Proprietățile determinanților (II): schimbarea liniilor, linii proporționale, transformări

În prima lecție de proprietăți ai învățat să citești un determinant: să vezi o linie nulă, să scoți un factor comun, să descompui o linie scrisă ca sumă. Acum urmează partea în care începi să lucrezi asupra lui — să schimbi liniile între ele și să le combini, ca să obții cât mai multe zerouri înainte de a calcula ceva.

Cele patru proprietăți din această lecție sunt cele mai folosite din tot capitolul. Una dintre ele îți dă răspunsul instantaneu la o mulțime de determinanți din subiectele de Bacalaureat M1 („arătați că determinantul este nul"), iar alta — ultima — este unealta de bază a oricărui calcul serios de determinant: transformarea care schimbă matricea fără să schimbe deloc valoarea determinantului.

Ce vei învăța

• Vei ști ce se întâmplă cu determinantul când schimbi între ele două linii sau două coloane și de ce apare semnul minus.
• Vei ști să recunoști instantaneu determinanții nuli din cauza a două linii egale sau proporționale.
• Vei ști că transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ nu schimbă valoarea determinantului și de ce.
• Vei ști să demonstrezi că un determinant este nul când o linie este combinație liniară a celorlalte.
• Vei ști notațiile standard ale operațiilor pe linii și pe coloane și le vei scrie corect în rezolvări.
• Vei ști să creezi zerouri într-un determinant, ca să-l calculezi cu cât mai puține înmulțiri.

Hai să descoperim împreună

1. Proprietatea 5: schimbarea a două linii

Proprietatea 5. Dacă în matricea $A$ se schimbă între ele două linii, determinantul își schimbă semnul.

Demonstrație (ordin 3, cu liniile $1$ și $2$). Fie $B$ matricea obținută din $A$ schimbând primele două linii, deci $b_{1j}=a_{2j}$, $b_{2j}=a_{1j}$ și $b_{3j}=a_{3j}$. Scriem determinantul lui $B$ și înlocuim, apoi rearanjăm fiecare produs în ordinea liniilor lui $A$:

$$\det B=a_{12}{a}_{21}{a}_{33}+a_{13}{a}_{22}{a}_{31}+a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{22}{a}_{33}-a_{12}{a}_{23}{a}_{31}.$$

Compară termen cu termen cu

$$\det A=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}.$$

Sunt exact aceiași șase produse, dar fiecare a trecut din grupa lui cu $+$ în grupa cu $-$ și invers. Deci $\det B=-\det A$. $■$

De unde vine, de fapt, schimbarea de semn. Fiecare produs este dat de o permutare, iar schimbarea liniilor $1$ și $2$ înseamnă să schimbi între ele primele două valori din linia a doua a permutării. Tabelul de mai jos arată ce se întâmplă cu signaturile:

Cele șase permutări se împerechează două câte două, iar în fiecare pereche paritatea se schimbă. Același lucru se întâmplă la orice ordin $n$ și pentru orice două linii: schimbând între ele două valori din linia a doua a permutării, numărul de inversiuni își schimbă paritatea. De aici, minusul.

Prin transpunere (Proprietatea 1 din lecția anterioară), schimbarea a două coloane schimbă și ea semnul determinantului.

2. Notațiile operațiilor — se scriu așa, și numai așa

Din acest moment ai voie să modifici un determinant în timpul calculului, deci ai nevoie de un limbaj precis. Operațiile pe linii se notează:

• $L_i\leftrightarrow L_j$ — schimbarea a două linii;
• $L_i\leftarrow \alpha L_i$, cu $\alpha \ne 0$ — înmulțirea unei linii cu un număr nenul;
• $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ — adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un număr.

Pe coloane, notațiile sunt analoage, cu litera $C$: $C_i\leftrightarrow C_j$, $C_i\leftarrow \alpha C_i$, $C_i\leftarrow C_i+\alpha C_j$.

