Primitivele funcțiilor trigonometrice

Un aparat casnic legat la priză primește o tensiune care oscilează: $u(t)=U_0\sin (\omega t)$. Puterea pe care o disipă un rezistor nu urmează însă tensiunea, ci pătratul ei — $p(t)=\frac{U_0^2}{R}{\sin }^2(\omega t)$ —, iar factura de curent măsoară energia, adică o primitivă a puterii. Ca să afli cât consumă aparatul într-o oră ai nevoie de o primitivă a lui ${\sin }^2$, nu de una a lui $\sin$. Aici începe lecția de clasa a 12-a despre primitivele funcțiilor trigonometrice: în tabelul primitivelor găsești $\sin x$ și $\cos x$, dar nu găsești ${\sin }^{2}x$, nici $\sin 3x\cos x$, nici $\frac{1}{\sin x}$.

Vestea bună este că nu ai nevoie de nicio formulă nouă de integrare. Ai nevoie doar să rescrii funcția trigonometrică până când ea devine o sumă de funcții din tabel — iar uneltele de rescriere le știi din clasa a IX-a: formulele de liniarizare, transformarea produselor în sume și formula fundamentală. Lecția aceasta este, în fond, un exercițiu de recunoaștere: te uiți la integrand, îi identifici tiparul și alegi rescrierea. La sfârșit vei avea un tabel de decizie trigonometric cu care orice integrală de acest tip din subiectele de Bacalaureat M1 se așază singură pe un drum cunoscut.

Ce vei învăța

• Vei ști să integrezi ${\sin }^{2}x$, ${\cos }^{2}x$ și puterile lor pare prin formulele de liniarizare.
• Vei ști să recunoști puterile impare și să le rezolvi cu o singură substituție.
• Vei ști să transformi un produs de tipul $\sin ax\cos bx$ într-o sumă și să-l integrezi termen cu termen.
• Vei ști să deduci primitivele lui $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$, $\frac{1}{\sin x}$ și $\frac{1}{\cos x}$, cu intervalele pe care sunt valabile.
• Vei ști să alegi metoda potrivită dintr-un tabel de decizie, în loc să încerci la întâmplare.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu merge tabelul direct?

A integra o funcție trigonometrică înseamnă a-i găsi mulțimea primitivelor pe un interval, iar drumul trece aproape întotdeauna printr-o rescriere prealabilă a funcției, pentru că tabelul primitivelor funcțiilor uzuale conține doar șase intrări trigonometrice: $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, $\mathrm{tg}x$ și $\mathrm{ctg}x$.

Tentația firească este să scrii $\int {\sin }^{2}xdx=\frac{{\sin }^{3}x}{3}+\mathcal{C}$, „ca la puteri". Verificarea o demolează imediat: derivata lui $\frac{{\sin }^{3}x}{3}$ este ${\sin }^{2}x\cos x$, nu ${\sin }^{2}x$. Factorul $\cos x$ apare din regula de derivare a funcțiilor compuse și nu are cum să dispară singur.

Reține principiul: regula puterii se aplică variabilei $x$, nu unei funcții oarecare de $x$. De aceea, la funcțiile trigonometrice, primul pas nu este niciodată integrarea, ci rescrierea. Ai trei unelte de rescriere, toate deja demonstrate:

• formulele de liniarizare ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ și ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, din lecția despre formulele unghiului dublu și ale unghiului pe jumătate;
• transformarea produselor în sume, din lecția despre transformarea sumelor în produse și a produselor în sume;
• formula fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, folosită ca să pregătești o substituție.

Strategia e aceeași ca la primitivele funcțiilor raționale cu rădăcini multiple la numitor, unde ai rescris fracția în fracții simple înainte de a integra: întâi rescrii, apoi citești din tabel. Se schimbă doar uneltele de rescriere.

O întrebare firească: dacă tabelul conține derivatele funcțiilor uzuale citite invers, cum au ajuns în el $\mathrm{tg}x$ și $\mathrm{ctg}x$, care nu sunt derivata niciunei funcții din listă? La rândul $16$ formula a fost verificată prin derivare, ceea ce e o justificare completă, dar nu spune de unde a apărut funcția propusă. În secțiunea 5 vei vedea și acest lucru: ea se obține printr-o substituție de trei rânduri. Cele două rânduri ale tabelului nu sunt, așadar, formule de memorat, ci rezultate pe care le poți reface ori de câte ori le-ai uitat.

