Proprietatea valorilor intermediare

Un avion decolează de pe o pistă aflată la nivelul mării și ajunge, o oră mai târziu, la $10000$ de metri altitudine. Nimeni nu i-a urmărit traseul, nu se cunoaște nici viteza de urcare, nici dacă a coborât la un moment dat. Și totuși poți afirma, cu certitudine absolută, că a existat o clipă în care avionul se afla la exact $3247$ de metri. Nu pentru că ai vreo informație despre zbor, ci pentru că altitudinea este o mărime care variază continuu: ea nu poate trece de la $3000$ la $3500$ fără să atingă toate valorile dintre ele.

Această observație, aparent banală, este una dintre cele mai puternice unelte ale analizei matematice. Ea se numește proprietatea valorilor intermediare și spune, pe scurt: o funcție continuă pe un interval nu poate sări peste nicio valoare. Din ea vor decurge, în lecțiile următoare, metoda tabelului de semn și, mai ales, tehnica prin care demonstrezi că o ecuație are soluție, chiar și atunci când nu ai nicio șansă să o calculezi. Astăzi punem enunțul la punct, îl citim pe grafic și îi extragem primele două consecințe.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți corect proprietatea valorilor intermediare, cu toate ipotezele: funcție continuă, definită pe un interval, și o valoare $\lambda$ cuprinsă între $f(a)$ și $f(b)$.
• Vei ști să o citești pe grafic: orice dreaptă orizontală situată între cele două valori de la capete taie graficul cel puțin o dată.
• Vei ști să deduci din ea consecința de semn: dacă $f(a)$ și $f(b)$ au semne contrare, funcția se anulează undeva între $a$ și $b$.
• Vei ști să demonstrezi că imaginea unui interval printr-o funcție continuă este tot un interval și să determini efectiv această imagine pentru funcții monotone.
• Vei ști să arăți, prin contraexemple, că niciuna dintre cele două ipoteze — continuitatea și faptul că domeniul e interval — nu poate fi eliminată.

Hai să descoperim împreună

1. Ce vede ochiul înaintea demonstrației

Desenează pe o foaie un grafic oarecare, fără să ridici creionul, pornind dintr-un punct aflat sub axa $Ox$ și terminând într-un punct aflat deasupra ei. Oricât te-ai strădui, vei fi tăiat axa. Nu e o coincidență și nici o slăbiciune a mâinii: pentru a trece de dedesubt deasupra, curba trebuie să atingă nivelul zero.

Generalizarea e imediată. Dacă în loc de axa $Ox$ iei o dreaptă orizontală oarecare $y=\lambda$, situată între ordonatele celor două capete, concluzia rămâne: curba o taie. „A ridica creionul" este exact traducerea vizuală a discontinuității, iar rezultatul de mai jos spune că, în absența ei, saltul peste o valoare este imposibil.

2. Enunțul

Teoremă (proprietatea valorilor intermediare, numită și proprietatea lui Darboux; se admite fără demonstrație). *Fie $I\subseteq \mathbb{R}$ un interval și $f:I\to \mathbb{R}$ o funcție continuă pe $I$. Fie $a,b\in I$ cu $a<b$. Atunci, pentru orice număr $\lambda$ cuprins între $f(a)$ și $f(b)$, există cel puțin un punct $c\in (a,b)$ astfel încât* $$f(c)=\lambda .$$

Trei precizări care fac diferența dintre un enunț corect și unul depunctat:

• „cuprins între" înseamnă $f(a)\le \lambda \le f(b)$ dacă $f(a)<f(b)$, respectiv $f(b)\le \lambda \le f(a)$ în cazul celălalt. Nu se presupune nicio ordine între $f(a)$ și $f(b)$.
• „există cel puțin un $c$" — teorema nu spune că $c$ e unic. În figura de mai sus sunt trei asemenea puncte, și tot atâtea soluții ale ecuației $f(x)=\lambda$.
• teorema nu îți dă $c$. Este un rezultat de existență pură, ca teorema lui Weierstrass de la șiruri: garantează că punctul e acolo, fără să spună unde. Cine îl vrea efectiv trebuie să-l caute, cu mijloace numerice.

