $\int \frac{1}{x^4-1}dx$ pe $(1,+\infty )$ și spune care dintre cele trei tipuri de fracții simple apar în descompunere.

Răspunsuri și explicații

1. Exponentul este $2$, deci nu apare logaritm: $\int (x-2{)}^{-2}dx=-\frac{1}{x-2}+\mathcal{C}$.

2. $2x+5=2(x+1)+3$, deci $\frac{2x+5}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{x+1}+\frac{3}{(x+1{)}^2}$ și integrala este $2\ln |x+1|-\frac{3}{x+1}+\mathcal{C}$.

3. Forma $\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1{)}^2}$ dă $1=A(x-1{)}^2+Bx(x-1)+Cx$. Cu $x=0$: $A=1$; cu $x=1$: $C=1$; coeficientul lui $x^2$: $A+B=0$, deci $B=-1$. Rezultat: $\ln |x|-\ln |x-1|-\frac{1}{x-1}+\mathcal{C}$.

4. $\Delta =16-52=-36<0$, deci forma canonică: $x^2+4x+13=(x+2{)}^2+9$. Cu rândul $12$ al tabelului, pentru $a=3$, rezultatul este $\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x+2}{3}+\mathcal{C}$.

5. Fals. Numărătorul e derivata numitorului, deci primitivele sunt logaritmul numitorului; cum $\Delta =9-20=-11<0$ și coeficientul dominant e pozitiv, trinomul e strict pozitiv pe tot $\mathbb{R}$, deci modulul nu schimbă nimic și scrierea corectă este $\ln (x^2+3x+5)+\mathcal{C}$. Rezultatul cu modul nu e fals ca valoare, dar modulul e de prisos și arată că nu ai verificat semnul.

6. $\Delta =16-20=-4<0$, deci $\frac{1}{x(x^2+4x+5)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4x+5}$. Cu $x=0$: $5A=1$, deci $A=\frac{1}{5}$; coeficientul lui $x^2$: $A+B=0$, deci $B=-\frac{1}{5}$; coeficientul lui $x$: $4A+C=0$, deci $C=-\frac{4}{5}$. Ruperea: $-\frac{1}{5}x-\frac{4}{5}=-\frac{1}{10}(2x+4)-\frac{2}{5}$, iar $x^2+4x+5=(x+2{)}^2+1$. Rezultat: $\frac{1}{5}\ln |x|-\frac{1}{10}\ln (x^2+4x+5)-\frac{2}{5}\mathrm{arctg}(x+2)+\mathcal{C}$.

7. Din $1=Ax(x-1)+B(x-1)+C{x}^2$: cu $x=0$, $-B=1$, deci $B=-1$; cu $x=1$, $C=1$; coeficientul lui $x^2$: $A+C=0$, deci $A=-1$. Rezultat: $-\ln |x|+\frac{1}{x}+\ln |x-1|+\mathcal{C}$.

8. Din $x^2+8=A(x^2+4)+(Bx+C)x$: cu $x=0$, $4A=8$, deci $A=2$; coeficientul lui $x^2$: $A+B=1$, deci $B=-1$; coeficientul lui $x$: $C=0$. Rezultat: $2\ln |x|-\frac{1}{2}\ln (x^2+4)+\mathcal{C}$.

9. Din $1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x+1)$: cu $x=-1$, $2A=1$, deci $A=\frac{1}{2}$; coeficientul lui $x^2$: $A+B=0$, deci $B=-\frac{1}{2}$; termenul liber: $A+C=1$, deci $C=\frac{1}{2}$. Rezultat: $\frac{1}{2}\ln |x+1|-\frac{1}{4}\ln (x^2+1)+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$.

10. Din $5=A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1)$: cu $x=1$, $5A=5$, deci $A=1$; coeficientul lui $x^2$: $A+B=0$, deci $B=-1$; termenul liber: $4A-C=5$, deci $C=-1$. Rezultat: $\ln |x-1|-\frac{1}{2}\ln (x^2+4)-\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+\mathcal{C}$.

11. Fals. Factorul $(x-1{)}^2$ aduce doi termeni, deci lipsește $\frac{C}{x-1}$. Numărul de coeficienți trebuie să fie egal cu gradul numitorului, adică $3$; cu doar doi coeficienți sistemul iese incompatibil.

12. $t+3=(t+1)+2$, deci $v(t)=\frac{1}{t+1}+\frac{2}{(t+1{)}^2}$ și $s(t)=\ln (t+1)-\frac{2}{t+1}+c$. Din $s(0)=-2+c=0$ rezultă $c=2$, deci $s(t)=\ln (t+1)-\frac{2}{t+1}+2$, iar $s(3)=\ln 4+\frac{3}{2}\approx 2,89$ metri.