2. Cum cobori puterea unui sinus sau a unui cosinus?

Formulele de liniarizare transformă un pătrat într-o expresie de gradul întâi în cosinus — exact ce cere tabelul. Integrând termen cu termen, cu liniaritatea integralei nedefinite:

$$\int {\sin }^{2}xdx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+\mathcal{C},\int {\cos }^{2}xdx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+\mathcal{C}.$$

Amândouă sunt valabile pe $\mathbb{R}$, pentru că integranzii sunt continui pe $\mathbb{R}$. Controlul se face prin derivare: ${\left(\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}-\frac{2\cos 2x}{4}=\frac{1-\cos 2x}{2}={\sin }^{2}x$. ✓

Argumentul nu trebuie să fie neapărat $x$. Pentru ${\sin }^{2}3x$ scriem ${\sin }^{2}3x=\frac{1-\cos 6x}{2}$, deci

$$\int {\sin }^{2}3xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 6x}{12}+\mathcal{C}.$$

Numitorul $12$ vine din compunerea cu $6x$: primitiva lui $\cos 6x$ este $\frac{\sin 6x}{6}$, iar coeficientul $\frac{1}{2}$ îl duce la $12$. Aceeași idee, cu $\frac{x}{2}$ în loc de $3x$, dă $\int {\sin }^2\frac{x}{2}dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin x}{2}+\mathcal{C}$.

Puterile pare mai mari se liniarizează de două ori. Pentru ${\cos }^{4}x$ pornim de la pătratul liniarizării:

$${\cos }^{4}x={\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^2=\frac{1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}=\frac{3}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8},$$

unde la ultimul pas am liniarizat din nou, ${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$. Rezultă

$$\int {\cos }^{4}xdx=\frac{3x}{8}+\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+\mathcal{C}.$$

Analog, $\int {\sin }^{4}xdx=\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+\mathcal{C}$ — se schimbă doar semnul termenului din mijloc.

3. Puterile impare: substituția care le rezolvă pe toate

Când într-un produs de puteri de sinus și cosinus cel puțin un exponent este impar, liniarizarea nu mai e necesară: se rupe un singur factor și se face o substituție.

Cazul cel mai simplu este $\int {\sin }^{n}x\cos xdx$. Aici $\cos x$ este exact derivata lui $\sin x$, deci recunoaștem tiparul $\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx$ din lecția despre schimbarea de variabilă și substituțiile tipice, cu $u(x)=\sin x$:

$$\int {\sin }^{n}x\cos xdx=\frac{{\sin }^{n+1}x}{n+1}+\mathcal{C},n\in \mathbb{N}.$$

De pildă $\int {\sin }^{5}x\cos xdx=\frac{{\sin }^{6}x}{6}+\mathcal{C}$, iar prin derivare se confirmă imediat.

Când puterea impară nu are lângă ea derivata potrivită, o fabricăm. Cazul ${\sin }^{3}x$ a fost deja rezolvat, ca ilustrare, la substituțiile tipice ale schimbării de variabilă; îl reluăm în două rânduri, pentru că el este tiparul întregii secțiuni. Rupem un $\sin x$ și transformăm restul cu formula fundamentală:

$${\sin }^{3}x={\sin }^{2}x\cdot \sin x=(1-{\cos }^{2}x)\sin x.$$

Acum $\sin x$ este, până la semn, derivata lui $\cos x$; notăm $t=\cos x$, $dt=-\sin xdx$ și obținem $-\int (1-t^2)dt=-t+\frac{t^3}{3}$, adică

$$\int {\sin }^{3}xdx=-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}+\mathcal{C}.$$

Simetric, $\int {\cos }^{3}xdx=\sin x-\frac{{\sin }^{3}x}{3}+\mathcal{C}$ (se rupe un $\cos x$ și se notează $t=\sin x$).

Regula de recunoaștere, valabilă pentru orice $\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$: dacă $n$ este impar, rupi un $\cos x$ și notezi $t=\sin x$; dacă $m$ este impar, rupi un $\sin x$ și notezi $t=\cos x$; dacă amândoi sunt pari, nu ai încotro — liniarizezi. Exemplu cu $n=3$ impar:

$$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx=\int {\sin }^{2}x(1-{\sin }^{2}x)\cos xdx=\frac{{\sin }^{3}x}{3}-\frac{{\sin }^{5}x}{5}+\mathcal{C}.$$

Când exponentul impar este cel al sinusului, drumul e oglindit. Pentru $\int {\sin }^{3}x{\cos }^{2}xdx$ rupem un $\sin x$, scriem ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ și notăm $t=\cos x$, cu $dt=-\sin xdx$:

$$\int (1-{\cos }^{2}x){\cos }^{2}x\sin xdx=-\int (t^2-t^4)dt=-\frac{{\cos }^{3}x}{3}+\frac{{\cos }^{5}x}{5}+\mathcal{C}.$$

Observă că semnul minus din față nu e o scăpare, ci urma lui $dt=-\sin xdx$: de fiecare dată când substitui cosinusul, integrala își schimbă semnul. Este locul în care se pierd cele mai multe puncte la Bacalaureat M1 pe acest tip de exercițiu.

Strâns într-un singur enunț, criteriul de alegere pentru $\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}xdx$ arată așa:

Când amândoi exponenții sunt impari poți alege oricare dintre primele două linii; alege-o pe cea care lasă puterea mai mică de transformat.

