Probleme de extrem în geometrie

Uită-te la o cutie de conserve. Forma ei nu e o alegere de gust: la un volum impus, producătorul vrea să cheltuiască cât mai puțină tablă, pentru că înmulțit cu zece milioane de cutii un gram economisit devine bani adevărați. Aceeași întrebare se pune la un teren pe care vrei să-l împrejmuiești cu un gard de lungime dată, la o grindă tăiată dintr-un buștean sau la traseul cel mai scurt de la un sat la o șosea. Toate sună a geometrie, dar niciuna nu se rezolvă privind figura: undeva trebuie găsit cel mai mare sau cel mai mic.

Ai mai întâlnit astfel de întrebări, la Probleme de geometrie analitică: distanțe deduse din arii și optimizare, și le-ai rezolvat cu ce aveai atunci: dacă mărimea studiată era constantă, răspunsul se citea direct; dacă era o funcție de gradul întâi, extremele stăteau în capete; dacă era de gradul al doilea, se folosea vârful parabolei. Dincolo de aceste trei tipare, metoda se oprea. Derivata ridică bariera: cu ea poate fi optimizată orice mărime care se scrie ca funcție derivabilă, indiferent de forma expresiei. Programa cere explicit ca derivata întâi să fie folosită „pentru a modela situații-problemă practice ce necesită optimizarea soluțiilor", iar la Bacalaureat M1 problemele acestea apar de obicei împărțite în subpuncte, tocmai ca să verifice fiecare pas al modelării.

Ce vei învăța

• Vei ști să parcurgi metoda în cinci pași, de la mărimea de optimizat până la interpretarea rezultatului în limbajul problemei.
• Vei ști să exprimi aria, volumul, perimetrul sau distanța ca funcție de o singură variabilă, eliminând variabilele în plus dintr-o relație de legătură.
• Vei ști să determini domeniul real al problemei, adică valorile pentru care figura chiar există.
• Vei ști să rezolvi problemele clasice: dreptunghi de arie maximă, cutie de volum maxim, distanță minimă, material minim.
• Vei ști să verifici răspunsul — dimensional, geometric și prin comparație cu capetele domeniului.

Hai să descoperim împreună

1. De ce e nevoie de derivată

O problemă de extrem geometric are întotdeauna aceeași structură: o mărime care se schimbă (aria, volumul, lungimea) și o legătură care leagă dimensiunile între ele (perimetrul e dat, volumul e impus, punctul stă pe o dreaptă). Legătura permite eliminarea unei variabile, iar mărimea studiată devine o funcție de o singură variabilă. Din acel moment, întrebarea „care este cea mai mare arie?" devine întrebarea „unde își atinge maximul această funcție?" — exact întrebarea la care răspund punctele de extrem local și tabelul de variație.

Diferența față de metodele de până acum este uriașă: o funcție de gradul al doilea are un vârf care se citește din formulă, dar $V(x)=x(12-2x{)}^2$ sau $\mathcal{S}(x)=2x\sqrt{25-x^2}$ nu au niciun vârf de citit. Derivata le tratează la fel de simplu pe toate.

2. Metoda în cinci pași

1. Mărimea de optimizat. Scrie clar ce se cere: arie maximă, volum maxim, perimetru minim, distanță minimă. Notează mărimea cu litera ei firească — $\mathcal{S}$ pentru arie, $V$ pentru volum, $P$ pentru perimetru, $d$ pentru distanță.
2. Funcția de o singură variabilă. Alege necunoscuta $x$ (o lungime, de obicei), exprimă toate celelalte dimensiuni în funcție de ea folosind relația de legătură din enunț și scrie formula mărimii.
3. Domeniul real al problemei. Stabilește pentru ce valori ale lui $x$ figura există cu adevărat. Aproape niciodată nu este $\mathbb{R}$.
4. Tabelul de variație. Calculează derivata, rezolvă ecuația derivata egal zero, reține soluțiile din domeniu și întocmește tabelul de variație cu derivata întâi, cu rândurile $x$, derivata și funcția. Aici tabelul rămâne cel simplu: derivata a doua nu e necesară, pentru că întrebarea e despre extreme, nu despre curbură.
5. Interpretarea. Întoarce-te la figură: spune ce dimensiuni are ea în cazul optim și cât este valoarea extremă, cu unitatea de măsură.

