Problema ariei: subgraficul unei funcții și aproximarea lui prin dreptunghiuri

Pe un grafic viteză–timp, distanța parcursă este aria suprafeței de sub curbă. Când viteza este constantă, suprafața aceea este un dreptunghi și o singură înmulțire rezolvă totul; când viteza crește uniform, este un triunghi și formula se știe din gimnaziu. Dar dacă viteza variază după o lege oarecare — o mașină care demarează, un rezervor care se golește tot mai încet —, sub grafic rămâne o suprafață cu o latură curbă, iar geometria de până acum nu are nicio formulă pentru ea. Cu această problemă începe ultimul capitol de analiză matematică al clasei a 12-a.

Lecția de față face trei lucruri. Întâi dă un nume și o notație suprafeței de sub un grafic: subgraficul funcției. Apoi arată singura idee care funcționează pentru a-i măsura aria — o acoperim cu dreptunghiuri, pe care le știm măsura, și strângem eroarea până dispare. În sfârșit, duce ideea până la capăt pe cel mai simplu caz curbat cu putință, aria de sub parabola $y=x^2$, și obține un număr exact: $\frac{1}{3}$. Este primul rezultat al unei metode care, în lecțiile următoare, se va transforma într-un instrument general.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii subgraficul unei funcții continue și pozitive ca mulțime de puncte din plan și să-l recunoști pe un desen.
• Vei ști să calculezi aria subgraficului în cazurile pe care le acoperă geometria elementară: funcția constantă și funcția de gradul întâi.
• Vei ști să construiești, pentru o funcție monotonă, suma dreptunghiurilor înscrise și suma dreptunghiurilor circumscrise pe intervale de aceeași lungime.
• Vei ști să calculezi cele două sume folosind formulele $1+2+\cdots +n$, $1^2+2^2+\cdots +n^2$ și $1^3+2^3+\cdots +n^3$.
• Vei ști să treci la limită în încadrarea obținută și să justifici de ce aria nu poate avea decât o singură valoare.
• Vei ști să arăți, prin acest procedeu, că aria de sub $y=x^2$ pe intervalul $[0,b]$ este $\frac{b^3}{3}$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este subgraficul unei funcții?

Subgraficul unei funcții continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este mulțimea punctelor din plan cuprinse între graficul funcției și axa $Ox$, pe porțiunea dintre dreptele verticale $x=a$ și $x=b$. Se notează ${\Gamma }_f$ și se scrie

$${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}.$$

Citește definiția pe cele două condiții. Prima, $a\le x\le b$, spune că punctul stă în fâșia verticală tăiată de capetele intervalului. A doua, $0\le y\le f(x)$, spune că, pe verticala din $x$, punctul stă între axă și grafic. Cerința $f\ge 0$ nu este un moft: dacă graficul ar coborî sub axă, „între axă și grafic" nu ar mai avea sens în ordinea scrisă, iar condiția $0\le y\le f(x)$ ar da mulțimea vidă. Toată lecția lucrează, prin urmare, cu funcții continue și pozitive.

Aria subgraficului se notează, ca peste tot în MatePolis, cu $\mathcal{S}$: scriem $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$ și citim „aria subgraficului lui $f$". Iar întrebarea lecției, formulată acum precis, este: cât valorează $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$ atunci când graficul lui $f$ nu este o linie dreaptă?

2. Ce arii știi deja să calculezi?

Merită văzut exact cât de departe ajunge geometria elementară, ca să se vadă și unde se oprește.

Funcția constantă. Dacă $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, $f(x)=c$ cu $c>0$, subgraficul este un dreptunghi de bază $b-a$ și înălțime $c$, deci $\mathcal{S}({\Gamma }_f)=c(b-a)$. Pentru $f(x)=3$ pe $[1,5]$ obținem $3\cdot 4=12$.

Funcția de gradul întâi, pozitivă. Dacă $f(x)=mx+p\ge 0$ pe $[a,b]$, subgraficul este un trapez dreptunghic cu bazele $f(a)$ și $f(b)$ și cu înălțimea $b-a$, deci

$$\mathcal{S}({\Gamma }_f)=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a).$$

Pentru $f(x)=2x+1$ pe $[0,3]$ avem $f(0)=1$, $f(3)=7$ și aria $\frac{1+7}{2}\cdot 3=12$. Când $f(a)=0$, trapezul degenerează într-un triunghi: pentru viteza $v(t)=10t$ pe intervalul de timp $[0,3]$, subgraficul este triunghiul de catete $3$ și $v(3)=30$, deci aria lui este $\frac{3\cdot 30}{2}=45$.