Programa cere ca acest rezultat să fie admis fără demonstrație; demonstrația lui riguroasă se sprijină pe proprietatea de completitudine a mulțimii numerelor reale și depășește cerințele clasei a XI-a.

3. Prima consecință: consecința de semn

Cazul particular $\lambda =0$ merită un nume propriu, pentru că el este cel folosit în nouă din zece exerciții.

Consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (cunoscută și ca teorema lui Bolzano). Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă, cu $$f(a)\cdot f(b)<0.$$ Atunci ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul deschis $(a,b)$.

Justificare. Condiția $f(a)\cdot f(b)<0$ înseamnă că cele două valori au semne contrare, deci numărul $0$ este strict cuprins între ele. Aplicând proprietatea valorilor intermediare cu $\lambda =0$, obținem un $c\in (a,b)$ cu $f(c)=0$. $■$

Observă cât de puțin s-a cerut: nu ai avut nevoie de formula funcției, de monotonie, de vreo simetrie — doar de continuitate și de două calcule de valori. Această consecință este motorul lecției Existența soluțiilor unei ecuații în mulțimea numerelor reale.

Exemplu. Fie $f(x)=x^3+x-1$, funcție polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$. Avem $f(0)=-1<0$ și $f(1)=1>0$, deci produsul $f(0)\cdot f(1)=-1<0$: ecuația $x^3+x-1=0$ are cel puțin o soluție în $(0,1)$. (Verificare numerică prin înjumătățiri succesive: soluția este $c\approx 0,6823278$, iar $f(c)$ diferă de zero cu mai puțin de $10^{-12}$.)

4. A doua consecință: imaginea unui interval este un interval

Teoremă. Dacă $f$ este continuă pe intervalul $I$, atunci mulțimea $f(I)=\{f(x)\mid x\in I\}$ este tot un interval.

Demonstrație. Fie $y_1,y_2\in f(I)$ cu $y_1<y_2$ și fie $\lambda$ un număr oarecare cu $y_1<\lambda <y_2$. Există $x_1,x_2\in I$ cu $f(x_1)=y_1$ și $f(x_2)=y_2$. Cum $I$ e interval, segmentul dintre $x_1$ și $x_2$ e inclus în $I$, iar $f$ e continuă pe el; prin proprietatea valorilor intermediare, există un punct $c$ între $x_1$ și $x_2$ cu $f(c)=\lambda$, deci $\lambda \in f(I)$. Așadar $f(I)$ conține orice număr cuprins între două dintre elementele sale, adică este interval. $■$

Merită lămurită aici o confuzie care se repetă an de an: imaginea nu este același lucru cu codomeniul. Codomeniul este mulțimea în care ai declarat că funcția își ia valorile — de obicei $\mathbb{R}$, ales din comoditate. Imaginea este mulțimea valorilor efectiv atinse, iar ea poate fi mult mai mică. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, codomeniul este $\mathbb{R}$, dar imaginea este doar $[0,+\infty )$. Teorema de mai sus spune că, pentru o funcție continuă definită pe un interval, această mulțime a valorilor atinse nu poate fi ciuruită: e un interval, nu o reuniune de bucăți.

Aceasta este proprietatea pe care programa o numește stabilirea imaginii unei funcții. Ea devine calcul efectiv când adaugi monotonia:

• dacă $f$ e continuă și strict crescătoare pe $[a,b]$, atunci $f([a,b])=[f(a),f(b)]$;
• dacă $f$ e continuă și strict descrescătoare pe $[a,b]$, atunci $f([a,b])=[f(b),f(a)]$.

Motivul: monotonia arată că valorile nu depășesc capetele, iar proprietatea valorilor intermediare arată că toate valorile dintre capete sunt atinse. Cele două împreună dau egalitatea de mulțimi, nu doar o incluziune.

