Proprietățile înmulțirii matricelor. Necomutativitatea

Îți pui întâi șosetele, apoi pantofii. Dacă inversezi ordinea, rezultatul nu e „aproape la fel" — e cu totul altceva. Multe operații reale se comportă așa: contează nu doar ce faci, ci și în ce ordine. Numerele ne-au obișnuit cu opusul, iar obișnuința e greu de scuturat.

Înmulțirea a două matrice e prima operație din parcursul tău școlar la care ordinea factorilor schimbă rezultatul. Restul proprietăților supraviețuiesc: produsul rămâne asociativ și distributiv față de adunare și are element neutru. Lecția face inventarul: ce se păstrează, ce se pierde și ce reguli automate din algebra numerelor devin capcane când literele denumesc matrice.

Ce vei învăța

• Vei ști să arăți, cu exemple, că înmulțirea matricelor nu este comutativă.
• Vei ști să demonstrezi asociativitatea și distributivitatea produsului.
• Vei ști rolul lui $I_n$ și al matricei nule în calculul cu matrice.
• Vei ști că există matrice nenule cu produs nul și că nu se poate simplifica.
• Vei ști formele corecte ale calculului prescurtat pentru $(A+B)\cdot (A+B)$ și $(A+B)\cdot (A-B)$.
• Vei ști cum se transpune un produs și de ce ordinea se inversează acolo.

Hai să descoperim împreună

1. Ordinea contează — trei trepte

Treapta întâi: unul dintre produse nu există. Pentru $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{3,4}(\mathbb{C})$, $A\cdot B$ e de tip $2\times 4$, dar $B\cdot A$ nu se poate scrie: $4\ne 2$.

Treapta a doua: ambele există, dar au dimensiuni diferite. Pentru $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$ și $B\in {\mathcal{M}}_{3,2}(\mathbb{C})$, $A\cdot B$ e de ordin $2$, iar $B\cdot A$ de ordin $3$.

Treapta a treia, cea importantă: ambele există, sunt de același tip și totuși diferă. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$. Calculăm:

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+1\cdot 1& 1\cdot 0+1\cdot 1\\ 0\cdot 1+1\cdot 1& 0\cdot 0+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

Cele două matrice sunt diferite. Prin urmare:

Înmulțirea matricelor NU este comutativă: în general $A\cdot B\ne B\cdot A$, chiar și pentru matrice pătratice de același ordin.

Motivul adânc îl știi: produsul codifică compunerea a două transformări, iar compunerea funcțiilor nu e comutativă. Un contraexemplu ca acesta e, la Bacalaureat M1, o justificare completă.

2. Asociativitatea

Teoremă. Dacă $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$, $B\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{C})$ și $C\in {\mathcal{M}}_{p,q}(\mathbb{C})$, atunci $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$.

Demonstrație. Ambele produse au dimensiunea $m\times q$, deci rămâne de comparat elementul generic. Cu $D=A\cdot B$, elementul $(i,j)$ al lui $D\cdot C$ e

$$\sum _{\ell =1}^p{d}_{i\ell }{c}_{\ell j}=\sum _{\ell =1}^p\left(\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{k\ell }\right)c_{\ell j}=\sum _{\ell =1}^p\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{k\ell }{c}_{\ell j}.$$

Cu $E=B\cdot C$, elementul corespunzător al lui $A\cdot E$ este ${\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}\left({\sum }_{\ell =1}^p{b}_{k\ell }{c}_{\ell j}\right)$ — aceeași sumă dublă, cu ordinea însumărilor schimbată, ceea ce e permis la sume finite. $■$

Verificarea numerică e în Exemplul 2. Consecința practică: într-un produs de mai mulți factori parantezele nu contează; ordinea factorilor, în schimb, rămâne fixă.

3. Distributivitatea față de adunare și rolul scalarilor

Teoremă. Ori de câte ori operațiile au sens, $$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C\text{și}(B+C)\cdot A=B\cdot A+C\cdot A.$$

Demonstrație (prima egalitate). Elementul $(i,j)$ din stânga este ${\sum }_k{a}_{ik}(b_{kj}+c_{kj})$; desfăcând paranteza și separând suma obținem ${\sum }_k{a}_{ik}{b}_{kj}+{\sum }_k{a}_{ik}{c}_{kj}$, adică elementele corespunzătoare din $A\cdot B$ și $A\cdot C$. $■$

Atenție: cele două egalități se enunță separat, tocmai pentru că produsul nu e comutativ. A doua nu se obține din prima „schimbând ordinea".