Aici se termină lista. Sub $y=x^2$, sub $y=\sqrt{x}$ sau sub $y=e^x$ nu mai avem nicio figură cunoscută, pentru că una dintre laturi este curbă. Iar problema nu este ocolitoare: distanța parcursă de un corp cu viteza $v(t)=t^2$ în primele trei secunde este aria de sub acel arc de parabolă, și un inginer are nevoie de numărul ei.

3. Cum aproximezi o suprafață cu latură curbă?

Ideea are peste două mii de ani și îi aparține lui Arhimede: dacă nu poți măsura direct o figură, prinde-o între două figuri pe care le poți măsura și strânge-le până se ating.

Instrumentul de măsură pe care îl avem sigur este dreptunghiul. Deci: împărțim intervalul $[a,b]$ în $n$ bucăți de aceeași lungime și, pe fiecare bucată, ridicăm câte un dreptunghi. Dacă funcția este crescătoare, avem două alegeri firești pentru înălțime:

• luăm înălțimea egală cu valoarea funcției în capătul din stânga al bucății; atunci dreptunghiul stă în întregime sub grafic — îi spunem dreptunghi înscris, iar suma ariilor lor o notăm $s_n$;
• luăm înălțimea egală cu valoarea funcției în capătul din dreapta; atunci dreptunghiul depășește graficul — îi spunem dreptunghi circumscris, iar suma ariilor lor o notăm $S_n$.

Numele „înscris" și „circumscris" sunt legate de monotonie: pentru o funcție crescătoare, valoarea cea mai mică pe fiecare bucată se atinge la stânga, iar cea mai mare la dreapta. La o funcție descrescătoare rolurile se schimbă între ele; la una nemonotonă, cea mai mică și cea mai mare valoare de pe fiecare bucată se caută separat. În toată lecția lucrăm cu funcții monotone, ca să nu amestecăm două dificultăți deodată.

Oricare ar fi $n$, treapta de jos este cuprinsă în subgrafic, iar subgraficul este cuprins în treapta de sus. Prin urmare

$$s_n\le \mathcal{S}({\Gamma }_f)\le S_n\text{pentru orice }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

4. Cât valorează aria de sub $y=x^2$ pe $[0,1]$?

Luăm $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, funcție continuă, pozitivă și crescătoare pe $[0,1]$. Împărțim intervalul în $n$ bucăți de lungime $\frac{1}{n}$; capetele lor sunt $0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots ,\frac{n}{n}=1$, iar bucata cu numărul $k$ este $\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right]$.

Suma dreptunghiurilor circumscrise. Înălțimea celui de-al $k$-lea este $f\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{k^2}{n^2}$, iar baza $\frac{1}{n}$:

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\left(1^2+2^2+\cdots +n^2\right).$$

Aici intervine formula demonstrată prin inducție în clasa a IX-a, la lecția despre metoda inducției matematice:

$$1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

Înlocuind, obținem forma închisă

$$S_n=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}.$$

Suma dreptunghiurilor înscrise. Înălțimea celui de-al $k$-lea este $f\left(\frac{k-1}{n}\right)=\frac{(k-1{)}^2}{n^2}$, deci la numărător apare suma pătratelor primelor $n-1$ numere naturale nenule:

$$s_n=\frac{1}{n^3}\left(0^2+1^2+\cdots +(n-1{)}^2\right)=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}.$$

Iată cum arată cele două șiruri:

Cele două coloane se strâng, din stânga și din dreapta, în jurul lui $0,333\dots$

5. De ce este $\frac{1}{3}$ singurul răspuns posibil?

Aici trebuie spus limpede ce se presupune și ce se demonstrează. Presupunem — este convenția de lucru a acestei lecții — că subgraficul unei funcții continue și pozitive are o arie, adică un număr real $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$ care se poartă cum ne așteptăm de la o arie: crește când figura se mărește. Demonstrăm că acest număr nu poate fi decât unul singur.