Exemplu. Funcția $f(x)=\sqrt{x}$ e continuă și strict crescătoare pe $[1,4]$, deci imaginea ei este $[\sqrt{1},\sqrt{4}]=[1,2]$. (Verificat prin eșantionare pe $2001$ de puncte: valoarea minimă $1$, valoarea maximă $2$.)

5. Când funcția nu e monotonă

Dacă funcția își schimbă sensul de variație, se împarte intervalul în porțiuni de monotonie și se reunesc imaginile.

Fie $f(x)=x^2-4x+1$ pe $[0,3]$. Din clasa a IX-a, Monotonia și valoarea extremă la gradul al doilea îți dă vârful în $x_V=\frac{-b}{2a}=2$, cu $f(2)=-3$. Deci:

• pe $[0,2]$, $f$ e continuă și strict descrescătoare: imaginea e $[f(2),f(0)]=[-3,1]$;
• pe $[2,3]$, $f$ e continuă și strict crescătoare: imaginea e $[f(2),f(3)]=[-3,-2]$.

Reunind, $f([0,3])=[-3,1]$. (Verificat prin eșantionare densă: minimul $-3$, maximul $1$.)

Reține procedura, pentru că se repetă identic la studiul variației din unitatea următoare: imaginea unei funcții continue se citește din capete și din punctele în care se schimbă monotonia.

Aceeași metodă funcționează și pe intervale nemărginite, cu o singură modificare: în locul valorilor din capete se folosesc limitele calculate în lecția Limita unei funcții la plus infinit și la minus infinit, iar capătul corespunzător al imaginii devine deschis. De pildă, funcția exponențială este continuă și strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, cu $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$, deci imaginea ei este intervalul deschis $(0,+\infty )$ — valoarea $0$ nu se atinge niciodată, dar orice număr strict pozitiv, da. Este exact tabloul pe care îl vei completa sistematic la Tabelul de variație cu derivata întâi, unde ultimul rând al tabelului conține fix aceste informații.

6. Ipotezele nu sunt decorative

(a) Fără continuitate, concluzia cade. Fie funcția parte întreagă $f(x)=[x]$ pe $[0,2]$. Avem $f(0)=0$ și $f(2)=2$, deci $\lambda =\frac{1}{2}$ e cuprins între ele. Și totuși $f$ nu ia niciodată valoarea $\frac{1}{2}$: valorile ei sunt doar $0$, $1$ și $2$. Explicația: funcția are discontinuități de speța I în $1$ și în $2$, unde sare peste toate valorile intermediare. (Verificat pe $4001$ de puncte din $[0,2]$: valoarea $\frac{1}{2}$ nu apare niciodată.)

(b) Fără ipoteza „domeniul este interval", concluzia cade. Fie $f(x)=\frac{1}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Funcția e continuă pe tot domeniul ei, $f(-1)=-1$ și $f(1)=1$, dar ea nu se anulează niciodată: $\frac{1}{x}\ne 0$ pentru orice $x$. Nu e o excepție de la teoremă, ci o situație în care teorema nu se aplică, fiindcă ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu e interval — între $-1$ și $1$ domeniul are o gaură, exact acolo unde ar fi trebuit să se afle punctul $c$.

7. Cum se scrie o rezolvare completă

Ori de câte ori folosești proprietatea valorilor intermediare, baremul cere trei elemente, în această ordine:

1. funcția e continuă pe intervalul considerat — cu justificarea din lecția Continuitatea pe o mulțime. Operații cu funcții continue, compunere și inversă („funcție polinomială", „compunere de funcții continue" etc.);
2. valorile la capete, calculate efectiv, și poziția lui $\lambda$ față de ele (sau, în varianta de semn, produsul $f(a)\cdot f(b)<0$);
3. concluzia, formulată cu „există cel puțin un $c\in (a,b)$ astfel încât $f(c)=\lambda$".

Lipsa primului element este cea mai des sancționată: fără continuitate, restul raționamentului nu are nicio valoare, cum arată contraexemplul cu partea întreagă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Existența unei soluții

Arătați că ecuația $x^3+x-1=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(0,1)$.