Formulele de arie și de volum se presupun cunoscute; ele nu se redemonstrează aici. Dacă ai nevoie de aria unui triunghi, ai toate variantele adunate la Aria triunghiului: de la baza·înălțimea/2 la formula lui Heron, pe care ai studiat-o în clasa a IX-a.

3. Pasul 3 este cel la care se pierd punctele

Domeniul unei probleme de extrem nu se alege, se deduce din geometrie. Fiecare lungime trebuie să fie strict pozitivă, iar fiecare dimensiune calculată din relația de legătură trebuie să fie și ea pozitivă. Câteva exemple:

• dacă dreptunghiul are perimetrul $40$ și o latură $x$, cealaltă este $20-x$, deci trebuie $x>0$ și $20-x>0$, adică $x\in (0,20)$;
• dacă din colțurile unui carton pătrat cu latura $12$ decupezi pătrate cu latura $x$, baza cutiei are latura $12-2x$, deci $x\in (0,6)$;
• dacă un punct se află pe un semicerc de rază $5$ și are abscisa $x$, atunci $x\in (0,5)$.

Capetele sunt de obicei excluse, pentru că acolo figura degenerează: dreptunghiul devine segment, cutia devine foaie plată sau tub fără fund. De aceea, în tabel, coloanele capetelor se completează cu valoarea-limită a mărimii — de multe ori $0$ —, iar în rândul derivatei se scrie bara $|$: punctul există pe axă, funcția nu. Celula derivatei rămâne goală numai la $-\infty$ și $+\infty$, care nu sunt puncte ale axei. Un rezultat care cade în afara domeniului nu este soluție, oricât de frumos ar arăta numărul.

4. Prima problemă, complet

Dintre toate dreptunghiurile cu perimetrul de $40$ de metri, care are aria cea mai mare?

Pasul 1. Mărimea de optimizat: aria $\mathcal{S}$, care trebuie maximă.

Pasul 2. Fie $x$ una dintre laturi. Din perimetru, $2x+2y=40$, deci $y=20-x$ și $$\mathcal{S}(x)=x(20-x)=20x-x^2.$$

Pasul 3. Ambele laturi sunt strict pozitive: $x>0$ și $20-x>0$, deci $x\in (0,20)$.

Pasul 4. ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=20-2x$, care se anulează pentru $x=10$; derivata e pozitivă înainte și negativă după. La capete, aria tinde la $0$.

Pasul 5. Aria maximă este $\mathcal{S}(10)=100$ metri pătrați, atinsă pentru $x=10$, deci $y=20-10=10$: dreptunghiul optim este pătratul cu latura de $10$ metri.

Compară cu metoda de dinainte: $\mathcal{S}$ fiind o funcție de gradul al doilea cu coeficientul dominant negativ, maximul se afla în vârful parabolei, la $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{-2}=10$ — același răspuns. Cele două metode trebuie să coincidă mereu pe funcțiile de gradul al doilea; derivata merge însă mai departe, acolo unde vârful nu mai există.

5. Trucul distanței: se minimizează pătratul

Distanța dintre două puncte conține un radical, iar derivata unui radical complică fără rost calculul. Există o scurtătură care se folosește la orice problemă de distanță minimă: în loc de $d(x)$ se studiază $g(x)=d(x{)}^2$.

Justificarea se scrie într-un rând și baremele o cer: funcția $t\mapsto \sqrt{t}$ este strict crescătoare pe $[0,+\infty )$, deci $d$ și $d^2$ cresc și descresc pe exact aceleași intervale și își ating extremele în exact aceleași puncte. La final se extrage rădăcina o singură dată, ca să se afle valoarea distanței.

6. Când extremul stă în capăt

Nu orice problemă are extremul într-un punct interior. Dacă domeniul real este un interval închis, adică dacă figurile din capete sunt admise de enunț, atunci valorile din capete intră în competiție și trebuie comparate cu valorile din punctele critice. Regula practică: pe un interval închis, cea mai mare valoare a funcției este cea mai mare dintre valorile în punctele critice și valorile în cele două capete.