Calculăm limitele celor două șiruri, cu regula raportului de polinoame în $n$ fixată la lecția despre operații cu șiruri convergente:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2-3n+1}{6n^2}=\frac{1}{3}.$$

Din încadrarea $s_n\le \mathcal{S}({\Gamma }_f)\le S_n$, valabilă pentru orice $n$, și din faptul că marginile au aceeași limită, trecerea la limită în inegalități dă imediat $\mathcal{S}({\Gamma }_f)=\frac{1}{3}$. Este exact criteriul cleștelui, aplicat unui număr fix încadrat între două șiruri convergente la aceeași valoare.

Merită observat de ce funcționează atât de curat. Diferența celor două trepte este

$$S_n-s_n=\frac{1}{n^3}\left(n^2-0^2\right)=\frac{1}{n},$$

pentru că, atunci când scădem termen cu termen, tot ce rămâne este pătratul din capătul din dreapta minus cel din capătul din stânga. Geometric: cele $n$ „cornișe" dintre treapta de sus și cea de jos au toate baza $\frac{1}{n}$ și, translatate una peste alta, formează o singură coloană de bază $\frac{1}{n}$ și înălțime $f(1)-f(0)=1$. Ca să apropii aria cu o eroare mai mică decât $0,001$, îți ajunge $n=1000$; ca să o apropii oricât de mult, îți ajunge $n$ destul de mare. Aceasta este, în miniatură, toată ideea capitolului.

6. Metoda dă rezultatele corecte pe figurile cunoscute?

Un procedeu nou se controlează pe cazuri în care răspunsul se știe dinainte.

Funcția $f(x)=x$ pe $[0,1]$. Subgraficul este un triunghi dreptunghic cu catetele $1$ și $1$, deci aria lui este $\frac{1}{2}$. Prin metoda noastră:

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}⟶\frac{1}{2},s_n=\frac{n-1}{2n}⟶\frac{1}{2}.$$

Rezultatele coincid, iar formula folosită, $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$, este cea din clasa a IX-a.

Funcția constantă $f(x)=c$ pe $[a,b]$. Toate dreptunghiurile au aceeași înălțime $c$, deci $s_n=S_n=c(b-a)$ pentru orice $n$: metoda dă direct aria dreptunghiului, fără nicio trecere la limită. Un procedeu care ar da altceva ar fi de aruncat.

7. Cum se schimbă calculul pe alt interval sau la altă putere?

Nimic esențial. Se schimbă doar lungimea bucății și formula de sumare.

Aria de sub $y=x^2$ pe $[0,b]$, cu $b>0$. Bucata are lungimea $\frac{b}{n}$, capătul din dreapta al bucății $k$ este $\frac{kb}{n}$, deci

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{k^2{b}^2}{n^2}\cdot \frac{b}{n}=\frac{b^3}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{b^3(n+1)(2n+1)}{6n^2}⟶\frac{b^3}{3}.$$

Analog, $s_n\to \frac{b^3}{3}$, deci $\mathcal{S}({\Gamma }_f)=\frac{b^3}{3}$. Pentru $b=2$ iese $\frac{8}{3}$, pentru $b=3$ iese $9$, pentru $b=4$ iese $\frac{64}{3}$. Distanța parcursă în trei secunde cu viteza $v(t)=t^2$ este, prin urmare, exact $9$ metri.

Aria de sub $y=x^3$ pe $[0,1]$. Acum ne trebuie a treia formulă de sumare din clasa a IX-a, $1^3+2^3+\cdots +n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$:

$$S_n=\frac{1}{n^4}\cdot \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}=\frac{(n+1{)}^2}{4n^2}⟶\frac{1}{4},s_n=\frac{(n-1{)}^2}{4n^2}⟶\frac{1}{4}.$$

Deci aria este $\frac{1}{4}$. Se conturează un tipar — $\frac{b^2}{2}$, $\frac{b^3}{3}$, $\frac{b^4}{4}$ — pe care îl vei putea explica, dar abia peste câteva lecții.

8. Ce lipsește încă metodei?

Trei lucruri, și fiecare dintre ele este subiectul unei lecții din unitatea aceasta.