Rezolvare. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x-1$, funcție polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$, în particular pe $[0,1]$.

Calculăm valorile la capete: $f(0)=-1$ și $f(1)=1+1-1=1$. Cum $f(0)\cdot f(1)=-1<0$, prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare există $c\in (0,1)$ cu $f(c)=0$, adică ecuația are cel puțin o soluție în $(0,1)$.

Verificare numerică: prin înjumătățiri succesive se obține $c\approx 0,6823278$, cu $f(c)$ de ordinul $10^{-13}$. ✓

Exemplul 2 — O funcție ia o valoare dată

Arătați că funcția $f:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, ia valoarea $5$.

Rezolvare. $f$ e polinomială, deci continuă pe $[1,2]$. Avem $f(1)=1$ și $f(2)=8$, iar $1<5<8$, deci $\lambda =5$ este cuprins între $f(1)$ și $f(2)$.

Prin proprietatea valorilor intermediare, există $c\in (1,2)$ cu $f(c)=5$, adică $c^3=5$. (Aici putem chiar identifica soluția: $c=\sqrt[3]{5}\approx 1,7099759$, valoare care se află într-adevăr în $(1,2)$.) ✓

Merită observat că teorema a fost folosită ca argument de existență, nu ca metodă de calcul: ea garantează că rădăcina de ordin $3$ a lui $5$ este un număr real, fapt deloc evident dacă pornești doar de la definiția puterii.

Exemplul 3 — Imaginea unei funcții monotone

Determinați imaginea funcției $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$.

Rezolvare. Funcția exponențială e continuă pe $\mathbb{R}$ și, având baza $e>1$, e strict crescătoare — proprietăți stabilite la Proprietățile funcției exponențiale.

Pe intervalul $[0,1]$ ea își atinge valorile extreme în capete: $f(0)=1$ și $f(1)=e$. Cum $f$ e continuă și strict crescătoare, imaginea este exact intervalul $$\mathrm{Im}f=[1,e]\approx [1;2,7182818].$$ Verificare prin eșantionare pe $2001$ de puncte: valoarea minimă $1$, valoarea maximă $2,718282$. ✓

Exemplul 4 — Imaginea unei funcții nemonotone

Determinați imaginea funcției $f:[-1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$.

Rezolvare. $f$ e continuă pe $[-1,2]$, dar nu e monotonă acolo: e strict descrescătoare pe $[-1,0]$ și strict crescătoare pe $[0,2]$.

• Pe $[-1,0]$: imaginea e $[f(0),f(-1)]=[0,1]$.
• Pe $[0,2]$: imaginea e $[f(0),f(2)]=[0,4]$.

Reunind, $\mathrm{Im}f=[0,1]\cup [0,4]=[0,4]$. Observă că răspunsul nu este $[f(-1),f(2)]=[1,4]$: capetele intervalului de definiție nu dau automat capetele imaginii. (Verificat prin eșantionare: minimul $0$, maximul $4$.) ✓

Exemplul 5 — De ce e nevoie de continuitate

Arătați că funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=[x]$ (partea întreagă), nu ia valoarea $\frac{1}{2}$, deși $f(0)=0$ și $f(2)=2$.

Rezolvare. Prin definiție, $[x]$ este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu $x$, deci valorile funcției pe $[0,2]$ sunt numai $0$ (pentru $x\in [0,1)$), $1$ (pentru $x\in [1,2)$) și $2$ (pentru $x=2$). Mulțimea valorilor este $\{0,1,2\}$, care nu conține $\frac{1}{2}$.

Nu există nicio contradicție cu teorema: funcția nu e continuă pe $[0,2]$, având discontinuități de speța I în $x=1$ și $x=2$. Ipoteza de continuitate cade, deci concluzia nu se aplică. Contraexemplul arată, totodată, că imaginea unui interval printr-o funcție discontinuă poate să nu fie interval — aici este o mulțime finită.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x-1$. a) Calculați $f(0)$ și $f(1)$. b) Arătați că ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(0,1)$. c) Arătați că funcția $f$ ia valoarea $2$ pe intervalul $(0,1)$.

