Proprietățile integralei definite

Q: Care sunt proprietățile integralei definite?

Sunt șase, cerute nominal de programă: liniaritatea, aditivitatea în raport cu intervalul de integrare, monotonia, mărginirea funcțiilor integrabile, proprietatea de ereditate și stabilitatea integralei la modificarea valorilor funcției într-un număr finit de puncte. La ele se adaugă o consecință folosită foarte des, inegalitatea dintre modulul integralei și integrala modulului.

Q: Cum se demonstrează liniaritatea integralei definite?

Se scrie proprietatea mai întâi la nivelul sumelor Riemann, unde totul e o sumă finită: suma Riemann a lui f + g este suma sumelor Riemann ale lui f și g. Apoi se trece la limită după norma diviziunii, folosind definiția integrabilității pentru fiecare funcție cu ε/2 și inegalitatea triunghiului. Rezultă că f + g este integrabilă și că integrala ei este suma integralelor.

Q: Ce înseamnă aditivitatea în raport cu intervalul?

Înseamnă că un interval de integrare poate fi tăiat: pentru a < c < b, integrala de la a la b este suma integralelor de la a la c și de la c la b. Proprietatea se admite fără demonstrație și rămâne valabilă și când c se află în afara intervalului, datorită convențiilor ∫ₐ^(a) f = 0 și ∫_b^(a) f = -∫ₐ^(b) f.

Q: De ce este orice funcție integrabilă mărginită?

Pentru că, dacă funcția ar lua valori oricât de mari, s-ar putea alege un punct intermediar în care valoarea ei să fie enormă, iar suma Riemann corespunzătoare ar fi la fel de mare — deci sumele nu s-ar putea apropia de un singur număr. Proprietatea se folosește prin contrapoziție: o funcție nemărginită pe intervalul de integrare nu este integrabilă acolo.

Q: Ce este proprietatea de ereditate a integralei?

Este afirmația că integrabilitatea se transmite subintervalelor: dacă o funcție este integrabilă pe [a, b], atunci ea este integrabilă pe orice interval [c, d] inclus în [a, b]. Se admite fără demonstrație și este ceea ce garantează că integralele de pe bucăți, folosite în aditivitate, chiar există.

Q: De ce nu schimbă integrala valorile dintr-un număr finit de puncte?

Pentru că diferența dintre cele două funcții este nulă peste tot, cu excepția câtorva puncte, iar într-o sumă Riemann fiecare astfel de punct contribuie cu cel mult produsul dintre saltul de valoare și lungimea unui subinterval. Când norma diviziunii tinde la zero, această contribuție se stinge, deci diferența are integrala nulă.

Q: De ce modulul integralei este cel mult integrala modulului?

Pentru că, pentru orice x, avem încadrarea între minus modul și plus modul, iar monotonia transferă ambele inegalități la integrale. Inegalitatea este adesea strictă: dacă funcția schimbă semnul, integrala ei compensează bucata negativă cu cea pozitivă, în timp ce integrala modulului le adună.

Q: Unde se folosesc proprietățile integralei definite mai departe?

În aproape tot restul capitolului. Aditivitatea și stabilitatea stau la baza calculului integralelor funcțiilor definite pe ramuri și cu modul, monotonia dă încadrările și inegalitățile cu integrale, iar liniaritatea intervine în fiecare calcul cu polinoame sau cu combinații de funcții uzuale, inclusiv la teorema de medie și la aplicațiile geometrice.

Formula Leibniz–Newton a rezolvat problema calculului, dar nu și pe cea a organizării. Într-un subiect de clasa a 12-a nu ți se cere aproape niciodată o integrală goală: ți se dă $\int_{0}^{3} f = 7$ și $\int_{0}^{1} f = 2$ și ți se cere $\int_{1}^{3} f$ ; sau ți se cere să compari două integrale fără să le calculezi; sau ți se dă o funcție definită bucată cu bucată și trebuie să știi că are voie să fie ruptă. Toate acestea nu sunt calcule, ci proprietăți — reguli care spun cum se comportă simbolul $\int_{a}^{b}$ față de adunare, față de înmulțirea cu un număr, față de inegalități și față de tăierea intervalului.