Pentru scalari avem $\alpha (A\cdot B)=(\alpha A)\cdot B=A\cdot (\alpha B)$, oricare ar fi $\alpha \in \mathbb{C}$: fiecare element al produsului e o sumă de produse, din care $\alpha$ se scoate factor comun.

4. Element neutru și element absorbant

Din lecția anterioară știi că $I_m\cdot A=A$ și $A\cdot I_n=A$; pentru matrice pătratice, ambele se scriu deodată: $A\cdot I_n=I_n\cdot A=A$. Așadar $I_n$ e element neutru la înmulțire și una dintre puținele matrice care comută cu toate celelalte. Matricea nulă e element absorbant: $A\cdot O=O$ și $O\cdot A=O$.

5. Ce se pierde: produs nul cu factori nenuli

La numere, dacă un produs este zero, măcar unul dintre factori este zero. La matrice, nu.

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)⟹A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2,$$

deși nici $A$, nici $B$ nu sunt matricea nulă (detaliile în Exemplul 3). Și mai instructiv, în ordinea cealaltă $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\ne O_2$: faptul depinde chiar de ordine.

Matricele nenule cu produs nul se numesc divizori ai lui zero. Consecință directă: din $A\cdot X=O$ nu poți concluziona $X=O$.

6. Ce se pierde: simplificarea

La numere, din $a\cdot b=a\cdot c$ și $a\ne 0$ rezultă $b=c$. La matrice, nu. Fie

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 2\end{array}\right).$$

Atunci $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 2\end{array}\right)=A\cdot C$, deși $A\ne O_2$ și $B\ne C$. Prin urmare:

Din $A\cdot B=A\cdot C$ NU rezultă $B=C$, oricât de „nenulă" ar fi $A$.

Simplificarea devine posibilă abia sub o condiție mult mai tare decât „$A\ne O$", studiată la Matrice inversabilă. Până atunci, tratează orice simplificare cu matrice ca pe o greșeală.

7. Formulele de calcul prescurtat

Aici se pierd cele mai multe puncte la examen. Cu $A$ și $B$ pătratice de același ordin, distributivitatea dă

$$(A+B)\cdot (A+B)=A\cdot A+A\cdot B+B\cdot A+B\cdot B,(A+B)\cdot (A-B)=A\cdot A-A\cdot B+B\cdot A-B\cdot B.$$

Termenii din mijloc nu se pot aduna și nu se reduc, pentru că $A\cdot B$ și $B\cdot A$ sunt, în general, diferite. Cu exemplul din secțiunea 1, prima expresie dă $\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$, față de $\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$ cât dă forma greșită $A\cdot A+2A\cdot B+B\cdot B$ (Exemplul 4); a doua dă $\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -2& 1\end{array}\right)$, față de $A\cdot A-B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$.

(Prescurtarea produsului $A\cdot A$ printr-o putere se definește la Puterea unei matrice pătratice.)

Regula de aur: desfaci parantezele păstrând ordinea factorilor și nu comasezi doi termeni scriși în ordini diferite.

8. Matrice permutabile. Produsul păstrează tipul. Transpusa

Matrice permutabile. Că produsul nu e comutativ în general nu înseamnă că nu există perechi care comută. Două matrice cu $A\cdot B=B\cdot A$ se numesc permutabile: $I_n$ și matricea nulă, cu orice matrice; iar

$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Produsul păstrează unele tipuri. Produsul a două matrice diagonale e diagonal, cu elementele produsele celor corespunzătoare, iar diagonalele de același ordin sunt întotdeauna permutabile (exercițiul 10). Analog, produsul a două matrice triunghiulare superior e triunghiular superior, cu produsele elementelor diagonale pe diagonală:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& 4\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 3& -2\\ 0& 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 6& 12\\ 0& -3& 22\\ 0& 0& 10\end{array}\right).$$

Diagonala, $2,-3,10$, este exact $1\cdot 2$, $(-1)\cdot 3$, $2\cdot 5$. Comutativitatea, în schimb, nu mai are loc (exercițiul 11).