Când domeniul este deschis, ca în problemele de mai sus, capetele nu dau valori, ci limite — trecute în rândul mărimii, cu $|$ în rândul derivatei; dacă tabelul arată o singură schimbare de semn a derivatei, punctul critic găsit dă chiar extremul global, nu doar local — și așa trebuie formulat răspunsul.

7. Controlul rezultatului

Trei verificări scurte, care prind aproape orice greșeală:

• dimensional: dacă $x$ se măsoară în centimetri, o arie trebuie să iasă din produsul a două lungimi, iar un volum din produsul a trei. O „arie" de forma $x(12-2x{)}^2$ ar fi, de fapt, un volum — semn sigur că ai amestecat formulele;
• geometric: dimensiunile obținute trebuie să fie pozitive și să respecte relația de legătură din enunț. Înlocuiește-le și verifică;
• de scriere: în tabel se trec numai numere, fără unități de măsură, iar litera $\text{m}$ de lângă o valoare este marcajul de minim, nu prescurtarea de la „metri"; unitățile apar abia în propoziția de interpretare;
• de bun-simț: compară valoarea găsită cu una-două valori vecine. Dacă pretinzi că aria maximă este $100$, iar la $x=9$ obții $99$, ești pe drumul bun; dacă obții $120$, ai greșit undeva.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cutia fără capac

Dintr-un carton pătrat cu latura de $12$ cm se decupează, la fiecare colț, câte un pătrat cu latura $x$, iar marginile rămase se îndoaie în sus, formând o cutie fără capac. Pentru ce valoare a lui $x$ volumul cutiei este maxim?

Rezolvare. Mărimea: volumul $V$, maxim. Funcția: după îndoire, baza este un pătrat cu latura $12-2x$, iar înălțimea este $x$, deci $$V(x)=x(12-2x{)}^2.$$ Domeniul: $x>0$ și $12-2x>0$, deci $x\in (0,6)$.

Tabelul: derivăm ca produs, apoi dăm factor comun: $$V^{\prime }(x)=(12-2x{)}^2+x\cdot 2(12-2x)(-2)=(12-2x)[(12-2x)-4x]=(12-2x)(12-6x).$$ Rădăcinile sunt $x=6$, care nu aparține domeniului, și $x=2$. Pe $(0,2)$ ambele paranteze sunt pozitive, deci $V^{\prime }>0$; pe $(2,6)$ a doua e negativă, deci $V^{\prime }<0$. La capete, volumul tinde la $0$.

Interpretarea: volumul maxim este $V(2)=2\cdot 8^2=128$ cm³, obținut pentru $x=2$ cm; cutia are baza de $8\times 8$ cm și înălțimea de $2$ cm. Control dimensional: $\text{cm}\cdot {\text{cm}}^2={\text{cm}}^3$ ✓, iar $8\cdot 8\cdot 2=128$ ✓.

Exemplul 2 — Distanța minimă până la o curbă

Determinați punctul de pe parabola de ecuație $y=x^2$ aflat la distanță minimă de punctul $A(3,0)$ și calculați această distanță.

Rezolvare. Un punct oarecare al parabolei este $M(t,t^2)$. Atunci $$d(t{)}^2=(t-3{)}^2+{\left(t^2\right)}^2=t^4+t^2-6t+9.$$ Notăm $g(t)=d(t{)}^2$, definită pe $\mathbb{R}$, și o minimizăm pe ea (funcția radical fiind strict crescătoare, punctul de minim este același).

$g^{\prime }(t)=4t^3+2t-6=2(t-1)(2t^2+2t+3)$. Trinomul $2t^2+2t+3$ are discriminantul $4-24=-20<0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pentru orice $t$. Prin urmare semnul lui $g^{\prime }$ este semnul lui $t-1$: negativ pe $(-\infty ,1)$, pozitiv pe $(1,+\infty )$.

Minimul lui $g$ este $g(1)=1+1-6+9=5$, deci distanța minimă este $d=\sqrt{5}$, atinsă în punctul $M(1,1)$. Verificare directă: $AM=\sqrt{(1-3{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$ ✓. ✓

Exemplul 3 — Dreptunghiul înscris în semicerc

Un dreptunghi are o latură pe diametrul unui semicerc de rază $5$, iar celelalte două vârfuri pe semicerc. Determinați aria maximă a dreptunghiului.

