Probleme de geometrie analitică: distanțe deduse din arii și optimizare

Un proiectant care trebuie să sape un canal de la o fântână până la un drum drept are nevoie de o singură cifră: lungimea canalului. O poate obține scriind ecuația drumului și aplicând formula distanței — sau, mai scurt, calculând aria triunghiului format de fântână cu două borne ale drumului și împărțind-o la lungimea segmentului dintre borne. A doua cale pare ocolită, dar este de multe ori mai rapidă și, mai ales, este cea pe care o cere programa: „determinarea unor distanțe prin exprimarea ariei unui triunghi în două moduri".

Lecția aceasta nu aduce formule noi. Aduce metode: cum combini ce știi despre coliniaritate, distanțe și arii ca să rezolvi probleme care, la prima vedere, nu spun de unde să începi. Vom lucra pe trei tipare care acoperă aproape tot ce se cere la Bacalaureat M1 din acest capitol: aria exprimată în două moduri, verificarea prealabilă a coliniarității și optimizarea unei arii care depinde de un punct mobil.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci orice înălțime a unui triunghi dintr-o singură arie, exprimând aria în două moduri.
• Vei ști să calculezi distanța de la un punct la dreapta determinată de alte două puncte fără să scrii ecuația dreptei.
• Vei ști să pornești orice problemă cu verificarea coliniarității, ca să nu calculezi într-o configurație degenerată.
• Vei ști să recunoști când aria nu depinde de poziția unui punct mobil și să explici de ce.
• Vei ști să optimizezi o arie care depinde liniar sau pătratic de un parametru, folosind capetele intervalului, respectiv vârful parabolei.
• Vei ști să rezolvi probleme practice de suprafață, cu interpretarea rezultatului în unități reale.

Hai să descoperim împreună

1. Aria exprimată în două moduri

Ideea întregii lecții încape într-un rând. Aria unui triunghi se poate scrie în trei feluri, câte unul pentru fiecare latură luată drept bază:

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(C,AB)=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot d(A,BC)=\frac{1}{2}\cdot CA\cdot d(B,CA).$$

Dacă știm aria — și o știm întotdeauna, din determinantul lecției Aria unui triunghi cu ajutorul determinantului — atunci fiecare dintre aceste egalități ne dă o distanță, cu o singură împărțire:

$$d(C,AB)=\frac{2\mathcal{S}}{AB},d(A,BC)=\frac{2\mathcal{S}}{BC},d(B,CA)=\frac{2\mathcal{S}}{CA}.$$

Exemplu. Fie $A(0,0)$, $B(14,0)$, $C(5,12)$. Laturile sunt $AB=14$, $BC=\sqrt{(5-14{)}^2+12^2}=15$ și $CA=\sqrt{25+144}=13$. Determinantul dă

$$\Delta =(14-0)(12-0)-(5-0)(0-0)=168\Rightarrow \mathcal{S}=84.$$

Cele trei înălțimi ies acum imediat:

$$d(C,AB)=\frac{168}{14}=12,d(A,BC)=\frac{168}{15}=\frac{56}{5}=11,2,d(B,CA)=\frac{168}{13}.$$

Prima valoare se poate controla pe desen: cum $A$ și $B$ sunt pe axa $Ox$, distanța de la $C$ la dreapta $AB$ este chiar ordonata lui $C$, adică $12$ — semn că metoda funcționează.

2. Distanța de la un punct la o dreaptă dată prin două puncte

Combinând cele două formule ale lecțiilor precedente obținem o scurtătură care merită reținută. Dacă dreapta este dată prin punctele $A$ și $B$, iar $C$ este punctul din afara ei, atunci

$$d(C,AB)=\frac{2\mathcal{S}}{AB}=\frac{|\Delta |}{\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}}.$$

Avantajul este că nu mai scrii ecuația dreptei: calculezi un determinant, o lungime, faci raportul. La examen, unde fiecare pas costă timp, scurtătura aceasta economisește o rezolvare de ecuație.

Exemplu. Fie $A(-1,2)$, $B(5,0)$, $C(3,6)$. Determinantul este

$$\Delta =(5+1)(6-2)-(3+1)(0-2)=24+8=32,$$

deci $\mathcal{S}=16$. Cu $AB=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}$ obținem

$$d(C,AB)=\frac{32}{2\sqrt{10}}=\frac{16}{\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}\approx 5,06.$$

Control pe cealaltă cale. Dreapta $AB$ are ecuația $x+3y-5=0$ (se verifică imediat cu ambele puncte), iar formula din lecția Distanța de la un punct la o dreaptă dă

$$d(C,AB)=\frac{|3+18-5|}{\sqrt{1+9}}=\frac{16}{\sqrt{10}}✓$$

Observă și o consecință utilă: în acest triunghi $BC=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}=AB$, deci triunghiul este isoscel, iar înălțimile corespunzătoare celor două laturi egale trebuie să fie egale. Într-adevăr, $d(A,BC)=\frac{2\cdot 16}{2\sqrt{10}}=\frac{16}{\sqrt{10}}$, aceeași valoare. Astfel de verificări interne sunt cele mai bune plase de siguranță într-o problemă lungă.

