Primitivele funcțiilor trigonometrice: pe scurt

Nicio putere a sinusului sau a cosinusului nu se integrează cu regula puterii: aceasta se aplică variabilei, nu unei funcții de variabilă. De aceea capitolul are un tabel de decizie propriu.

Puterile pare se coboară prin liniarizare, cu ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ și ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, aplicate de câte ori e nevoie — la ${\cos }^{4}x$ de două ori, până când toți termenii sunt de gradul întâi. Puterile impare se rezolvă cu o singură substituție: se rupe un factor din puterea impară și se substituie cealaltă funcție trigonometrică, folosind ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ pentru rest.

Produsele cu argumente diferite se transformă în sume: la produsul a două sinusuri, cosinusul diferenței vine cu plus și cosinusul sumei cu minus. Primitivele lui $\mathrm{tg}x$, $\mathrm{ctg}x$, $\frac{1}{\sin x}$ și $\frac{1}{\cos x}$ se deduc prin substituție și se scriu întotdeauna cu intervalul fără poli pe care sunt valabile: $\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|+\mathcal{C}$ pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, de pildă — mulțimea $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$ nu este interval, deci acolo constanta nu ar mai fi unică. Și la argument $ax+b$ apare mereu împărțirea la $a$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$, $\int {\sin }^{2}4xdx$ este egală cu:

   • a) $\frac{{\sin }^{3}4x}{12}+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{x}{2}-\frac{\sin 8x}{16}+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{x}{2}-\frac{\sin 8x}{8}+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{x}{2}+\frac{\sin 8x}{16}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{x}{2}-\frac{\sin 8x}{16}+\mathcal{C}$

   Liniarizarea dă ${\sin }^{2}4x=\frac{1-\cos 8x}{2}$, deci integrala este $\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin 8x}{8}=\frac{x}{2}-\frac{\sin 8x}{16}+\mathcal{C}$. Varianta cu ${\sin }^{3}4x$ aplică regula puterii unei funcții compuse, ceea ce este interzis; varianta cu numitorul $8$ uită împărțirea la $8$ din argument.

2. Pe $\mathbb{R}$, $\int {\sin }^{3}x{\cos }^{6}xdx$ este egală cu:

   • a) $\frac{{\cos }^{9}x}{9}-\frac{{\cos }^{7}x}{7}+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{{\sin }^{4}x{\cos }^{7}x}{28}+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{{\sin }^{4}x}{4}-\frac{{\sin }^{6}x}{6}+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{{\cos }^{7}x}{7}-\frac{{\cos }^{9}x}{9}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{{\cos }^{9}x}{9}-\frac{{\cos }^{7}x}{7}+\mathcal{C}$

   Exponentul impar este al sinusului: se rupe un $\sin x$ și se substituie $t=\cos x$, cu $dt=-\sin xdx$ și ${\sin }^{2}x=1-t^2$. Rezultă $-\int \left(1-t^2\right)t^{6}dt=-\frac{t^7}{7}+\frac{t^9}{9}$, adică $\frac{{\cos }^{9}x}{9}-\frac{{\cos }^{7}x}{7}+\mathcal{C}$.

3. Pe $\mathbb{R}$, $\int \cos 3x\cos xdx$ este egală cu:

   • a) $\frac{\sin 3x\sin x}{3}+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{\sin 2x}{4}-\frac{\sin 4x}{8}+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{8}+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 4x}{4}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{8}+\mathcal{C}$

   Produsul se transformă în sumă: $\cos 3x\cos x=\frac{1}{2}[\cos 2x+\cos 4x]$, deci integrala este $\frac{1}{2}\left(\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 4x}{4}\right)=\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{8}+\mathcal{C}$. Varianta $\frac{\sin 3x\sin x}{3}$ ar însemna că primitiva unui produs este produsul primitivelor.