13. Gradele sunt egale ($3$ și $3$), deci întâi împărțim: $x^3+2=x^2(x+1)-x^2+2$, adică $\frac{x^3+2}{x^2(x+1)}=1+\frac{2-x^2}{x^2(x+1)}$. Apoi $2-x^2=Ax(x+1)+B(x+1)+C{x}^2$ dă $B=2$ (pentru $x=0$), $C=1$ (pentru $x=-1$) și $A+C=-1$, deci $A=-2$. Rezultat: $x-2\ln |x|-\frac{2}{x}+\ln |x+1|+\mathcal{C}$.

14. Pentru că $x-a$ schimbă semnul în $a$: pe intervalul din stânga e negativ, iar $\ln$ nu se aplică numerelor negative — modulul repară exact asta. Un trinom cu $\Delta <0$ și coeficient dominant pozitiv nu se anulează niciodată și e strict pozitiv pe tot $\mathbb{R}$, deci modulul nu ar schimba nimic.

15. a) $\frac{-x(x+1)+2(x+1)+x^2}{x^2(x+1)}=\frac{x+2}{x^2(x+1)}$ ✓. b) Pe $(0,+\infty )$: $F(x)=-\ln x-\frac{2}{x}+\ln (x+1)+c=\ln \frac{x+1}{x}-\frac{2}{x}+c$. c) $F(1)=\ln 2-2+c=0$ dă $c=2-\ln 2$, deci $F(x)=\ln \frac{x+1}{x}-\frac{2}{x}+2-\ln 2$.

16. $x^4+4x^2=x^2(x^2+4)$, iar în raport cu $x^2$: $\frac{1}{x^2(x^2+4)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2+4}\right)$. Integrând, $-\frac{1}{4x}-\frac{1}{8}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+\mathcal{C}$ (al doilea termen aduce factorul $\frac{1}{2}$ din rândul $12$, cu $a=2$).

17. $x=(x-2)+2$, deci $\frac{x}{(x-2{)}^3}=\frac{1}{(x-2{)}^2}+\frac{2}{(x-2{)}^3}$. Niciun termen nu dă logaritm: rezultatul este $-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{(x-2{)}^2}+\mathcal{C}$.

18. $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$, iar în raport cu $x^2$: $\frac{1}{x^4-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2-1}-\frac{1}{x^2+1}\right)$. Rezultat: $\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|-\frac{1}{2}\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$. Apar tipul I (de două ori, prin $x\pm 1$) și tipul III (prin $x^2+1$); tipul II nu apare, pentru că nicio rădăcină nu e multiplă.

De reținut

• Un factor $(x-a{)}^k$ aduce $k$ termeni în descompunere, cu numitorii $x-a$, $(x-a{)}^2$, …, $(x-a{)}^k$ și numărători constanți.
• Un factor $x^2+px+q$ cu $p^2-4q<0$ aduce un singur termen, dar cu numărător $Bx+C$, adică doi coeficienți — cât gradul factorului.
• Numărul total de coeficienți necunoscuți este egal cu gradul numitorului; e primul lucru de verificat, înainte de orice calcul.
• Fracțiile $\frac{A}{(x-a{)}^k}$ cu $k\ge 2$ nu dau logaritm, ci puteri negative: $-\frac{A}{(k-1)(x-a{)}^{k-1}}+\mathcal{C}$.
• Modulul se pune la logaritmul care vine dintr-un factor de gradul întâi și nu se pune la cel care vine dintr-un trinom fără rădăcini reale, pentru că acesta din urmă e strict pozitiv.

Greșeli frecvente

• Un singur termen pentru o rădăcină dublă. Din $(x-1{)}^2$ trebuie scriși doi termeni; cu unul singur, identitatea de polinoame nu are soluție. Numără coeficienții și compară cu gradul numitorului.
• Numărător constant peste un trinom. Peste $x^2+px+q$ se pune $Bx+C$, nu $A$: altfel pierzi un coeficient și sistemul devine incompatibil.
• Modul pus la trinom. $\ln (x^2+1)$, nu $\ln |x^2+1|$: un trinom cu $\Delta <0$ este strict pozitiv, deci modulul e inutil și semnalează că nu ai calculat discriminantul.
• Logaritm în locul puterii negative. $\int \frac{dx}{(x-2{)}^2}$ nu este $\ln |x-2|$, ci $-\frac{1}{x-2}+\mathcal{C}$. Logaritmul apare numai la exponentul $1$.
• Descompunerea unui trinom care are, de fapt, rădăcini reale. Înainte de a scrie $\frac{Bx+C}{x^2+px+q}$, calculează $\Delta$: dacă e pozitiv, trinomul se sparge și te întorci la fracțiile de tipul I.

Aplică acasă

1. Numărătoarea coeficienților. Scrie zece numitori diferiți de grad cel mult $4$ și, pentru fiecare, doar forma descompunerii, fără să calculezi nimic. Verifică de fiecare dată că numărul de litere folosite este egal cu gradul numitorului.

2. Fabrica de exerciții cu rădăcini multiple. Alege coeficienții $A$, $B$, $C$ și adună $\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}$ la același numitor. Obții un exercițiu al cărui răspuns îl știi; rezolvă-l apoi de la zero, prin metoda mixtă.