Rezolvare. Așezăm semicercul cu centrul în origine, deasupra axei $Ox$. Vârfurile de sus sunt $(-x,y)$ și $(x,y)$, cu $x^2+y^2=25$, deci $y=\sqrt{25-x^2}$. Baza dreptunghiului este $2x$, înălțimea este $y$, deci $$\mathcal{S}(x)=2x\sqrt{25-x^2},x\in (0,5).$$ Derivăm ca produs: $${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=2\sqrt{25-x^2}+2x\cdot \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}=\frac{2(25-2x^2)}{\sqrt{25-x^2}}.$$ Numitorul e pozitiv, deci semnul e dat de $25-2x^2$, care se anulează pentru $x=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$, este pozitiv înainte și negativ după.

Aria maximă este $25$, adică pătratul razei. Dimensiunile: baza $2x=5\sqrt{2}$, înălțimea $\sqrt{25-\frac{25}{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$ — baza este dublul înălțimii. ✓

Exemplul 4 — Cel mai puțin material

Un vas cilindric închis are volumul de $2\pi$ dm³. Determinați raza pentru care aria totală a suprafeței vasului este minimă.

Rezolvare. Fie $r$ raza bazei și $h$ înălțimea. Din $\pi r^{2}h=2\pi$ obținem $h=\frac{2}{r^2}$. Aria totală este suma celor două discuri și a suprafeței laterale: $$\mathcal{S}(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{2}{r^2}=2\pi r^2+\frac{4\pi }{r},r\in (0,+\infty ).$$ ${\mathcal{S}}^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{4\pi }{r^2}=\frac{4\pi \left(r^3-1\right)}{r^2}$, care se anulează pentru $r=1$, e negativă înainte și pozitivă după.

Aria minimă este $6\pi$ dm², pentru $r=1$ dm și $h=2$ dm. Rezultatul merită reținut: la volum dat, cilindrul cu aria totală minimă are înălțimea egală cu diametrul, $h=2r$. Control: $\pi \cdot 1^2\cdot 2=2\pi$ ✓, iar unitățile dau dm² la arie ✓. ✓

Exemplul 5 — Aceeași distanță, pe două căi

Determinați distanța minimă de la originea $O$ la dreapta $d:3x+4y-25=0$ și piciorul perpendicularei.

Rezolvare cu derivata. Un punct al dreptei are forma $M\left(t,\frac{25-3t}{4}\right)$. Atunci $$D(t)=O{M}^2=t^2+\frac{(25-3t{)}^2}{16},D^{\prime }(t)=2t-\frac{3(25-3t)}{8}=\frac{25t-75}{8}.$$ Derivata se anulează pentru $t=3$, e negativă înainte și pozitivă după, deci $D$ are minim în $t=3$: $D(3)=9+16=25$, adică distanța minimă este $5$, atinsă în $M(3,4)$.

Verificare cu formula. La Distanța de la un punct la o dreaptă ai obținut $d(M_0,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, care aici dă $\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}=\frac{25}{5}=5$ ✓. Punctul $M(3,4)$ verifică ecuația dreptei: $9+16-25=0$ ✓.

Merită reținută ideea: derivata redemonstrează formula distanței, arătând de unde vine ea — din minimizarea unei funcții de gradul al doilea. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Un teren dreptunghiular se împrejmuiește pe trei laturi cu un gard de $100$ de metri, a patra latură fiind malul unui râu. a) Exprimați aria terenului ca funcție de lungimea $x$ a unei laturi perpendiculare pe râu și precizați domeniul. b) Calculați derivata funcției obținute și determinați punctul critic. c) Determinați aria maximă a terenului și dimensiunile lui.

Rezolvare.

a) Cele două laturi perpendiculare pe râu au fiecare lungimea $x$, deci latura paralelă cu râul are $100-2x$ metri. Aria este $$\mathcal{S}(x)=x(100-2x)=100x-2x^2.$$ Condițiile $x>0$ și $100-2x>0$ dau domeniul $x\in (0,50)$.

b) ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=100-4x$, care se anulează pentru $x=25$, valoare aflată în domeniu.

c) Derivata e pozitivă pe $(0,25)$ și negativă pe $(25,50)$:

Aria maximă este $\mathcal{S}(25)=25\cdot 50=1250$ metri pătrați, pentru un teren de $25$ m pe $50$ m. Observă că latura de lângă râu este dublul celeilalte — nu pătrat, cum ar fi tentant de ghicit, tocmai pentru că una dintre laturi nu se împrejmuiește. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare problemă, scrie explicit cei cinci pași; baremele punctează separat funcția, domeniul, tabelul și interpretarea.

1. Dintre toate dreptunghiurile cu perimetrul de $24$ cm, determină-l pe cel de arie maximă.

2. Dintre toate dreptunghiurile de arie $36$ cm², determină-l pe cel cu perimetrul minim.

3. Dintr-un carton pătrat cu latura de $6$ dm se decupează pătrate din colțuri și se îndoaie marginile. Determină volumul maxim al cutiei fără capac obținute.

4. O cutie fără capac, cu baza pătrată, are volumul de $32$ dm³. Determină dimensiunile pentru care se folosește cel mai puțin material.

5. Determină distanța minimă de la punctul $A(0,2)$ la parabola de ecuație $y=x^2$.

6. Suma catetelor unui triunghi dreptunghic este $12$ cm. Determină lungimea minimă a ipotenuzei.

7. Dintre toate triunghiurile dreptunghice cu ipotenuza de $10$ cm, determină-l pe cel de arie maximă.

8. Un dreptunghi are două laturi pe catetele unui triunghi dreptunghic cu catetele de $6$ cm și $8$ cm, iar un vârf pe ipotenuză. Determină aria maximă a dreptunghiului.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-o problemă de extrem geometric, domeniul funcției de optimizat este întotdeauna $\mathbb{R}$."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă derivata se anulează într-un punct din domeniu, atunci acolo se află maximul căutat."

11. Explică de ce, la problemele de distanță minimă, este permis să minimizezi $d^2$ în loc de $d$.

12. Un elev a scris, pentru cutia din Exemplul $1$, „aria bazei este $x(12-2x{)}^2$". Arată, printr-un argument dimensional, că formula nu poate fi o arie.

13. (Problemă aplicată.) Un fermier are $60$ de metri de plasă și vrea să împrejmuiască un țarc dreptunghiular lipit de peretele hambarului, care ține loc de a patra latură. Determină aria maximă a țarcului.

14. Un punct $M$ se deplasează pe dreapta de ecuație $y=x$. Determină poziția lui $M$ pentru care distanța până la punctul $A(4,0)$ este minimă și verifică rezultatul cu formula distanței de la un punct la o dreaptă.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră un dreptunghi cu perimetrul de $20$ cm și o latură de lungime $x$. a) Exprimă aria ca funcție de $x$ și precizează domeniul. b) Calculează derivata și întocmește tabelul de variație. c) Determină aria maximă.

16. Rezolvă exercițiul $1$ și prin metoda de dinaintea derivatelor, folosind vârful parabolei, și compară cele două rezolvări.

17. Un elev a obținut, la cutia din Exemplul $1$, soluția $x=6$ și a răspuns că volumul maxim este $V(6)=0$. Explică unde este greșeala de raționament.

18. (Provocare.) O cutie fără capac cu baza pătrată are volumul $V$ dat. Arată că aria totală este minimă atunci când înălțimea este jumătate din latura bazei.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathcal{S}(x)=x(12-x)$, $x\in (0,12)$; ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=12-2x$, cu rădăcina $6$, pozitivă înainte și negativă după. Aria maximă este $\mathcal{S}(6)=36$ cm², pentru pătratul cu latura de $6$ cm.

2. Cu o latură $x$, cealaltă este $\frac{36}{x}$, deci $P(x)=2\left(x+\frac{36}{x}\right)$, $x\in (0,+\infty )$. $P^{\prime }(x)=2\left(1-\frac{36}{x^2}\right)$, cu rădăcina $x=6$ (cea negativă nu e în domeniu), negativă pe $(0,6)$ și pozitivă pe $(6,+\infty )$. Perimetrul minim este $P(6)=24$ cm, tot pentru pătrat.

3. $V(x)=x(6-2x{)}^2$, $x\in (0,3)$; $V^{\prime }(x)=(6-2x)(6-6x)$, cu rădăcinile $3$ (exclusă) și $1$. Volumul maxim este $V(1)=1\cdot 4^2=16$ dm³, cu baza de $4\times 4$ dm și înălțimea de $1$ dm.

