Pe intervalul $$(2, +\infty)$$, $$\displaystyle\int \frac{dx}{x^{2} - 4}$$ este egală cu:

$$\dfrac{1}{4}\ln\left\lvert \dfrac{x-2}{x+2} \right\rvert + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{4}\ln\left\lvert \dfrac{x+2}{x-2} \right\rvert + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{2}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{2} + \mathcal{C}$$

$$\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert \dfrac{x-2}{x+2} \right\rvert + \mathcal{C}$$

Care este primul pas în calculul lui $$\displaystyle\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 4}\,dx$$?

împărțirea, care dă $$\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-4} = 1 + \dfrac{5}{x^{2}-4}$$

completarea pătratului la numitor

descompunerea directă în fracții simple

Funcții raționale: fracții simple: pe scurt

O funcție rațională este câtul a două polinoame, iar primitivele ei se calculează cu rețeta fracțiilor simple, în patru etape. Etapa 1 — împărțirea, obligatorie când $grad P \geq grad Q$ ; sărită, sistemul de mai târziu iese incompatibil. Etapa 2 — factorizarea numitorului. Etapa 3 — descompunerea cu coeficienți nedeterminați. Etapa 4 — integrarea termen cu termen.

Fiecare rădăcină reală simplă $a$ a numitorului aduce exact un termen $\frac{A}{x - a}$ , cu numărător constant, iar primitiva lui este $A ln ∣ x - a ∣ + C$ . Peste un factor de gradul întâi nu se pune niciodată un numărător $A x + B$ : gradele nu s-ar potrivi.

Coeficienții se determină prin valori particulare — cel mai scurt drum când rădăcinile reale sunt distincte, fiindcă înlocuind $x$ cu fiecare rădăcină toți termenii în afară de unul se anulează — sau prin identificare. Programa cere gradul numitorului cel mult $4$ . Două controale obligatorii: modulul la fiecare logaritm și verificarea descompunerii prin aducere la același numitor. Constanta $C$ se scrie o singură dată, la final, iar coeficientul lui $x$ nu se pierde: $\int \frac{d x}{2 x - 1} = \frac{1}{2} ln ∣ 2 x - 1 ∣ + C$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe intervalul $(2, + \infty)$ , $\int \frac{d x}{x ^{2} - 4}$ este egală cu:
- a) $\frac{1}{4} ln \frac{x - 2}{x + 2} + C$
- b) $\frac{1}{4} ln \frac{x + 2}{x - 2} + C$
- c) $\frac{1}{2} arctg \frac{x}{2} + C$
- d) $\frac{1}{2} ln \frac{x - 2}{x + 2} + C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{4} ln \frac{x - 2}{x + 2} + C$

Descompunerea $\frac{1}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{4} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})$ dă $\frac{1}{4} ln \frac{x - 2}{x + 2} + C$ — chiar rândul 11 al tabelului, cu $a = 2$ și factorul $\frac{1}{2 a} = \frac{1}{4}$ . Arctangenta ar cere sumă de pătrate la numitor.
Descompunerea $\frac{5 x - 7}{x ^{2} - 5 x + 6} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}$ are coeficienții:
- a) $A = - 3$ , $B = - 8$
- b) $A = 8$ , $B = - 3$
- c) $A = - 3$ , $B = 8$
- d) $A = 3$ , $B = 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $A = - 3$ , $B = 8$

Prin valori particulare: acoperind factorul $x - 2$ și punând $x = 2$ se obține $A = \frac{10 - 7}{2 - 3} = - 3$ ; acoperind $x - 3$ și punând $x = 3$ se obține $B = \frac{15 - 7}{3 - 2} = 8$ . Control: $- 3 (x - 3) + 8 (x - 2) = 5 x - 7$ .
Care este primul pas în calculul lui $\int \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4} d x$ ?
- a) completarea pătratului la numitor
- b) substituția $t = x^{2} - 4$
- c) descompunerea directă în fracții simple
- d) împărțirea, care dă $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4} = 1 + \frac{5}{x ^{2} - 4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) împărțirea, care dă $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 4} = 1 + \frac{5}{x ^{2} - 4}$

Gradele numărătorului și numitorului sunt egale, deci Etapa 1 cere împărțirea: $x^{2} + 1 = (x^{2} - 4) + 5$ . Fără ea, sistemul din Etapa 3 iese incompatibil, pentru că o sumă de fracții simple are gradul numărătorului strict mai mic decât al numitorului.

Funcții raționale: fracții simple: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu