Care este formula pentru integrala din A/(x-a)?

Este ∫ A/(x-a) dx = Aln| x-a | + C, valabilă pe fiecare dintre intervalele (-∞, a) și (a, +∞). Modulul e obligatoriu: pe intervalul din stânga, x-a este negativ, iar logaritmul unui număr negativ nu există.

Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Primitivele funcțiilor raționale: descompunerea în fracții simple

Primitivele funcțiilor raționale: descompunerea în fracții simple

Q: Ce este descompunerea în fracții simple?

Este scrierea unei funcții raționale ca sumă de fracții elementare, cu numitori de forma x-a, (x-a)^(k) sau trinoame fără rădăcini reale. Se folosește pentru că fiecare astfel de fracție are o primitivă cunoscută din tabel, în timp ce raportul inițial nu seamănă cu niciun rând al tabelului.

Q: Cum se calculează primitivele funcțiilor raționale?

Se aplică rețeta în patru etape: compari gradele și, dacă e nevoie, împarți; factorizezi numitorul; scrii descompunerea cu coeficienți necunoscuți și îi determini; integrezi fiecare fracție simplă. Rezultatul e o sumă de logaritmi, la care se adaugă partea polinomială obținută din împărțire.

Q: Când trebuie făcută împărțirea înainte de descompunere?

Ori de câte ori gradul numărătorului este mai mare sau egal cu gradul numitorului. O sumă de fracții simple tinde la zero la infinit, deci nu poate reproduce o funcție care tinde la o constantă nenulă sau la infinit. Împărțirea separă exact partea polinomială care lipsește.

Q: De ce am voie să înlocuiesc x cu o rădăcină a numitorului?

Pentru că, după înmulțirea cu numitorul, relația devine o egalitate între două funcții polinomiale. Ea e adevărată pe o infinitate de puncte, iar două polinoame care coincid pe o infinitate de valori sunt egale. Prin urmare egalitatea are loc pentru orice număr real, chiar și acolo unde fracția inițială nu era definită.

Q: Când folosesc identificarea în loc de valorile particulare?

Când rădăcinile reale nu sunt suficiente ca să determine toți coeficienții, adică la rădăcini multiple sau la factori de gradul al doilea fără rădăcini reale. La numitori cu rădăcini reale distincte, valorile particulare sunt întotdeauna mai scurte și se preferă.

Q: De ce cere programa gradul numitorului cel mult 4?

Pentru că metoda începe cu factorizarea numitorului, iar pentru grade mai mari nu există formule generale de rezolvare. Până la gradul 4 rădăcinile se pot găsi cu discriminantul, cu divizorii termenului liber și cu schema lui Horner, deci procedura rămâne aplicabilă cu creionul.

Q: Cum apare descompunerea în fracții simple la Bacalaureat M1?

Aproape întotdeauna în Subiectul al III-lea, cu descompunerea dată în primul subpunct și de verificat prin aducere la același numitor. Următoarele subpuncte cer primitivele funcției sau primitiva care îndeplinește o condiție dată, de exemplu trecerea printr-un punct precizat.

Un inginer care studiază răcirea unui motor, un economist care urmărește costul mediu pe bucată și un biolog care modelează o populație ajung, toți trei, la același tip de expresie: un raport de două polinoame. Primitivele funcțiilor raționale sunt, de aceea, capitolul din clasa a 12-a care se întâlnește cel mai des în afara matematicii — și totodată singurul loc din programă unde există o metodă completă, care funcționează întotdeauna, fără inspirație.

Până acum ai avut noroc: $\frac{1}{x}$ , $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ și $\frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ se rezolvau dintr-o privire. Dar $\frac{1}{x ^{3} - 7 x + 6}$ nu seamănă cu niciun rând din tabel și nu are, în interior, derivata nimănui. Lecția aceasta arată cum se sparge orice astfel de funcție în bucăți pe care le știi deja integra.

Ce vei învăța

Vei ști să recunoști o funcție rațională și să spui de la prima privire dacă e nevoie mai întâi de o împărțire.
Vei ști care sunt fracțiile simple și de ce orice funcție rațională se scrie ca sumă de astfel de fracții.
Vei ști să determini coeficienții prin valori particulare și prin identificare, alegând metoda mai scurtă.
Vei ști să aplici rețeta fracțiilor simple în patru etape, pe numitori de gradul al doilea, al treilea și al patrulea cu rădăcini reale simple.
Vei ști să verifici singur descompunerea, aducând fracțiile la același numitor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o funcție rațională?

O funcție rațională este o funcție de forma $f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ , unde $P$ și $Q$ sunt funcții polinomiale cu coeficienți reali, iar $Q$ nu este identic nulă; domeniul ei maxim este format din numerele reale care nu anulează numitorul. Pe fiecare interval din acest domeniu funcția e continuă, deci admite primitive.

Programa clasei a 12-a fixează o limită precisă: se lucrează cu funcții raționale al căror numitor are gradul cel mult $4$ . Nu e o restricție arbitrară — peste gradul al patrulea factorizarea numitorului devine, în general, imposibilă cu formule, iar metoda se blochează la primul pas.

Un amănunt care se plătește scump dacă e trecut cu vederea: domeniul unei funcții raționale este, de obicei, o reuniune de intervale, iar noțiunea de primitivă se definește pe un interval. Funcția $\frac{1}{x ^{2} - x}$ , de pildă, e definită pe $(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, + \infty)$ ; pe fiecare dintre cele trei intervale ea are o familie de primitive, iar constantele pot fi diferite de la un interval la altul. De aceea fiecare exercițiu din lecție precizează intervalul de lucru, iar răspunsul se citește pe acel interval.

De ce nu ajunge tabelul primitivelor? Pentru că el conține fracții cu numitori foarte particulari. Din tabelul primitivelor funcțiilor uzuale știi $\int \frac{1}{x} d x$ , iar din completarea lui cu primitivele care duc la arctangentă, arcsinus și logaritm știi și $\int \frac{1}{x ^{2} + a ^{2}} d x$ — dar nu și $\int \frac{1}{x ^{2} - x} d x$ . Ideea salvatoare e că această ultimă fracție se sparge în două fracții din tabel.

2. De unde vine rândul $11$ al tabelului primitivelor?

Rândul $11$ al tabelului canonic, fixat la lecția anterioară despre primitivele cu arctangentă și logaritm, spune că $\int \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}} d x = \frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a} + C, a > 0.$

Acolo formula a fost dată și verificată prin derivare. Ea nu a căzut însă din cer: e prima descompunere în fracții simple din curs, iar acum putem s-o deducem. Scriem $x^{2} - a^{2} = (x - a) (x + a)$ și căutăm două numere $A$ și $B$ cu $\frac{1}{( x - a ) ( x + a )} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x + a} .$

Înmulțim totul cu $(x - a) (x + a)$ și obținem identitatea de polinoame $1 = A (x + a) + B (x - a)$ . Pentru $x = a$ rămâne $1 = 2 a A$ , deci $A = \frac{1}{2 a}$ ; pentru $x = - a$ rămâne $1 = - 2 a B$ , deci $B = - \frac{1}{2 a}$ . Integrând cele două bucăți separat: $\int \frac{1}{x ^{2} - a ^{2}} d x = \frac{1}{2 a} ln ∣ x - a ∣ - \frac{1}{2 a} ln ∣ x + a ∣ + C = \frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a} + C .$

Formula verificată acolo prin derivare are, așadar, și o deducere de trei rânduri. Reține și mecanismul folosit: înlocuim $x$ cu rădăcinile numitorului, deși ele nu sunt în domeniu. Justificarea e că relația $1 = A (x + a) + B (x - a)$ este o egalitate între două funcții polinomiale, adevărată pe o infinitate de puncte, deci adevărată peste tot, inclusiv în $\pm a$ .

3. Care sunt fracțiile simple?

Numim fracții simple fracțiile din tabelul de mai jos — cărămizile din care se reconstruiește orice funcție rațională:

Tipul	Forma	Când apare
I	$\frac{A}{x - a}$	rădăcina reală $a$ , simplă
II	$\frac{A}{( x - a ) ^{k}}$ , $k \geq 2$	rădăcina reală $a$ , multiplă
III	$\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q}$ , cu $p^{2} - 4 q < 0$	factor de gradul al doilea fără rădăcini reale

Lecția de față se ocupă numai de tipul I: numitori care se descompun în factori de gradul întâi distincți. Tipurile II și III, împreună cu combinațiile lor, sunt subiectul lecției despre rădăcini multiple și factori de gradul al doilea.

Teorema care garantează că metoda merge întotdeauna se enunță așa: dacă $grad P < grad Q$ și $Q = (x - a_{1}) (x - a_{2}) \dots (x - a_{n})$ cu $a_{1}, \dots, a_{n}$ distincte, atunci există și sunt unice numerele reale $A_{1}, \dots, A_{n}$ cu $\frac{P ( x )}{Q ( x )} = \frac{A _{1}}{x - a _{1}} + \frac{A _{2}}{x - a _{2}} + \dots + \frac{A _{n}}{x - a _{n}} .$

O reținem ca pe un fapt de lucru: un factor de gradul întâi la puterea întâi aduce exact un termen, cu numărător constant.

4. Cum determini coeficienții: valori particulare sau identificare?

După ce ai scris forma descompunerii cu litere, aduci totul la același numitor și obții o identitate de polinoame. De aici, două drumuri.

Metoda valorilor particulare. Înlocuiești $x$ , pe rând, cu fiecare rădăcină a numitorului. Fiecare rădăcină anulează toți termenii în afară de unul, deci fiecare coeficient iese singur, dintr-o ecuație de gradul întâi.

Metoda identificării (numită și metoda coeficienților nedeterminați). Desfaci parantezele, grupezi după puterile lui $x$ și egalezi coeficienții din stânga cu cei din dreapta. Obții un sistem liniar cu tot atâtea ecuații câți coeficienți ai.

Le comparăm pe același exemplu, $\frac{1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ , cu identitatea $1 = A (x + 2) + B (x - 1)$ .

Prin valori particulare: $x = 1$ dă $1 = 3 A$ , deci $A = \frac{1}{3}$ ; $x = - 2$ dă $1 = - 3 B$ , deci $B = - \frac{1}{3}$ . Două rânduri.

Prin identificare: $1 = (A + B) x + (2 A - B)$ , de unde sistemul $A + B = 0$ și $2 A - B = 1$ , cu soluția $A = \frac{1}{3}$ , $B = - \frac{1}{3}$ . Șase rânduri.

Criteriul de alegere, de reținut: când numitorul are numai rădăcini reale distincte, folosești valorile particulare — sunt mereu mai scurte. Când apar rădăcini multiple sau factori de gradul al doilea fără rădăcini reale, rădăcinile reale nu mai ajung pentru toți coeficienții și treci pe identificare (sau pe o metodă mixtă, tratată în lecția următoare). În lecția de față vom folosi aproape numai valorile particulare, iar identificarea o vom păstra ca verificare.

5. Etapa 1: când trebuie să împarți polinoamele întâi?

⚠️ Descompunerea în fracții simple funcționează numai dacă gradul numărătorului este strict mai mic decât gradul numitorului. Motivul e simplu: o sumă de fracții simple tinde la $0$ la infinit, pe când $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1}$ tinde la $1$ ; nicio combinație de fracții simple nu poate da acest $1$ .

Când $grad P \geq grad Q$ , se face întâi împărțirea, exact ca la numerele naturale: $P = Q \cdot C + R$ , cu $grad R < grad Q$ , deci $\frac{P ( x )}{Q ( x )} = C (x) + \frac{R ( x )}{Q ( x )} .$

Câtul $C$ e polinom și se integrează din tabel; restul $R$ peste $Q$ intră în descompunere. Împărțirea o faci cu algoritmul împărțirii polinoamelor din clasa a X-a, iar când împărțitorul are forma $x - a$ , cu schema lui Horner, care e mai rapidă.

Când numitorul are gradul întâi, împărțirea se face cel mai repede cu schema lui Horner. Pentru $\frac{x ^{3} - 2 x ^{2} + 5}{x - 2}$ , coeficienții lui $P$ sunt $1, - 2, 0, 5$ , iar Horner cu $a = 2$ dă rândul $1, 0, 0, 5$ : câtul este $x^{2}$ și restul $5$ , deci $\frac{x ^{3} - 2 x ^{2} + 5}{x - 2} = x^{2} + \frac{5}{x - 2}, \int \frac{x ^{3} - 2 x ^{2} + 5}{x - 2} d x = \frac{x ^{3}}{3} + 5 ln ∣ x - 2 ∣ + C .$

Exemplu. Pentru $\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 4}$ împărțim: $x^{3} = (x^{2} - 4) \cdot x + 4 x$ , deci $\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 4} = x + \frac{4 x}{x ^{2} - 4}$ . Abia acum descompunem $\frac{4 x}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}$ : din $4 x = A (x + 2) + B (x - 2)$ , cu $x = 2$ obținem $8 = 4 A$ , deci $A = 2$ , iar cu $x = - 2$ obținem $- 8 = - 4 B$ , deci $B = 2$ . Prin urmare $\int \frac{x ^{3}}{x ^{2} - 4} d x = \frac{x ^{2}}{2} + 2 ln ∣ x - 2 ∣ + 2 ln ∣ x + 2 ∣ + C .$

6. Etapa 2: cum factorizezi numitorul?

Numitorul trebuie adus la produs de factori de gradul întâi. Uneltele sunt cele din clasa a X-a, de la descompunerea în factori ireductibili:

gradul $2$ : calculezi $Δ$ și scrii $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ ;
gradul $3$ sau $4$ : cauți o rădăcină întreagă printre divizorii termenului liber, apoi cobori gradul cu schema lui Horner și reiei;
formele speciale se recunosc direct: $x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ , iar $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ e o ecuație bipătrată, cu $x^{2} \in {1, 4}$ .

La gradul $4$ procedeul se repetă: găsești o rădăcină, cobori la gradul $3$ cu Horner, găsești încă una, cobori la gradul $2$ și închei cu discriminantul. De pildă $x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ are rădăcina $1$ , iar câtul $x^{2} - 5 x + 6$ se desface în $(x - 2) (x - 3)$ , deci polinomul este $(x - 1) (x - 2) (x - 3)$ . ⚠️ Rădăcinile întregi se caută numai printre divizorii termenului liber — dacă niciunul nu convine, exercițiul nu e de acest tip.

Exemplu. Pentru $x^{3} - 7 x + 6$ încercăm $x = 1$ : $1 - 7 + 6 = 0$ , deci $1$ e rădăcină. Schema lui Horner cu $a = 1$ pe coeficienții $1, 0, - 7, 6$ dă rândul $1, 1, - 6, 0$ , adică $x^{3} - 7 x + 6 = (x - 1) (x^{2} + x - 6) = (x - 1) (x - 2) (x + 3)$ .

7. Rețeta fracțiilor simple, în patru etape

Adunăm tot ce am construit într-o procedură pe care o vom numi, de aici înainte, rețeta fracțiilor simple:

Etapa 1 — împărțirea. Compari gradele. Dacă $grad P \geq grad Q$ , împarți și lucrezi mai departe cu restul.
Etapa 2 — factorizarea. Descompui numitorul în factori de gradul întâi.
Etapa 3 — descompunerea. Scrii forma cu litere (un termen $\frac{A}{x - a}$ pentru fiecare rădăcină) și afli coeficienții prin valori particulare.
Etapa 4 — integrarea. Integrezi termen cu termen, folosind $\int \frac{A}{x - a} d x = A ln ∣ x - a ∣ + C$ , și aduni și partea polinomială de la Etapa 1.

Pe scurt, aplicată pe $\frac{x ^{3}}{x ^{2} - 4}$ , rețeta arată așa:

Etapa	Ce faci	Rezultatul pe exemplu
1	compari gradele, împarți dacă e cazul	$x + \frac{4 x}{x ^{2} - 4}$
2	factorizezi numitorul	$x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$
3	scrii forma cu litere, afli coeficienții	$\frac{2}{x - 2} + \frac{2}{x + 2}$
4	integrezi termen cu termen	$\frac{x ^{2}}{2} + 2 ln ∣ x - 2 ∣ + 2 ln ∣ x + 2 ∣ + C$

Rețeta se termină întotdeauna cu aceeași verificare: aduci fracțiile simple obținute la același numitor și compari numărătorul cu cel de plecare. Dacă nu coincid, greșeala e la Etapa 3 și o repari în treizeci de secunde.

Două observații de tehnică. Prima: $\int \frac{A}{a x + b} d x = \frac{A}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C$ — factorul $\frac{1}{a}$ se uită des; el vine din regula de schimbare de variabilă cu substituții tipice, cu $u = a x + b$ . A doua: modulul e obligatoriu, pentru că fracția $\frac{A}{x - a}$ se integrează separat pe fiecare dintre intervalele $(- \infty, a)$ și $(a, + \infty)$ , iar pe cel din stânga $x - a$ e negativ.

8. Numitor de gradul al treilea și al patrulea

Nimic nu se schimbă când numitorul are trei sau patru rădăcini reale distincte: apar trei, respectiv patru fracții simple, și tot atâtea valori particulare.

Pentru $\frac{1}{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4}$ , cu $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = (x - 1) (x + 1) (x - 2) (x + 2)$ , scriem $\frac{1}{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 2} + \frac{D}{x + 2}$ și înlocuim pe rând $x$ cu $1$ , $- 1$ , $2$ , $- 2$ . Obținem $- 6 A = 1$ , $6 B = 1$ , $12 C = 1$ , $- 12 D = 1$ , adică $A = - \frac{1}{6}$ , $B = \frac{1}{6}$ , $C = \frac{1}{12}$ , $D = - \frac{1}{12}$ .

Aici funcționează și un al doilea drum, mai scurt: privind $x^{2}$ ca necunoscută, $\frac{1}{( x ^{2} - 1 ) ( x ^{2} - 4 )} = \frac{1}{3} (\frac{1}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{x ^{2} - 1})$ , iar cele două bucăți sunt exact rândul $11$ al tabelului, cu $a = 2$ și $a = 1$ . Cele două drumuri dau același rezultat — un control excelent, pe care îl vom folosi la Exemplul 5.

⚠️ Atenție: gruparea în $x^{2}$ merge numai la numitorii bipătrați. La $x^{3} - 7 x + 6$ nu ai ce grupa; acolo mergi pe drumul lung.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două rădăcini reale, cea mai scurtă cale

Calculați $\int \frac{1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} d x$ pe intervalul $(1, + \infty)$ .

Rezolvare. Etapa 1: gradul numărătorului este $0$ , al numitorului $2$ , deci nu împărțim. Etapa 2: numitorul e deja factorizat. Etapa 3: căutăm $A$ și $B$ cu $1 = A (x + 2) + B (x - 1)$ . Pentru $x = 1$ : $1 = 3 A$ , deci $A = \frac{1}{3}$ . Pentru $x = - 2$ : $1 = - 3 B$ , deci $B = - \frac{1}{3}$ . Etapa 4: $\int \frac{1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} d x = \frac{1}{3} ln ∣ x - 1 ∣ - \frac{1}{3} ln ∣ x + 2 ∣ + C = \frac{1}{3} ln \frac{x - 1}{x + 2} + C .$

Verificare. $\frac{1/3}{x - 1} - \frac{1/3}{x + 2} = \frac{( x + 2 ) - ( x - 1 )}{3 ( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{3}{3 ( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{( x - 1 ) ( x + 2 )}$ ✓.

Observă forma finală: cele două logaritmi s-au strâns într-unul singur, cu raportul înăuntru. E scrierea preferată în bareme, pentru că e cea mai compactă, dar suma de logaritmi e la fel de corectă.

Exemplul 2 — Numitor de rezolvat cu discriminantul

Calculați $\int \frac{5 x + 7}{x ^{2} + 2 x - 3} d x$ pe $(1, + \infty)$ .

Rezolvare. Etapa 2: $Δ = 4 + 12 = 16$ , rădăcinile sunt $1$ și $- 3$ , deci $x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) (x + 3)$ . Etapa 3: din $5 x + 7 = A (x + 3) + B (x - 1)$ , cu $x = 1$ obținem $12 = 4 A$ , deci $A = 3$ ; cu $x = - 3$ obținem $- 8 = - 4 B$ , deci $B = 2$ . Etapa 4: $\int \frac{5 x + 7}{x ^{2} + 2 x - 3} d x = 3 ln ∣ x - 1 ∣ + 2 ln ∣ x + 3 ∣ + C .$

Control prin identificare: $A + B = 3 + 2 = 5$ ✓ (coeficientul lui $x$ ) și $3 A - B = 9 - 2 = 7$ ✓ (termenul liber).

Exemplul 3 — Când Etapa 1 chiar lucrează

Calculați $\int \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} d x$ pe $(1, + \infty)$ .

Rezolvare. Gradele sunt egale, deci întâi împărțim: $x^{2} + 1 = (x^{2} - 1) \cdot 1 + 2$ , adică $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} = 1 + \frac{2}{x ^{2} - 1}$ . Pentru bucata a doua folosim rândul $11$ cu $a = 1$ , sau descompunem direct: $\frac{2}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$ . Așadar $\int \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} d x = x + ln ∣ x - 1 ∣ - ln ∣ x + 1 ∣ + C = x + ln \frac{x - 1}{x + 1} + C .$

Dacă ai sărit împărțirea și ai scris direct $\frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ , sistemul iese incompatibil — semnalul că lipsește partea polinomială.

Exemplul 4 — Numitor de gradul al treilea, factorizat cu Horner

Calculați $\int \frac{x ^{2} + 6 x - 11}{x ^{3} - 7 x + 6} d x$ pe $(2, + \infty)$ .

Rezolvare. Etapa 2: $x = 1$ anulează numitorul, iar schema lui Horner dă $x^{3} - 7 x + 6 = (x - 1) (x - 2) (x + 3)$ . Etapa 3: din $x^{2} + 6 x - 11 = A (x - 2) (x + 3) + B (x - 1) (x + 3) + C (x - 1) (x - 2)$ înlocuim pe rând rădăcinile. Pentru $x = 1$ : $1 + 6 - 11 = A (- 1) (4)$ , adică $- 4 = - 4 A$ , deci $A = 1$ . Pentru $x = 2$ : $4 + 12 - 11 = B (1) (5)$ , adică $5 = 5 B$ , deci $B = 1$ . Pentru $x = - 3$ : $9 - 18 - 11 = C (- 4) (- 5)$ , adică $- 20 = 20 C$ , deci $C = - 1$ . Etapa 4: $\int \frac{x ^{2} + 6 x - 11}{x ^{3} - 7 x + 6} d x = ln ∣ x - 1 ∣ + ln ∣ x - 2 ∣ - ln ∣ x + 3 ∣ + C .$

Observă cât de mult a scurtat metoda valorilor particulare: prin identificare ar fi fost un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute. Un control rapid, care nu costă nimic: coeficientul lui $x^{2}$ din membrul drept este $A + B + C = 1 + 1 - 1 = 1$ , exact cât în stânga ✓.

Exemplul 5 — Numitor de gradul al patrulea, cu control încrucișat

Calculați $\int \frac{1}{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4} d x$ pe $(2, + \infty)$ .

Rezolvare. Cu coeficienții găsiți în subsecțiunea $8$ : $\int \frac{d x}{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4} = - \frac{1}{6} ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{6} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{12} ln ∣ x - 2 ∣ - \frac{1}{12} ln ∣ x + 2 ∣ + C,$ adică, grupat, $\frac{1}{6} ln \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{1}{12} ln \frac{x - 2}{x + 2} + C$ .

Control încrucișat. Pe al doilea drum: $\frac{1}{3} (\frac{1}{x ^{2} - 4} - \frac{1}{x ^{2} - 1})$ dă, cu rândul $11$ , $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} ln \frac{x - 2}{x + 2} - \frac{1}{2} ln \frac{x - 1}{x + 1})$ , adică exact aceeași expresie ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f : (3, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{x + 5}{x ^{2} - 2 x - 3}$ . a) Arătați că $f (x) = \frac{2}{x - 3} - \frac{1}{x + 1}$ , pentru orice $x > 3$ . b) Determinați mulțimea primitivelor lui $f$ pe $(3, + \infty)$ . c) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ cu $F (4) = 0$ .

Rezolvare. a) $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ . Aducem membrul drept la același numitor: $\frac{2 ( x + 1 ) - ( x - 3 )}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{2 x + 2 - x + 3}{( x - 3 ) ( x + 1 )} = \frac{x + 5}{x ^{2} - 2 x - 3}$ ✓.

b) Pe intervalul $(3, + \infty)$ avem $x - 3 > 0$ și $x + 1 > 0$ , deci modulele se pot scoate: $\int f (x) d x = 2 ln (x - 3) - ln (x + 1) + C .$

c) Primitivele sunt $F (x) = 2 ln (x - 3) - ln (x + 1) + c$ , cu $c \in R$ . Condiția $F (4) = 0$ dă $2 ln 1 - ln 5 + c = 0$ , deci $c = ln 5$ . Prin urmare $F (x) = 2 ln (x - 3) - ln (x + 1) + ln 5 = ln \frac{5 ( x - 3 ) ^{2}}{x + 1} .$ Verificare: $F (4) = ln \frac{5 \cdot 1}{5} = ln 1 = 0$ ✓. Astfel de cerințe, în trei subpuncte, sunt tiparul Subiectului al III-lea la Bacalaureat M1.

Să exersăm

La fiecare exercițiu parcurge rețeta în ordine și încheie cu verificarea: adună fracțiile simple la același numitor. Intervalul de lucru e, de fiecare dată, unul pe care funcția e definită.

1. Calculează $\int \frac{1}{( x - 2 ) ( x - 3 )} d x$ pe $(3, + \infty)$ .

2. Calculează $\int \frac{1}{x ^{2} - 9} d x$ pe $(3, + \infty)$ , folosind descompunerea, și compară rezultatul cu rândul $11$ al tabelului.

3. Calculează $\int \frac{3 x}{( x - 1 ) ( x + 2 )} d x$ pe $(1, + \infty)$ .

4. Calculează $\int \frac{x + 4}{x ^{2} + 3 x + 2} d x$ pe $(- 1, + \infty)$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Descompunerea în fracții simple se poate aplica direct, fără nicio pregătire, funcției $\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1}$ ."

6. Calculează $\int \frac{x ^{2} + 2}{x ^{2} - 1} d x$ pe $(1, + \infty)$ .

7. Calculează $\int \frac{1}{x ^{2} - x} d x$ pe $(1, + \infty)$ .

8. Calculează $\int \frac{2 x - 3}{x ^{2} - 3 x + 2} d x$ pe $(2, + \infty)$ în două feluri: prin fracții simple și observând că numărătorul e derivata numitorului.

9. Calculează $\int \frac{1}{x ^{3} - x} d x$ pe $(1, + \infty)$ .

10. Calculează $\int \frac{x ^{2} + 4}{x ^{3} - 4 x} d x$ pe $(2, + \infty)$ .

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Metoda valorilor particulare e nelegitimă, pentru că înlocuiește $x$ cu numere care nu sunt în domeniul funcției."

12. (Problemă aplicată.) Numărul de utilizatori ai unei aplicații crește, în mii pe lună, cu viteza $r (t) = \frac{4 t + 7}{t ^{2} + 3 t + 2}$ , unde $t \geq 0$ este timpul în luni. Determină funcția $N$ care dă numărul de utilizatori adăugați în primele $t$ luni, știind că $N (0) = 0$ , și calculează $N (3)$ .

13. Calculează $\int \frac{1}{4 x ^{2} - 1} d x$ pe $(\frac{1}{2}, + \infty)$ . Atenție la coeficientul lui $x$ din numitorii fracțiilor simple.

14. Explică, în două-trei fraze, de ce metoda valorilor particulare este mai scurtă decât identificarea atunci când numitorul are numai rădăcini reale distincte.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f : (2, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{3 x - 4}{x ^{2} - 3 x + 2}$ . a) Arată că $f (x) = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}$ . b) Determină mulțimea primitivelor lui $f$ . c) Determină primitiva $F$ cu $F (3) = 0$ .

16. Calculează $\int \frac{x ^{3} + x}{x ^{2} - 1} d x$ pe $(1, + \infty)$ .

17. Calculează $\int \frac{1}{x ^{4} - 13 x ^{2} + 36} d x$ pe $(3, + \infty)$ , grupând după $x^{2}$ .

18. (Provocare.) Calculează $\int \frac{1}{x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )} d x$ pe $(0, + \infty)$ și observă ce fel de numere sunt cei patru coeficienți obținuți.

Răspunsuri și explicații

1. $1 = A (x - 3) + B (x - 2)$ ; cu $x = 2$ : $A = - 1$ ; cu $x = 3$ : $B = 1$ . Rezultat: $- ln ∣ x - 2 ∣ + ln ∣ x - 3 ∣ + C = ln \frac{x - 3}{x - 2} + C$ .

2. $\frac{1}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{1/6}{x - 3} - \frac{1/6}{x + 3}$ , deci integrala este $\frac{1}{6} ln \frac{x - 3}{x + 3} + C$ — exact rândul $11$ cu $a = 3$ ✓.

3. $3 x = A (x + 2) + B (x - 1)$ ; cu $x = 1$ : $3 = 3 A$ , deci $A = 1$ ; cu $x = - 2$ : $- 6 = - 3 B$ , deci $B = 2$ . Rezultat: $ln ∣ x - 1 ∣ + 2 ln ∣ x + 2 ∣ + C$ .

4. $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ ; din $x + 4 = A (x + 2) + B (x + 1)$ , cu $x = - 1$ : $A = 3$ ; cu $x = - 2$ : $2 = - B$ , deci $B = - 2$ . Control prin identificare: $A + B = 1$ ✓. Rezultat: $3 ln ∣ x + 1 ∣ - 2 ln ∣ x + 2 ∣ + C$ .

5. Fals. Gradul numărătorului ( $2$ ) nu este strict mai mic decât al numitorului ( $2$ ), deci se aplică întâi Etapa 1: $\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 1} = 1 + \frac{1}{x ^{2} - 1}$ . Abia partea a doua se descompune.

6. Împărțim: $\frac{x ^{2} + 2}{x ^{2} - 1} = 1 + \frac{3}{x ^{2} - 1}$ , iar $\frac{3}{x ^{2} - 1} = \frac{3/2}{x - 1} - \frac{3/2}{x + 1}$ . Rezultat: $x + \frac{3}{2} ln \frac{x - 1}{x + 1} + C$ .

7. $x^{2} - x = x (x - 1)$ ; din $1 = A (x - 1) + B x$ , cu $x = 0$ : $A = - 1$ ; cu $x = 1$ : $B = 1$ . Rezultat: $ln \frac{x - 1}{x} + C$ .

8. Prin fracții simple: $(x - 1) (x - 2)$ , iar $2 x - 3 = A (x - 2) + B (x - 1)$ dă $A = 1$ (pentru $x = 1$ ) și $B = 1$ (pentru $x = 2$ ), deci $ln ∣ x - 1 ∣ + ln ∣ x - 2 ∣ + C$ . Pe drumul scurt, numărătorul e chiar derivata numitorului, deci integrala e $ln ∣ x^{2} - 3 x + 2 ∣ + C$ — aceeași funcție. Morală: verifică întâi dacă nu cumva e o simplă schimbare de variabilă.

9. $x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ ; din $1 = A (x - 1) (x + 1) + B x (x + 1) + C x (x - 1)$ , cu $x = 0$ : $- A = 1$ , deci $A = - 1$ ; cu $x = 1$ : $2 B = 1$ , deci $B = \frac{1}{2}$ ; cu $x = - 1$ : $2 C = 1$ , deci $C = \frac{1}{2}$ . Rezultat: $- ln ∣ x ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x - 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ + C$ , adică $\frac{1}{2} ln \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2}} + C$ .

10. $x^{3} - 4 x = x (x - 2) (x + 2)$ ; din $x^{2} + 4 = A (x^{2} - 4) + B x (x + 2) + C x (x - 2)$ , cu $x = 0$ : $- 4 A = 4$ , deci $A = - 1$ ; cu $x = 2$ : $8 = 8 B$ , deci $B = 1$ ; cu $x = - 2$ : $8 = 8 C$ , deci $C = 1$ . Rezultat: $- ln ∣ x ∣ + ln ∣ x - 2 ∣ + ln ∣ x + 2 ∣ + C$ .

11. Fals. După înmulțirea cu numitorul, relația devine o egalitate între două funcții polinomiale, adevărată pentru o infinitate de valori ale lui $x$ ; două polinoame care iau aceleași valori pe o infinitate de puncte sunt egale, deci egalitatea are loc pentru orice $x$ real, inclusiv pentru rădăcinile numitorului.