4. Cu latura bazei $x$, înălțimea este $h=\frac{32}{x^2}$, iar aria (bază plus patru fețe laterale) este $\mathcal{S}(x)=x^2+4xh=x^2+\frac{128}{x}$, $x>0$. ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=2x-\frac{128}{x^2}=\frac{2\left(x^3-64\right)}{x^2}$, cu rădăcina $x=4$, negativă înainte și pozitivă după. Deci baza are $4\times 4$ dm, înălțimea $2$ dm, iar aria minimă este $48$ dm².

5. Cu $M(t,t^2)$, $g(t)=t^2+{\left(t^2-2\right)}^2=t^4-3t^2+4$; $g^{\prime }(t)=4t^3-6t=2t\left(2t^2-3\right)$, cu rădăcinile $0$ și $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$. Minimul se atinge în $t=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$, unde $g=\frac{7}{4}$, deci distanța minimă este $\frac{\sqrt{7}}{2}$ (există două puncte, simetrice față de axa $Oy$).

6. Cu catetele $a$ și $12-a$, $H(a)=a^2+(12-a{)}^2$ este pătratul ipotenuzei, $a\in (0,12)$; $H^{\prime }(a)=4a-24$, cu rădăcina $6$. Ipotenuza minimă este $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ cm, pentru triunghiul isoscel cu catetele de $6$ cm.

7. Cu o catetă $a$, cealaltă este $\sqrt{100-a^2}$, deci $\mathcal{S}(a)=\frac{a\sqrt{100-a^2}}{2}$, $a\in (0,10)$; ${\mathcal{S}}^{\prime }(a)=\frac{100-2a^2}{2\sqrt{100-a^2}}$, cu rădăcina $a=5\sqrt{2}$. Aria maximă este $25$ cm², pentru triunghiul dreptunghic isoscel.

8. Așezăm catetele pe axe: ipotenuza are ecuația $\frac{x}{8}+\frac{y}{6}=1$, deci $y=6-\frac{3x}{4}$ și $\mathcal{S}(x)=x\left(6-\frac{3x}{4}\right)$, $x\in (0,8)$. ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=6-\frac{3x}{2}$, cu rădăcina $4$. Aria maximă este $12$ cm², adică exact jumătate din aria triunghiului, iar dreptunghiul are laturile $4$ și $3$.

9. Fals. Variabila este o lungime, deci trebuie să fie pozitivă, iar celelalte dimensiuni calculate din ea trebuie să fie și ele pozitive. Domeniul este aproape întotdeauna un interval mărginit, ca $(0,6)$ la cutie, iar soluțiile din afara lui se resping.

10. Fals. Anularea derivatei dă doar un candidat. Trebuie studiat semnul derivatei în jurul lui: dacă trece de la plus la minus e maxim, dacă trece de la minus la plus e minim, iar dacă nu-și schimbă semnul nu e nici una, nici alta. La cutie, rădăcina $x=6$ nici măcar nu aparține domeniului.

11. Pentru că funcția $t\mapsto \sqrt{t}$ este strict crescătoare pe $[0,+\infty )$. Compunerea cu o funcție strict crescătoare păstrează ordinea valorilor, deci $d$ și $d^2$ au aceleași intervale de monotonie și își ating extremele în aceleași puncte. Se câștigă scăparea de radical la derivare.

12. Dacă $x$ se măsoară în centimetri, expresia $x(12-2x{)}^2$ este un produs de trei lungimi, deci se măsoară în centimetri cubi: este un volum, nu o arie. Aria bazei este $(12-2x{)}^2$, iar volumul se obține înmulțind-o cu înălțimea $x$.

13. $\mathcal{S}(x)=x(60-2x)$, $x\in (0,30)$; ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=60-4x$, cu rădăcina $15$, pozitivă înainte și negativă după. Aria maximă este $\mathcal{S}(15)=15\cdot 30=450$ m², pentru un țarc de $15$ m pe $30$ m.

