Proprietățile integralei definite: pe scurt

Proprietățile integralei definite se numesc, nu se numerotează. Liniaritatea: ${\int }_a^b(\lambda f+\mu g)=\lambda {\int }_a^{b}f+\mu {\int }_a^{b}g$, pentru orice numere reale $\lambda$ și $\mu$; se demonstrează la nivelul sumelor Riemann, unde este o simplă regrupare de termeni.

Aditivitatea în raport cu intervalul: ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$; se admite fără demonstrație și rămâne valabilă pentru orice poziție a lui $c$, datorită convențiilor de orientare. Monotonia: din $f\le g$ pe $[a,b]$, cu $a<b$, rezultă ${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$ — ordinea capetelor este obligatorie.

Mărginirea spune că orice funcție integrabilă este mărginită; se folosește prin contrapoziție, ca argument de respingere. Ereditatea garantează integrabilitatea pe subintervale, deci dreptul de a rupe intervalul, iar stabilitatea spune că valorile dintr-un număr finit de puncte nu schimbă nimic.

Din monotonie se obține inegalitatea modulului: $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$, cu egalitate când $f$ nu schimbă semnul. Atenție la două capcane: liniaritatea privește numai adunarea și înmulțirea cu o constantă, deci în general ${\int }_a^{b}fg\ne {\int }_a^{b}f\cdot {\int }_a^{b}g$; iar dintr-o integrală nulă nu rezultă că funcția este nulă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se știe că ${\int }_1^{4}f(x)dx=6$ și ${\int }_1^{4}g(x)dx=-2$. Atunci ${\int }_1^4(3f(x)-2g(x))dx$ este:

   • a) $22$
   • b) $14$
   • c) $20$
   • d) $-22$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $22$

   Prin liniaritate, integrala este $3\cdot 6-2\cdot (-2)=18+4=22$. Varianta $14$ apare când se pierde semnul lui $g$ și se scade $2\cdot 2$; varianta $20$ adună greșit $18+2$, uitând coeficientul.

2. Se știe că ${\int }_0^{5}f(x)dx=9$ și ${\int }_0^{2}f(x)dx=4$. Atunci ${\int }_5^{2}f(x)dx$ este:

   • a) $5$
   • b) $-5$
   • c) $13$
   • d) $-13$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-5$

   Din aditivitate, ${\int }_2^{5}f={\int }_0^{5}f-{\int }_0^{2}f=9-4=5$, iar inversarea capetelor schimbă semnul: ${\int }_5^{2}f=-5$. Varianta $13$ adună în loc să scadă, iar $5$ uită tocmai inversarea capetelor.

3. Care afirmație este falsă?

   • a) ${\int }_a^b(f+g)={\int }_a^{b}f+{\int }_a^{b}g$
   • b) $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$
   • c) dacă $f\le g$ pe $[a,b]$ și $a<b$, atunci ${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$
   • d) ${\int }_a^{b}fg={\int }_a^{b}f\cdot {\int }_a^{b}g$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) ${\int }_a^{b}fg={\int }_a^{b}f\cdot {\int }_a^{b}g$

   Liniaritatea privește numai adunarea și înmulțirea cu o constantă. Contraexemplu rapid, cu $f=g$, $f(x)=x$ pe $[0,1]$: ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$, în timp ce produsul integralelor este $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Celelalte trei afirmații sunt proprietăți demonstrate.