Proprietățile înmulțirii. Necomutativitatea: pe scurt

Înmulțirea matricelor nu este comutativă: în general $A\cdot B\ne B\cdot A$, chiar și pentru matrice pătratice de același ordin. Contraexemplul de reținut este $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, cu $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$. La Bacalaureat M1, un singur contraexemplu este o justificare completă.

Se păstrează: asociativitatea, $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$ — deci parantezele nu contează, dar ordinea factorilor rămâne fixă; distributivitatea, enunțată separat la stânga și la dreapta; compatibilitatea cu scalarii; elementul neutru $I_n$ și cel absorbant $O$.

Se pierde, în schimb, aproape tot ce e automat la numere. Există divizori ai lui zero: matrice nenule cu produsul nul, deci din $A\cdot X=O$ nu rezultă $X=O$. Nu se poate simplifica: din $A\cdot B=A\cdot C$ nu rezultă $B=C$, oricât de „nenulă” ar fi $A$. Iar calculul prescurtat are patru termeni, niciodată trei: $(A+B)\cdot (A+B)=A\cdot A+A\cdot B+B\cdot A+B\cdot B$, iar cei doi din mijloc se comasează numai dacă matricele sunt permutabile. La transpusa unui produs, ordinea se inversează obligatoriu: ${}^t(A\cdot B)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 4& 2\end{array}\right)$. Matricea $A\cdot B-B\cdot A$ este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 4\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& -4\end{array}\right)$
   • c) $O_2$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}8& -2\\ 20& 16\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& -4\end{array}\right)$

   Calculăm ambele produse: $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 12& 6\end{array}\right)$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 8& 10\end{array}\right)$, deci diferența este $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& -4\end{array}\right)$. Nu este matricea nulă, pentru că matricele nu comută. Varianta d) este suma celor două produse. Observă că suma elementelor de pe diagonala principală a diferenței este $0$ — asta se întâmplă întotdeauna.

2. Pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$, dezvoltarea corectă a produsului $(A+B)\cdot (A-B)$ este:

   • a) $A\cdot A-B\cdot B$
   • b) $A\cdot A-2A\cdot B+B\cdot B$
   • c) $A\cdot A-A\cdot B+B\cdot A-B\cdot B$
   • d) $A\cdot A+A\cdot B-B\cdot A-B\cdot B$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $A\cdot A-A\cdot B+B\cdot A-B\cdot B$

   Desfacem parantezele păstrând ordinea factorilor: primul termen al primei paranteze înmulțit cu fiecare termen al celei de-a doua dă $A\cdot A-A\cdot B$, iar al doilea dă $B\cdot A-B\cdot B$. Termenii din mijloc nu se reduc, pentru că $A\cdot B$ și $B\cdot A$ sunt în general matrice diferite. Varianta d) are ordinea inversată în ambii termeni din mijloc.

3. Se știe că $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ verifică $A\cdot B=O_2$. Atunci:

   • a) obligatoriu $A=O_2$
   • b) obligatoriu $B=O_2$
   • c) obligatoriu $A=O_2$ sau $B=O_2$
   • d) este posibil ca $A\ne O_2$ și $B\ne O_2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) este posibil ca $A\ne O_2$ și $B\ne O_2$

   La matrice există divizori ai lui zero: de pildă $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=O_2$, deși niciun factor nu este matricea nulă. Regula „un produs nul are un factor nul”, adevărată la numere, se pierde aici; de aceea din $A\cdot X=O$ nu se poate deduce $X=O$.