Proprietatea valorilor intermediare: pe scurt

Teoremă (proprietatea valorilor intermediare, numită și proprietatea lui Darboux; se admite fără demonstrație). Fie $I$ un interval și $f:I\to \mathbb{R}$ continuă pe $I$, iar $a,b\in I$ cu $a<b$. Atunci pentru orice $\lambda$ cuprins între $f(a)$ și $f(b)$ există cel puțin un $c\in (a,b)$ cu $f(c)=\lambda$. Pe scurt: o funcție continuă pe un interval nu poate sări peste nicio valoare.

Trei precizări: nu se presupune nicio ordine între $f(a)$ și $f(b)$; punctul $c$ nu e unic; iar teorema este un rezultat de existență pură — nu îți dă $c$.

Consecința de semn (numită și teorema lui Bolzano), cazul $\lambda =0$: dacă $f$ e continuă pe $[a,b]$ și $f(a)\cdot f(b)<0$, atunci ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(a,b)$.

A doua consecință: imaginea unui interval printr-o funcție continuă este tot un interval. Cu monotonia, ea devine calcul: pentru $f$ continuă și strict crescătoare pe $[a,b]$, $f([a,b])=[f(a),f(b)]$.

Niciuna dintre ipoteze nu poate fi eliminată: partea întreagă pe $[0,2]$ nu ia valoarea $\frac{1}{2}$ (nu e continuă), iar $\frac{1}{x}$ nu se anulează între $-1$ și $1$ (domeniul nu e interval).

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x-3$. Se poate afirma că:

   • a) ecuația $f(x)=0$ nu are soluții în $(0,2)$
   • b) ecuația $f(x)=0$ are exact două soluții în $(0,2)$
   • c) $f$ ia valoarea $10$ pe intervalul $[0,2]$
   • d) ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(0,2)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(0,2)$

   Funcția e polinomială, deci continuă pe $[0,2]$. Avem $f(0)=-3<0$ și $f(2)=8+2-3=7>0$, deci $f(0)\cdot f(2)<0$: prin consecința de semn, există $c\in (0,2)$ cu $f(c)=0$. Teorema dă „cel puțin”, nu „exact”, deci b) nu se poate afirma. La c), imaginea este $[-3,7]$, iar $10$ nu îi aparține.

2. Imaginea funcției $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, este:

   • a) $[1,4]$
   • b) $[1,2]$
   • c) $(1,2)$
   • d) $[0,2]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $[1,2]$

   Funcția radical este continuă și strict crescătoare pe $[1,4]$, deci imaginea este $[f(1),f(4)]=[\sqrt{1},\sqrt{4}]=[1,2]$. Monotonia arată că valorile nu depășesc capetele, iar proprietatea valorilor intermediare arată că toate valorile dintre ele sunt atinse — de aceea intervalul este închis, nu deschis. Varianta a) confundă imaginea cu domeniul.

3. Funcția parte întreagă $f(x)=[x]$ pe $[0,2]$ are $f(0)=0$ și $f(2)=2$, dar nu ia niciodată valoarea $\frac{1}{2}$. Motivul este că:

   • a) $f$ nu este continuă pe $[0,2]$
   • b) $[0,2]$ nu este interval
   • c) $\frac{1}{2}$ nu este cuprins între $f(0)$ și $f(2)$
   • d) proprietatea valorilor intermediare cere ca funcția să fie strict monotonă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $f$ nu este continuă pe $[0,2]$

   Partea întreagă are discontinuități de speța I (cu limite laterale finite și diferite) în $1$ și în $2$, unde sare peste toate valorile intermediare; ipoteza de continuitate cade, deci teorema nu se aplică. b) e falsă — $[0,2]$ este chiar un interval. c) e falsă: $0<\frac{1}{2}<2$. d) adaugă o ipoteză care nu figurează în enunț.