Fiecare pas al unui calcul se scrie cu operația indicată explicit. Formularea „se fac calculele" nu se acceptă la Bacalaureat M1: baremul cere să se vadă ce operație s-a făcut, pentru că de ea depinde dacă valoarea determinantului s-a păstrat, și-a schimbat semnul sau s-a înmulțit cu un număr.

3. Proprietatea 6: două linii identice

Proprietatea 6. Dacă două linii (sau două coloane) ale matricei $A$ sunt identice, atunci $\det A=0$.

Demonstrație. Fie liniile $i$ și $j$ identice și fie $d=\det A$. Schimbăm între ele cele două linii: prin Proprietatea 5, noul determinant este $-d$. Dar matricea nu s-a schimbat deloc, pentru că liniile schimbate erau identice, deci noul determinant este tot $d$. Din $d=-d$ obținem $2d=0$, adică $d=0$. $■$

Demonstrația aceasta merită privită de două ori: nu s-a calculat nimic, s-a folosit doar faptul că o operație lasă matricea neschimbată, dar ar trebui să schimbe semnul rezultatului.

4. Proprietatea 7: două linii proporționale

Proprietatea 7. Dacă două linii (sau două coloane) ale matricei $A$ sunt proporționale — adică una este cealaltă înmulțită cu un număr $\alpha$ — atunci $\det A=0$.

Demonstrație. Fie linia $j$ egală cu $\alpha$ înmulțit cu linia $i$. Scoatem factorul $\alpha$ din linia $j$ (Proprietatea 3 din lecția anterioară): determinantul devine $\alpha$ înmulțit cu un determinant în care liniile $i$ și $j$ sunt identice. Prin Proprietatea 6, acesta este $0$, deci și determinantul inițial este $0$. $■$

Aceasta este proprietatea care rezolvă, într-o singură frază, o categorie întreagă de exerciții. Când vezi un determinant de ordinul al patrulea în care o linie este dublul alteia, scrii direct $0$ — nicio dezvoltare, niciun calcul.

5. Proprietatea 8: transformarea care nu schimbă nimic

Aceasta este proprietatea de aur a capitolului.

Proprietatea 8. Dacă la o linie a matricei se adună o altă linie înmulțită cu un număr — operația $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, cu $i\ne j$ — determinantul rămâne neschimbat.

Demonstrație. Noua linie $i$ este scrisă ca sumă de două linii: linia $i$ inițială și $\alpha$ înmulțit cu linia $j$. Aplicăm liniaritatea pe linia $i$ (Proprietatea 4): determinantul se rupe în doi determinanți. Primul este chiar $\det A$. Al doilea are pe linia $i$ exact $\alpha$ înmulțit cu linia $j$, deci are două linii proporționale, iar prin Proprietatea 7 este $0$. Rezultă că valoarea totală este $\det A+0=\det A$. $■$

Ce înseamnă asta în practică: poți umple determinantul de zerouri fără să-i schimbi valoarea. Alegi o linie ca „pivot" și, scăzând din celelalte multipli potriviți ai ei, faci să apară zerouri exact unde vrei. Este ideea pe care se sprijină toate metodele serioase de calcul, de la determinanții de ordinul al patrulea până la metoda lui Gauss pentru sisteme.

Prin transpunere, aceeași proprietate este valabilă pentru coloane: $C_i\leftarrow C_i+\alpha C_j$ nu schimbă determinantul.

6. Consecința: linie combinație liniară a celorlalte

Consecință. Dacă o linie a matricei este o combinație liniară a celorlalte — adică se obține adunând multipli ai altor linii — atunci determinantul este nul.

Într-adevăr, dacă linia $L_3$ este, de exemplu, $2L_1+L_2$, atunci aplicând $L_3\leftarrow L_3-2L_1$ și apoi $L_3\leftarrow L_3-L_2$ (transformări care nu schimbă determinantul, prin Proprietatea 8) obținem o matrice cu linia a treia nulă, al cărei determinant este $0$ prin Proprietatea 2.

Aceasta e forma cea mai generală de „determinant nul din motive structurale" și explică toate cazurile particulare: două linii egale, două linii proporționale, o linie care e suma altor două.