12. $t^{2} + 3 t + 2 = (t + 1) (t + 2)$ ; din $4 t + 7 = A (t + 2) + B (t + 1)$ , cu $t = - 1$ : $3 = A$ ; cu $t = - 2$ : $- 1 = - B$ , deci $B = 1$ . Atunci $N (t) = 3 ln (t + 1) + ln (t + 2) + c$ , iar $N (0) = 0$ dă $c = - ln 2$ . Deci $N (t) = ln \frac{( t + 1 ) ^{3} ( t + 2 )}{2}$ și $N (3) = ln \frac{64 \cdot 5}{2} = ln 160 \approx 5, 08$ mii de utilizatori.

13. $4 x^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)$ ; din $1 = A (2 x + 1) + B (2 x - 1)$ , cu $x = \frac{1}{2}$ : $2 A = 1$ , deci $A = \frac{1}{2}$ ; cu $x = - \frac{1}{2}$ : $- 2 B = 1$ , deci $B = - \frac{1}{2}$ . Integrând, fiecare bucată primește factorul $\frac{1}{2}$ de la $u = 2 x \pm 1$ : rezultatul este $\frac{1}{4} ln ∣ 2 x - 1 ∣ - \frac{1}{4} ln ∣ 2 x + 1 ∣ + C = \frac{1}{4} ln \frac{2 x - 1}{2 x + 1} + C$ .

14. Pentru că fiecare rădăcină $a_{k}$ anulează toți termenii în afară de cel care are $(x - a_{k})$ la numitor: după înmulțirea cu numitorul, ceilalți termeni conțin factorul $(x - a_{k})$ . Astfel fiecare coeficient se obține dintr-o singură ecuație de gradul întâi, în loc să fie găsit dintr-un sistem cu tot atâtea ecuații.

15. a) $\frac{( x - 2 ) + 2 ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{3 x - 4}{x ^{2} - 3 x + 2}$ ✓. b) Pe $(2, + \infty)$ ambele paranteze sunt pozitive, deci $F (x) = ln (x - 1) + 2 ln (x - 2) + c$ . c) $F (3) = ln 2 + 2 ln 1 + c = 0$ dă $c = - ln 2$ , deci $F (x) = ln (x - 1) + 2 ln (x - 2) - ln 2 = ln \frac{( x - 1 ) ( x - 2 ) ^{2}}{2}$ .

16. Împărțim: $x^{3} + x = (x^{2} - 1) x + 2 x$ , deci $\frac{x ^{3} + x}{x ^{2} - 1} = x + \frac{2 x}{x ^{2} - 1}$ . Apoi $\frac{2 x}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}$ . Rezultat: $\frac{x ^{2}}{2} + ln ∣ x^{2} - 1 ∣ + C$ .

17. $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = (x^{2} - 4) (x^{2} - 9)$ , iar $\frac{1}{( x ^{2} - 4 ) ( x ^{2} - 9 )} = \frac{1}{5} (\frac{1}{x ^{2} - 9} - \frac{1}{x ^{2} - 4})$ . Cu rândul $11$ (pentru $a = 3$ și $a = 2$ ) rezultatul este $\frac{1}{30} ln \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{1}{20} ln \frac{x - 2}{x + 2} + C$ .

18. Valorile particulare $x = 0, - 1, - 2, - 3$ dau $6 A = 1$ , $- 2 B = 1$ , $2 C = 1$ , $- 6 D = 1$ , deci $A = \frac{1}{6}$ , $B = - \frac{1}{2}$ , $C = \frac{1}{2}$ , $D = - \frac{1}{6}$ . Integrala este $\frac{1}{6} ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln ∣ x + 1 ∣ + \frac{1}{2} ln ∣ x + 2 ∣ - \frac{1}{6} ln ∣ x + 3 ∣ + C$ . Numitorii $6, 2, 2, 6$ și semnele alternante reproduc, împărțite la $6$ , numerele $1, - 3, 3, - 1$ — coeficienții binomiali ai lui $(a - b)^{3}$ , cu semn alternant. Nu e o coincidență: la $n + 1$ rădăcini consecutive coeficienții sunt mereu de această formă.

De reținut

Rețeta fracțiilor simple are patru etape: împărțirea (dacă $grad P \geq grad Q$ ), factorizarea numitorului, descompunerea cu coeficienți nedeterminați și integrarea termen cu termen.
Fiecare rădăcină reală simplă $a$ a numitorului aduce exact un termen $\frac{A}{x - a}$ , cu numărător constant, iar primitiva lui este $A ln ∣ x - a ∣ + C$ .
Când numitorul are numai rădăcini reale distincte, coeficienții se află prin valori particulare: înlocuind $x$ cu fiecare rădăcină, toți termenii în afară de unul se anulează.
Programa cere gradul numitorului cel mult $4$ , pentru că peste această limită factorizarea nu se mai poate face cu formule.
Descompunerea se verifică întotdeauna aducând fracțiile simple la același numitor și comparând numărătorul cu cel de plecare.

Greșeli frecvente

Sărirea împărțirii. Dacă $grad P \geq grad Q$ și scrii direct suma de fracții simple, sistemul iese incompatibil. Compară gradele înainte de orice altceva.
Modulul uitat la logaritm. $\int \frac{A}{x - a} d x = A ln ∣ x - a ∣ + C$ ; fără modul formula e falsă pe intervalul din stânga lui $a$ , unde $x - a < 0$ .
Coeficientul lui $x$ ignorat. $\int \frac{1}{2 x - 1} d x = \frac{1}{2} ln ∣ 2 x - 1 ∣ + C$ , nu $ln ∣ 2 x - 1 ∣$ . Factorul $\frac{1}{a}$ vine de la substituția $u = a x + b$ .
Numărător de gradul întâi la un factor de gradul întâi. Peste un factor $(x - a)$ se pune un numărător constant, nu $A x + B$ : altfel gradele nu se potrivesc și sistemul are o infinitate de soluții.
Constanta scrisă la fiecare termen. Se adaugă o singură dată, la final: $C$ este mulțimea funcțiilor constante pe intervalul de lucru, nu o constantă pe fiecare fracție.

