Proprietățile determinanților (I): transpusa, linii nule, factor comun

Definiția determinantului de ordin $n$ spune tot adevărul, dar îl spune scump: la ordinul al patrulea sunt $24$ de termeni, la ordinul al cincilea $120$. Nimeni nu lucrează așa. Ceea ce se folosește în practică — la clasă, în subiectele de Bacalaureat M1 și în programele de calculator — este un set restrâns de proprietăți, fiecare demonstrată o singură dată din definiție și apoi aplicată de mii de ori.

Această lecție deschide seria cu patru proprietăți care par modeste, dar care schimbă complet felul în care privești un tablou de numere. Prima dintre ele — cea despre transpusă — este de fapt un truc de dublare: tot ce vei afla vreodată despre liniile unui determinant devine automat valabil și despre coloanele lui. A doua îți dă un răspuns instantaneu la anumite determinante. A treia și a patra îți permit să scoți și să desfaci numere înainte de a calcula.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi și să folosești egalitatea $\det ({}^{t}A)=\det A$, precum și consecința ei: liniile și coloanele joacă roluri identice.
• Vei ști să recunoști instantaneu determinanții nuli din cauza unei linii sau coloane nule.
• Vei ști să scoți factorul comun dintr-o linie sau dintr-o coloană, corect și fără să-l pierzi pe drum.
• Vei ști să descompui un determinant atunci când o linie este scrisă ca sumă de două linii.
• Vei ști de ce $\det (A+B)$ nu este $\det A+\det B$ și cum se numește, de fapt, proprietatea de liniaritate.
• Vei ști să alegi, într-un calcul, ce proprietate scurtează drumul și în ce ordine se aplică.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „proprietate a determinantului"

Toate proprietățile de mai jos au aceeași formă: se schimbă ceva în matrice; ce se întâmplă cu determinantul? Și toate se demonstrează la fel: se pornește de la definiție, se urmărește ce devine fiecare dintre cei $n!$ termeni și se adună la loc.

Programa cere ca demonstrațiile să fie făcute și aplicate de preferință pe ordinele 3 și 4. Vom respecta întocmai: fiecare proprietate se enunță pentru ordin $n$ oarecare și se demonstrează amănunțit pe ordinul al treilea, unde toți cei șase termeni se pot scrie pe o singură linie. Ține la îndemână această scriere, pe care o vom folosi de patru ori:

$$\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}.$$

2. Proprietatea 1: determinantul transpusei

Îți amintești de la tipurile de matrice că transpusa matricei $A$, notată ${}^{t}A$, se obține schimbând liniile cu coloanele: elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al lui ${}^{t}A$ este $a_{ji}$.

Proprietatea 1. Pentru orice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, $\det ({}^{t}A)=\det A$.

Demonstrație (ordin 3). Notăm $B={}^{t}A$, deci $b_{ij}=a_{ji}$. Scriem determinantul lui $B$ după aceeași formulă:

$$\det B=b_{11}{b}_{22}{b}_{33}+b_{12}{b}_{23}{b}_{31}+b_{13}{b}_{21}{b}_{32}-b_{11}{b}_{23}{b}_{32}-b_{12}{b}_{21}{b}_{33}-b_{13}{b}_{22}{b}_{31}.$$

Înlocuim fiecare $b_{ij}$ cu $a_{ji}$ și rearanjăm factorii în ordinea liniilor:

$$\det B=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{21}{a}_{32}{a}_{13}+a_{31}{a}_{12}{a}_{23}-a_{11}{a}_{32}{a}_{23}-a_{21}{a}_{12}{a}_{33}-a_{31}{a}_{22}{a}_{13}.$$

Compară acum cei șase termeni cu cei ai lui $\det A$: sunt aceiași, cu aceleași semne. Al doilea termen al lui $\det B$ este $a_{13}{a}_{21}{a}_{32}$, adică al treilea al lui $\det A$; al treilea este $a_{12}{a}_{23}{a}_{31}$, adică al doilea. Deci $\det ({}^{t}A)=\det A$. $■$

Pentru un ordin oarecare, raționamentul este identic: fiecare termen al lui $\det ({}^{t}A)$, rearanjat în ordinea liniilor, devine un termen al lui $\det A$, iar signatura nu se schimbă, pentru că numărul de perechi „în ordine greșită" este același, citit dintr-o parte sau din cealaltă.