Transpusa produsului. Notația ${}^{t}A$ o cunoști de la Tipuri de matrice. Regula, surprinzătoare la prima vedere, este ${}^t(A\cdot B)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$.

Demonstrație. Elementul $(i,j)$ al lui ${}^t(A\cdot B)$ este elementul $(j,i)$ al lui $A\cdot B$, adică ${\sum }_k{a}_{jk}{b}_{ki}$. Elementul $(i,j)$ al lui ${}^{t}B\cdot {}^{t}A$ este ${\sum }_k({}^{t}B{)}_{ik}({}^{t}A{)}_{kj}={\sum }_k{b}_{ki}{a}_{jk}$ — aceeași sumă. $■$

Ordinea se inversează obligatoriu. Dacă $A$ e $2\times 3$ și $B$ e $3\times 2$, atunci ${}^{t}A\cdot {}^{t}B$ ar fi de ordin $3$, iar ${}^t(A\cdot B)$ e de ordin $2$ — deci nici nu ar putea fi egale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Necomutativitatea, cu contraexemplu

Arătați că afirmația „pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ are loc $A\cdot B=B\cdot A$" este falsă.

Rezolvare. Pentru a nega o afirmație universală e de ajuns un contraexemplu: cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ avem $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, diferite pe poziția $(1,1)$.

Exemplul 2 — Verificarea asociativității

Verificați că $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -1& -3\end{array}\right)$, deci $(A\cdot B)\cdot C=\left(\begin{array}{cc}4+12& -4+6\\ -1-6& 1-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}16& 2\\ -7& -2\end{array}\right)$. Pe cealaltă cale, $B\cdot C=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 7& 2\end{array}\right)$ dă $A\cdot (B\cdot C)=\left(\begin{array}{cc}2+14& -2+4\\ -7& -2\end{array}\right)$ — aceeași matrice ✓.

Exemplul 3 — Divizori ai lui zero

Determinați două matrice nenule $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $A\cdot B=O_2$, dar $B\cdot A\ne O_2$.

Rezolvare. Alegem $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$. Coloanele lui $B$, $(0,1)$ și $(0,0)$, împerecheate cu liniile $(1,0)$ și $(0,0)$ ale lui $A$, dau numai zerouri, deci $A\cdot B=O_2$. În ordinea inversă, linia a doua a lui $B$ cu prima coloană a lui $A$ dă $1$, deci $B\cdot A=B\ne O_2$.

Exemplul 4 — Desfacerea corectă a unei paranteze

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$. Calculați $(A+B)\cdot (A+B)$ și comparați cu $A\cdot A+2A\cdot B+B\cdot B$.

Rezolvare. $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, deci membrul întâi este $\left(\begin{array}{cc}4+1& 2+2\\ 2+2& 1+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$. Cum $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$ și $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, obținem $A\cdot A+2A\cdot B+B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$, diferit de rezultatul corect. Diferența vine din $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\ne A\cdot B$; scrierea corectă, cu patru termeni, dă exact $\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$ ✓.

Exemplul 5 — Transpusa unui produs

Verificați egalitatea ${}^t(A\cdot B)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 4& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -3& 0\\ 2& 5\end{array}\right)$.

Rezolvare. Din lecția anterioară, $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}11& 19\\ -10& 5\end{array}\right)$, deci ${}^t(A\cdot B)=\left(\begin{array}{cc}11& -10\\ 19& 5\end{array}\right)$. Pe cealaltă cale, ${}^{t}B=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ 2& 0& 5\end{array}\right)$ și ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 4\\ 3& 1\end{array}\right)$; prima linie a produsului lor este $(2+3+6,0-12+2)=(11,-10)$, iar continuând se obține aceeași matrice ✓.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$. a) Calculați $A\cdot B$ și $B\cdot A$ și arătați că sunt diferite. b) Calculați $A\cdot B-B\cdot A$ și determinați suma elementelor de pe diagonala principală a matricei obținute.