14. Punctele dreptei sunt $M(t,t)$, deci $D(t)=(t-4{)}^2+t^2=2t^2-8t+16$; $D^{\prime }(t)=4t-8$, cu rădăcina $2$. Deci $M(2,2)$ și $d=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Cu formula, scriind dreapta sub forma generală $x-y=0$: $\frac{|4-0|}{\sqrt{1+1}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ ✓.

15. a) Cu o latură $x$, cealaltă este $10-x$, deci $\mathcal{S}(x)=x(10-x)$, cu $x\in (0,10)$. b) ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=10-2x$, cu rădăcina $5$; derivata e pozitivă pe $(0,5)$ și negativă pe $(5,10)$, iar la capete aria tinde la $0$. c) Aria maximă este $\mathcal{S}(5)=25$ cm², pentru pătratul cu latura de $5$ cm.

16. $\mathcal{S}(x)=-x^2+12x$ este o funcție de gradul al doilea cu $a=-1<0$, deci are maxim în vârf, la $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{12}{-2}=6$, cu valoarea $36$ — același rezultat. Metoda vârfului e mai scurtă, dar funcționează numai la gradul al doilea; derivata funcționează la toate exemplele din lecție.

17. Valoarea $x=6$ este rădăcină a derivatei, dar nu aparține domeniului $(0,6)$: pentru $x=6$ baza cutiei ar avea latura $12-12=0$, deci cutia nu ar exista. Candidații se caută numai printre rădăcinile din domeniu, iar aici singura este $x=2$.

18. Cu latura bazei $x$, înălțimea este $h=\frac{V}{x^2}$, iar $\mathcal{S}(x)=x^2+\frac{4V}{x}$ pentru $x>0$. Din ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)=2x-\frac{4V}{x^2}=\frac{2\left(x^3-2V\right)}{x^2}$ rezultă unicul punct critic $x=\sqrt[3]{2V}$, cu derivata negativă înainte și pozitivă după, deci minim. Atunci $h=\frac{V}{x^2}=\frac{x^3}{2x^2}=\frac{x}{2}$, adică înălțimea este jumătate din latura bazei. (Pentru $V=32$ se regăsește exercițiul $4$: $x=4$, $h=2$.)

De reținut

• Metoda are cinci pași: mărimea de optimizat, funcția de o singură variabilă, domeniul real, tabelul de variație, interpretarea în limbajul problemei.
• Relația de legătură din enunț (perimetru dat, volum impus, punct pe o curbă) este cea care elimină variabila în plus și lasă o singură necunoscută.
• Domeniul se deduce din geometrie, nu se alege: toate lungimile trebuie să fie strict pozitive, iar capetele corespund figurilor degenerate.
• La distanțe se minimizează pătratul distanței, pentru că funcția radical e strict crescătoare și nu schimbă punctul de extrem.
• Răspunsul se dă în limbajul problemei, cu dimensiunile figurii și cu unitatea de măsură — nu doar cu valoarea lui $x$.

Greșeli frecvente

• Lași două variabile în formulă. Aria $\mathcal{S}=xy$ nu se poate deriva ca funcție de $x$ până când $y$ nu e înlocuit din relația de legătură. Primul lucru de scris este relația care leagă $x$ de $y$.
• Uiți domeniul și accepți o rădăcină imposibilă. La cutia din carton de $12$ cm, rădăcina $x=6$ dă o cutie cu baza nulă; ea se respinge, nu se discută.
• Confunzi punctul cu valoarea căutată. „Aria maximă este $x=10$" e greșit: $10$ este latura, iar aria maximă este $\mathcal{S}(10)=100$.
• Te oprești la anularea derivatei. Fără studiul semnului nu știi dacă ai găsit maxim, minim sau niciuna. Tabelul de variație e obligatoriu în barem.
• Amesteci formulele de arie și de volum. Un control dimensional rapid — câte lungimi se înmulțesc — prinde greșeala înainte de a deriva degeaba.

Aplică acasă

1. Cutia din foaie A4. Ia o foaie A4 ($21\times 29,7$ cm), decupează pătrate cu latura $x$ din colțuri pentru trei valori diferite ale lui $x$ și îndoaie marginile. Măsoară aproximativ volumul fiecărei cutii turnând orez sau apă și compară ordinea găsită cu ce prezice funcția $V(x)=x(21-2x)(29,7-2x)$.

