Proprietățile determinanților (I): pe scurt

Definiția cu permutări spune tot adevărul, dar îl spune scump. În practică se folosesc proprietăți, demonstrate o dată din definiție și aplicate apoi de mii de ori. Prima lecție aduce patru dintre ele.

Proprietatea 1 (transpusa): $\det ({}^{t}A)=\det A$, pentru orice matrice pătratică. Consecința este cea mai folositoare din toată lecția: determinantul „nu vede" diferența dintre linii și coloane, deci orice proprietate adevărată despre linii este automat adevărată și despre coloane.

Proprietatea 2 (linie nulă): dacă o linie sau o coloană are toate elementele nule, atunci $\det A=0$. Fiecare dintre cei $n!$ termeni conține exact un factor din acea linie, deci fiecare termen se anulează. Este proprietatea cea mai ieftină: îți dă răspunsul fără niciun calcul.

Proprietatea 3 (factor comun): înmulțind o linie cu $\alpha$, determinantul se înmulțește cu $\alpha$; citită invers, factorul comun al unei linii se scoate în fața determinantului. Doi factori scoși din două linii diferite se înmulțesc între ei. Atenție: factorul se scoate dintr-o linie o singură dată — cazul în care se înmulțește toată matricea se tratează la lecția despre determinantul produsului a două matrice.

Proprietatea 4 (liniaritate pe o linie): o linie scrisă ca sumă de două linii rupe determinantul în doi determinanți, celelalte linii rămânând identice.

Împreună, Proprietățile 3 și 4 formează liniaritatea în raport cu o linie. Ele nu spun nimic despre $\det (A+B)$: pentru $A=B=I_2$ avem $\det (A+B)=4\ne 1+1$. Nu există regulă pentru determinantul unei sume.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se știe că $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ are $\det A=-4$. Fie $B$ matricea obținută din $A$ înmulțind linia a doua cu $5$. Cât este $\det ({}^{t}B)$?

   • a) $-4$
   • b) $20$
   • c) $-20$
   • d) $-500$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-20$

   Prin Proprietatea 3, înmulțirea unei singure linii cu $5$ înmulțește determinantul cu $5$: $\det B=5\cdot (-4)=-20$. Prin Proprietatea 1, transpunerea nu schimbă nimic: $\det ({}^{t}B)=\det B=-20$. Varianta d) ar corespunde situației în care s-ar înmulți cu $5$ toate cele trei linii, nu doar una.

2. Care dintre afirmațiile următoare este falsă?

   • a) $\det (A+B)=\det A+\det B$, pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$
   • b) $\det ({}^{t}A)=\det A$, pentru orice matrice pătratică $A$
   • c) dacă o coloană a lui $A$ este nulă, atunci $\det A=0$
   • d) dacă o linie a lui $A$ se înmulțește cu $\alpha$, determinantul se înmulțește cu $\alpha$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\det (A+B)=\det A+\det B$, pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$

   Contraexemplul standard: $A=B=I_2$ dau $\det A+\det B=2$, dar $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, cu $\det (A+B)=4$. Nu există regulă pentru determinantul unei sume de matrice; ce există este Proprietatea 4, care descompune o singură linie, celelalte rămânând neschimbate.

3. Cât este $\left|\begin{array}{ccc}4& 8& 12\\ 3& 1& 2\\ 5& 0& 7\end{array}\right|$?

   • a) $-30$
   • b) $120$
   • c) $-480$
   • d) $-120$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $-120$

   Prima linie are factorul comun $4$; prin Proprietatea 3 îl scoatem în față: $4\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\\ 5& 0& 7\end{array}\right|$. Determinantul rămas: se adună $1\cdot 1\cdot 7=7$, $2\cdot 2\cdot 5=20$, $3\cdot 3\cdot 0=0$, cu suma $27$; se scad $3\cdot 1\cdot 5=15$, $1\cdot 2\cdot 0=0$, $2\cdot 3\cdot 7=42$, cu suma $57$; deci valoarea este $-30$. Rezultatul final este $4\cdot (-30)=-120$. Varianta a) uită să înmulțească înapoi cu factorul scos.