Bucățile nu trebuie să fie egale. Am împărțit mereu intervalul în părți de aceeași lungime, pentru comoditate. Ce se întâmplă dacă tăieturile sunt neregulate? Ce înseamnă atunci „bucăți mici"? Răspunsul cere un vocabular precis — diviziune, normă, puncte intermediare —, care se fixează la lecția despre diviziuni ale unui interval și norma unei diviziuni.

Înălțimea nu trebuie luată în capete. Am luat valoarea funcției în capătul din stânga sau în cel din dreapta, pentru că funcția era monotonă și așa obțineam o încadrare. În general, înălțimea se poate lua în orice punct al bucății, iar sumele care apar așa poartă numele lui Riemann; ele sunt subiectul lecției sume Riemann și interpretarea lor geometrică.

Nu orice funcție se comportă atât de frumos. Pentru $x^2$, treapta de jos și cea de sus s-au strâns una spre alta. Există funcții pentru care nu se strâng, iar atunci „aria subgraficului" nu are sens. Numărul obținut prin strângere primește un nume și o notație la lecția despre funcții integrabile, unde se stabilește și care sunt funcțiile cu această proprietate.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Arii pe care le rezolvă geometria

Calculează aria subgraficului pentru: a) $f:[1,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3$; b) $g:[1,5]\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x$.

a) Subgraficul este dreptunghiul de bază $5-1=4$ și înălțime $3$, deci $\mathcal{S}({\Gamma }_f)=12$.

b) Funcția este pozitivă pe $[1,5]$, cu $g(1)=2$ și $g(5)=10$. Subgraficul este trapezul dreptunghic cu bazele $2$ și $10$ și înălțimea $4$:

$$\mathcal{S}({\Gamma }_g)=\frac{2+10}{2}\cdot 4=24.$$

Exemplul 2 — Cele două trepte pentru $n=4$

Pentru $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, calculează $s_4$ și $S_4$ și verifică încadrarea lui $\frac{1}{3}$.

Bucățile au lungimea $\frac{1}{4}$, iar capetele sunt $0$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $1$. Valorile funcției în ele sunt $0$, $\frac{1}{16}$, $\frac{4}{16}$, $\frac{9}{16}$, $\frac{16}{16}$. Atunci

$$s_4=\frac{1}{4}\left(0+\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{9}{16}\right)=\frac{14}{64}=\frac{7}{32},S_4=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{9}{16}+\frac{16}{16}\right)=\frac{30}{64}=\frac{15}{32}.$$

Cum $\frac{7}{32}=0,21875$ și $\frac{15}{32}=0,46875$, încadrarea $s_4\le \frac{1}{3}\le S_4$ se verifică. Diferența este $S_4-s_4=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$, adică exact $\frac{1}{n}$ pentru $n=4$.

Exemplul 3 — Aria de sub $y=x^2$ pe $[0,2]$

Calculează $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$ pentru $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$.

Bucata are lungimea $\frac{2}{n}$, iar capătul din dreapta al bucății $k$ este $\frac{2k}{n}$:

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{4k^2}{n^2}\cdot \frac{2}{n}=\frac{8}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{4(n+1)(2n+1)}{3n^2}.$$

Limita este $\frac{4\cdot 2}{3}=\frac{8}{3}$. Suma dreptunghiurilor înscrise dă aceeași limită, deci $\mathcal{S}({\Gamma }_f)=\frac{8}{3}$. Controlul cu formula generală $\frac{b^3}{3}$ pentru $b=2$ confirmă: $\frac{8}{3}$.

Exemplul 4 — Aria de sub $y=x^3$ pe $[0,2]$

Calculează $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$ pentru $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$.

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{8k^3}{n^3}\cdot \frac{2}{n}=\frac{16}{n^4}\cdot \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}=\frac{4(n+1{)}^2}{n^2}⟶4.$$

Deci $\mathcal{S}({\Gamma }_f)=4$. Verificare de bun-simț: subgraficul este cuprins în dreptunghiul $[0,2]\times [0,8]$, de arie $16$, și chiar în triunghiul de vârfuri $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,8)$, de arie $8$ — funcția fiind convexă, graficul stă sub coarda $y=4x$, iar $x^3\le 4x$ pe $[0,2]$. Aria trebuie deci să fie sub $8$, ceea ce se potrivește cu valoarea $4$.

Exemplul 5 — O arie obținută prin descompunere

Calculează aria subgraficului lui $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$.