3. Primul pas, întotdeauna: există triunghiul?

Multe enunțuri încep cu „se consideră triunghiul $ABC$, unde…". Dacă punctele sunt coliniare, triunghiul nu există, iar toate cerințele următoare rămân fără obiect. De aceea rezolvarea corectă începe cu determinantul, nu cu figura.

Exemplu. Punctele $A(2,1)$, $B(5,7)$, $C(7,11)$ dau

$$\Delta =(5-2)(11-1)-(7-2)(7-1)=30-30=0,$$

deci sunt coliniare: nu formează triunghi, aria este nulă și niciuna dintre înălțimi nu se poate calcula, pentru că nu există latură opusă. Răspunsul corect la o astfel de întrebare nu este un număr, ci constatarea coliniarității, scrisă explicit — exact ce cere condiția din lecția Condiția de coliniaritate a trei puncte.

Reține și reciproca acestei observații, pe care o vom folosi la optimizare: dacă un punct mobil trece printr-o poziție în care aria devine zero, atunci în acea poziție el se află pe dreapta determinată de celelalte două vârfuri.

4. Când aria nu depinde de punctul mobil

Iată prima situație de optimizare, și cea mai instructivă, pentru că răspunsul surprinde.

Problemă. Fie $A(0,0)$ și $B(6,0)$. Punctul $P$ se plimbă pe dreapta $y=4$. Pentru ce poziție a lui $P$ aria triunghiului $ABP$ este maximă?

Rezolvare. Scriem $P(t,4)$, cu $t\in \mathbb{R}$, și calculăm

$$\Delta =(6-0)(4-0)-(t-0)(0-0)=24,$$

pentru orice $t$. Deci ${\mathcal{S}}_{ABP}=12$, indiferent unde se află $P$ pe dreapta dată. Nu există o poziție „cea mai bună": toate sunt la fel de bune.

Explicația e geometrică și merită formulată în cuvinte: baza $AB$ este fixă, iar distanța de la $P$ la dreapta $AB$ este mereu $4$, pentru că $P$ se mișcă pe o dreaptă paralelă cu $AB$. Aria, fiind jumătate din produsul lor, nu se schimbă. Aceasta este exact fața cealaltă a rezultatului din lecția precedentă: locul geometric al punctelor pentru care aria are o valoare dată este o pereche de drepte paralele cu baza.

5. Aria care depinde liniar de un parametru

Problemă. Fie $A(1,1)$, $B(5,2)$, iar $P$ un punct care parcurge segmentul de la $O(0,0)$ la $Q(4,3)$. Determină pozițiile lui $P$ pentru care aria triunghiului $ABP$ este maximă, respectiv minimă.

Rezolvare. Punctele segmentului se scriu $P(4s,3s)$, cu $s\in [0,1]$: pentru $s=0$ obținem $O$, pentru $s=1$ obținem $Q$, iar valorile intermediare dau punctele dintre ele. Calculăm determinantul:

$$\Delta (s)=(5-1)(3s-1)-(4s-1)(2-1)=12s-4-4s+1=8s-3.$$

Aria este $\mathcal{S}(s)=\frac{1}{2}|8s-3|$, o funcție liniară în interiorul modulului. De aici citim totul:

• $\mathcal{S}$ se anulează pentru $s=\frac{3}{8}$, adică în punctul $P\left(\frac{3}{2},\frac{9}{8}\right)$ — poziția în care $P$ se află pe dreapta $AB$, deci cele trei puncte sunt coliniare;
• pe fiecare dintre intervalele $\left[0,\frac{3}{8}\right]$ și $\left[\frac{3}{8},1\right]$ aria este monotonă, deci maximul se atinge la un capăt al segmentului: $\mathcal{S}(0)=\frac{3}{2}$ și $\mathcal{S}(1)=\frac{5}{2}$;
• maximul este, așadar, $\frac{5}{2}$, atins pentru $s=1$, adică în punctul $Q(4,3)$; minimul este $0$, atins pentru $s=\frac{3}{8}$.

Regula generală de reținut: când vârful mobil parcurge un segment, determinantul depinde liniar de parametru, deci aria este maximă într-unul dintre capete. Nu are rost să cauți maximul „pe la mijloc".