Consecința — cea mai folositoare din toată lecția. Determinantul „nu vede" diferența dintre linii și coloane. Prin urmare:

Orice proprietate adevărată despre liniile unui determinant este automat adevărată și despre coloanele lui.

De aceea, de acum înainte, enunțăm totul pentru linii și adăugăm o singură frază: „prin transpunere, aceeași proprietate este valabilă pentru coloane". Este o economie de jumătate din muncă.

3. Proprietatea 2: o linie nulă anulează determinantul

Proprietatea 2. Dacă o linie (sau o coloană) a matricei $A$ are toate elementele nule, atunci $\det A=0$.

Demonstrație. Presupunem că linia $i$ este nulă, adică $a_{ik}=0$ pentru orice $k$. Fiecare termen al determinantului conține exact un factor din linia $i$, anume $a_{i\sigma (i)}$ — iar acest factor este $0$. Deci toți cei $n!$ termeni sunt nuli, iar suma lor este $0$. Pentru coloane, se aplică Proprietatea 1. $■$

Este cea mai ieftină proprietate din capitol: îți dă răspunsul fără niciun calcul. La un determinant de ordinul al patrulea cu o linie de zerouri, scrii direct $0$ și treci mai departe.

4. Proprietatea 3: scoaterea factorului comun

Proprietatea 3. Dacă toate elementele unei linii a matricei $A$ se înmulțesc cu un număr $\alpha$, determinantul se înmulțește cu $\alpha$. Citită invers: dacă toate elementele unei linii au un factor comun, acesta se scoate în fața determinantului.

Demonstrație. Fie $A^{\prime }$ matricea obținută din $A$ înmulțind linia $i$ cu $\alpha$. Fiecare termen al lui $\det A^{\prime }$ conține exact un factor din linia $i$, anume $\alpha a_{i\sigma (i)}$; toți ceilalți factori sunt neschimbați. Deci fiecare termen al lui $\det A^{\prime }$ este $\alpha$ înmulțit cu termenul corespunzător al lui $\det A$, iar dând factor comun pe $\alpha$ din întreaga sumă obținem $\det A^{\prime }=\alpha \det A$. $■$

Scris pe ordinul al treilea, cu factorul scos din linia întâi:

$$\left|\begin{array}{ccc}\alpha a_{11}& \alpha a_{12}& \alpha a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=\alpha \left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|.$$

Capcana numărul unu a acestei lecții. Factorul se scoate dintr-o singură linie o singură dată. Dacă înmulțești cu $\alpha$ toată matricea de ordin $n$, ai înmulțit cu $\alpha$ fiecare dintre cele $n$ linii, deci determinantul se înmulțește cu $\alpha$ de $n$ ori: $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$, nu $\alpha \det A$. Vei relua această formulă, cu demonstrația ei completă, la lecția despre determinantul produsului a două matrice.

5. Proprietatea 4: liniaritatea pe o linie

Proprietatea 4. Dacă o linie a matricei este scrisă ca sumă de două linii, iar celelalte linii rămân neschimbate, atunci determinantul este suma celor doi determinanți corespunzători. Pe ordinul al treilea, cu linia întâi descompusă:

$$\left|\begin{array}{ccc}{b}_1+c_1& b_2+c_2& b_3+c_3\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{b}_1& b_2& b_3\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{c}_1& c_2& c_3\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|.$$

Demonstrație. Fiecare termen al determinantului din stânga conține exact un factor din linia întâi, anume $b_{\sigma (1)}+c_{\sigma (1)}$. Desfacem parantezele: termenul se rupe în două, unul cu $b_{\sigma (1)}$ și unul cu $c_{\sigma (1)}$, ceilalți factori și signatura rămânând aceiași. Grupând separat toți termenii cu $b$ și toți termenii cu $c$, obținem exact cei doi determinanți din dreapta. $■$

Împreună, Proprietățile 3 și 4 se numesc liniaritatea determinantului în raport cu o linie: determinantul se comportă „frumos" față de adunare și față de înmulțirea cu un număr, dar numai pe o linie o dată, celelalte rămânând fixate. Prin transpunere, același lucru este valabil pentru fiecare coloană.