Se poate calcula direct: $S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\left(\frac{k^2}{n^2}+1\right)=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}+1⟶\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$.

Dar se vede și fără calcul: subgraficul lui $x^2+1$ pe $[0,1]$ se obține din subgraficul lui $x^2$ adăugându-i dedesubt dreptunghiul $[0,1]\times [0,1]$, de arie $1$. Aria totală este $\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$. Cele două drumuri dau același număr, ceea ce este un bun control.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, și împărțirea intervalului $[0,3]$ în $n$ părți de aceeași lungime.

a) Scrie suma dreptunghiurilor circumscrise $S_n$ sub formă închisă.

Bucata are lungimea $\frac{3}{n}$, iar capătul din dreapta al bucății $k$ este $\frac{3k}{n}$. Prin urmare

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{9k^2}{n^2}\cdot \frac{3}{n}=\frac{27}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{9(n+1)(2n+1)}{2n^2}.$$

b) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ și deduce aria subgraficului.

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{9(2n^2+3n+1)}{2n^2}=\frac{9\cdot 2}{2}=9.$$

Suma dreptunghiurilor înscrise, $s_n=\frac{9(n-1)(2n-1)}{2n^2}$, are aceeași limită, iar din $s_n\le \mathcal{S}({\Gamma }_f)\le S_n$ rezultă $\mathcal{S}({\Gamma }_f)=9$.

c) Verifică încadrarea pentru $n=3$.

Pentru $n=3$ bucățile sunt $[0,1]$, $[1,2]$, $[2,3]$, toate de lungime $1$. Atunci $s_3=0+1+4=5$ și $S_3=1+4+9=14$, deci $5\le 9\le 14$. Diferența $S_3-s_3=9$ este chiar $\frac{b-a}{n}(f(3)-f(0))=1\cdot 9$, cum trebuie la o funcție crescătoare.

Să exersăm

1. Scrie mulțimea ${\Gamma }_f$ pentru $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3$, și calculează $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$.

2. Calculează aria subgraficului lui $f:[1,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$.

3. Calculează aria subgraficului lui $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$.

4. Pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,1]$, calculează $s_2$ și $S_2$.

5. Pentru aceeași funcție, calculează $s_5$ și $S_5$ și verifică diferența.

6. Arată că, pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,1]$, are loc $S_n-s_n=\frac{1}{n}$ pentru orice $n$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Suma dreptunghiurilor înscrise este mai mare decât aria subgraficului."

8. Pornind de la $S_n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$, calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$.

9. Calculează aria de sub $y=x^2$ pe $[0,4]$, scriind mai întâi $S_n$ sub formă închisă.

10. Calculează aria de sub $y=x^3$ pe $[0,2]$.

11. (Problemă aplicată.) Un corp pornește din repaus și are viteza $v(t)=4t$ (în metri pe secundă). Ce distanță parcurge în primele $5$ secunde?

12. (Problemă aplicată.) Un corp are viteza $v(t)=t^2$ (în metri pe secundă). Ce distanță parcurge în primele $3$ secunde?

13. Calculează aria subgraficului lui $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $0\le f(x)\le g(x)$ pe $[a,b]$, atunci $\mathcal{S}({\Gamma }_f)\le \mathcal{S}({\Gamma }_g)$."

15. Încadrează aria de sub $y=x^2$ pe $[0,1]$ folosind $n=10$ și scrie rezultatul cu trei zecimale.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. a) Scrie $s_n$ sub formă închisă. b) Calculează $\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n$. c) Determină cel mai mic $n$ pentru care $S_n-s_n\le \frac{1}{100}$.

17. Arată că aria de sub $y=x^2$ pe $[0,b]$, cu $b>0$, este $\frac{b^3}{3}$.

18. (Provocare.) Calculează aria de sub $y=x^2$ pe intervalul $[1,2]$, împărțind acest interval în $n$ părți egale.

Răspunsuri și explicații

1. ${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid 0\le x\le 4,0\le y\le 3\}$, adică dreptunghiul $[0,4]\times [0,3]$; aria este $3\cdot 4=12$.