Aplică acasă

Fabrica de exerciții. Alege trei numere întregi distincte, scrie numitorul $(x - a) (x - b) (x - c)$ , alege tu coeficienții $A$ , $B$ , $C$ și adună fracțiile la același numitor. Ai obținut un exercițiu al cărui răspuns îl știi deja — apoi rezolvă-l de la zero și compară.
Cronometrul metodelor. Ia $\int \frac{5 x - 1}{x ^{2} - 4} d x$ și rezolvă-l de două ori: o dată prin valori particulare, o dată prin identificare. Notează câte rânduri de calcul a cerut fiecare metodă.
Verificarea prin derivare. Pentru două dintre exercițiile rezolvate mai sus, derivează răspunsul obținut și adu rezultatul la același numitor. Trebuie să reobții exact funcția de sub integrală — e cea mai sigură autoverificare.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce singurul algoritm complet din capitolul de primitive: orice funcție rațională cu numitor de grad cel mult $4$ se integrează după aceeași procedură, fără artificii. De aceea e și lecția în care se vede cel mai bine dacă elevul stăpânește materia de clasa a X-a: împărțirea polinoamelor, schema lui Horner și descompunerea în factori. Un elev care nu poate factoriza $x^{3} - 7 x + 6$ se blochează la Etapa 2, deși partea de analiză o știe.

De verificat în caiet: (1) compararea gradelor înaintea descompunerii; (2) numărul de fracții simple egal cu numărul de rădăcini; (3) modulul prezent la fiecare logaritm; (4) verificarea finală prin aducerea la același numitor. Întrebări de control: „Când împarți întâi?"; „Câți termeni are descompunerea?"; „De ce ai voie să înlocuiești $x$ cu o rădăcină a numitorului?"; „Ce se schimbă dacă numitorul e $2 x - 1$ în loc de $x - 1$ ?".

La BAC, tema apare aproape exclusiv în Subiectul al III-lea, în forma din Exemplul 6: primul subpunct dă descompunerea de verificat, al doilea cere primitivele, al treilea impune o condiție. Semn că elevul a înțeles: scrie descompunerea fără ezitare și verifică singur, prin adunarea fracțiilor, înainte de a integra.

Întrebări frecvente

Ce este descompunerea în fracții simple? Este scrierea unei funcții raționale ca sumă de fracții elementare, cu numitori de forma $x - a$ , $(x - a)^{k}$ sau trinoame fără rădăcini reale. Se folosește pentru că fiecare astfel de fracție are o primitivă cunoscută din tabel, în timp ce raportul inițial nu seamănă cu niciun rând al tabelului.

Cum se calculează primitivele funcțiilor raționale? Se aplică rețeta în patru etape: compari gradele și, dacă e nevoie, împarți; factorizezi numitorul; scrii descompunerea cu coeficienți necunoscuți și îi determini; integrezi fiecare fracție simplă. Rezultatul e o sumă de logaritmi, la care se adaugă partea polinomială obținută din împărțire.

Când trebuie făcută împărțirea înainte de descompunere? Ori de câte ori gradul numărătorului este mai mare sau egal cu gradul numitorului. O sumă de fracții simple tinde la zero la infinit, deci nu poate reproduce o funcție care tinde la o constantă nenulă sau la infinit. Împărțirea separă exact partea polinomială care lipsește.

Care este formula pentru integrala din $\frac{A}{x - a}$ ? Este $\int \frac{A}{x - a} d x = A ln ∣ x - a ∣ + C$ , valabilă pe fiecare dintre intervalele $(- \infty, a)$ și $(a, + \infty)$ . Modulul e obligatoriu: pe intervalul din stânga, $x - a$ este negativ, iar logaritmul unui număr negativ nu există.

De ce am voie să înlocuiesc $x$ cu o rădăcină a numitorului? Pentru că, după înmulțirea cu numitorul, relația devine o egalitate între două funcții polinomiale. Ea e adevărată pe o infinitate de puncte, iar două polinoame care coincid pe o infinitate de valori sunt egale. Prin urmare egalitatea are loc pentru orice număr real, chiar și acolo unde fracția inițială nu era definită.

Când folosesc identificarea în loc de valorile particulare? Când rădăcinile reale nu sunt suficiente ca să determine toți coeficienții, adică la rădăcini multiple sau la factori de gradul al doilea fără rădăcini reale. La numitori cu rădăcini reale distincte, valorile particulare sunt întotdeauna mai scurte și se preferă.

De ce cere programa gradul numitorului cel mult $4$ ? Pentru că metoda începe cu factorizarea numitorului, iar pentru grade mai mari nu există formule generale de rezolvare. Până la gradul $4$ rădăcinile se pot găsi cu discriminantul, cu divizorii termenului liber și cu schema lui Horner, deci procedura rămâne aplicabilă cu creionul.

Cum apare descompunerea în fracții simple la Bacalaureat M1? Aproape întotdeauna în Subiectul al III-lea, cu descompunerea dată în primul subpunct și de verificat prin aducere la același numitor. Următoarele subpuncte cer primitivele funcției sau primitiva care îndeplinește o condiție dată, de exemplu trecerea printr-un punct precizat.