3. Vânătoarea de module. Ia cinci răspunsuri rezolvate din lecție și verifică, pentru fiecare logaritm, dacă modulul e la locul lui: prezent la factorii de gradul întâi, absent la trinoamele cu discriminant negativ.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie metoda de calcul al primitivelor funcțiilor raționale, extinzând catalogul de forme la rădăcini multiple și la factori de gradul al doilea fără rădăcini reale. E lecția în care se văd cel mai clar două deprinderi: numărarea coeficienților înainte de calcul și verificarea semnului trinomului. Un elev care le are nu greșește aproape niciodată aici, pentru că restul e calcul mecanic.

De verificat în caiet: (1) numărul de coeficienți egal cu gradul numitorului; (2) numărător $Bx+C$ peste trinom, constant peste factorii de gradul întâi; (3) puterile negative acolo unde exponentul e cel puțin $2$; (4) modulul prezent doar unde trebuie. Întrebări de control: „Câți termeni aduce $(x-1{)}^3$?"; „De ce nu punem modul la $\ln (x^2+1)$?"; „Ce faci dacă trinomul are $\Delta >0$?"; „Care coeficienți ies din valorile particulare și care din identificare?".

La BAC, cele două exerciții-etalon ale lecției apar cu regularitate în Subiectul al III-lea, în forma cu trei subpuncte din Exemplul 6: descompunerea dată spre verificare, apoi primitivele, apoi primitiva cu o condiție și o valoare de calculat. Semn că elevul a înțeles: scrie forma descompunerii corect din prima, fără să încerce variante.

Întrebări frecvente

Câți termeni aduce o rădăcină multiplă în descompunerea în fracții simple? Exact atâția câtă este multiplicitatea ei. Un factor $(x-a{)}^3$, de pildă, aduce trei termeni, cu numitorii $x-a$, $(x-a{)}^2$ și $(x-a{)}^3$, toți cu numărători constanți. Regula generală de control: numărul total de coeficienți necunoscuți este egal cu gradul numitorului.

Cum se descompune o fracție cu un factor de gradul al doilea fără rădăcini reale? Factorul rămâne întreg, iar peste el se pune un numărător de gradul întâi, de forma $Bx+C$. Motivul este numărarea coeficienților: un factor de gradul al doilea „merită" doi coeficienți. Cu numărător constant sistemul obținut ar fi, în general, fără soluție.

Când se pune modul la logaritm și când nu? Modulul se pune la logaritmul care provine dintr-un factor de gradul întâi, pentru că $x-a$ își schimbă semnul. Nu se pune la logaritmul unui trinom cu discriminant negativ și coeficient dominant pozitiv: acesta e strict pozitiv pe tot $\mathbb{R}$, deci modulul nu ar schimba nimic.

Cum se calculează $\int \frac{1}{x^2(x+1)}dx$? Se scrie $\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}$ și se obțin $A=-1$, $B=1$, $C=1$, folosind valorile $x=0$ și $x=-1$ plus identificarea coeficientului lui $x^2$. Rezultatul este $\ln \left|\frac{x+1}{x}\right|-\frac{1}{x}+\mathcal{C}$, pe fiecare interval pe care funcția e definită.

De ce fracțiile cu putere la numitor nu dau logaritm? Pentru că se integrează cu formula puterii, nu cu rândul logaritmului. Scriind $\frac{1}{(x-a{)}^k}$ ca $(x-a{)}^{-k}$, exponentul crește cu $1$ și rămâne negativ atât timp cât $k\ge 2$. Doar la $k=1$ exponentul ar deveni $0$, caz în care formula puterii nu se aplică și intervine logaritmul.

Ce fac dacă trinomul de la numitor are rădăcini reale? Îl descompui în doi factori de gradul întâi și folosești fracțiile simple obișnuite, cu numărători constanți. Verificarea discriminantului este de aceea prima mișcare: forma $Bx+C$ peste trinom se justifică doar când $p^2-4q<0$.

Cum aflu coeficienții când valorile particulare nu ajung? Le combini cu identificarea. Întâi înlocuiești rădăcinile reale, care îți dau gratis coeficienții puterilor maxime; apoi identifici coeficientul puterii celei mai mari a lui $x$ și termenul liber, care se citesc fără să desfaci toate parantezele; dacă mai lipsește o ecuație, dai lui $x$ o valoare comodă, de exemplu $1$.

Cum apar aceste cazuri la Bacalaureat M1? În Subiectul al III-lea, aproape întotdeauna pe unul dintre cele două tipare din lecție: $\frac{1}{x^2(x+1)}$, cu rădăcină dublă, sau $\frac{x}{(x+1)(x^2+1)}$, cu trinom. Primul subpunct dă descompunerea de verificat, iar următoarele cer primitivele și pe cea care îndeplinește o condiție dată.