4. Cum integrezi un produs de tipul $\sin ax\cos bx$?

Un produs de două funcții trigonometrice cu argumente diferite nu se poate integra ca produs, dar se poate desface în sumă, iar suma se integrează termen cu termen. Formulele, deduse în clasa a IX-a prin adunarea și scăderea formulelor pentru $\sin (a\pm b)$ și $\cos (a\pm b)$, sunt:

$$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )],\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )],$$

$$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )].$$

Cu ele, calculul devine mecanic. De exemplu:

$$\int \sin 3x\cos xdx=\frac{1}{2}\int (\sin 4x+\sin 2x)dx=-\frac{\cos 4x}{8}-\frac{\cos 2x}{4}+\mathcal{C};$$

$$\int \cos 5x\cos xdx=\frac{1}{2}\int (\cos 6x+\cos 4x)dx=\frac{\sin 6x}{12}+\frac{\sin 4x}{8}+\mathcal{C};$$

$$\int \sin 2x\sin 5xdx=\frac{1}{2}\int (\cos 3x-\cos 7x)dx=\frac{\sin 3x}{6}-\frac{\sin 7x}{14}+\mathcal{C}.$$

Observă la ultima formulă ordinea semnelor: la produsul a două sinusuri, cosinusul diferenței vine cu plus și cosinusul sumei cu minus. Este eroarea cea mai frecventă la acest tip de exercițiu.

De ce nu prin părți? Pentru că merge, dar prost: la $\int \sin 3x\cos xdx$ integrarea prin părți aplicată de două ori readuce integrala inițială în membrul drept, iar din ecuația obținută trebuie scoasă necunoscuta. Transformarea în sumă dă același rezultat în trei rânduri, fără ecuație. Regula practică: la produse de funcții trigonometrice cu argumente diferite, transformarea în sumă bate integrarea prin părți de fiecare dată.

Cazul $\alpha =\beta$ merită o vorbă. Pentru $\int \sin 3x\cos 3xdx$ nu ai nevoie de formula produsului: $\sin 3x\cos 3x=\frac{\sin 6x}{2}$, prin formula unghiului dublu citită invers, deci integrala este $-\frac{\cos 6x}{12}+\mathcal{C}$. Când argumentele coincid, unghiul dublu e mai scurt decât transformarea în sume.

5. Tangenta și cotangenta: de unde vin rândurile din tabel

Cele două primitive au fost deja obținute, ca ilustrări ale substituției $t=\cos x$ și $t=\sin x$: cea a tangentei la schimbarea de variabilă, în exercițiul $16$, iar cea a cotangentei la schimbarea de variabilă și substituțiile tipice; le revedem aici pentru că ele sunt capul de listă al unei familii întregi, pe care lecția o duce mai departe. Rândul $16$ al tabelului canonic dă $\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|+\mathcal{C}$, iar formula nu e o convenție de memorat, ci rezultatul unei substituții de trei rânduri:

$$\int \mathrm{tg}xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx\stackrel{t=\cos x}{=}-\int \frac{dt}{t}=-\ln |t|+\mathcal{C}=-\ln |\cos x|+\mathcal{C}.$$

Substituția funcționează pentru că $\sin xdx=-dt$, adică numărătorul este chiar derivata numitorului, cu semn schimbat. Perechea ei, cotangenta, se obține pe același drum, cu $t=\sin x$:

$$\int \mathrm{ctg}xdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\ln |\sin x|+\mathcal{C}.$$

⚠️ Ambele sunt valabile pe câte un interval fără poli: prima pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ sau pe orice alt interval de forma $\left(\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{3\pi }{2}+k\pi \right)$, a doua pe $(0,\pi )$ sau pe orice interval $(k\pi ,(k+1)\pi )$. Modulul din logaritm este exact ce le face să funcționeze pe ambele feluri de intervale.

Pătratele tangentei și cotangentei nu cer substituție deloc, ci tot o rescriere. Din $1+{\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ rezultă ${\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$, deci

$$\int {\mathrm{tg}}^{2}xdx=\mathrm{tg}x-x+\mathcal{C},\int {\mathrm{ctg}}^{2}xdx=-\mathrm{ctg}x-x+\mathcal{C}.$$

Argumentele compuse urmează regula obișnuită a compunerii cu $ax+b$: se împarte la coeficientul lui $x$. De exemplu

$$\int \mathrm{tg}3xdx=-\frac{\ln |\cos 3x|}{3}+\mathcal{C},x\in \left(-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right).$$

Aceeași idee — „recunoaște derivata expresiei din interior" — rezolvă și cazuri care nu seamănă deloc cu tangenta. La $\int \frac{\sin 2x}{\sqrt{1+{\sin }^{2}x}}dx$ observăm că $(1+{\sin }^{2}x){}^{\prime }=2\sin x\cos x=\sin 2x$, adică exact numărătorul; cu $t=1+{\sin }^{2}x$ rămâne $\int \frac{dt}{\sqrt{t}}$, adică rândul $10$ din tabel:

$$\int \frac{\sin 2x}{\sqrt{1+{\sin }^{2}x}}dx=2\sqrt{1+{\sin }^{2}x}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Formula unghiului dublu, citită invers, a fost cea care a scos derivata la iveală — un pas mic, dar exact acela care deosebește un exercițiu rezolvat de unul blocat.