7. Cum se face, concret, crearea de zerouri

Strategia are trei pași:

1. alege linia-pivot — de preferință una care începe cu $1$ sau cu $-1$, ca să lucrezi cu numere întregi;
2. anulează sub pivot — pentru fiecare linie de dedesubt, aplică $L_k\leftarrow L_k-\alpha L_{\text{pivot}}$ cu $\alpha$ ales astfel încât primul element să devină $0$;
3. repetă cu următoarea linie, până ajungi la o matrice triunghiulară — al cărei determinant este produsul elementelor de pe diagonala principală, cum ai demonstrat la lecția despre definiția determinantului.

La ordinul $3$ poți opri procedeul oricând și încheia cu regula lui Sarrus. La ordinul $4$, unde Sarrus nu se aplică, metoda completă — combinată cu dezvoltarea după o linie — se studiază la lecția despre determinanții de ordin 4; aici ne mărginim la cazurile în care proprietățile singure dau răspunsul.

Regula de aur a scrierii: la fiecare pas notează operația. Dacă ai schimbat două linii, pune un minus în față. Dacă ai înmulțit o linie cu $\alpha$, împarte rezultatul la $\alpha$. Dacă ai făcut $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, nu corecta nimic — valoarea s-a păstrat.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Schimbarea a două linii

Se știe că $\left|\begin{array}{ccc}2& 5& 1\\ 3& 1& 4\\ 0& 2& 6\end{array}\right|=-88$. Calculați $\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 2& 5& 1\\ 0& 2& 6\end{array}\right|$.

Rezolvare. Al doilea determinant se obține din primul prin $L_1\leftrightarrow L_2$, deci își schimbă semnul: valoarea lui este $-(-88)=88$. Verificare cu Sarrus: $90+16+0-(0+6+12)=88$ $✓$.

Exemplul 2 — Linii proporționale

Calculați $\left|\begin{array}{ccc}4& 2& 6\\ 1& 5& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right|$.

Rezolvare. Prima linie este a treia înmulțită cu $2$: $(4,2,6)=2\cdot (2,1,3)$. Prin Proprietatea 7, determinantul este $0$ — fără niciun calcul.

Dacă vrei să vezi mecanismul: scoțând factorul $2$ din prima linie obții un determinant cu liniile întâi și a treia identice, deci nul.

Exemplul 3 — Ordinul al patrulea, rezolvat dintr-o privire

Calculați $\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 2& 3& 1& 4\\ 5& 6& 4& 7\\ 0& 1& 1& 1\end{array}\right|$.

Rezolvare. Observă a treia linie: $(5,6,4,7)=(1,0,2,-1)+2\cdot (2,3,1,4)$, adică $L_3=L_1+2L_2$. Aplicăm $L_3\leftarrow L_3-L_1-2L_2$, operație care nu schimbă determinantul, și obținem o matrice cu linia a treia nulă. Prin urmare determinantul este $0$.

Fără această observație ar fi trebuit să calculezi $24$ de termeni sau să faci o dezvoltare completă. Merită întotdeauna să verifici, înainte de orice, dacă vreo linie este suma altora.

Exemplul 4 — Crearea de zerouri, la ordinul al treilea

Calculați $\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 4& 7& 11\\ 6& 10& 17\end{array}\right|$.

Rezolvare. Folosim prima linie ca pivot și aplicăm $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$. Prin Proprietatea 8, valoarea nu se schimbă:

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 4& 7& 11\\ 6& 10& 17\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right|=2\cdot 1\cdot 2+0+0-(0+2\cdot 1\cdot 1+0)=4-2=2.$$

Cu zerourile pe prima coloană, patru dintre cei șase termeni ai lui Sarrus dispar și rămân doar două înmulțiri.

Exemplul 5 — Până la formă triunghiulară

Calculați $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 8\\ 3& 8& 14\end{array}\right|$, aducând determinantul la formă triunghiulară.