6. De ce $\det (A+B)$ nu este $\det A+\det B$

Aici se greșește cel mai des, tocmai pentru că Proprietatea 4 seamănă cu o regulă de adunare. Diferența este esențială: la Proprietatea 4 se descompune o singură linie, restul rămânând identice. La $A+B$ se schimbă toate liniile deodată.

Contraexemplul se scrie în două rânduri. Fie $A=B=I_2$. Atunci $\det A=\det B=1$, dar $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, cu

$$\det (A+B)=2\cdot 2-0\cdot 0=4\ne 1+1=2.$$

Reține formularea corectă: nu există o regulă pentru determinantul unei sume de matrice. Ce există este descompunerea pe o linie — și numai pe una.

7. Cum se folosesc, în ordine

Într-un calcul concret, ordinea este aproape întotdeauna aceasta:

1. caută o linie sau o coloană nulă — dacă există, ai terminat, determinantul este $0$;
2. caută factori comuni pe linii și pe coloane și scoate-i pe toți în față, ca să rămâi cu numere mici;
3. abia apoi calculează, cu regula lui Sarrus dacă ordinul este $3$, sau cu instrumentele care urmează în lecția despre schimbarea liniilor și transformări.

Ordinea contează: scoaterea factorilor înainte de calcul transformă înmulțiri de numere mari în înmulțiri de numere de o cifră.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Determinantul transpusei, verificat

Fie $M=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 4& 0& -1\\ 2& 5& 1\end{array}\right)$. Calculați $\det M$ și $\det ({}^{t}M)$.

Rezolvare. Cu regula lui Sarrus:

$$\det M=1\cdot 0\cdot 1+(-2)(-1)\cdot 2+3\cdot 4\cdot 5-(3\cdot 0\cdot 2+1\cdot (-1)\cdot 5+(-2)\cdot 4\cdot 1)=0+4+60-(0-5-8)=77.$$

Transpusa este ${}^{t}M=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ -2& 0& 5\\ 3& -1& 1\end{array}\right)$, iar

$$\det ({}^{t}M)=1\cdot 0\cdot 1+4\cdot 5\cdot 3+2(-2)(-1)-(2\cdot 0\cdot 3+1\cdot 5\cdot (-1)+4(-2)\cdot 1)=0+60+4-(0-5-8)=77.$$

Aceeași valoare, $77$, exact cum promite Proprietatea 1. $✓$

Exemplul 2 — Răspuns fără calcul

Calculați $\det A$ pentru $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 4\\ 2& 0& 0& 5\\ 3& 1& 0& 2\\ 7& 1& 0& 3\end{array}\right)$.

Rezolvare. Coloana a treia este nulă. Prin Proprietatea 1, ce e valabil pentru linii e valabil și pentru coloane, deci $\det A=0$. Nu se face niciun calcul: cei $24$ de termeni conțin fiecare câte un element din coloana a treia, adică un factor nul.

Exemplul 3 — Un factor comun, scos corect

Calculați $\left|\begin{array}{ccc}5& 10& 15\\ 2& 3& 1\\ 0& 4& 7\end{array}\right|$.

Rezolvare. Prima linie are toate elementele multipli de $5$. Scoatem factorul:

$$\left|\begin{array}{ccc}5& 10& 15\\ 2& 3& 1\\ 0& 4& 7\end{array}\right|=5\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\\ 0& 4& 7\end{array}\right|=5(21+0+24-(0+4+28))=5\cdot 13=65.$$

Verificarea directă, fără scoaterea factorului, dă $105+0+120-(0+20+140)=65$ $✓$ — aceeași valoare, dar cu numere de trei ori mai mari.

Exemplul 4 — Doi factori, din două linii

Calculați $\left|\begin{array}{ccc}6& 3& 9\\ 2& 8& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$.