Rezolvare.

a) $f(0)=0+0-1=-1$ și $f(1)=1+3-1=3$.

b) $f$ e polinomială, deci continuă pe $[0,1]$. Din $f(0)=-1<0$ și $f(1)=3>0$ rezultă $f(0)\cdot f(1)=-3<0$, deci, prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare, există $c\in (0,1)$ cu $f(c)=0$. (Numeric: $c\approx 0,3221854$.)

c) Valoarea $\lambda =2$ este cuprinsă între $f(0)=-1$ și $f(1)=3$, iar $f$ e continuă pe $[0,1]$; prin proprietatea valorilor intermediare există $d\in (0,1)$ cu $f(d)=2$. (Numeric: $d\approx 0,8177316$, soluția ecuației $x^3+3x-3=0$.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu care folosește teorema, scrie mai întâi de ce funcția e continuă — este pasul pentru care baremele de la Bacalaureat M1 acordă puncte separate.

1. Enunță proprietatea valorilor intermediare, precizând toate ipotezele.

2. Fie $f(x)=x^2-2$. Calculează $f(1)$ și $f(2)$ și arată că ecuația $f(x)=0$ are o soluție în $(1,2)$.

3. Arată că ecuația $x^5+x-3=0$ are cel puțin o soluție în intervalul $(1,2)$.

4. Determină imaginea funcției $f:[-1,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$.

5. Determină imaginea funcției $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$.

6. Arată că funcția $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+x$, ia valoarea $5$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ e continuă pe $[a,b]$ și $f(a)\cdot f(b)<0$, atunci ecuația $f(x)=0$ are exact o soluție în $(a,b)$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Proprietatea valorilor intermediare îți spune și cum se calculează punctul $c$."

9. Determină imaginea funcției $f:[-2,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$.

10. Fie $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+1$. Determină imaginea funcției.

11. Arată că ecuația $e^x=3-x$ are cel puțin o soluție în intervalul $(0,1)$.

12. Explică de ce funcția $f(x)=\frac{1}{x}$, continuă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, ia valorile $-1$ și $1$ fără să se anuleze vreodată.

13. (Problemă aplicată.) Temperatura dintr-o cameră a fost de $17^{\circ }$C la ora $8$ și de $23^{\circ }$C la ora $12$, variind continuu. Arată că a existat un moment în care termometrul a indicat exact $20^{\circ }$C. Se poate spune că a existat un singur astfel de moment?

14. Fie $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ continuă, cu $f(0)=5$ și $f(1)=-3$. Arată că $f$ se anulează cel puțin o dată și că ia și valoarea $1$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:[1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x-1$. Calculați $f(1)$ și $f(2)$, apoi arătați că ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(1,2)$.

16. Dă un exemplu de funcție continuă pe $[0,1]$ pentru care ecuația $f(x)=\frac{1}{2}$ are exact trei soluții, descriind graficul în cuvinte.

17. Arată că orice funcție continuă $f:[0,1]\to [0,1]$ are un punct în care $f(x)=x$. (Indicație: aplică teorema funcției $g(x)=f(x)-x$.)

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continuă, cu $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$. Arată că $f$ se anulează cel puțin o dată.

Răspunsuri și explicații

1. Dacă $f$ e continuă pe intervalul $I$, dacă $a,b\in I$ cu $a<b$ și dacă $\lambda$ e cuprins între $f(a)$ și $f(b)$, atunci există cel puțin un $c\in (a,b)$ cu $f(c)=\lambda$. Ipotezele obligatorii: $I$ interval, $f$ continuă, $\lambda$ între valorile de la capete.

2. $f(1)=-1$ și $f(2)=2$; funcția e polinomială, deci continuă. Produsul $-2<0$, deci există $c\in (1,2)$ cu $c^2=2$, adică $c=\sqrt{2}\approx 1,4142136$.