6. Aria care depinde pătratic de un parametru

Problemă. Punctele $A(-1,1)$ și $B(2,4)$ se află pe parabola de ecuație $y=x^2$. Un al treilea punct, $P(t,t^2)$, se plimbă pe arcul dintre ele, adică $t\in (-1,2)$. Determină poziția lui $P$ pentru care aria triunghiului $ABP$ este maximă.

Rezolvare. Calculăm determinantul, folosind varianta cu scăderea liniilor:

$$\Delta (t)=(2+1)(t^2-1)-(t+1)(4-1)=3t^2-3-3t-3=3(t^2-t-2).$$

Pentru $t\in (-1,2)$ avem $t^2-t-2=(t-2)(t+1)<0$, deci

$$\mathcal{S}(t)=\frac{1}{2}|\Delta (t)|=\frac{3}{2}\left(2+t-t^2\right).$$

Pasul acesta merită privit de aproape, pentru că aici se pierd cele mai multe puncte: modulul se desface o singură dată, pentru tot intervalul, fiindcă $\Delta (t)$ păstrează același semn pe tot arcul. Motivul este observația despre semnul expresiei $ax+by+c$ din lecția Distanța de la un punct la o dreaptă: determinantul $\Delta$ este tocmai expresia dreptei $AB$ evaluată în $P$, iar punctul $P$ rămâne tot timpul de aceeași parte a dreptei $AB$, sub coardă. Dacă intervalul ar conține una dintre rădăcinile $-1$ sau $2$, semnul s-ar schimba și modulul ar trebui discutat pe bucăți.

Am ajuns la o funcție de gradul al doilea, cu coeficientul dominant negativ: ea își atinge maximul în vârful parabolei, așa cum se studiază la Parabola: vârf, axă de simetrie, ramuri. Scriem forma canonică:

$$2+t-t^2=\frac{9}{4}-{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2,$$

de unde maximul $\frac{9}{4}$ se atinge pentru $t=\frac{1}{2}$, valoare care aparține intervalului $(-1,2)$. Aria maximă este

$${\mathcal{S}}_{\max }=\frac{3}{2}\cdot \frac{9}{4}=\frac{27}{8}=3,375,\text{atinsa˘ pentru }P\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right).$$

Control pe a doua cale. Dreapta $AB$ are panta $\frac{4-1}{2+1}=1$ și ecuația $x-y+2=0$, iar $AB=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$. Atunci

$$\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{|t-t^2+2|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}\left(2+t-t^2\right),$$

aceeași funcție. Se vede acum de ce maximul ariei înseamnă maximul distanței de la $P$ la $AB$: baza fiind fixă, singurul lucru care se schimbă este înălțimea.

O observație frumoasă. Punctul găsit este exact punctul în care tangenta la parabolă este paralelă cu coarda $AB$. Se poate verifica fără derivate: o dreaptă paralelă cu $AB$ are ecuația $y=x+b$, iar intersecția ei cu parabola cere $x^2-x-b=0$; dreapta este tangentă exact când discriminantul $1+4b$ se anulează, adică pentru $b=-\frac{1}{4}$, caz în care punctul de contact are abscisa $x=\frac{1}{2}$. Este exact abordarea din Dreaptă și parabolă: interpretarea geometrică a sistemelor. În partea a doua a anului, la capitolul de derivate, aceeași concluzie va veni dintr-un singur calcul de pantă.

7. O problemă practică de optimizare

Problemă. O placă metalică este tăiată după dreapta de ecuație $3x+4y-24=0$, iar din colțul din origine se decupează un dreptunghi cu laturile pe axe și cu vârful opus pe această dreaptă. Ce dimensiuni trebuie să aibă dreptunghiul pentru a avea aria maximă?

Rezolvare. Vârful de pe dreaptă are coordonatele $(x,y)$ cu $3x+4y-24=0$, deci $y=\frac{24-3x}{4}$, iar $x$ poate lua valori în intervalul $[0,8]$ (pentru $x=8$ obținem $y=0$). Aria dreptunghiului este

$$\mathcal{S}(x)=x\cdot \frac{24-3x}{4}=6x-\frac{3}{4}{x}^2.$$

Este iarăși o funcție de gradul al doilea cu ramurile în jos, deci maximul se atinge în vârf, la abscisa

$$x_V=-\frac{6}{2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}=4,y=\frac{24-12}{4}=3,{\mathcal{S}}_{\max }=4\cdot 3=12.$$

Dreptunghiul optim are laturile $4$ și $3$. Merită observat că vârful lui se află la mijlocul segmentului tăiat de dreaptă pe axe, ceea ce sugerează un rezultat general — util de verificat singur, pe altă dreaptă.