Rezolvare. Din prima linie scoatem $3$, din a doua scoatem $2$. Factorii se înmulțesc între ei:

$$\left|\begin{array}{ccc}6& 3& 9\\ 2& 8& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=3\cdot 2\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 4& 2\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=6(8+2+3-(12+4+1))=6\cdot (-4)=-24.$$

Atenție la formulare: am scos $3$ dintr-o linie și $2$ din altă linie, deci în față iese produsul $3\cdot 2=6$. Dacă am fi înmulțit toată matricea cu un număr, factorul ar fi apărut de trei ori, o dată pentru fiecare linie.

Exemplul 5 — Descompunerea unei linii

Calculați $\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 4\\ 0& 2& 5\\ 3& 1& -1\end{array}\right|$, scriind prima linie sub forma $(1,3,4)+(2,-1,0)$.

Rezolvare. Aplicăm Proprietatea 4, celelalte două linii rămânând identice:

$$\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 4\\ 0& 2& 5\\ 3& 1& -1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& 2& 5\\ 3& 1& -1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 0& 2& 5\\ 3& 1& -1\end{array}\right|.$$

Primul determinant: $-2+45+0-(24+5+0)=14$. Al doilea: $-4-15+0-(0+10+0)=-29$. Suma este $14-29=-15$.

Calculul direct al determinantului inițial dă $-6+30+0-(24+15+0)=-15$ $✓$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 0& 1\\ 3& 1& 1\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A$ și verificați că $\det ({}^{t}A)=\det A$. b) Calculați $\det B$, unde $B$ se obține din $A$ înmulțind prima linie cu $3$. c) Calculați $\det C$, unde $C=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 4\\ 4& 0& 2\\ 3& 1& 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. a) Cu regula lui Sarrus:

$$\det A=0+3+4-(0+1+2)=4.$$

Transpusa este ${}^{t}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 0& 1\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$, cu $\det ({}^{t}A)=0+4+3-(0+1+2)=4$ $✓$.

b) Prima linie a fost înmulțită cu $3$, deci prin Proprietatea 3, $\det B=3\det A=12$.

c) Prima linie a lui $C$ este prima linie a lui $A$ înmulțită cu $2$, iar a doua linie a lui $C$ este a doua linie a lui $A$ înmulțită tot cu $2$. Linia a treia este neschimbată. Aplicăm Proprietatea 3 de două ori:

$$\det C=2\cdot 2\cdot \det A=4\cdot 4=16.$$

Observație de barem: dacă am fi scris grăbit $\det C=2\det A=8$, am fi pierdut un factor. Numără de câte ori ai scos același număr — de atâtea ori apare el în față.

Să exersăm

Înainte de orice calcul, întreabă-te: există o linie sau o coloană nulă? există factori comuni de scos? Cele două întrebări economisesc, împreună, jumătate din muncă.

1. Calculează $\det M$ și $\det ({}^{t}M)$ pentru $M=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 4& 1\\ 5& 2& -2\end{array}\right)$ și compară rezultatele.

2. Fără să faci niciun calcul, spune cât este $\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right|$ și justifică.

3. Fără calcul, determină valoarea determinantului matricei de ordinul al patrulea $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 0& 1& 5\\ 3& 1& 0& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$.

4. Scoate factorul comun și calculează $\left|\begin{array}{ccc}7& 14& 21\\ 1& 2& 4\\ 3& 0& 5\end{array}\right|$.

5. Scoate factorii comuni din două linii și calculează $\left|\begin{array}{ccc}10& -5& 15\\ 2& 3& 1\\ 4& 0& 6\end{array}\right|$.

6. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}3& -6& 12\\ 2& 1& 0\\ -1& 4& 5\end{array}\right|$, scoțând mai întâi factorul comun al primei linii.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o coloană a unei matrice pătratice are toate elementele nule, determinantul matricei este nul."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice matrice $A$ și $B$ de ordinul al doilea, $\det (A+B)=\det A+\det B$."

9. Se știe că $\det A=6$, unde $A$ este o matrice de ordinul al treilea. Cât este $\det ({}^{t}A)$? Dar determinantul matricei obținute din $A$ înmulțind linia a doua cu $5$?