3. $f(x)=x^5+x-3$ e continuă; $f(1)=-1<0$, $f(2)=32+2-3=31>0$, deci există o soluție în $(1,2)$. (Numeric: $c\approx 1,1329976$.)

4. Funcție afină, continuă și strict crescătoare (panta $2>0$): imaginea e $[f(-1),f(3)]=[-1,7]$.

5. Continuă și strict crescătoare pe $[1,4]$: imaginea e $[1,2]$.

6. $f$ e continuă; $f(0)=0$ și $f(2)=8+2=10$, iar $0<5<10$, deci $f$ ia valoarea $5$ într-un punct din $(0,2)$. (Numeric: $c\approx 1,5160$.)

7. Fals. Teorema garantează cel puțin o soluție. Funcția $f(x)=x^3-3x-1$ pe $[-2,2]$ are $f(-2)\cdot f(2)<0$ și trei soluții acolo, nu una. Unicitatea se demonstrează separat, de obicei prin monotonie.

8. Fals. Este un rezultat de existență pură: afirmă că punctul $c$ există, fără să indice vreo formulă. Găsirea lui efectivă se face prin metode numerice, de exemplu prin înjumătățiri succesive.

9. $f$ nu e monotonă pe $[-2,1]$: descrescătoare pe $[-2,0]$ cu imaginea $[0,4]$, crescătoare pe $[0,1]$ cu imaginea $[0,1]$. Reuniunea: $\mathrm{Im}f=[0,4]$.

10. Vârful parabolei e în $x=2$, cu $f(2)=-3$; $f(0)=1$, $f(3)=-2$. Pe $[0,2]$ imaginea e $[-3,1]$, pe $[2,3]$ e $[-3,-2]$, deci $\mathrm{Im}f=[-3,1]$.

11. Scriem ecuația sub forma $f(x)=0$, cu $f(x)=e^x+x-3$, funcție continuă pe $\mathbb{R}$ ca sumă de funcții continue. Avem $f(0)=1+0-3=-2<0$ și $f(1)=e-2\approx 0,7182818>0$, deci există o soluție în $(0,1)$. (Numeric: $c\approx 0,7920600$.)

12. Pentru că ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval: el are o gaură în $0$, exact acolo unde ar trebui să se afle punctul de anulare. Teorema cere ca domeniul să fie interval, iar aici ipoteza nu e îndeplinită.

13. Fie $T(t)$ temperatura la momentul $t$, funcție continuă pe $[8,12]$, cu $T(8)=17$ și $T(12)=23$. Cum $17<20<23$, prin proprietatea valorilor intermediare există $t_0\in (8,12)$ cu $T(t_0)=20$. Nu se poate afirma că momentul e unic: temperatura ar fi putut urca peste $20$, coborî sub $20$ și urca din nou, trecând de trei ori prin această valoare.

14. $f$ e continuă pe $[0,1]$ și $f(0)\cdot f(1)=5\cdot (-3)=-15<0$, deci se anulează în cel puțin un punct din $(0,1)$. Cum $-3<1<5$, valoarea $1$ e cuprinsă între $f(1)$ și $f(0)$, deci e și ea atinsă.

15. $f(1)=1-3-1=-3$ și $f(2)=8-6-1=1$. Funcția e polinomială, deci continuă pe $[1,2]$, iar $f(1)\cdot f(2)=-3<0$; prin consecința de semn există $c\in (1,2)$ cu $f(c)=0$. (Numeric: $c\approx 1,8793852$.)

16. Un exemplu: graficul pornește din $(0,0)$, urcă până la $\left(\frac{1}{4},1\right)$, coboară până la $\left(\frac{1}{2},0\right)$, urcă din nou până la $\left(\frac{3}{4},1\right)$ și coboară la $(1,0)$ — o linie frântă neîntreruptă. Dreapta $y=\frac{1}{2}$ taie acest grafic de trei ori, deci ecuația are trei soluții.