Bilanțul metodelor de optimizare de care dispui acum: aria constantă (când punctul se mișcă paralel cu baza), aria liniară în parametru (extremele în capete), aria pătratică în parametru (extremul în vârful parabolei) și distanța minimă de la un punct la o dreaptă (atinsă în piciorul perpendicularei). Ele acoperă toate problemele de optimizare din acest capitol; metoda generală, valabilă pentru orice funcție, vine odată cu derivatele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toate înălțimile, dintr-o singură arie

Se consideră triunghiul $A(0,0)$, $B(14,0)$, $C(5,12)$. Calculați aria și lungimile celor trei înălțimi.

Rezolvare. $\Delta =14\cdot 12-5\cdot 0=168\ne 0$, deci punctele formează un triunghi, cu $\mathcal{S}=84$.

Laturile sunt $AB=14$, $BC=15$, $CA=13$, deci

$$h_C=\frac{2\mathcal{S}}{AB}=12,h_A=\frac{2\mathcal{S}}{BC}=\frac{168}{15}=\frac{56}{5},h_B=\frac{2\mathcal{S}}{CA}=\frac{168}{13}.$$

Control: $h_C$ trebuie să fie ordonata lui $C$, fiindcă $AB$ este pe axa $Ox$ — și este, $12✓$

Exemplul 2 — Distanță fără ecuația dreptei

Calculați distanța de la $C(3,6)$ la dreapta $AB$, unde $A(-1,2)$ și $B(5,0)$.

Rezolvare. $\Delta =(5+1)(6-2)-(3+1)(0-2)=32$, deci $\mathcal{S}=16$; $AB=\sqrt{36+4}=2\sqrt{10}$. Atunci

$$d(C,AB)=\frac{2\mathcal{S}}{AB}=\frac{32}{2\sqrt{10}}=\frac{16}{\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}.$$

Control: dreapta $AB$ are ecuația $x+3y-5=0$, iar $\frac{|3+18-5|}{\sqrt{10}}=\frac{16}{\sqrt{10}}✓$

Exemplul 3 — Un enunț care nu are obiect

Calculați aria triunghiului cu vârfurile $A(2,1)$, $B(5,7)$, $C(7,11)$ și lungimea înălțimii din $A$.

Rezolvare. $\Delta =(5-2)(11-1)-(7-2)(7-1)=30-30=0$, deci punctele sunt coliniare: aria este $0$, iar „triunghiul" din enunț nu există. Înălțimea din $A$ nu se poate calcula, pentru că nu există o latură opusă lui $A$ — toate trei punctele se află pe aceeași dreaptă. Răspunsul complet constă tocmai în această constatare, justificată prin determinant.

Exemplul 4 — Vârf mobil pe un segment

Fie $A(1,1)$, $B(5,2)$ și $P$ un punct al segmentului cu capetele $O(0,0)$ și $Q(4,3)$. Determinați aria maximă și aria minimă a triunghiului $ABP$.

Rezolvare. Scriem $P(4s,3s)$, $s\in [0,1]$, și obținem $\Delta (s)=8s-3$, deci $\mathcal{S}(s)=\frac{|8s-3|}{2}$.

Aria se anulează pentru $s=\frac{3}{8}$ (punctul $P$ ajunge pe dreapta $AB$), deci minimul este $0$. Fiind liniară pe fiecare parte, aria își atinge maximul într-un capăt: $\mathcal{S}(0)=\frac{3}{2}$, $\mathcal{S}(1)=\frac{5}{2}$. Maximul este $\frac{5}{2}$, pentru $P=Q(4,3)$.

Exemplul 5 — Aria maximă a unui dreptunghi

Un dreptunghi are două laturi pe axele de coordonate și vârful opus originii pe dreapta $3x+4y-24=0$. Aflați aria maximă.

Rezolvare. Cu vârful $(x,y)$, $y=\frac{24-3x}{4}$ și $x\in [0,8]$, aria este $\mathcal{S}(x)=6x-\frac{3}{4}{x}^2$, o funcție de gradul al doilea cu ramurile în jos. Vârful parabolei se află la $x_V=4$, deci $y=3$ și ${\mathcal{S}}_{\max }=12$.

Control: pentru $x=2$ obținem $\mathcal{S}=9$, iar pentru $x=6$ tot $9$ — valori mai mici decât $12$, simetrice față de $x=4$, cum era de așteptat.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,0)$, $B(14,0)$ și $C(5,12)$.

a) Arătați că punctele $A$, $B$, $C$ nu sunt coliniare și calculați aria triunghiului $ABC$.

b) Calculați distanța de la $A$ la dreapta $BC$.

c) Arătați că, pentru orice punct $P$ al dreptei de ecuație $y=12$, aria triunghiului $ABP$ este egală cu aria triunghiului $ABC$.