10. Știind că $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 0& 1\\ -1& 3& 2\end{array}\right|=17$ și $\left|\begin{array}{ccc}3& -1& 4\\ 2& 0& 1\\ -1& 3& 2\end{array}\right|=20$, calculează $\left|\begin{array}{ccc}4& 1& 9\\ 2& 0& 1\\ -1& 3& 2\end{array}\right|$ fără să faci Sarrus.

11. Verifică rezultatul de la exercițiul anterior prin calcul direct.

12. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}3& 5& -2\\ 0& 4& 7\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$ și determinantul transpusei acestei matrice, comentând rezultatul.

13. (Problemă aplicată.) O firmă are trei linii de producție, iar matricea consumurilor de trei materiale are pe fiecare linie consumurile unei linii de producție. Dacă prima linie de producție își triplează volumul, toate cele trei consumuri ale ei se triplează. Cu cât se înmulțește determinantul matricei? Dar dacă se triplează volumul tuturor celor trei linii de producție?

14. Explică, în două-trei fraze, de ce Proprietatea 4 nu contrazice faptul că $\det (A+B)\ne \det A+\det B$.

15. Descompune $\left|\begin{array}{ccc}3& 2& 3\\ 6& 5& 6\\ 9& 8& 10\end{array}\right|$ scriind prima coloană ca $(2,2,2)+(1,4,7)$, apoi calculează cei doi determinanți obținuți și verifică suma prin calcul direct.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 4\\ 3& 0& 5\end{array}\right)$. a) Calculează $\det A$. b) Calculează determinantul matricei obținute din $A$ înmulțind prima linie cu $7$. c) Arată că determinantul matricei obținute din $A$ înmulțind prima linie cu $2$ și a treia linie cu $2$ este egal cu $4\det A$.

17. O matrice pătratică are o linie formată numai din numere pare și o coloană formată numai din multipli de $3$. Ce poți spune despre divizibilitatea determinantului ei?

18. (Provocare.) O matrice $A$ de ordinul al treilea se numește antisimetrică dacă ${}^{t}A=-A$. Arată, folosind Proprietatea 1 și Proprietatea 3, că orice matrice antisimetrică de ordinul al treilea are determinantul nul. Verifică pe $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& -3\\ -2& 0& 5\\ 3& -5& 0\end{array}\right)$.

Răspunsuri și explicații

1. $\det M=-16+(-5)+0-(60+4+0)=-85$. Transpusa este $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 5\\ -1& 4& 2\\ 3& 1& -2\end{array}\right)$, cu determinantul tot $-85$, conform Proprietății 1.

2. Este $0$: prima linie este nulă, deci fiecare dintre cei șase termeni conține un factor nul.

3. Este $0$, din același motiv: ultima linie este nulă, iar fiecare dintre cei $24$ de termeni ia câte un element din ea.

4. Scoatem $7$ din prima linie: $7\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 4\\ 3& 0& 5\end{array}\right|=7(10+24+0-(18+0+10))=7\cdot 6=42$.

5. Scoatem $5$ din prima linie și $2$ din a treia: $5\cdot 2\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 2& 3& 1\\ 2& 0& 3\end{array}\right|=10\cdot 4=40$.

6. Scoatem $3$ din prima linie: $3\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ 2& 1& 0\\ -1& 4& 5\end{array}\right|=3\cdot 61=183$.

7. Adevărat. Proprietatea 2 se enunță pentru linii, dar prin Proprietatea 1 orice afirmație despre linii rămâne valabilă pentru coloane. Direct: fiecare termen conține un element din coloana nulă.

8. Fals. Pentru $A=B=I_2$ avem $\det A+\det B=2$, dar $\det (A+B)=\det \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=4$. Nu există o regulă pentru determinantul unei sume.

9. $\det ({}^{t}A)=\det A=6$. Înmulțind o singură linie cu $5$, determinantul devine $5\cdot 6=30$.

10. Prima linie a determinantului cerut este suma primelor linii ale celor doi determinanți dați, iar celelalte două linii coincid: $(1,2,5)+(3,-1,4)=(4,1,9)$. Prin Proprietatea 4, rezultatul este $17+20=37$.