Rezolvare. a) $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2+2& 0-2\\ 6+4& 0-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 10& -4\end{array}\right)$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -2& -2\end{array}\right)$, diferite pe poziția $(2,1)$.

b) $A\cdot B-B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& -6\\ 12& -2\end{array}\right)$, cu suma diagonalei $2+(-2)=0$. Nu e o coincidență — vezi exercițiul 18.

Să exersăm

Pentru fiecare afirmație generală, o singură pereche de matrice care o contrazice e o demonstrație completă că e falsă.

1. Verifică $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right)$.

2. Pentru aceleași matrice, verifică $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$.

3. Calculează $A\cdot B$ și $B\cdot A$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$.

4. Arată că $A\cdot B=O_2$, dar $B\cdot A\ne O_2$, pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A\cdot B=O_2$, atunci $A=O_2$ sau $B=O_2$."

6. Arată că $A\cdot B=A\cdot C$, deși $B\ne C$, pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 2\end{array}\right)$.

7. Pentru $A$ și $B$ de la exercițiul 3, calculează $(A+B)\cdot (A+B)$ și $A\cdot A+2A\cdot B+B\cdot B$ și compară rezultatele.

8. Verifică $I_2\cdot A=A\cdot I_2=A$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 5& 1\end{array}\right)$.

9. Verifică $3(A\cdot B)=(3A)\cdot B=A\cdot (3B)$ pentru $A$ și $B$ de la exercițiul 1.

10. Fie $D_1$ și $D_2$ matricele diagonale de ordin $3$ cu elementele diagonale $2,-3,1$, respectiv $5,0,-4$. Calculează $D_1\cdot D_2$ și $D_2\cdot D_1$ și spune ce observi.

11. Calculează produsul celor două matrice triunghiulare din secțiunea 8 în ordinea inversă și compară-l cu cel de acolo: ce se păstrează și ce se schimbă?

12. (Problemă aplicată.) O fabrică face două produse din două subansambluri, după $P=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$; fiecare subansamblu cere trei materiale, după $S=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& 0& 1\end{array}\right)$, la prețurile $M=\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 3\end{array}\right)$ lei. Calculează $(P\cdot S)\cdot M$ și $P\cdot (S\cdot M)$ și explică fiecare drum.

13. Verifică ${}^t(A\cdot B)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice matrice pătratice $A$ și $B$ de același ordin are loc $(A+B)\cdot (A-B)=A\cdot A-B\cdot B$."

15. Determină toate matricele $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ care comută cu $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

16. Verifică asociativitatea pe dreptunghiulare: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\\ 3& 0\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$. a) Calculați $A\cdot B$ și $B\cdot A$. b) Calculați $A\cdot B-B\cdot A$ și suma elementelor de pe diagonala sa principală.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, suma elementelor de pe diagonala principală a matricei $A\cdot B-B\cdot A$ este $0$.

Răspunsuri și explicații

1. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ -1& -3\end{array}\right)$ și $B\cdot C=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 7& 2\end{array}\right)$; ambele drumuri dau $\left(\begin{array}{cc}16& 2\\ -7& -2\end{array}\right)$ ✓.

2. $B+C=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 3& 4\end{array}\right)$ dă $A\cdot (B+C)=\left(\begin{array}{cc}9& 7\\ -3& -4\end{array}\right)$; cum $A\cdot C=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ -2& -1\end{array}\right)$, suma $A\cdot B+A\cdot C$ e aceeași ✓.

3. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ — diferite, deci înmulțirea nu e comutativă.

4. $A\cdot B=O_2$: prima linie a lui $A$ e $(1,0)$, prima coloană a lui $B$ e $(0,1)$, cu $1\cdot 0+0\cdot 1=0$, iar restul ies zero la fel. În schimb $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)\ne O_2$.

5. Fals. Exercițiul anterior dă contraexemplul. Astfel de matrice se numesc divizori ai lui zero.

6. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 2\end{array}\right)=A\cdot C$, deși $B\ne C$: nu se poate simplifica.

7. $(A+B)\cdot (A+B)=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$, iar $A\cdot A+2A\cdot B+B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$ — diferite, fiindcă $A\cdot B\ne B\cdot A$. Forma corectă are patru termeni.

