Proprietățile determinanților (II): pe scurt

Această lecție îți dă uneltele cu care lucrezi asupra unui determinant, nu doar îl citești.

Proprietatea 5 (schimbarea a două linii): dacă schimbi între ele două linii, determinantul își schimbă semnul. Motivul stă în signaturi: schimbând între ele două valori ale permutării, paritatea numărului de inversiuni se schimbă. Prin transpunere, la fel se întâmplă la schimbarea a două coloane.

Proprietatea 6 (linii identice): două linii egale $\Rightarrow$ $\det A=0$. Demonstrația nu calculează nimic: schimbându-le între ele, matricea rămâne aceeași, dar determinantul ar trebui să devină $-d$; din $d=-d$ rezultă $d=0$.

Proprietatea 7 (linii proporționale): dacă o linie este alta înmulțită cu $\alpha$, determinantul este $0$ — se scoate factorul (Proprietatea 3 din lecția precedentă) și rămân două linii identice.

Proprietatea 8 (proprietatea de aur): operația $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, cu $i\ne j$, nu schimbă determinantul. Condiția $i\ne j$ este esențială: pentru $i=j$ operația înseamnă $L_i\leftarrow (1+\alpha )L_i$, deci determinantul se înmulțește cu $1+\alpha$.

Consecință: dacă o linie este combinație liniară a celorlalte, determinantul este nul, pentru că poate fi transformată într-o linie de zerouri.

Notațiile se scriu așa, și numai așa: $L_i\leftrightarrow L_j$, $L_i\leftarrow \alpha L_i$ (cu $\alpha \ne 0$), $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, iar pe coloane $C_i\leftrightarrow C_j$, $C_i\leftarrow \alpha C_i$, $C_i\leftarrow C_i+\alpha C_j$. La Bacalaureat M1 baremul cere să se vadă ce operație s-a făcut, pentru că de ea depinde dacă valoarea s-a păstrat, și-a schimbat semnul sau s-a înmulțit.

Exerciții din această mini-lecție

1. Determinantul $\left|\begin{array}{ccc}1& 4& 2\\ 3& 0& 5\\ 2& 1& 1\end{array}\right|$ are valoarea $d$. Ce valoare se obține dacă se aplică, în această ordine, $L_1\leftrightarrow L_3$ și apoi $L_2\leftarrow L_2+4L_1$?

   • a) $d$
   • b) $4d$
   • c) $-4d$
   • d) $-d$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $-d$

   Prima operație este o schimbare de linii, deci determinantul devine $-d$ (Proprietatea 5). A doua este de forma $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $i\ne j$, deci nu schimbă nimic (Proprietatea 8). Valoarea finală este $-d$. Capcana este să crezi că a doua operație aduce un factor $4$ — nu aduce, tocmai pentru că nu este $L_2\leftarrow 4L_2$.

2. Care dintre determinanții următori este, cu siguranță, nul, fără niciun calcul?

   • a) $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 7\\ 0& 1& 1\end{array}\right|$
   • b) $\left|\begin{array}{ccc}2& -3& 5\\ 1& 4& 0\\ -6& 9& -15\end{array}\right|$
   • c) $\left|\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 3& 0& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right|$
   • d) $\left|\begin{array}{ccc}2& 4& 7\\ 4& 8& 15\\ 1& 0& 3\end{array}\right|$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\left|\begin{array}{ccc}2& -3& 5\\ 1& 4& 0\\ -6& 9& -15\end{array}\right|$

   La varianta b), linia a treia este prima înmulțită cu $-3$: $(-6,9,-15)=-3\cdot (2,-3,5)$. Două linii proporționale înseamnă determinant nul (Proprietatea 7). La a) și d) liniile par proporționale, dar ultimul element strică raportul ($7\ne 6$, respectiv $15\ne 14$) — proporționalitatea cere același factor pentru toate elementele. La c) determinantul este $56$: zerourile anulează doar produsele în care apar.

3. Calculați $\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 7& 5\\ 3& 11& 9\end{array}\right|$, aducându-l la formă triunghiulară.

   • a) $0$
   • b) $-1$
   • c) $1$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $1$

   Cu pivotul $1$ din colțul stânga-sus aplicăm $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$, obținând liniile $(0,1,1)$ și $(0,2,3)$. Apoi $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ dă $(0,0,1)$. Toate trei operațiile sunt de tipul $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $i\ne j$, deci valoarea nu s-a schimbat. Matricea este triunghiulară, cu diagonala $1,1,1$, deci determinantul este $1$.