6. Ce faci cu $\frac{1}{\sin x}$ și $\frac{1}{\cos x}$?

Aceste două funcții nu apar în tabel și nu se lasă integrate direct. Trucul este să amplifici cu funcția complementară, ca să obții la numărător o derivată.

Pentru $\frac{1}{\sin x}$, amplificăm cu $\sin x$ și folosim formula fundamentală la numitor:

$$\int \frac{dx}{\sin x}=\int \frac{\sin x}{{\sin }^{2}x}dx=\int \frac{\sin x}{1-{\cos }^{2}x}dx\stackrel{t=\cos x}{=}\int \frac{dt}{t^2-1}.$$

Ultima integrală este rândul $11$ din tabel, cu $a=1$: $\int \frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+\mathcal{C}$. Revenind la $x$:

$$\int \frac{dx}{\sin x}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right|+\mathcal{C},x\in (0,\pi ).$$

Pentru $\frac{1}{\cos x}$ amplificăm cu $\cos x$ și notăm $t=\sin x$; de data aceasta numitorul devine $1-t^2$, deci semnul se schimbă:

$$\int \frac{dx}{\cos x}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+\mathcal{C},x\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right).$$

Verificarea celei de-a doua, care merită scrisă o dată: derivata este $\frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{\cos x}{1-\sin x}\right)=\frac{\cos x}{1-{\sin }^{2}x}=\frac{1}{\cos x}$. ✓

Două observații de redactare. Prima: pe intervalele indicate, expresiile din interiorul logaritmilor au semn constant, deci modulul poate fi înlocuit cu paranteze — pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ avem $1+\sin x>0$ și $1-\sin x>0$, deci se poate scrie $\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin x}{1-\sin x}$. A doua: aceste două primitive nu fac parte din tabelul canonic și nu se cer memorate; ce se cere este metoda, adică amplificarea care fabrică derivata la numărător.

7. Intervalul — partea care se pierde cel mai des

Definiția primitivei se dă pe un interval, iar la funcțiile trigonometrice acest amănunt nu e formal: $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$, $\frac{1}{\sin x}$, $\frac{1}{\cos x}$ și $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ au o infinitate de puncte în care nu sunt definite, iar între doi poli consecutivi constanta $\mathcal{C}$ se alege independent.

De aceea, la un exercițiu cu tangentă răspunsul complet nu este doar formula, ci formula plus intervalul: „$F(x)=-\ln |\cos x|+\mathcal{C}$ pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$". Un enunț de Bacalaureat M1 dă întotdeauna domeniul; sarcina ta e să verifici că e chiar un interval fără poli, nu o reuniune.

Iată de ce contează, pe un caz concret. Funcția $f(x)=\mathrm{ctg}x$ este definită pe $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$. Pe $(0,\pi )$ mulțimea primitivelor ei este $\ln (\sin x)+\mathcal{C}$, iar pe $(\pi ,2\pi )$ este $\ln (-\sin x)+\mathcal{C}$. Dacă cineva scrie „primitiva lui $\mathrm{ctg}$ pe $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$ este $\ln |\sin x|+\mathcal{C}$", afirmația e falsă în litera ei: funcția

$$G(x)=\{\begin{array}{ll}\ln |\sin x|,& x\in (0,\pi )\\ \ln |\sin x|+7,& x\in (\pi ,2\pi )\end{array}$$

are tot derivata $\mathrm{ctg}x$, dar nu e de forma $\ln |\sin x|+\mathcal{C}$ cu o singură constantă. Constanta e unică numai pe un interval — acesta e conținutul Consecinței 1 a teoremei lui Lagrange, care stă la baza întregii teorii a primitivelor.

Funcțiile din secțiunile 2–4 (puteri și produse de sinusuri și cosinusuri) nu au această problemă: sunt continue pe $\mathbb{R}$, deci intervalul este întreaga axă. La ele răspunsul „$+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$" e complet.

8. Tabelul de decizie trigonometric

Strânge tot ce am făcut într-o singură pagină. Îl vom numi tabelul de decizie trigonometric și îl vom cita ca atare în lecțiile următoare. El acoperă doar funcțiile trigonometrice; alegerea generală a metodei de integrare, între tabel, părți și substituție, este subiectul unei lecții separate din această unitate.

O precizare de onestitate, pentru că întrebarea apare mereu: există și o substituție care raționalizează orice expresie construită din $\sin x$ și $\cos x$, transformând-o într-o funcție rațională. Ea nu face parte din programa clasei a 12-a și nu se cere la Bacalaureat M1; cele șase rânduri ale tabelului de mai jos acoperă toate tipurile care apar în subiecte, iar drumurile lor sunt mult mai scurte.

Cum se folosește: parcurgi coloana întâi de sus în jos și te oprești la primul rând care se potrivește; dacă integrandul e o sumă, aplici tabelul fiecărui termen separat, prin liniaritate. Dacă niciun rând nu se potrivește, integrandul nu e „pur trigonometric" — probabil are și un polinom, un logaritm sau o exponențială alături, caz în care metoda vine din altă parte a unității.