8. Ambele produse dau $\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 5& 1\end{array}\right)$: matricea unitate lasă orice matrice neschimbată.

9. Toate trei expresiile dau $\left(\begin{array}{cc}12& 18\\ -3& -9\end{array}\right)$: scalarul se poate muta oriunde în produs.

10. Ambele produse dau matricea diagonală cu elementele $10,0,-4$: matricele diagonale comută, iar produsul se face „pe diagonală".

11. În ordinea inversă se obține $\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 8\\ 0& -3& 8\\ 0& 0& 10\end{array}\right)$: se păstrează forma triunghiulară și diagonala $2,-3,10$, restul elementelor se schimbă.

12. $P\cdot S=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 1\\ 9& 0& 3\end{array}\right)$ (materialele cerute de fiecare produs), iar $S\cdot M=\left(\begin{array}{c}14\\ 15\end{array}\right)$ (costul unui subansamblu); ambele drumuri dau $\left(\begin{array}{c}43\\ 45\end{array}\right)$ lei.

13. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 3& 0\end{array}\right)$, deci ${}^t(A\cdot B)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ -1& 0\end{array}\right)$; produsul ${}^{t}B\cdot {}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\end{array}\right)$ dă aceeași matrice ✓.

14. Fals. Corect este $(A+B)\cdot (A-B)=A\cdot A-A\cdot B+B\cdot A-B\cdot B$; termenii din mijloc se reduc numai dacă $A$ și $B$ comută. Cu matricele de la exercițiul 3, membrul stâng e $\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -2& 1\end{array}\right)$, iar $A\cdot A-B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$.

15. Cu $T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ avem $T\cdot X=\left(\begin{array}{cc}a+c& b+d\\ c& d\end{array}\right)$ și $X\cdot T=\left(\begin{array}{cc}a& a+b\\ c& c+d\end{array}\right)$; egalitatea cere $c=0$ și $d=a$, deci matricele căutate sunt cele de forma $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$, cu $a,b\in \mathbb{R}$.

16. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}7& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$ și $B\cdot C=\left(\begin{array}{ccc}5& 2& 1\\ -2& -1& 0\\ 3& 0& 3\end{array}\right)$; ambele drumuri dau $\left(\begin{array}{ccc}11& 2& 7\\ 1& -1& 3\end{array}\right)$ ✓. Asociativitatea nu cere matrice pătratice.

17. a) $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ 10& -4\end{array}\right)$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -2& -2\end{array}\right)$. b) Diferența este $\left(\begin{array}{cc}2& -6\\ 12& -2\end{array}\right)$, iar suma cerută este $2+(-2)=0$.

18. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$. Elementele $(1,1)$ ale celor două produse sunt $ap+br$ și $pa+qc$, iar cele de pe poziția $(2,2)$ sunt $cq+ds$ și $rb+sd$. Suma diagonalei diferenței este

$$(ap+br-pa-qc)+(cq+ds-rb-sd)=br-qc+cq-rb=0,$$

toți termenii anulându-se doi câte doi. Deci, oricât de diferite ar fi $A\cdot B$ și $B\cdot A$, ele au aceeași sumă a elementelor de pe diagonala principală.

De reținut

• Înmulțirea matricelor NU e comutativă: în general $A\cdot B\ne B\cdot A$, iar uneori unul dintre produse nici nu există.
• Se păstrează: asociativitatea, distributivitatea la stânga și la dreapta, compatibilitatea cu scalarii, elementul neutru $I_n$ și elementul absorbant $O$.
• Se pierde: din $A\cdot B=O$ nu rezultă că un factor e nul; din $A\cdot B=A\cdot C$ nu rezultă $B=C$.
• Calculul prescurtat: $(A+B)\cdot (A+B)=A\cdot A+A\cdot B+B\cdot A+B\cdot B$ — patru termeni, niciodată trei.
• Transpusa inversează ordinea: ${}^t(A\cdot B)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$.