Rezolvare. Pivotul este $1$, în colțul din stânga sus. Aplicăm $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 8\\ 3& 8& 14\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 2& 5\end{array}\right|.$$

Acum pivotul este elementul $1$ de pe linia a doua; aplicăm $L_3\leftarrow L_3-2L_2$:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 2& 5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=1\cdot 1\cdot 1=1.$$

Ultima egalitate folosește teorema matricelor triunghiulare. Niciuna dintre cele trei operații nu a schimbat valoarea, deci determinantul inițial este $1$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $A(x)=\left(\begin{array}{ccc}x& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right)$, cu $x\in \mathbb{R}$. Calculați $\det A(x)$ folosind proprietățile determinanților și rezolvați ecuația $\det A(x)=0$.

Rezolvare. Observă că suma elementelor de pe fiecare linie este aceeași: $x+2$. Aplicăm $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3$, transformare care nu schimbă determinantul (adunăm de două ori câte o coloană înmulțită cu $1$):

$$\det A(x)=\left|\begin{array}{ccc}x+2& 1& 1\\ x+2& x& 1\\ x+2& 1& x\end{array}\right|=(x+2)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& x& 1\\ 1& 1& x\end{array}\right|,$$

unde am scos factorul comun $x+2$ din prima coloană. Aplicăm acum $L_2\leftarrow L_2-L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-L_1$:

$$\det A(x)=(x+2)\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& x-1& 0\\ 0& 0& x-1\end{array}\right|=(x+2)(x-1{)}^2,$$

ultima egalitate fiind teorema matricelor triunghiulare. Ecuația $\det A(x)=0$ are deci soluțiile $x=-2$ și $x=1$ (soluție dublă).

Verificare. Desfăcând, $(x+2)(x-1{)}^2=x^3-3x+2$, exact ce dă regula lui Sarrus aplicată direct. Pentru $x=3$: $(3+2)\cdot 4=20$, iar Sarrus dă $27+1+1-(3+3+3)=20$ $✓$.

Să exersăm

Înainte de a calcula, verifică în ordine: linie sau coloană nulă? două linii egale sau proporționale? o linie care este suma altora? Abia dacă răspunsul e „nu" la toate trei, treci la crearea de zerouri.

1. Se știe că $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right|=1$. Cât este $\left|\begin{array}{cc}2& 7\\ 1& 3\end{array}\right|$? Verifică prin calcul direct.

2. Fără calcul, spune cât este $\left|\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 1& 5& 9\\ 4& 6& 13\end{array}\right|$, observând o relație între linii.

3. Fără calcul, determină valoarea determinantului $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$, arătând că a treia linie este $2L_2-L_1$.

4. Calculează $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ 2& 4& 2& 6\\ 0& 1& 5& 2\\ 3& 0& 1& 4\end{array}\right|$, justificând rezultatul într-un singur rând.

5. Arată că $\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 6\\ 4& 5& 6& 7\end{array}\right|=0$, folosind o relație între linii.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă schimbi între ele două coloane ale unei matrice, determinantul rămâne neschimbat."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă aduni la a doua linie prima linie înmulțită cu $5$, determinantul nu se schimbă."

8. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 5& 3\\ 3& 7& 4\end{array}\right|$, aducându-l la formă triunghiulară.

9. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 3& 5\\ 3& 5& 9\end{array}\right|$ creând zerouri pe prima coloană.

10. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|$, folosind $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3$.

11. Calculează $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 4\\ 4& 9& 16\end{array}\right|$ prin transformări pe coloane.

12. Se știe că $\det A=5$, unde $A$ este de ordinul al treilea. Cât este determinantul matricei obținute din $A$ schimbând între ele liniile întâi și a treia, apoi înmulțind linia a doua cu $3$?

13. Explică de ce operația $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_i$ (adică adunarea unei linii la ea însăși, înmulțită cu un număr) nu face parte din lista operațiilor permise cu $i\ne j$ și ce efect are ea, de fapt, asupra determinantului.

