Distanțe din arii și optimizare: pe scurt

Lecția nu aduce formule noi, ci metode. Prima: aria unui triunghi se scrie în trei feluri, câte unul pentru fiecare latură luată drept bază, deci fiecare egalitate dă o distanță cu o singură împărțire — $d(C,AB)=\frac{2\mathcal{S}}{AB}$, și analoagele. Cum aria vine din determinant, se obține scurtătura $d(C,AB)=\frac{|\Delta |}{AB}$: calculezi un determinant, o lungime, faci raportul — fără să scrii ecuația dreptei.

A doua metodă este o regulă de igienă: orice rezolvare începe cu $\Delta$. Dacă $\Delta =0$, punctele sunt coliniare, triunghiul nu există, iar întrebările despre înălțimi sau arii rămân fără obiect; răspunsul corect este chiar această constatare.

A treia este optimizarea, făcută aici fără derivate (ele vin mult mai târziu). Trei tipare acoperă tot: (1) arie constantă — când vârful mobil se plimbă pe o dreaptă paralelă cu baza, aria nu se schimbă, pentru că nici baza, nici înălțimea nu se schimbă; (2) arie liniară în parametru — când vârful parcurge un segment, $\Delta$ depinde liniar de parametru, deci extremele se ating în capete, nu „pe la mijloc”; (3) arie pătratică în parametru — se obține o funcție de gradul al doilea, iar extremul este în vârful parabolei, găsit prin forma canonică.

La tiparul pătratic, modulul se desface o singură dată pe tot intervalul, dacă $\Delta$ păstrează semnul acolo — adică dacă punctul mobil rămâne de aceeași parte a dreptei.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră punctele $A(-2,1)$, $B(4,3)$ și $C(2,9)$. Distanța de la $C$ la dreapta $AB$ este:

   • a) $\sqrt{10}$
   • b) $2\sqrt{10}$
   • c) $10$
   • d) $4\sqrt{10}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $2\sqrt{10}$

   Forma scurtă dă $\Delta =(4+2)(9-1)-(2+2)(3-1)=40$, iar $AB=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}$. Atunci $d(C,AB)=\frac{|\Delta |}{AB}=\frac{40}{2\sqrt{10}}=2\sqrt{10}$. Varianta $\sqrt{10}$ apare dacă la numărător se pune aria $\mathcal{S}=20$ în loc de $|\Delta |=2\mathcal{S}$. Control: $AB:x-3y+5=0$, iar $\frac{|2-27+5|}{\sqrt{10}}=2\sqrt{10}$ ✓.

2. Punctele $A(0,0)$ și $B(9,0)$ sunt fixe, iar $P$ parcurge dreapta $y=6$. Aria triunghiului $ABP$:

   • a) crește pe măsură ce $P$ se depărtează de axa $Oy$
   • b) este maximă atunci când $P$ are abscisa $\frac{9}{2}$
   • c) este egală cu $27$, oricare ar fi poziția lui $P$
   • d) nu se poate determina fără abscisa punctului $P$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) este egală cu $27$, oricare ar fi poziția lui $P$

   Cu $P(t,6)$, forma scurtă dă $\Delta =9\cdot 6-t\cdot 0=54$, pentru orice $t$, deci $\mathcal{S}=27$. Explicația geometrică: baza $[AB]$ este fixă, iar $P$ se mișcă pe o dreaptă paralelă cu $AB$, deci înălțimea rămâne $6$. Este tiparul „arie constantă”: nu există o poziție cea mai bună.

3. Fie $A(0,1)$, $B(4,3)$ și $P(3s,4s)$, cu $s\in [0,1]$. Aria triunghiului $ABP$ este maximă pentru:

   • a) $s=0$, în punctul $P(0,0)$
   • b) $s=\frac{2}{5}$, unde aria se anulează
   • c) $s=\frac{1}{2}$, la mijlocul segmentului
   • d) $s=1$, în punctul $P(3,4)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $s=1$, în punctul $P(3,4)$

   Forma scurtă dă $\Delta (s)=4(4s-1)-3s\cdot 2=10s-4$, deci $\mathcal{S}(s)=\frac{|10s-4|}{2}$. Fiind liniară în interiorul modulului, aria este monotonă pe fiecare parte a rădăcinii $s=\frac{2}{5}$ (unde se anulează, adică $P$ ajunge pe dreapta $AB$), deci maximul se atinge într-un capăt: $\mathcal{S}(0)=2$ și $\mathcal{S}(1)=3$.