2. Ambalajele din bucătărie. Alege trei conserve cilindrice din casă, măsoară raza și înălțimea fiecăreia și verifică dacă raportul $\frac{h}{r}$ este apropiat de $2$, adică de forma cu material minim. Scrie o explicație pentru abaterile găsite: capac mai gros, etichetă, formă mai comodă la prins în mână.

3. Terenul din curte. Măsoară un colț de curte sau de balcon și imaginează-ți că ai $12$ metri de gard pentru o parcelă dreptunghiulară lipită de un perete. Calculează dimensiunile optime, apoi marchează-le cu o sfoară și privește rezultatul: raportul $1:2$ se vede cu ochiul liber.

Pentru părinți și profesori

Lecția este locul în care analiza matematică își arată utilitatea imediată. Programa cere explicit ca derivata întâi să fie folosită pentru modelarea unor situații practice care necesită optimizarea soluțiilor, iar competența privind ariile suprafețelor plane menționează, la fel de explicit, „rezolvarea unor probleme de optimizare în calcularea ariilor unor suprafețe plane, în contexte practice". Aici se leagă capitolul de derivate de geometria studiată în clasele anterioare și de unitatea de geometrie analitică din acest an.

Ce verifică lecția: (1) trecerea de la enunțul geometric la o funcție de o singură variabilă — pasul cel mai greu, pentru că cere folosirea relației de legătură; (2) determinarea domeniului real, unde se pierd cele mai multe puncte; (3) tabelul de variație și decizia asupra naturii punctului critic; (4) revenirea la figură, cu dimensiuni și unități; (5) reflexul de control dimensional.

Întrebări bune de control: „De ce nu poate fi $x$ orice număr real?", „Ce se întâmplă cu figura în capetele domeniului?", „De ce nu ajunge să rezolvi ecuația derivata egal zero?". La BAC M1, problema apare de regulă cu subpuncte care urmăresc chiar acești pași, iar un elev care scrie corect funcția și domeniul ia deja o parte bună din punctaj. Semn că elevul a înțeles: înainte de a deriva, scrie domeniul pe rândul următor formulei. Continuarea firească a lecției este Probleme de optimizare în economie: cost, profit, productivitate, unde aceeași metodă se aplică unor mărimi care nu mai sunt lungimi.

Întrebări frecvente

Ce este o problemă de extrem în geometrie? Este o problemă în care se cere cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei mărimi geometrice — arie, volum, perimetru, distanță — atunci când figura se poate modifica, respectând o condiție dată, cum ar fi un perimetru fix sau un volum impus.

Care sunt pașii de rezolvare? Cinci: identifici mărimea de optimizat, o exprimi ca funcție de o singură variabilă folosind relația de legătură, stabilești domeniul real al problemei, întocmești tabelul de variație cu derivata întâi și interpretezi rezultatul în limbajul problemei.

Cum aflu domeniul într-o problemă practică? Impui ca toate lungimile care apar să fie strict pozitive: și variabila, și dimensiunile calculate din ea. Rezolvi sistemul de inegalități obținut și găsești, de obicei, un interval mărginit și deschis.

De ce se minimizează pătratul distanței? Pentru că radicalul complică derivarea fără să schimbe răspunsul: funcția radical este strict crescătoare, deci distanța și pătratul ei sunt minime exact în același punct. La final se extrage o singură dată rădăcina.

Ce fac dacă rădăcina derivatei nu este în domeniu? O respingi, exact ca pe o soluție străină la o ecuație. Dacă nu rămâne niciun punct critic în domeniu, înseamnă că funcția este monotonă acolo, iar extremul se caută în capete, dacă enunțul le admite.

Dintre toate dreptunghiurile cu același perimetru, care are aria maximă? Pătratul. Se demonstrează în două rânduri: cu latura $x$ și semiperimetrul $s$, aria este $x(s-x)$, funcție de gradul al doilea al cărei maxim se atinge pentru $x=\frac{s}{2}$, adică atunci când cele două laturi sunt egale.

La ce folosesc problemele acestea în viața reală? La proiectarea ambalajelor cu material minim, la împărțirea unui teren cu gard de lungime dată, la alegerea traseului cel mai scurt până la un drum și, mai departe, la orice situație în care o resursă limitată trebuie folosită cât mai bine.