14. (Problemă aplicată.) Trei rețete de prăjituri folosesc aceleași trei ingrediente, iar cantitățile formează o matrice de ordinul al treilea. Se constată că a treia rețetă este exact suma primelor două. Ce valoare are determinantul matricei și ce înseamnă asta despre independența celor trei rețete?

15. Rezolvă ecuația $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& x\\ 4& 9& x^2\end{array}\right|=0$, folosind transformări pe coloane.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 8\\ 3& 8& 14\end{array}\right)$. a) Calculează $\det A$ prin transformări elementare pe linii. b) Calculează determinantul matricei obținute din $A$ schimbând între ele liniile întâi și a treia. c) Arată că $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right|=0$.

17. O matrice de ordinul al patrulea are prima linie identică cu a patra. Ce poți spune despre determinantul ei? Dar dacă prima coloană este de trei ori a doua?

18. (Provocare.) Arată că $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right|=(b-a)(c-a)(c-b)$, aplicând $C_2\leftarrow C_2-C_1$ și $C_3\leftarrow C_3-C_1$, apoi scoțând factorii comuni. Verifică formula pentru $a=1$, $b=2$, $c=4$.

Răspunsuri și explicații

1. Al doilea determinant se obține prin $L_1\leftrightarrow L_2$, deci este $-1$. Direct: $2\cdot 3-7\cdot 1=-1$ $✓$.

2. A treia linie este suma primelor două: $(3,1,4)+(1,5,9)=(4,6,13)$. Aplicând $L_3\leftarrow L_3-L_1-L_2$ obținem o linie nulă, deci determinantul este $0$.

3. $2L_2-L_1=(8,10,12)-(1,2,3)=(7,8,9)=L_3$. Aplicând $L_3\leftarrow L_3-2L_2+L_1$ obținem linia a treia nulă, deci determinantul este $0$.

4. A doua linie este dublul primei: $(2,4,2,6)=2\cdot (1,2,1,3)$. Două linii proporționale, deci determinantul este $0$.

5. Fiecare linie o depășește pe precedentă cu $(1,1,1,1)$, deci $L_3=2L_2-L_1$ (verificare: $(4,6,8,10)-(1,2,3,4)=(3,4,5,6)$). Linia a treia este combinație liniară a primelor două, deci determinantul este $0$. (La fel, $L_4=2L_3-L_2$.)

6. Fals. Schimbarea a două coloane schimbă semnul determinantului, exact ca schimbarea a două linii — consecință a Proprietății 5 și a egalității $\det ({}^{t}A)=\det A$.

7. Adevărat. Este exact operația $L_2\leftarrow L_2+5L_1$, iar prin Proprietatea 8 ea nu schimbă valoarea determinantului.

8. Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ obținem liniile $(0,1,5)$ și $(0,1,7)$. Apoi $L_3\leftarrow L_3-L_2$ dă $(0,0,2)$. Matricea este triunghiulară, cu diagonala $1,1,2$, deci determinantul este $2$.

9. Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ obținem $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 2& 3\end{array}\right|$, iar apoi $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ dă diagonala $1,1,1$: determinantul este $1$.

10. După $C_1\leftarrow C_1+C_2+C_3$, prima coloană devine $(4,4,4)$, din care scoatem factorul $4$: rămâne $4\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right|$. Cu $L_2\leftarrow L_2-L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-L_1$ obținem o matrice triunghiulară cu diagonala $1,1,1$, deci rezultatul este $4\cdot 1=4$.

11. Cu $C_2\leftarrow C_2-C_1$ și $C_3\leftarrow C_3-C_1$ obținem $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 2\\ 4& 5& 12\end{array}\right|$, care cu Sarrus dă $12+0+0-(0+10+0)=2$.

12. Schimbarea a două linii dă $-5$, iar înmulțirea unei linii cu $3$ triplează rezultatul: $-15$.

13. Proprietatea 8 cere $i\ne j$, pentru că demonstrația se sprijină pe existența unei alte linii, proporțională cu cea adăugată. Operația $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_i$ înseamnă, de fapt, $L_i\leftarrow (1+\alpha )L_i$, adică înmulțirea liniei cu $1+\alpha$: determinantul se înmulțește cu $1+\alpha$, nu rămâne neschimbat.