Rezolvare. a) $\Delta =14\cdot 12-5\cdot 0=168\ne 0$, deci punctele nu sunt coliniare, iar ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{168}{2}=84$.

b) $BC=\sqrt{(5-14{)}^2+(12-0{)}^2}=\sqrt{81+144}=15$, deci

$$d(A,BC)=\frac{2\mathcal{S}}{BC}=\frac{168}{15}=\frac{56}{5}=11,2.$$

Control cu formula distanței: dreapta $BC$ are ecuația $4x+3y-56=0$ (se verifică pe ambele puncte), iar $d(A,BC)=\frac{|-56|}{\sqrt{16+9}}=\frac{56}{5}✓$

c) Un punct al dreptei date are forma $P(t,12)$, deci

$${\Delta }_{ABP}=(14-0)(12-0)-(t-0)(0-0)=168,$$

pentru orice $t\in \mathbb{R}$. Prin urmare ${\mathcal{S}}_{ABP}=84={\mathcal{S}}_{ABC}$. Explicația geometrică: $C$ și $P$ se află pe aceeași dreaptă paralelă cu $AB$, deci au aceeași distanță până la $AB$, iar baza este comună.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare problemă începe prin a calcula determinantul $\Delta$: el îți spune dacă triunghiul există și îți dă, în același timp, aria.

1. Pentru triunghiul $A(0,0)$, $B(14,0)$, $C(5,12)$, calculează aria și cele trei înălțimi.

2. Calculează distanța de la $C(3,6)$ la dreapta $AB$, unde $A(-1,2)$ și $B(5,0)$, folosind aria.

3. Pentru același triunghi, calculează $d(A,BC)$ și explică de ce este egală cu distanța de la punctul anterior.

4. Pentru triunghiul $A(1,2)$, $B(6,3)$, $C(4,7)$, calculează aria și apoi $d(C,AB)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă aria triunghiului $ABC$ este zero, atunci punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare."

6. (Problemă aplicată.) Trei jaloane de trasare a unei alei se află în punctele $A(2,1)$, $B(5,7)$, $C(7,11)$ ale planului de situație. Verifică dacă cele trei jaloane sunt aliniate și explică ce înseamnă rezultatul obținut pentru proiectant.

7. Fie $A(0,0)$ și $B(6,0)$. Arată că aria triunghiului $ABP$ este aceeași pentru orice punct $P$ de pe dreapta $y=4$ și calculeaz-o.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dintre toate triunghiurile cu baza $AB$ fixată și cu al treilea vârf pe o dreaptă paralelă cu $AB$, cel isoscel are aria cea mai mare."

9. Fie $A(1,1)$, $B(5,2)$ și $P(4s,3s)$ cu $s\in [0,1]$. Determină expresia lui $\Delta (s)$ și aria maximă a triunghiului $ABP$.

10. Pentru situația de la exercițiul anterior, află valoarea lui $s$ pentru care aria este nulă și explică geometric ce se întâmplă atunci.

11. Fie $A(-1,1)$, $B(2,4)$ și $P(t,t^2)$ cu $t\in (-1,2)$. Arată că $\mathcal{S}(t)=\frac{3}{2}(2+t-t^2)$ și determină aria maximă.

12. Regăsește rezultatul precedent pe a doua cale, calculând $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(P,AB)$, unde $AB:x-y+2=0$.

13. Un dreptunghi are două laturi pe axe și vârful opus originii pe dreapta $3x+4y-24=0$. Determină dimensiunile pentru care aria este maximă.

14. Calculează distanța minimă de la $M(2,1)$ la dreapta $3x-4y+5=0$ și precizează punctul dreptei în care se atinge acest minim.

15. (Problemă aplicată.) Colțurile unei parcele triunghiulare au coordonatele $A(0,0)$, $B(14,0)$, $C(5,12)$ pe un plan cu unitatea de $100$ de metri. a) Ce suprafață are parcela, în hectare? b) Ce lungime are canalul săpat din $A$, perpendicular pe latura $BC$?

16. Determină punctele $P$ de pe axa $Ox$ pentru care aria triunghiului $ABP$, cu $A(1,2)$ și $B(6,3)$, este egală cu $5$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A(0,0)$, $B(14,0)$, $C(5,12)$. a) Arată că punctele nu sunt coliniare și calculează aria triunghiului. b) Calculează $d(A,BC)$. c) Arată că aria triunghiului $ABP$ este $84$ pentru orice punct $P$ al dreptei $y=12$.