2. Trapez cu bazele $f(1)=2$ și $f(5)=10$ și înălțimea $4$: $\mathcal{S}=\frac{2+10}{2}\cdot 4=24$.

3. Trapez cu bazele $f(0)=2$ și $f(3)=5$ și înălțimea $3$: $\mathcal{S}=\frac{2+5}{2}\cdot 3=\frac{21}{2}$.

4. Bucățile au lungimea $\frac{1}{2}$: $s_2=\frac{1}{2}\left(0+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{8}$ și $S_2=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}+1\right)=\frac{5}{8}$. Diferența este $\frac{1}{2}$.

5. $s_5=\frac{1}{125}(0+1+4+9+16)=\frac{30}{125}=\frac{6}{25}$ și $S_5=\frac{1}{125}(1+4+9+16+25)=\frac{55}{125}=\frac{11}{25}$. Diferența este $\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$, adică $\frac{1}{n}$.

6. Cele două sume au aceiași termeni, în afară de doi: $S_n$ îl are pe $\frac{n^2}{n^2}\cdot \frac{1}{n}$, iar $s_n$ îl are pe $\frac{0}{n^2}\cdot \frac{1}{n}$. Deci $S_n-s_n=\frac{1}{n}(f(1)-f(0))=\frac{1}{n}$.

7. Fals. Dreptunghiurile înscrise sunt cuprinse în subgrafic, deci $s_n\le \mathcal{S}({\Gamma }_f)$; cele circumscrise sunt cele care depășesc aria.

8. $\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}\to \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ (raport de polinoame de același grad: raportul coeficienților dominanți).

9. $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{16k^2}{n^2}\cdot \frac{4}{n}=\frac{64}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{32(n+1)(2n+1)}{3n^2}\to \frac{64}{3}$. Aria este $\frac{64}{3}$, adică $\frac{b^3}{3}$ pentru $b=4$.

10. $S_n=\frac{16}{n^4}\cdot \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}=\frac{4(n+1{)}^2}{n^2}\to 4$. Aria este $4$.

11. Graficul vitezei este dreapta $v=4t$, iar subgraficul pe $[0,5]$ este triunghiul cu catetele $5$ și $v(5)=20$: distanța este $\frac{5\cdot 20}{2}=50$ de metri.

12. Distanța este aria de sub $v=t^2$ pe $[0,3]$, adică $\frac{3^3}{3}=9$ metri.

13. Subgraficul lui $x^2$ pe $[0,1]$ plus dreptunghiul $[0,1]\times [0,2]$: $\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$.

14. Adevărat. Din $0\le f(x)\le g(x)$ rezultă ${\Gamma }_f\subseteq {\Gamma }_g$: orice punct cu $0\le y\le f(x)$ are și $0\le y\le g(x)$. O figură cuprinsă în alta are aria mai mică sau egală.

15. $s_{10}=\frac{9\cdot 19}{600}=\frac{57}{200}=0,285$ și $S_{10}=\frac{11\cdot 21}{600}=\frac{77}{200}=0,385$, deci $0,285\le \mathcal{S}({\Gamma }_f)\le 0,385$.

16. a) $s_n=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$. b) $\frac{2n^2-3n+1}{6n^2}\to \frac{1}{3}$. c) $S_n-s_n=\frac{1}{n}\le \frac{1}{100}⟺n\ge 100$, deci cel mai mic $n$ este $100$.

17. Cu bucăți de lungime $\frac{b}{n}$: $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{k^2{b}^2}{n^2}\cdot \frac{b}{n}=\frac{b^3(n+1)(2n+1)}{6n^2}\to \frac{b^3}{3}$, iar $s_n=\frac{b^3(n-1)(2n-1)}{6n^2}\to \frac{b^3}{3}$. Din încadrare, aria este $\frac{b^3}{3}$.

18. Bucata are lungimea $\frac{1}{n}$, iar capătul din dreapta al bucății $k$ este $1+\frac{k}{n}$. Atunci

$$S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(1+\frac{k}{n}\right)}^2=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\left(1+\frac{2k}{n}+\frac{k^2}{n^2}\right)=1+\frac{n+1}{n}+\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}⟶1+1+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.$$

Aria este $\frac{7}{3}$, adică exact $\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}$ — diferența ariilor de la $0$ la $2$ și de la $0$ la $1$, cum era de așteptat.