Funcțiile cu radicali și cele exponențiale au tabelul lor de decizie, în lecția despre primitivele funcțiilor cu radicali și cu exponențiale; mecanismul e același, se schimbă doar substituțiile.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două puteri pare

Calculează $\int {\sin }^{2}3xdx$ și $\int {\cos }^{4}xdx$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Prima: ${\sin }^{2}3x=\frac{1-\cos 6x}{2}$, deci $\int {\sin }^{2}3xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 6x}{12}+\mathcal{C}$.

A doua cere două liniarizări. Am obținut în secțiunea 2 că ${\cos }^{4}x=\frac{3}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$, prin urmare

$$\int {\cos }^{4}xdx=\frac{3x}{8}+\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+\mathcal{C}.$$

Control prin derivare: $\frac{3}{8}+\frac{2\cos 2x}{4}+\frac{4\cos 4x}{32}=\frac{3}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$. ✓

Exemplul 2 — Exponent impar

Calculează $\int {\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Exponentul lui $\cos$ este impar, deci rupem un $\cos x$ și înlocuim ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

$$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx=\int {\sin }^{2}x(1-{\sin }^{2}x)\cos xdx.$$

Cu $t=\sin x$, $dt=\cos xdx$, rămâne $\int (t^2-t^4)dt=\frac{t^3}{3}-\frac{t^5}{5}$, deci rezultatul este $\frac{{\sin }^{3}x}{3}-\frac{{\sin }^{5}x}{5}+\mathcal{C}$.

Exemplul 3 — Produs cu argumente diferite

Calculează $\int \sin 4x\cos 2xdx$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Cu $\alpha =4x$ și $\beta =2x$: $\sin 4x\cos 2x=\frac{1}{2}[\sin 6x+\sin 2x]$. Integrăm termen cu termen:

$$\int \sin 4x\cos 2xdx=\frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 6x}{6}-\frac{\cos 2x}{2}\right)+\mathcal{C}=-\frac{\cos 6x}{12}-\frac{\cos 2x}{4}+\mathcal{C}.$$

Exemplul 4 — O funcție fără primitivă în tabel

Calculează $\int \frac{dx}{\sin x}$ pe $(0,\pi )$.

Rezolvare. Amplificăm cu $\sin x$: $\frac{1}{\sin x}=\frac{\sin x}{1-{\cos }^{2}x}$. Cu $t=\cos x$ avem $dt=-\sin xdx$, deci

$$\int \frac{\sin x}{1-{\cos }^{2}x}dx=-\int \frac{dt}{1-t^2}=\int \frac{dt}{t^2-1}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+\mathcal{C}.$$

Revenind: $\int \frac{dx}{\sin x}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right|+\mathcal{C}$, pentru $x\in (0,\pi )$. Pe $(0,\pi )$ funcția $\frac{1}{\sin x}$ e continuă, deci calculul are sens; în $0$ și în $\pi$ nu e definită.

Exemplul 5 — Rescriere combinată

Calculează $\int \frac{{\sin }^{3}x}{{\cos }^{2}x}dx$ pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Rezolvare. Exponentul lui $\sin$ este impar: rupem un $\sin x$ și scriem ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Cu $t=\cos x$, $dt=-\sin xdx$:

$$\int \frac{(1-{\cos }^{2}x)\sin x}{{\cos }^{2}x}dx=-\int \frac{1-t^2}{t^2}dt=-\int \left(t^{-2}-1\right)dt=\frac{1}{t}+t.$$

Deci $\int \frac{{\sin }^{3}x}{{\cos }^{2}x}dx=\frac{1}{\cos x}+\cos x+\mathcal{C}$. Control: derivata este $\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}-\sin x=\sin x\cdot \frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{3}x}{{\cos }^{2}x}$. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)={\sin }^{2}x$ și $g(x)={\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$. (Problemă de tipul Subiectului al III-lea.)

a) Arată că $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}$, este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$.

b) Determină mulțimea primitivelor lui $g$ pe $\mathbb{R}$.

c) Arată că $\int ({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x)dx=\frac{3x}{4}+\frac{\sin 4x}{16}+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}$.

Rezolvare.

a) $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, fiind sumă de funcții derivabile, și $F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}-\frac{2\cos 2x}{4}=\frac{1-\cos 2x}{2}={\sin }^{2}x=f(x)$ pentru orice $x$ real. Deci $F$ este o primitivă a lui $f$.

b) Folosim unghiul dublu în sens invers: $\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$, deci $g(x)=\frac{{\sin }^{2}2x}{4}$. Liniarizăm: ${\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$, prin urmare $g(x)=\frac{1-\cos 4x}{8}$ și

$$\int g(x)dx=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4x}{32}+\mathcal{C}.$$

c) Pornim de la identitatea ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-2g(x)$. Cu punctul b), $1-2g(x)=1-\frac{1-\cos 4x}{4}=\frac{3}{4}+\frac{\cos 4x}{4}$, deci

$$\int ({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x)dx=\frac{3x}{4}+\frac{\sin 4x}{16}+\mathcal{C}.■$$