18. (Provocare.) Pentru $A(-1,1)$ și $B(2,4)$ de pe parabola $y=x^2$, arată — folosind numai condiția de tangență a unei drepte la parabolă — că dreapta paralelă cu $AB$ și tangentă la parabolă atinge parabola exact în punctul în care aria triunghiului $ABP$ este maximă.

Răspunsuri și explicații

1. $\Delta =168$, deci $\mathcal{S}=84$; laturile sunt $14$, $15$, $13$, deci înălțimile sunt $\frac{168}{14}=12$, $\frac{168}{15}=\frac{56}{5}$ și $\frac{168}{13}$.

2. $\Delta =32$, $\mathcal{S}=16$, $AB=2\sqrt{10}$, deci $d(C,AB)=\frac{32}{2\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}\approx 5,06$.

3. $BC=\sqrt{4+36}=2\sqrt{10}$, deci $d(A,BC)=\frac{32}{2\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}{5}$. Cele două distanțe sunt egale pentru că laturile $AB$ și $BC$ au aceeași lungime: triunghiul este isoscel, iar la baze egale corespund înălțimi egale.

4. $\Delta =(6-1)(7-2)-(4-1)(3-2)=22$, deci $\mathcal{S}=11$; $AB=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$, deci $d(C,AB)=\frac{22}{\sqrt{26}}=\frac{11\sqrt{26}}{13}$.

5. Adevărat. Aria nulă înseamnă $|\Delta |=0$, adică $\Delta =0$, care este exact condiția de coliniaritate. Geometric, triunghiul s-a „turtit" pe o dreaptă: înălțimea din oricare vârf devine nulă, pentru că vârful se află chiar pe dreapta laturii opuse. Afirmația este adevărată și în sens invers, deci cele două condiții sunt echivalente.

6. $\Delta =(5-2)(11-1)-(7-2)(7-1)=30-30=0$, deci punctele sunt coliniare: cele trei jaloane sunt aliniate, iar aleea poate fi trasată ca un singur segment drept. Din punct de vedere matematic, punctele nu formează triunghi, deci întrebările despre arie, înălțimi sau unghiuri rămân fără obiect; rezolvarea se oprește cu justificarea coliniarității.

7. Cu $P(t,4)$: $\Delta =6\cdot 4-t\cdot 0=24$, independent de $t$, deci $\mathcal{S}=12$ mereu. Baza $AB$ este fixă, iar înălțimea este constant egală cu $4$, fiindcă $P$ se mișcă pe o paralelă la $AB$.

8. Fals. Toate aceste triunghiuri au aceeași arie, pentru că au aceeași bază și aceeași înălțime. Triunghiul isoscel are, în schimb, perimetrul cel mai mic dintre ele — dar întrebarea era despre arie.

9. $\Delta (s)=(5-1)(3s-1)-(4s-1)(2-1)=8s-3$, deci $\mathcal{S}(s)=\frac{|8s-3|}{2}$. Fiind liniară pe fiecare dintre cele două ramuri, aria își atinge maximul într-un capăt: $\mathcal{S}(0)=\frac{3}{2}$, $\mathcal{S}(1)=\frac{5}{2}$. Aria maximă este $\frac{5}{2}$, pentru $P(4,3)$.

10. $8s-3=0$ dă $s=\frac{3}{8}$, adică $P\left(\frac{3}{2},\frac{9}{8}\right)$. În acel moment $P$ se află pe dreapta $AB$: cele trei puncte devin coliniare, iar „triunghiul" se turtește.

11. $\Delta (t)=3(t+1)(t-2)$, negativ pe $(-1,2)$, deci $\mathcal{S}(t)=\frac{3}{2}(2+t-t^2)$. Forma canonică $2+t-t^2=\frac{9}{4}-{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2$ arată că maximul este $\frac{9}{4}$, atins pentru $t=\frac{1}{2}$; aria maximă este $\frac{27}{8}$, pentru $P\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$.

12. $AB=3\sqrt{2}$ și $d(P,AB)=\frac{|t-t^2+2|}{\sqrt{2}}$, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot \frac{2+t-t^2}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2}(2+t-t^2)$ — aceeași funcție, deci același maxim $\frac{27}{8}$.

13. $\mathcal{S}(x)=x\cdot \frac{24-3x}{4}=6x-\frac{3}{4}{x}^2$, cu $x\in [0,8]$; vârful parabolei este la $x=4$, deci $y=3$ și ${\mathcal{S}}_{\max }=12$. Dreptunghiul are laturile $4$ și $3$.