De reținut

• Subgraficul unei funcții continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este mulțimea ${\Gamma }_f=\{(x,y)\mid a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$, iar aria lui se notează $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$.
• Aria subgraficului se calculează cu formule de gimnaziu doar când graficul este o dreaptă: dreptunghi la funcția constantă, trapez dreptunghic la funcția de gradul întâi.
• Pentru o funcție crescătoare, împărțirea intervalului în $n$ părți egale dă două trepte de dreptunghiuri, cu sumele $s_n\le \mathcal{S}({\Gamma }_f)\le S_n$, iar la o funcție descrescătoare rolurile capetelor se schimbă între ele.
• Când cele două șiruri au aceeași limită, aria subgraficului este obligatoriu egală cu acea limită, prin trecerea la limită în inegalități.
• Aria de sub $y=x^2$ pe $[0,b]$ este $\frac{b^3}{3}$, iar aria de sub $y=x^3$ pe $[0,1]$ este $\frac{1}{4}$; ambele se obțin din formulele de sumare demonstrate prin inducție în clasa a IX-a.

Greșeli frecvente

• Confunzi treapta de jos cu treapta de sus. La o funcție crescătoare, capătul din stânga dă dreptunghiul înscris, iar cel din dreapta dreptunghiul circumscris; la o funcție descrescătoare este exact invers: pentru $f(x)=10-3x$ pe $[0,2]$, de pildă, suma înscrisă $s_n$ folosește capătul drept al fiecărui interval, iar suma circumscrisă $S_n$ pe cel stâng. Verifică întotdeauna monotonia înainte de a scrie inegalitatea $s_n\le \mathcal{S}({\Gamma }_f)\le S_n$.
• Uiți lungimea bucății în produs. Suma nu este $\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$, ci $\sum f\left(\frac{k}{n}\right)\cdot \frac{1}{n}$: fiecare termen este o arie, adică înălțime înmulțită cu bază. Fără factorul $\frac{1}{n}$, „aria" de sub $y=x^2$ ar ieși infinită.
• Greșești indicii la suma înscrisă. În $s_n$ apar valorile în $0,\frac{1}{n},\dots ,\frac{n-1}{n}$, deci suma pătratelor merge până la $n-1$, nu până la $n$. Formula devine $\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$, nu $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
• Concluzionezi din tabel. Un tabel de valori care se apropie de $0,333$ sugerează răspunsul, dar nu îl demonstrează; concluzia vine numai din forma închisă a lui $s_n$ și $S_n$ și din trecerea la limită. La Bacalaureat M1 baremul punctează forma închisă, nu tabelul.
• Aplici definiția subgraficului la funcții care iau valori negative. Dacă $f$ scade sub axă, mulțimea $\{(x,y)\mid 0\le y\le f(x)\}$ este vidă acolo. Pe astfel de funcții problema ariei se pune altfel, iar ordinea semnelor se discută în lecțiile următoare.

Aplică acasă

1. Hârtia milimetrică. Desenează arcul $y=x^2$ pe $[0,1]$ pe hârtie milimetrică, la scara $10\text{cm}=1$ unitate, și numără pătrățelele de sub el. Compară numărul obținut cu $\frac{1}{3}$ din aria pătratului unitate și vezi cu ce eroare ai lucrat.

2. Foaia de calcul. Într-o foaie de calcul, pune în prima coloană $k=1,2,\dots ,n$, în a doua ${\left(\frac{k}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}$ și adună coloana pentru $n=10$, $n=50$, $n=200$. Urmărește cum se apropie totalul de $0,3333$ și cât de încet o face.

3. Aria de sub o rampă reală. Măsoară timpul în care o bilă coboară pe o rampă, notează pozițiile la fiecare secundă și desenează graficul vitezei medii. Aproximează distanța totală prin suma dreptunghiurilor și compar-o cu lungimea rampei, măsurată direct.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea de integrale a clasei a XII-a și răspunde direct unei activități de învățare din programa de matematică-informatică: identificarea suprafețelor plane delimitate de graficul unei funcții continue, de axa $Ox$ și de drepte verticale. Este singura lecție a unității în care aria se calculează exclusiv din definiție, prin sume de dreptunghiuri; metoda scurtă apare abia peste câteva lecții, iar înțelegerea ei depinde de ce se construiește aici.