14. Aplicând $L_3\leftarrow L_3-L_1-L_2$ se obține o linie nulă, deci determinantul este $0$. Înseamnă că cele trei rețete nu aduc informație independentă: a treia se deduce din primele două, iar din datele lor nu se pot recupera consumurile individuale ale ingredientelor.

15. Cu $C_2\leftarrow C_2-C_1$ și $C_3\leftarrow C_3-C_1$ obținem $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& x-2\\ 4& 5& x^2-4\end{array}\right|$. Scoțând factorul $x-2$ din ultima coloană (căci $x^2-4=(x-2)(x+2)$) rămâne $(x-2)\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 1\\ 4& 5& x+2\end{array}\right|=(x-2)(x+2-5)=(x-2)(x-3)$. Ecuația are soluțiile $x=2$ și $x=3$.

16. a) Este exact calculul din Exemplul 5: $\det A=1$. b) Schimbarea liniilor întâi și a treia schimbă semnul, deci rezultatul este $-1$. c) A treia linie este $(3,6,9)=3\cdot (1,2,3)$, adică triplul primei: două linii proporționale, deci determinantul este $0$.

17. În ambele cazuri determinantul este $0$: prima situație intră sub Proprietatea 6 (linii identice), a doua sub Proprietatea 7 aplicată coloanelor (coloane proporționale).

18. După $C_2\leftarrow C_2-C_1$ și $C_3\leftarrow C_3-C_1$ determinantul devine $\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& b-a& c-a\\ a^2& b^2-a^2& c^2-a^2\end{array}\right|$. Scoatem $b-a$ din a doua coloană și $c-a$ din a treia, folosind $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ și $c^2-a^2=(c-a)(c+a)$: obținem $(b-a)(c-a)\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ a& 1& 1\\ a^2& b+a& c+a\end{array}\right|$. Cu Sarrus, ultimul determinant este $(c+a)-(b+a)=c-b$, deci valoarea totală este $(b-a)(c-a)(c-b)$. Pentru $a=1$, $b=2$, $c=4$: formula dă $1\cdot 3\cdot 2=6$, iar calculul direct al lui $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 4& 16\end{array}\right|$ dă $32+4+4-(2+16+16)=6$ $✓$.

De reținut

• Schimbarea a două linii sau a două coloane schimbă semnul determinantului. Motivul stă în signaturi: paritatea fiecărei permutări se schimbă.
• Două linii (sau coloane) egale ori proporționale $\Rightarrow$ determinant nul. Se verifică din prima privire, înaintea oricărui calcul.
• $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, cu $i\ne j$, nu schimbă determinantul. Este unealta cu care se creează zerouri.
• O linie care e combinație liniară a celorlalte anulează determinantul, pentru că poate fi transformată într-o linie de zerouri.
• Fiecare pas se notează cu operația efectuată: $L_i\leftrightarrow L_j$, $L_i\leftarrow \alpha L_i$, $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ și analoagele pe coloane.

Greșeli frecvente

• Uitarea minusului la schimbarea liniilor. După $L_1\leftrightarrow L_3$, rezultatul trebuie înmulțit cu $-1$. Este cea mai frecventă pierdere de punct la Bacalaureat M1.
• Înmulțirea unei linii „ca să fie mai comod", fără compensare. Dacă aplici $L_2\leftarrow 3L_2$, determinantul s-a triplat; trebuie să împarți rezultatul final la $3$. Mai sigur: folosește numai transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, care nu cere nicio corecție.
• Aplicarea transformării cu $i=j$. $L_2\leftarrow L_2+2L_2$ nu este o transformare permisă: ea înmulțește linia cu $3$ și, odată cu ea, determinantul.
• Două operații simultane cu aceeași linie-pivot modificată. Dacă folosești $L_1$ ca pivot, nu o schimba pe parcurs; altfel, a doua operație lucrează cu alte numere decât cele scrise.
• Confuzia „linii proporționale" cu „linii asemănătoare". Proporționalitatea cere același factor pentru toate elementele. $(2,4,7)$ și $(4,8,15)$ nu sunt proporționale, deci determinantul nu este automat nul.