14. $d(M,h)=\frac{|6-4+5|}{5}=\frac{7}{5}=1,4$, iar minimul se atinge în piciorul perpendicularei, $N\left(\frac{29}{25},\frac{53}{25}\right)$; orice alt punct al dreptei este mai depărtat de $M$.

15. a) $\mathcal{S}=84$ unități pătrate, iar o unitate pătrată înseamnă $100\cdot 100=10000$ de metri pătrați, adică un hectar: parcela are $84$ de hectare. b) $d(A,BC)=\frac{168}{15}=11,2$ unități, adică $1120$ de metri.

16. Cu $P(m,0)$: $\Delta =(6-1)(0-2)-(m-1)(3-2)=-(m+9)$, deci $\frac{|m+9|}{2}=5$ și $m=1$ sau $m=-19$. Punctele sunt $P_1(1,0)$ și $P_2(-19,0)$.

17. a) $\Delta =168\ne 0$, deci punctele nu sunt coliniare; $\mathcal{S}=84$. b) $BC=15$, deci $d(A,BC)=\frac{168}{15}=\frac{56}{5}$. c) Pentru $P(t,12)$ determinantul este $168$, indiferent de $t$, deci aria este $84$; punctele $C$ și $P$ se află pe aceeași paralelă la $AB$.

18. O dreaptă paralelă cu $AB$ are panta $1$, deci ecuația $y=x+b$. Intersecția cu parabola cere $x^2=x+b$, adică $x^2-x-b=0$, ecuație cu discriminantul $1+4b$. Tangența înseamnă discriminant nul, deci $b=-\frac{1}{4}$, iar punctul de contact are $x=\frac{1}{2}$ și $y=\frac{1}{4}$. Este exact punctul în care aria a ieșit maximă la exercițiul 11 — ceea ce era de așteptat: aria fiind $\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(P,AB)$ cu baza fixă, ea este maximă atunci când $P$ este cel mai depărtat punct al arcului față de dreapta $AB$, adică punctul în care o paralelă la $AB$ atinge parabola.

De reținut

• Aria exprimată în două moduri este metoda-cheie: din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot \text{baza˘}\cdot \text{ıˆna˘lțime}$ obții orice înălțime ca $\frac{2\mathcal{S}}{\text{baza˘}}$, cu aria luată din determinant.
• Scurtătura pentru distanțe: $d(C,AB)=\frac{|\Delta |}{AB}$, fără să scrii ecuația dreptei $AB$.
• Primul pas al oricărei probleme: verifici $\Delta \ne 0$. Dacă determinantul e nul, punctele sunt coliniare și cerințele despre triunghi rămân fără obiect.
• Aria nu se schimbă când vârful se deplasează pe o paralelă la bază; se schimbă liniar când vârful parcurge un segment (extremele sunt în capete) și pătratic când vârful parcurge o parabolă (extremul este în vârful parabolei).
• Distanța minimă de la un punct la o dreaptă se atinge în piciorul perpendicularei — singura problemă de minim din acest capitol care se rezolvă geometric, nu algebric.

Greșeli frecvente

• Începi calculul fără să verifici coliniaritatea. Dacă $\Delta =0$, tot ce urmează e fals; se pierd puncte chiar și când calculele sunt corecte, pentru că răspunsul cerut era altul.
• Împarți aria la latura greșită. Înălțimea din $C$ se obține împărțind $2\mathcal{S}$ la latura opusă lui $C$, adică la $AB$. O confuzie aici dă un rezultat plauzibil ca mărime, deci greu de depistat; scrie de fiecare dată explicit ce latură ai luat drept bază.
• Cauți maximul „la mijloc" când aria depinde liniar de parametru. O funcție liniară nu are maxim interior; extremele sunt în capetele intervalului. Verifică întâi ce fel de dependență ai.
• Uiți să verifici că vârful parabolei aparține intervalului. Dacă valoarea $x_V$ cade în afara domeniului admis de problemă, maximul se atinge tot într-un capăt. Domeniul se citește din enunț, nu din formulă.
• Confunzi maximul ariei cu maximul perimetrului. Sunt probleme diferite: toate triunghiurile cu baza fixă și vârful pe o paralelă au aceeași arie, dar perimetre diferite.

Aplică acasă

1. Canalul cel mai scurt. Desenează pe hârtie milimetrică două borne ale unui drum și o fântână. Calculează aria triunghiului lor cu determinantul, apoi împarte dublul ariei la distanța dintre borne: obții lungimea canalului perpendicular pe drum. Verifică măsurând cu rigla pe desen.

2. Triunghiuri de aceeași arie. Trasează un segment $AB$ și, pe o paralelă la el, marchează cinci puncte. Calculează ariile celor cinci triunghiuri — toate trebuie să fie egale. Măsoară apoi perimetrele: ele diferă, iar cel mai mic aparține triunghiului isoscel.