Ce verifică lecția: (1) scrierea corectă a subgraficului ca mulțime, cu ambele condiții; (2) calculul ariilor elementare, dreptunghi și trapez; (3) construirea celor două trepte pentru o funcție monotonă, cu grija indicilor; (4) folosirea formulelor de sumare din clasa a IX-a și obținerea formei închise; (5) trecerea la limită și justificarea unicității rezultatului.

Întrebări bune de control: „De ce se cere $f\ge 0$ în definiția subgraficului?"; „De unde știi că treapta de jos rămâne sub curbă?"; „Cât este $S_n-s_n$ și de ce e important?"; „Ce ai demonstrat, de fapt, când ai calculat cele două limite?".

Semne că a înțeles: scrie factorul $\frac{1}{n}$ fără să i se amintească; verifică singur pe $f(x)=x$ că metoda dă $\frac{1}{2}$; spune că tabelul de valori nu este o demonstrație; recunoaște că pe o funcție descrescătoare rolurile capetelor se inversează.

Dificultatea tipică: indicii sumei înscrise. Elevul scrie automat ${\sum }_{k=1}^n$ și obține pentru $s_n$ aceeași formulă ca pentru $S_n$; exercițiile 4, 5 și 16 îl obligă să numere efectiv termenii.

Unde apare la BAC M1: subiectul al III-lea folosește constant aria subgraficului ca interpretare a rezultatului, iar limitele de tipul celor de aici — șiruri de sume, aduse la formă închisă — revin în problemele de la finalul unității. Calculul din această lecție este și modelul demonstrativ pe care se sprijină formulele de arie din ultimul capitol al anului.

Întrebări frecvente

Ce este subgraficul unei funcții?

Subgraficul funcției continue și pozitive $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ este mulțimea punctelor $(x,y)$ din plan cu $a\le x\le b$ și $0\le y\le f(x)$, adică suprafața cuprinsă între graficul funcției, axa $Ox$ și dreptele verticale duse prin capetele intervalului. Se notează ${\Gamma }_f$, iar aria lui se notează $\mathcal{S}({\Gamma }_f)$.

Cum se calculează aria de sub o curbă?

Se acoperă suprafața cu dreptunghiuri, singurele figuri a căror arie se știe sigur. Intervalul se împarte în bucăți mici, pe fiecare se ridică un dreptunghi, iar suma ariilor lor aproximează aria căutată. Făcând bucățile tot mai mici, aproximarea se strânge în jurul unui singur număr, care este aria.

De ce este aria de sub $y=x^2$ pe $[0,1]$ egală cu $\frac{1}{3}$?

Pentru că sumele dreptunghiurilor înscrise și circumscrise au formele închise $\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$ și $\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$, iar amândouă tind la $\frac{1}{3}$. Aria este prinsă între ele pentru orice $n$, deci, prin trecerea la limită în inegalități, nu poate fi decât $\frac{1}{3}$.

Care este diferența dintre dreptunghiurile înscrise și cele circumscrise?

Dreptunghiurile înscrise au înălțimea egală cu cea mai mică valoare a funcției pe bucata respectivă, deci stau sub grafic și dau o arie prea mică. Cele circumscrise au înălțimea egală cu cea mai mare valoare, deci ies deasupra graficului și dau o arie prea mare. Aria adevărată este între cele două sume.

Ce formule de sumare trebuie știute la această lecție?

Trei, toate demonstrate prin inducție în clasa a IX-a: $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$, apoi $1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ și $1^3+2^3+\cdots +n^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$. Ele transformă suma de dreptunghiuri într-o expresie raport de polinoame, în care se poate trece la limită.

De ce nu ajunge un tabel de valori?

Pentru că un tabel arată doar câteva cazuri, iar apropierea de $0,333$ nu exclude ca limita să fie, de pildă, $0,3334$. Concluzia matematică vine numai din forma închisă a sumelor și din calculul limitei; tabelul rămâne un control util și un mod de a vedea cât de repede se strâng cele două trepte.

Trebuie să calculez orice arie cu sume de dreptunghiuri?

Nu: metoda din această lecție este demonstrația, nu tehnica de lucru zilnică; legătura cu primitivele, care scurtează drastic calculul, vine la lecția despre formula Leibniz–Newton. Până acolo însă, toate ariile din unitate se obțin din definiție, iar la Bacalaureat M1 justificarea prin sume rămâne cerută ori de câte ori se cere „din definiție".