Aplică acasă

1. Semnul care se pierde. Ia un determinant de ordinul al treilea cu valoarea cunoscută și schimbă între ele două linii, apoi alte două, apoi din nou. Urmărește cum semnul alternează și verifică de fiecare dată prin calcul direct.

2. Fabrica de determinanți nuli. Construiește trei determinanți de ordinul al patrulea care sunt nuli din trei motive diferite: linie nulă, linii proporționale, o linie egală cu suma altor două. Dă-le unui coleg și cere-i să găsească motivul în mai puțin de un minut.

3. Cronometrul. Calculează același determinant de ordinul al treilea de două ori: o dată direct cu Sarrus și o dată creând mai întâi zerouri pe prima coloană. Compară numărul de înmulțiri făcute în fiecare variantă.

Pentru părinți și profesori

Lecția completează setul de proprietăți cerut de programa clasei a XI-a și introduce operațiile elementare pe linii și pe coloane — limbajul care va fi folosit apoi la determinanții de ordinul al patrulea, la rangul unei matrice și la metoda lui Gauss. Programa cere explicit verificarea efectului interschimbării a două linii sau coloane, evidențiind modificările produse în signaturile permutărilor; tabelul din prima secțiune face exact acest lucru.

De verificat în caiet: (1) fiecare pas al calculului are operația scrisă lângă săgeată; (2) la $L_i\leftrightarrow L_j$ apare minusul; (3) elevul nu înmulțește linii „ca să scape de fracții" fără să compenseze; (4) înainte de calcul verifică dacă există linii egale sau proporționale. Întrebări de control: „Ce se întâmplă cu determinantul dacă schimbi două coloane?"; „De ce este nul un determinant cu două linii egale?"; „Ce operație nu schimbă valoarea determinantului?".

La BAC M1 aceste proprietăți apar constant: în cerințele de tip „arătați că determinantul este nul", în calculul determinanților cu parametru și, indirect, în tot ce ține de compatibilitatea sistemelor. Semn că elevul a înțeles: privește matricea înainte de a calcula și găsește relația dintre linii, în loc să pornească mecanic cu regula lui Sarrus.

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă cu determinantul dacă schimb două linii între ele? Își schimbă semnul. Același lucru se întâmplă la schimbarea a două coloane, pentru că determinantul transpusei este egal cu cel al matricei inițiale.

De ce este nul determinantul unei matrice cu două linii identice? Pentru că schimbând între ele acele două linii matricea rămâne aceeași, dar determinantul ar trebui să-și schimbe semnul. Din $d=-d$ rezultă $d=0$.

Când sunt două linii proporționale și ce înseamnă asta pentru determinant? Când una se obține din cealaltă înmulțind toate elementele cu același număr. În acest caz determinantul este nul, pentru că scoțând factorul se ajunge la două linii identice.

Ce transformare nu schimbă valoarea unui determinant? Adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un număr, notată $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $i\ne j$. Este transformarea cu care se creează zerouri fără nicio corecție ulterioară.

Cum creez zerouri într-un determinant? Alegi o linie-pivot, de preferință una care începe cu $1$, și scazi din celelalte linii multipli potriviți ai ei. Fiecare astfel de operație lasă valoarea neschimbată, iar la final matricea triunghiulară dă determinantul ca produs al diagonalei.

Pot înmulți o linie cu un număr ca să scap de fracții? Poți, dar atunci determinantul se înmulțește cu acel număr și trebuie să împarți rezultatul final la el. Mai sigur este să folosești numai transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, care nu cere nicio compensare.

Unde apar aceste proprietăți la Bacalaureat M1? În aproape orice problemă cu determinanți: la justificarea faptului că un determinant este nul, la calculul determinanților cu parametru și ca prim pas în discuția compatibilității unui sistem.