Să exersăm

1. Calculează $\int (3\sin x-2\cos x)dx$ pe $\mathbb{R}$.

2. Calculează $\int {\sin }^{2}xdx$ pe $\mathbb{R}$, pornind de la formula de liniarizare.

3. Calculează $\int {\cos }^{2}2xdx$ pe $\mathbb{R}$.

4. Calculează $\int {\sin }^{4}xdx$ pe $\mathbb{R}$.

5. Calculează $\int {\cos }^{3}xdx$ pe $\mathbb{R}$.

6. Calculează $\int {\sin }^{7}x\cos xdx$ pe $\mathbb{R}$.

7. Calculează $\int {\cos }^{5}x\sin xdx$ pe $\mathbb{R}$.

8. Calculează $\int \sin 5x\cos 3xdx$ pe $\mathbb{R}$.

9. Calculează $\int \cos 4x\cos 2xdx$ pe $\mathbb{R}$.

10. Calculează $\int \sin 3x\sin xdx$ pe $\mathbb{R}$.

11. Calculează $\int \mathrm{ctg}xdx$ pe $(0,\pi )$ și precizează de ce răspunsul nu e valabil pe $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$.

12. Calculează $\int {\mathrm{ctg}}^{2}xdx$ pe $(0,\pi )$.

13. Calculează $\int \frac{dx}{\cos x}$ pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

14. Calculează $\int \frac{\mathrm{tg}x}{{\cos }^{2}x}dx$ pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

15. (Problemă aplicată.) Puterea instantanee disipată de un rezistor, în wați, este $p(t)=100{\sin }^{2}t$, unde $t$ se măsoară în secunde. Determină funcția energie $W$, cu $W^{\prime }(t)=p(t)$ și $W(0)=0$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Calculează $\int {\cos }^{5}xdx$ pe $\mathbb{R}$.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe $\mathbb{R}$ avem $\int {\sin }^{2}xdx=\frac{{\sin }^{3}x}{3}+\mathcal{C}$."

18. (Provocare.) Calculează $\int \frac{dx}{\sin x\cos x}$ pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, folosind o singură substituție.

Răspunsuri și explicații

1. $-3\cos x-2\sin x+\mathcal{C}$. Liniaritatea integralei nedefinite plus rândurile $6$ și $7$ din tabel.

2. ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, deci integrala este $\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+\mathcal{C}$. Prin derivare: $\frac{1}{2}-\frac{\cos 2x}{2}={\sin }^{2}x$. ✓

3. ${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$, deci rezultatul este $\frac{x}{2}+\frac{\sin 4x}{8}+\mathcal{C}$.

4. Dublă liniarizare: ${\sin }^{4}x=\frac{3}{8}-\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$, deci $\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+\mathcal{C}$.

5. Exponent impar: ${\cos }^{3}x=(1-{\sin }^{2}x)\cos x$, cu $t=\sin x$ se obține $\sin x-\frac{{\sin }^{3}x}{3}+\mathcal{C}$.

6. $\cos x$ este derivata lui $\sin x$, deci integrala este $\frac{{\sin }^{8}x}{8}+\mathcal{C}$.

7. Aici $\sin x$ este derivata lui $\cos x$ cu semn schimbat: $-\frac{{\cos }^{6}x}{6}+\mathcal{C}$.

8. $\sin 5x\cos 3x=\frac{1}{2}[\sin 8x+\sin 2x]$, deci $-\frac{\cos 8x}{16}-\frac{\cos 2x}{4}+\mathcal{C}$.

9. $\cos 4x\cos 2x=\frac{1}{2}[\cos 6x+\cos 2x]$, deci $\frac{\sin 6x}{12}+\frac{\sin 2x}{4}+\mathcal{C}$.

10. $\sin 3x\sin x=\frac{1}{2}[\cos 2x-\cos 4x]$, deci $\frac{\sin 2x}{4}-\frac{\sin 4x}{8}+\mathcal{C}$. Atenție la ordinea diferență–sumă: aici $\alpha -\beta =2x$ și $\alpha +\beta =4x$, iar cosinusul diferenței vine cu plus.

11. $\ln |\sin x|+\mathcal{C}$, adică $\ln (\sin x)+\mathcal{C}$ pe $(0,\pi )$, unde sinusul e pozitiv. Nu e valabil pe $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$ pentru că acea mulțime nu e interval: pe fiecare interval $(k\pi ,(k+1)\pi )$ constanta se alege separat.

12. ${\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}-1$, deci $-\mathrm{ctg}x-x+\mathcal{C}$.

13. Amplificăm cu $\cos x$ și notăm $t=\sin x$: se ajunge la $\int \frac{dt}{1-t^2}$, adică $\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+\mathcal{C}$.

14. $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ este derivata lui $\mathrm{tg}x$, deci cu $t=\mathrm{tg}x$ integrala devine $\int tdt=\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{2}+\mathcal{C}$.

