Probleme de extrem în geometrie: pe scurt

Orice problemă de extrem geometric are aceeași structură: o mărime care variază — arie, volum, perimetru, distanță — și o relație de legătură care leagă dimensiunile între ele. Legătura elimină o variabilă, iar mărimea devine funcție de una singură; de acolo încolo lucrează derivata.

Metoda are cinci pași: mărimea de optimizat, scrisă cu litera ei firească ($\mathcal{S}$, $V$, $P$, $d$); funcția de o singură variabilă; domeniul real al problemei; tabelul de variație; interpretarea în limbajul problemei.

Pasul al treilea este cel la care se pierd punctele. Domeniul nu se alege, se deduce din geometrie: fiecare lungime trebuie să fie strict pozitivă, inclusiv cele calculate din relația de legătură. Capetele corespund figurilor degenerate și sunt de obicei excluse, așa că în tabel rândul derivatei primește acolo $|$, iar rândul mărimii, valoarea-limită. Etichetele rândurilor se instanțiază: scrii ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)$ sau $V^{\prime }(r)$, nu $f^{\prime }(x)$.

La problemele de distanță se minimizează pătratul distanței: funcția radical fiind strict crescătoare, punctele de extrem sunt exact aceleași, iar calculul scapă de radical. Justificarea se scrie, baremul o cere.

Trei controale scurte închid rezolvarea: dimensional (o arie e produs de două lungimi, un volum de trei), geometric (dimensiunile ies pozitive și respectă legătura) și de bun-simț (valoarea găsită se compară cu una vecină). Răspunsul se dă cu dimensiunile figurii și cu unitatea de măsură, nu doar cu valoarea lui $x$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Dintr-un carton pătrat cu latura de $20$ cm se decupează din fiecare colț un pătrat cu latura $x$, iar marginile se îndoaie în sus. Domeniul real al problemei este:

   • a) $(0,20)$
   • b) $[0,10]$
   • c) $(0,10)$
   • d) $\mathbb{R}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(0,10)$

   Baza cutiei are latura $20-2x$, deci trebuie $x>0$ și $20-2x>0$, adică $x<10$. Capetele se exclud, pentru că acolo figura degenerează: la $x=0$ nu există cutie, iar la $x=10$ baza s-ar reduce la un punct. O rădăcină a derivatei căzută în afara acestui interval se respinge, oricât de frumos ar arăta numărul.

2. Dintre toate dreptunghiurile cu aria de $100$ cm², cel cu perimetrul minim are perimetrul egal cu:

   • a) $20$ cm
   • b) $40$ cm
   • c) $50$ cm
   • d) $80$ cm
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $40$ cm

   Cu o latură $x$, cealaltă este $\frac{100}{x}$, deci $P(x)=2\left(x+\frac{100}{x}\right)$ pe $(0,+\infty )$. Din $P^{\prime }(x)=2\cdot \frac{x^2-100}{x^2}$ rezultă unicul punct critic din domeniu, $x=10$, cu derivata negativă înainte și pozitivă după, deci minim. Perimetrul minim este $P(10)=40$ cm, iar dreptunghiul optim este pătratul cu latura de $10$ cm.

3. La problemele de distanță minimă se studiază $d(x{)}^2$ în loc de $d(x)$, pentru că:

   • a) funcția radical este strict crescătoare, deci punctele de extrem sunt aceleași
   • b) pătratul distanței este mai mic decât distanța
   • c) derivata unei funcții cu radical nu există
   • d) altfel rezultatul final s-ar dubla
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) funcția radical este strict crescătoare, deci punctele de extrem sunt aceleași

   Compunerea cu o funcție strict crescătoare păstrează ordinea valorilor, deci $d$ și $d^2$ cresc și descresc pe exact aceleași intervale și își ating extremele în exact aceleași puncte. Se câștigă scăparea de radical la derivare, iar rădăcina se extrage o singură dată, la final, ca să se afle valoarea distanței. Justificarea se scrie în rezolvare — baremul o punctează.