Greșeli frecvente

• Comasarea termenilor $A\cdot B$ și $B\cdot A$. Cea mai costisitoare: ei sunt matrice diferite și nu dau $2A\cdot B$.
• Simplificarea cu o matrice. Din $A\cdot B=A\cdot C$ nu urmează $B=C$, oricât de „nenulă" ar fi $A$.
• „Produsul e nul, deci un factor e nul". Fals la matrice; există divizori ai lui zero.
• ${}^t(A\cdot B)={}^{t}A\cdot {}^{t}B$. Ordinea se inversează obligatoriu; adesea forma greșită nici nu are dimensiunile potrivite.
• Schimbarea ordinii ca să „iasă mai ușor". Parantezele se pot muta liber, factorii nu.

Aplică acasă

1. Testul ordinii. Alege la întâmplare două matrice de ordin $2$ cu elemente între $-3$ și $3$ și calculează ambele produse. Repetă de cinci ori și numără de câte ori a ieșit $A\cdot B=B\cdot A$.

2. Vânătoarea de divizori ai lui zero. Caută perechi de matrice nenule de ordin $2$ cu produsul $O_2$. Ce au în comun liniile primei cu coloanele celei de-a doua?

3. Lanțul de trei etape. Scrie pentru o rețetă preferată trei tablouri înlănțuite (porții – ingrediente – prețuri) și calculează costul pe ambele drumuri de parantezare: asociativitatea, văzută în bucătărie.

Pentru părinți și profesori

Lecția are un rol dublu: consolidează tehnica produsului și, mai important, dezvață automatisme corecte la numere, dar false la matrice. Elevii buni la algebra de gimnaziu greșesc adesea aici, fiindcă aplică din reflex formula pătratului sumei sau simplifică. De aceea fiecare regulă „pierdută" vine cu un contraexemplu concret, care trebuie reținut ca atare.

De verificat în caiet: (1) parantezele s-au desfăcut păstrând ordinea factorilor; (2) nu s-a scris $2A\cdot B$ acolo unde apar $A\cdot B$ și $B\cdot A$; (3) nu s-a simplificat cu o matrice; (4) la transpusa unui produs, ordinea a fost inversată. Întrebări de control: „Dă un exemplu cu $A\cdot B\ne B\cdot A$"; „Poate un produs de matrice nenule să fie nul?".

La BAC M1, cerințele tipice sunt: calculați $A\cdot B$ și $B\cdot A$ și comparați-le; arătați că o egalitate propusă e falsă; determinați matricele care comută cu o matrice dată. Semn că elevul a înțeles: nu mai scrie o formulă de calcul prescurtat fără să verifice întâi dacă cele două matrice comută.

Întrebări frecvente

De ce nu este comutativă înmulțirea matricelor? Pentru că produsul descrie compunerea a două transformări, iar ordinea în care le aplici schimbă rezultatul. Concret, pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ se obțin matrice diferite în cele două ordini.

Poate un produs de două matrice nenule să fie matricea nulă? Da, de exemplu $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)=O_2$. Asemenea matrice se numesc divizori ai lui zero și nu au corespondent la numerele reale.

Se poate simplifica într-o egalitate cu matrice? Nu, în general: din $A\cdot B=A\cdot C$ nu rezultă $B=C$, chiar dacă $A$ nu e matricea nulă. Simplificarea devine posibilă doar sub o condiție mai puternică, studiată la matrice inversabile.

Cum se desface corect $(A+B)\cdot (A+B)$? $A\cdot A+A\cdot B+B\cdot A+B\cdot B$, cu patru termeni. Cei doi din mijloc se adună într-unul singur numai dacă $A$ și $B$ comută.

Ce sunt matricele permutabile? Cele pentru care $A\cdot B=B\cdot A$: matricea unitate cu orice matrice, matricele diagonale de același ordin între ele, sau perechi precum $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$.

De ce se inversează ordinea la transpusa unui produs? Pentru că elementul $(i,j)$ al transpusei produsului provine din linia $j$ a lui $A$ și coloana $i$ a lui $B$, adică din linia $i$ a lui ${}^{t}B$ și coloana $j$ a lui ${}^{t}A$. În plus, doar așa se potrivesc dimensiunile.

Cum apar aceste proprietăți în subiectele de Bacalaureat M1? Ca cerință de comparare a produselor $A\cdot B$ și $B\cdot A$, ca demonstrare a falsității unei formule propuse sau ca determinare a matricelor care comută cu o matrice dată.