17. Fie $g(x)=f(x)-x$, continuă pe $[0,1]$ ca diferență de funcții continue. Cum $f$ ia valori în $[0,1]$, avem $g(0)=f(0)-0\ge 0$ și $g(1)=f(1)-1\le 0$. Dacă unul dintre capete dă zero, am găsit deja punctul; altfel $g(0)>0>g(1)$ și, prin consecința de semn, există $c\in (0,1)$ cu $g(c)=0$, adică $f(c)=c$.

18. Din $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ rezultă că există un număr $a$ cu $f(a)<0$; din $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ rezultă că există $b>a$ cu $f(b)>0$. Pe $[a,b]$ funcția e continuă și $f(a)\cdot f(b)<0$, deci se anulează în $(a,b)$. Acesta este exact tiparul pe care îl vei folosi la orice polinom de grad impar.

De reținut

• Proprietatea valorilor intermediare, admisă fără demonstrație: dacă $f$ e continuă pe intervalul $I$, iar $\lambda$ e cuprins între $f(a)$ și $f(b)$, atunci există $c\in (a,b)$ cu $f(c)=\lambda$.
• Consecința de semn a proprietății valorilor intermediare: $f$ continuă pe $[a,b]$ și $f(a)\cdot f(b)<0$ $\Rightarrow$ ecuația $f(x)=0$ are cel puțin o soluție în $(a,b)$.
• Teorema afirmă existența, nu unicitatea și nu valoarea lui $c$; punctele care verifică $f(c)=\lambda$ pot fi oricâte.
• Imaginea unui interval printr-o funcție continuă este tot un interval; dacă funcția e și strict monotonă pe $[a,b]$, imaginea e intervalul determinat de $f(a)$ și $f(b)$.
• Ambele ipoteze sunt esențiale: partea întreagă arată că fără continuitate concluzia cade, iar funcția $\frac{1}{x}$ arată că fără un domeniu interval concluzia cade la fel.

Greșeli frecvente

• Spui „exact o soluție" în loc de „cel puțin o soluție". Enunțul dă existență, nu unicitate. Ca să obții unicitatea, ai nevoie de un argument suplimentar, de regulă stricta monotonie a funcției.
• Uiți să verifici continuitatea. Aplicată unei funcții cu salt, „teorema" dă rezultate false — vezi partea întreagă pe $[0,2]$. Continuitatea se justifică întâi, într-o propoziție.
• Aplici teorema pe o reuniune de intervale. Pentru $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $[-1,1]\setminus \{0\}$ valorile la capete au semne contrare, dar funcția nu se anulează: domeniul nu e interval, deci teorema nu se aplică.
• Confunzi imaginea cu intervalul dintre valorile de la capete. Pentru $f(x)=x^2$ pe $[-1,2]$ imaginea e $[0,4]$, nu $[1,4]$: funcția nu e monotonă, deci trebuie tăiat intervalul în porțiuni de monotonie.
• Crezi că teorema îți dă soluția. Ea nu produce niciun număr. Pentru a-l afla efectiv, folosești metode numerice, de exemplu înjumătățiri succesive ale intervalului, până la precizia cerută.

Aplică acasă

1. Cântarul și proprietatea valorilor intermediare. Cântărește-te dimineața și seara timp de o săptămână și notează valorile. Pentru fiecare zi, alege un număr cuprins între cele două măsurători și argumentează, folosind continuitatea masei în timp, că a existat un moment în care cântarul ar fi arătat exact acea valoare.

2. Vânătoare de rădăcini cu calculatorul de buzunar. Ia ecuația $x^3+x-1=0$ și caută soluția prin înjumătățiri: pornești de la $[0,1]$, calculezi valoarea în mijloc, păstrezi jumătatea în care semnele rămân contrare și repeți de zece ori. Compară rezultatul cu valoarea $0,6823278$ și numără câte zecimale ai câștigat la fiecare pas.