11. Direct, cu regula lui Sarrus: $0+54-1-(0+12+4)=53-16=37$ $✓$.

12. Matricea este triunghiulară superioară, deci determinantul este $3\cdot 4\cdot 1=12$. Transpusa este triunghiulară inferioară, cu aceeași diagonală principală, deci determinantul ei este tot $12$ — un caz particular vizibil al Proprietății 1.

13. Triplarea unei singure linii de producție înmulțește o singură linie a matricei cu $3$, deci determinantul se înmulțește cu $3$. Dacă se triplează toate cele trei linii, factorul $3$ se scoate de trei ori, deci determinantul se înmulțește cu $3^3=27$.

14. Proprietatea 4 descompune o singură linie, toate celelalte rămânând identice în cei doi determinanți din dreapta. La $A+B$ se modifică simultan toate liniile, deci situația nu se încadrează în ipoteza proprietății.

15. $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 5& 6\\ 1& 8& 10\end{array}\right|=3$ și $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 10\end{array}\right|=-3$. Cum prima coloană a fost descompusă ca $(2,2,2)+(1,4,7)$, iar din $(2,2,2)$ se mai scoate factorul $2$, rezultatul este $2\cdot 3+(-3)=3$. Calculul direct dă $150+108+144-(135+144+120)=3$ $✓$.

16. a) $\det A=10+24+0-(18+0+10)=6$. b) $7\cdot 6=42$. c) Se scoate $2$ din prima linie și $2$ din a treia, deci determinantul este $2\cdot 2\cdot \det A=4\cdot 6=24$, adică $4\det A$.

17. Din linia cu numere pare se scoate factorul $2$. Elementul aflat la intersecția dintre acea linie și coloana cu multipli de $3$ este și par, și multiplu de $3$, deci multiplu de $6$; împărțit la $2$, rămâne multiplu de $3$. Prin urmare coloana își păstrează proprietatea și din ea se scoate factorul $3$. Determinantul este așadar divizibil cu $2\cdot 3=6$.

18. Din ${}^{t}A=-A$ obținem $\det ({}^{t}A)=\det (-A)$. Membrul stâng este $\det A$, prin Proprietatea 1. În membrul drept, matricea $-A$ are fiecare dintre cele trei linii înmulțită cu $-1$, deci scoatem factorul $-1$ de trei ori: $\det (-A)=(-1)(-1)(-1)\det A=-\det A$. Rezultă $\det A=-\det A$, adică $2\det A=0$ și $\det A=0$. Pe matricea dată, Sarrus confirmă: $0-30+30-(0+0+0)=0$ $✓$.

De reținut

• $\det ({}^{t}A)=\det A$. Consecința se folosește permanent: orice proprietate a liniilor este și o proprietate a coloanelor.
• Linie sau coloană nulă $\Rightarrow$ determinant nul. Se verifică primul, pentru că dă răspunsul fără calcul.
• Factor comun pe o linie: se scoate în fața determinantului. Doi factori din două linii diferite se înmulțesc între ei.
• Liniaritatea pe o linie: o linie scrisă ca sumă rupe determinantul în doi determinanți, celelalte linii rămânând identice.
• Nu există regulă pentru $\det (A+B)$. Contraexemplul $A=B=I_2$ dă $4\ne 2$ și se ține minte ca atare.

Greșeli frecvente

• $\det (\alpha A)=\alpha \det A$. Greșit: scoțând $\alpha$ din fiecare dintre cele $n$ linii, se obține ${\alpha }^n\det A$. La ordinul $3$, înmulțirea matricei cu $2$ înmulțește determinantul cu $8$.
• $\det (A+B)=\det A+\det B$. Fals în general; regula de descompunere se aplică unei singure linii, nu întregii matrice.
• Factorul scos și lăsat și înăuntru. După ce scrii $\alpha$ în față, elementele liniei trebuie împărțite la $\alpha$. Altfel valoarea se înmulțește degeaba cu $\alpha$.
• Confuzia transpusei cu inversa. ${}^{t}A$ se obține schimbând liniile cu coloanele și există pentru orice matrice; ea nu are legătură cu inversarea matricei.
• Aplicarea proprietăților pe „jumătate de linie". Factorul comun se scoate numai dacă toate elementele liniei îl conțin. Dacă doar două dintre trei sunt multipli de $5$, nu se scoate nimic.

