Subgraficul și aproximarea ariei: pe scurt

Subgraficul funcției continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este mulțimea ${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$, iar aria lui se notează $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$. Geometria elementară o calculează doar când graficul este o dreaptă: dreptunghi la funcția constantă, trapez dreptunghic la funcția de gradul întâi.

Pentru o latură curbă, intervalul se taie în $n$ bucăți egale și se construiesc două trepte de dreptunghiuri: suma dreptunghiurilor înscrise $s_n$ și suma dreptunghiurilor circumscrise $S_n$. La o funcție crescătoare, înălțimile lui $s_n$ se iau în capetele din stânga, iar ale lui $S_n$ în cele din dreapta; la o funcție descrescătoare, rolurile capetelor se schimbă. Fiecare termen este o arie, adică înălțime înmulțită cu bază — factorul $\frac{b-a}{n}$ nu se pierde niciodată.

Sumele se închid cu formulele $1+2+\cdots +n$, $1^2+\cdots +n^2$ și $1^3+\cdots +n^3$, demonstrate prin inducție. Din $s_n\le \mathcal{S}({\Gamma }_f)\le S_n$ și din faptul că ambele șiruri au aceeași limită rezultă, prin trecerea la limită în inegalități, că aria nu poate fi decât acea limită.

Așa se obține că aria de sub $y=x^2$ pe $[0,b]$ este $\frac{b^3}{3}$, iar aria de sub $y=x^3$ pe $[0,1]$ este $\frac{1}{4}$. Un tabel de valori doar sugerează răspunsul; demonstrația cere forma închisă și limita.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, și diviziunea în $4$ părți egale, suma dreptunghiurilor înscrise $s_4$ este:

   • a) $\frac{15}{32}$
   • b) $\frac{7}{32}$
   • c) $\frac{7}{8}$
   • d) $\frac{1}{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{7}{32}$

   Funcția crește, deci înălțimile se iau în capetele din stânga: $s_4=\frac{1}{4}\left(0+\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{9}{16}\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{14}{16}=\frac{7}{32}$. Varianta $\frac{15}{32}$ este suma circumscrisă $S_4$, varianta $\frac{7}{8}$ uită factorul $\frac{1}{4}$ (lungimea bucății), iar $\frac{1}{3}$ este chiar aria, adică limita celor două șiruri.

2. La o funcție descrescătoare pe $[a,b]$, dreptunghiul înscris pe fiecare bucată are înălțimea dată de valoarea funcției în:

   • a) capătul din stânga
   • b) mijlocul bucății
   • c) capătul din dreapta
   • d) oricare punct al bucății
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) capătul din dreapta

   Pe fiecare bucată, o funcție descrescătoare își atinge minimul în capătul din dreapta, deci acolo se ia înălțimea dreptunghiului înscris, iar în capătul din stânga cea a dreptunghiului circumscris — exact invers față de funcțiile crescătoare. Verifică întotdeauna monotonia înainte de a scrie $s_n\le \mathcal{S}({\Gamma }_f)\le S_n$.

3. Pentru $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, și diviziunea în $n$ părți egale, diferența $S_n-s_n$ este:

   • a) $\frac{8}{n^2}$
   • b) $\frac{8}{n}$
   • c) $\frac{4}{n}$
   • d) $\frac{16}{n}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{16}{n}$

   Sumele diferă doar prin primul și ultimul dreptunghi: $S_n-s_n=\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))=\frac{2}{n}(8-0)=\frac{16}{n}$. Termenii intermediari se simplifică, pentru că fiecare apare o dată în fiecare sumă. Diferența tinde la $0$, ceea ce închide clestele în jurul ariei.