15. $p(t)=100\cdot \frac{1-\cos 2t}{2}=50-50\cos 2t$, deci $W(t)=50t-25\sin 2t+\mathcal{C}$. Condiția $W(0)=0$ dă $\mathcal{C}=0$, adică $W(t)=50t-25\sin 2t$ (jouli). După o secundă, $W(1)\approx 27,3$ J.

16. Exponent impar: ${\cos }^{5}x=(1-{\sin }^{2}x{)}^2\cos x$. Cu $t=\sin x$ rămâne $\int (1-2t^2+t^4)dt$, deci rezultatul este $\sin x-\frac{2{\sin }^{3}x}{3}+\frac{{\sin }^{5}x}{5}+\mathcal{C}$.

17. Fals. Derivata membrului drept este ${\sin }^{2}x\cos x$, nu ${\sin }^{2}x$. Răspunsul corect e cel de la exercițiul 2. Greșeala vine din aplicarea regulii puterii unei funcții compuse.

18. Împărțim numărătorul și numitorul prin ${\cos }^{2}x$: $\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{1/{\cos }^{2}x}{\mathrm{tg}x}$. Cu $t=\mathrm{tg}x$, $dt=\frac{dx}{{\cos }^{2}x}$, integrala devine $\int \frac{dt}{t}=\ln |t|$, deci rezultatul este $\ln \left(\mathrm{tg}x\right)+\mathcal{C}$ pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$.

De reținut

• Nicio putere a sinusului sau a cosinusului nu se integrează cu regula puterii: $\int {\sin }^{2}xdx\ne \frac{{\sin }^{3}x}{3}+\mathcal{C}$, pentru că regula puterii se aplică variabilei, nu unei funcții de variabilă.
• Puterile pare se coboară cu formulele de liniarizare ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ și ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$, aplicate de câte ori e nevoie.
• Când un exponent este impar, se rupe un factor din puterea impară și se substituie cealaltă funcție trigonometrică, folosind formula fundamentală pentru rest.
• Produsele cu argumente diferite se transformă în sume, iar la produsul a două sinusuri cosinusul diferenței vine cu plus și cosinusul sumei cu minus.
• Primitivele lui $\mathrm{tg}x$, $\mathrm{ctg}x$, $\frac{1}{\sin x}$ și $\frac{1}{\cos x}$ se scriu întotdeauna împreună cu intervalul fără poli pe care sunt valabile.

Greșeli frecvente

• Greșeala: $\int {\cos }^{3}xdx=\frac{{\cos }^{4}x}{4}+\mathcal{C}$. Corect: regula puterii nu se aplică funcțiilor compuse; se rupe un $\cos x$ și se substituie $t=\sin x$, obținând $\sin x-\frac{{\sin }^{3}x}{3}+\mathcal{C}$.
• Greșeala: $\int \sin 2xdx=\cos 2x+\mathcal{C}$, adică uitarea coeficientului din argument. Corect: $-\frac{\cos 2x}{2}+\mathcal{C}$ — la argument $ax+b$ apare mereu împărțirea la $a$.
• Greșeala: $\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$, cu ordinea inversată. Corect: $\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$; semnul plus stă la diferență.
• Greșeala: răspunsul „$-\ln |\cos x|+\mathcal{C}$ pe $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}$". Corect: acea mulțime nu e interval; primitiva se dă pe un singur interval fără poli, de exemplu $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, unde constanta e unică.
• Greșeala: liniarizarea aplicată o singură dată la ${\cos }^{4}x$, cu oprirea la $\frac{1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}$ și integrarea lui ${\cos }^{2}2x$ ca și cum ar fi în tabel. Corect: se liniarizează încă o dată, ${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$, până când toți termenii sunt de gradul întâi.

Aplică acasă

1. Fă-ți un carton A5 cu tabelul de decizie trigonometric din secțiunea 8, scris de mână, cu un exemplu propriu pe fiecare rând. Ține-l la vedere o săptămână și acoperă coloana din mijloc când te testezi.
2. Ia zece integrale trigonometrice din culegerea ta, fără să le rezolvi: scrie doar, pentru fiecare, ce rând din tabelul de decizie i se potrivește. Abia apoi rezolvă-le pe cele cinci de la care ai ezitat.
3. Verifică prin derivare, pe hârtie, trei dintre răspunsurile tale de la exercițiile 4, 13 și 18. Derivarea e singurul control care nu depinde de manual: dacă obții integrandul, răspunsul e bun. Apoi mai fă un pas: calculează $\int {\cos }^{6}xdx$ prin liniarizare repetată și numără câte rescrieri ți-au trebuit — vei înțelege singur de ce, pentru puteri mari, se caută o cale mai scurtă.

Pentru părinți și profesori

Lecția acoperă conținutul „primitivele unor funcții continue uzuale" din programa de matematică-informatică a clasei a XII-a, în partea lui trigonometrică, și competențele XII.CS.3.5, XII.CS.4.5 și XII.CS.5.5. Nu introduce nicio metodă nouă de integrare: totul se reduce la rescrieri învățate în clasa a IX-a, urmate de tabelul primitivelor și de schimbarea de variabilă.