3. Harta unei plimbări. Notează altitudinea (din orice aplicație de hartă) în punctul de plecare și în punctul de sosire al unei plimbări. Alege trei valori intermediare și marchează pe traseu, aproximativ, locurile în care ai trecut prin ele. Discută de ce numărul acestor locuri poate fi mai mare decât unu.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce primul rezultat „tare" despre funcții continue și, totodată, primul rezultat de existență pură din analiza de clasa a XI-a. Elevul trebuie să înțeleagă că enunțul nu oferă niciun algoritm: el garantează că un obiect matematic există, ceea ce este suficient pentru a demonstra că o ecuație are soluție, fără a o rezolva.

Ce verifică lecția: (1) enunțul complet, cu ipotezele „$I$ interval" și „$f$ continuă"; (2) formularea „cel puțin un $c$", niciodată „exact un $c$"; (3) deducerea consecinței de semn ca simplu caz particular $\lambda =0$; (4) determinarea imaginii unei funcții continue, cu împărțire pe porțiuni de monotonie când e cazul; (5) capacitatea de a explica cele două contraexemple.

Întrebări bune de control: „Ce ipoteză cade la funcția parte întreagă?", „De ce $\frac{1}{x}$ nu contrazice teorema?", „Cum determini imaginea lui $x^2$ pe $[-1,2]$ și de ce nu e $[1,4]$?". La BAC M1, tipul de cerință este aproape întotdeauna „arătați că ecuația are cel puțin o soluție în intervalul…", cu punctaj împărțit între justificarea continuității, calculul valorilor la capete și concluzie. Semn că elevul a înțeles: nu încearcă să rezolve ecuația, ci calculează două valori și se oprește.

Întrebări frecvente

Ce spune proprietatea valorilor intermediare? Spune că o funcție continuă pe un interval ia toate valorile cuprinse între două dintre valorile ei: dacă $\lambda$ este între $f(a)$ și $f(b)$, atunci există un punct $c$ între $a$ și $b$ cu $f(c)=\lambda$.

Ce este consecința de semn a proprietății valorilor intermediare? Este cazul particular $\lambda =0$: dacă o funcție continuă are valori de semne contrare la capetele unui interval, atunci ea se anulează undeva înăuntru. Este forma cea mai folosită în exerciții, pentru că transformă două calcule de valori într-o demonstrație de existență.

Proprietatea valorilor intermediare se demonstrează la clasă? Nu. Programa cere ca ea să fie admisă fără demonstrație, pentru că demonstrația riguroasă se sprijină pe proprietatea de completitudine a mulțimii numerelor reale. La clasă se dau enunțul, interpretarea grafică și aplicațiile.

Câte soluții garantează teorema? Cel puțin una. Numărul exact poate fi oricât de mare — o funcție care oscilează poate întâlni aceeași valoare de multe ori. Pentru a demonstra că soluția este unică ai nevoie de un argument suplimentar, de obicei stricta monotonie a funcției.

Cum determin imaginea unei funcții continue pe un interval închis? Dacă funcția este strict monotonă, imaginea este intervalul determinat de valorile din capete. Dacă nu este, se împarte intervalul în porțiuni de monotonie, se calculează imaginea pe fiecare și se face reuniunea lor.

Ce se întâmplă dacă funcția nu este continuă? Concluzia poate fi falsă. Funcția parte întreagă pe intervalul $[0,2]$ trece de la valoarea $0$ la valoarea $2$ fără să ia vreodată valoarea $\frac{1}{2}$: în punctele de discontinuitate ea sare peste valorile intermediare.

De ce trebuie ca domeniul să fie un interval? Pentru că altfel funcția poate „ocoli" valoarea căutată prin gaura din domeniu. Funcția $\frac{1}{x}$ este continuă pe mulțimea numerelor reale nenule, ia valorile $-1$ și $1$, dar nu se anulează niciodată — domeniul ei nu este interval.

Unde folosesc concret această proprietate? În trei locuri: pentru a demonstra că o ecuație are soluție într-un interval dat, pentru a stabili semnul unei funcții continue pe intervale și pentru a determina imaginea unei funcții. Primele două fac obiectul lecțiilor imediat următoare.