3. Grădina de arie maximă. Presupune că ai la dispoziție un colț de teren mărginit de două ziduri perpendiculare și de un gard drept care taie colțul. Alege ecuația gardului, apoi calculează, cu funcția de gradul al doilea, dimensiunile stratului dreptunghiular de arie maximă. Compară rezultatul cu cel obținut în lecție.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide unitatea de geometrie analitică și este, ca formă, o lecție de metode, nu de noțiuni noi. Programa de mate-info cere explicit cele trei tipuri de sarcini pe care le exersează: calcularea ariei unui triunghi din coordonatele vârfurilor, determinarea unor distanțe prin exprimarea ariei în două moduri și rezolvarea unor probleme de optimizare a ariilor în contexte practice.

Ce verifică lecția: reflexul de a începe cu determinantul, folosirea corectă a relației dintre arie și înălțime, alegerea laturii potrivite ca bază, recunoașterea tipului de dependență (constantă, liniară, pătratică) a ariei de un parametru și interpretarea rezultatului în unități reale. Întrebări bune de control: „De ce toate triunghiurile cu vârful pe o paralelă la bază au aceeași arie?"; „Cum afli o înălțime fără să scrii ecuația laturii?"; „Unde poate fi maximul, dacă aria depinde liniar de parametru?"; „Ce înseamnă geometric faptul că aria se anulează pentru o anumită poziție a punctului?".

Un semn sigur că elevul a înțeles: la o problemă de optimizare stabilește mai întâi cum depinde aria de parametru și abia apoi caută extremul, în loc să încerce valori la întâmplare. Un al doilea semn: își verifică rezultatele pe a doua cale, folosind faptul că aceeași mărime se poate obține și din formula distanței.

Unde apare la BAC M1: problemele de geometrie analitică din subiectul al doilea au adesea exact structura exemplului final — coliniaritate sau arie, apoi o distanță dedusă din arie, apoi o cerință de interpretare. Optimizarea ariilor revine mai târziu în an, în capitolul de derivate, unde metoda devine generală; ce se învață aici rămâne valabil și mai rapid, atunci când dependența este liniară sau de gradul al doilea.

Întrebări frecvente

Cum aflu o înălțime a triunghiului dacă știu coordonatele vârfurilor? Calculezi aria cu determinantul, apoi împarți dublul ariei la lungimea laturii opuse vârfului din care pleacă înălțimea: $h=\frac{2\mathcal{S}}{\text{baza˘}}$. Nu ai nevoie de ecuația laturii.

De ce se numește metoda „aria exprimată în două moduri"? Pentru că scrii aceeași arie de două ori: o dată prin determinant, unde nu apare nicio distanță, și o dată prin formula cu bază și înălțime, unde apare distanța căutată. Egalând cele două expresii, distanța se obține imediat.

Ce fac dacă determinantul iese zero? Scrii că punctele sunt coliniare și că nu formează triunghi. Nu continua cu calculul ariei sau al înălțimilor: nu există nicio latură opusă și nicio înălțime de calculat.

De ce aria nu se schimbă când mut vârful pe o dreaptă paralelă cu baza? Pentru că aria depinde doar de lungimea bazei și de distanța de la vârf la ea. Dacă vârful se mișcă pe o paralelă, acea distanță rămâne constantă, deci și aria.

Cum optimizez o arie fără derivate? Te uiți cum depinde aria de parametru. Dacă dependența este liniară, extremele sunt în capetele intervalului. Dacă este de gradul al doilea, extremul se află în vârful parabolei, cu condiția ca abscisa vârfului să aparțină domeniului admis.

Când se atinge distanța minimă de la un punct la o dreaptă? În piciorul perpendicularei coborâte din punct pe dreaptă; orice alt punct al dreptei este mai depărtat, prin teorema lui Pitagora. Valoarea minimă este chiar cea dată de formula distanței de la un punct la o dreaptă.

Cum transform aria din unitățile hărții în hectare? Ridici factorul de scară la pătrat. Dacă o unitate de lungime înseamnă $100$ de metri, atunci o unitate pătrată înseamnă $10000$ de metri pătrați, adică un hectar; o arie de $84$ de unități pătrate devine $84$ de hectare.

Ce probleme de acest tip apar în subiectele de examen? Cel mai des un triunghi dat prin coordonate, cu trei cerințe: coliniaritate sau arie, o distanță (adesea o înălțime) și o cerință de interpretare — o poziție a unui punct mobil sau o valoare a unui parametru. Toate se rezolvă cu determinantul, formula distanței și relația dintre arie, bază și înălțime.