Întrebări de control: De ce nu se poate integra ${\sin }^{2}x$ direct din tabel? Ce faci când unul dintre exponenți este impar? Cum se transformă $\sin 5x\cos 3x$? De ce răspunsul la o integrală cu tangentă trebuie însoțit de interval?

Legătura cu restul unității este dublă. Înapoi, lecția se sprijină pe tabelul primitivelor și pe schimbarea de variabilă; înainte, ea furnizează materialul pentru lecțiile de metode combinate și de sinteză, unde același integrand poate cere întâi o rescriere trigonometrică și abia apoi o integrare prin părți. Din clasa a IX-a se reactivează exact trei lucruri: formulele unghiului dublu, transformarea produselor în sume și formula fundamentală — merită recitite înainte, pentru că fără ele lecția devine o listă de rețete de memorat.

Semne că elevul a înțeles: verifică singur, prin derivare, ce a obținut; nu confundă liniarizarea cu substituția și știe după ce criteriu alege între ele; scrie intervalul fără să i se ceară.

La BAC, tipul acesta apare aproape exclusiv în Subiectul al III-lea, ca punct a) sau b) al problemei de analiză — cel mai des sub forma „arătați că $F$ este o primitivă a lui $f$" sau „determinați o primitivă a funcției $f$". Cine stăpânește liniarizarea și substituția $t=\sin x$ ori $t=\cos x$ rezolvă marea majoritate a acestor cerințe.

Întrebări frecvente

Care este formula pentru integrala din sinus la pătrat?

Formula este $\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$. Se obține înlocuind ${\sin }^{2}x$ cu $\frac{1-\cos 2x}{2}$, adică formula de liniarizare din clasa a IX-a, și integrând termen cu termen. Analog, $\int {\cos }^{2}xdx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+\mathcal{C}$; diferă doar semnul dinaintea termenului cu sinus.

De ce nu pot scrie integrala din sinus la pătrat ca sinus la a treia supra trei?

Pentru că derivata lui $\frac{{\sin }^{3}x}{3}$ este ${\sin }^{2}x\cos x$, nu ${\sin }^{2}x$: la derivarea unei funcții compuse apare factorul suplimentar $\cos x$. Regula puterii, $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$, se aplică variabilei $x$, nu unei funcții oarecare de $x$. Testul de siguranță este întotdeauna derivarea rezultatului.

Cum se calculează primitiva funcției tangentă?

Se scrie $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ și se observă că numărătorul este, cu semn schimbat, derivata numitorului. Cu substituția $t=\cos x$ se obține $-\int \frac{dt}{t}=-\ln |t|$, deci $\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|+\mathcal{C}$, valabil pe orice interval fără poli, de exemplu pe $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$.

Când folosesc liniarizarea și când folosesc substituția?

Te uiți la exponenți. Dacă toți exponenții sinusului și cosinusului sunt pari, liniarizezi: substituția nu are ce factor să consume. Dacă măcar unul este impar, substituția e mai scurtă: rupi un factor din puterea impară, îl folosești ca $dt$ și transformi restul cu formula fundamentală. Regula aceasta este primul rând al tabelului de decizie trigonometric.

Ce fac cu un produs de sinusuri cu argumente diferite?

Îl transformi în sumă cu formula $\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$, apoi integrezi cei doi termeni separat. Nu încerca integrarea prin părți: ea funcționează, dar duce la o integrală care se repetă și cere de trei ori mai mult calcul. Aceeași metodă merge la $\cos \alpha \cos \beta$ și la $\sin \alpha \cos \beta$.

De ce trebuie precizat intervalul la primitivele cu tangentă sau cu cotangentă?

Pentru că definiția primitivei cere un interval, iar aceste funcții au o infinitate de poli. Pe o reuniune de intervale, două primitive ale aceleiași funcții pot să difere prin constante diferite pe fiecare bucată, deci scrierea „$+\mathcal{C}$" ar fi înșelătoare. La Bacalaureat M1 enunțul dă domeniul, iar răspunsul complet îl reia.

Care este primitiva funcției unu supra sinus?

Se amplifică fracția cu $\sin x$ și se folosește ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ la numitor; cu substituția $t=\cos x$ se ajunge la $\int \frac{dt}{t^2-1}$, adică rândul $11$ al tabelului. Rezultatul este $\int \frac{dx}{\sin x}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right|+\mathcal{C}$, pe un interval de forma $(k\pi ,(k+1)\pi )$.

Cum integrez o putere pară mai mare, cum ar fi sinus la a patra?

Liniarizezi de două ori. Întâi ${\sin }^{4}x={\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^2$, apoi liniarizezi din nou pătratul care apare, ${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$. Rezultă ${\sin }^{4}x=\frac{3}{8}-\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$, cu primitiva $\frac{3x}{8}-\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+\mathcal{C}$. Pentru puteri și mai mari este mai economică o relație de recurență pentru integrale nedefinite, subiectul unei lecții următoare din această unitate.