Aplică acasă

1. Testul transpusei. Alege o matrice de ordinul al treilea cu numere din viața ta (data nașterii, note, prețuri). Calculează determinantul ei și pe cel al transpusei; trebuie să obții același număr. Repetă cu o matrice de ordinul al patrulea, folosind o foaie de calcul.

2. Vânătoarea de factori. Scrie un determinant de ordinul al treilea în care fiecare linie are un factor comun diferit ($2$, $3$, respectiv $5$). Calculează-l o dată direct și o dată scoțând toți factorii; compară numărul de cifre cu care ai lucrat.

3. Contraexemplul propriu. Găsește două matrice de ordinul al doilea, diferite de $I_2$, pentru care $\det (A+B)\ne \det A+\det B$, și una — dacă poți — pentru care se întâmplă să fie egale. Vei vedea că egalitatea e o coincidență, nu o regulă.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce primele patru proprietăți ale determinanților, cerute explicit de programa clasei a XI-a, cu demonstrații făcute pe ordinul al treilea. Miza reală nu este memorarea listei, ci reflexul de a privi matricea înainte de a calcula: o linie de zerouri sau un factor comun scurtează dramatic rezolvarea și reduc greșelile de aritmetică.

De verificat în caiet: (1) factorul scos apare o singură dată în față, iar linia rămâne împărțită la el; (2) elevul nu scrie niciodată $\det (A+B)=\det A+\det B$; (3) la descompunerea pe o linie, celelalte linii sunt copiate identic în ambii determinanți; (4) notația transpusei este ${}^{t}A$. Întrebări de control: „Ce se întâmplă cu determinantul dacă transpui matricea?"; „Cu cât se înmulțește determinantul dacă înmulțești o linie cu $4$?"; „Dar dacă înmulțești toată matricea cu $4$?".

La BAC M1, aceste proprietăți apar rareori ca cerință de sine stătătoare, dar sunt pasul unu în aproape orice calcul de determinant cu numere mari sau cu parametru. Semn că elevul a înțeles: înainte să scrie prima înmulțire, verifică dacă are linii nule și scoate factorii comuni.

Întrebări frecvente

Determinantul transpusei este egal cu determinantul matricei? Da, întotdeauna: $\det ({}^{t}A)=\det A$, pentru orice matrice pătratică. Motivul este că fiecare termen al unuia, rearanjat în ordinea liniilor, devine un termen al celuilalt, cu aceeași signatură.

De ce este nul determinantul unei matrice cu o linie de zerouri? Pentru că fiecare termen al dezvoltării conține exact un element din acea linie, deci fiecare termen are un factor $0$. Suma unor termeni toți nuli este $0$.

Cum scot factorul comun dintr-un determinant? Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) se divid cu un număr $\alpha$, îl scrii pe $\alpha$ în fața determinantului și împarți la el toate elementele acelei linii. Dacă scoți factori din mai multe linii, ei se înmulțesc între ei.

Cu cât se înmulțește determinantul dacă înmulțesc toată matricea cu un număr? Cu ${\alpha }^n$, unde $n$ este ordinul matricei, pentru că factorul se scoate din fiecare dintre cele $n$ linii. La ordinul $3$ și $\alpha =2$, determinantul se înmulțește cu $8$, nu cu $2$.

Este adevărat că determinantul sumei este suma determinanților? Nu. Contraexemplul standard este $A=B=I_2$: determinanții sunt $1$ și $1$, dar determinantul sumei este $4$. Descompunerea se face doar pe o singură linie, restul rămânând neschimbat.

Ce înseamnă că determinantul este liniar în raport cu o linie? Că, ținând fixate toate celelalte linii, determinantul se comportă ca o funcție liniară de linia rămasă: se descompune în raport cu suma și scoate în față factorii numerici. Este exact conținutul Proprietăților 3 și 4.

Unde apar aceste proprietăți la Bacalaureat M1? Ca prim pas în calculele cu determinanți: scoaterea factorilor comuni, recunoașterea determinanților nuli și justificarea egalității dintre un determinant și cel al transpusei. Programa cere explicit exprimarea în limbaj matematic a proprietăților aplicate în calcularea unui determinant.