Programa cere șase astfel de proprietăți, cu numele lor: liniaritatea, aditivitatea în raport cu intervalul de integrare, monotonia, mărginirea, ereditatea și stabilitatea integralei la modificarea valorilor funcției într-un număr finit de puncte. Le luăm în această ordine, iar la fiecare vom spune limpede dacă se demonstrează sau se admite.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți cele șase proprietăți ale integralei definite, cu numele lor din programă.
Vei ști să demonstrezi liniaritatea și monotonia, pornind de la sumele Riemann.
Vei ști să rupi un interval în bucăți cu aditivitatea la interval și să folosești corect convențiile de orientare.
Vei ști să folosești mărginirea ca să arăți că o funcție nu este integrabilă.
Vei ști de ce valorile dintr-un număr finit de puncte nu schimbă integrala.
Vei ști să justifici inegalitatea $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣$ și să o folosești în estimări.

Hai să descoperim împreună

1. Ce sunt proprietățile integralei definite?

Proprietățile integralei definite sunt regulile care descriu cum se comportă numărul $\int_{a}^{b} f (x) d x$ atunci când se modifică funcția sau intervalul: la adunarea a două funcții, la înmulțirea cu o constantă, la tăierea intervalului în două, la compararea a două funcții, la restrângerea pe un subinterval sau la schimbarea valorilor în câteva puncte izolate.

Ordinea în care le luăm este cea din programă, iar regimul fiecăreia e fixat de la început:

Proprietatea	Ce spune, pe scurt	Regim
liniaritatea	integrala sumei este suma integralelor; constantele ies în față	se demonstrează
aditivitatea în raport cu intervalul	$\int_{a}^{b} = \int_{a}^{c} + \int_{c}^{b}$	se admite
monotonia	$f \leq g$ pe $[a, b]$ dă $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$	se demonstrează
mărginirea	orice funcție integrabilă este mărginită	de la lecția despre clasele de funcții integrabile
ereditatea	integrabilă pe $[a, b]$ dă integrabilă pe orice subinterval	se admite
stabilitatea	valorile din câteva puncte izolate nu schimbă integrala	enunț cu justificare

Instrumentul care demonstrează primele două este mereu același: se scrie proprietatea la nivelul sumelor Riemann, unde totul e o sumă finită și deci evidentă, apoi se trece la limită după norma diviziunii. Merită reținut acest tipar, pentru că el explică de ce integrala moștenește exact proprietățile sumei.

2. Liniaritatea

Teorema (liniaritatea). Fie $f, g : [a, b] \to R$ integrabile și $λ \in R$ . Atunci funcțiile $f + g$ și $λ f$ sunt integrabile pe $[a, b]$ și $\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x, \int_{a}^{b} λ f (x) d x = λ \int_{a}^{b} f (x) d x .$

Demonstrație. Fie $Δ$ o diviziune a lui $[a, b]$ și $ξ$ un sistem de puncte intermediare. Din definiția sumei Riemann, $σ_{Δ} (f + g, ξ) = i = 1 \sum n (f (ξ_{i}) + g (ξ_{i})) (x_{i} - x_{i - 1}) = σ_{Δ} (f, ξ) + σ_{Δ} (g, ξ),$ pentru că într-o sumă finită se poate desface fiecare paranteză și se pot grupa termenii. Analog, $σ_{Δ} (λ f, ξ) = i = 1 \sum n λ f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) = λ σ_{Δ} (f, ξ) .$ Fie acum $I = \int_{a}^{b} f$ și $J = \int_{a}^{b} g$ . Pentru $ε > 0$ dat, integrabilitatea lui $f$ furnizează un $δ_{1} > 0$ și cea a lui $g$ un $δ_{2} > 0$ ; luăm $δ = min (δ_{1}, δ_{2})$ . Atunci, pentru orice diviziune cu $∥ Δ ∥ < δ$ și orice sistem de puncte intermediare, $∣ σ_{Δ} (f + g, ξ) - (I + J)∣ \leq ∣ σ_{Δ} (f, ξ) - I ∣ + ∣ σ_{Δ} (g, ξ) - J ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε,$ unde s-a folosit inegalitatea triunghiului și s-a aplicat definiția cu $\frac{ε}{2}$ în loc de $ε$ . Prin urmare $f + g$ este integrabilă, cu integrala $I + J$ . Pentru $λ f$ raționamentul e identic, cu $∣ λ ∣$ la numitor (cazul $λ = 0$ fiind imediat). $■$

Combinând cele două părți se obține forma folosită în practică: pentru orice $λ, μ \in R$ , $\int_{a}^{b} (λ f (x) + μg (x)) d x = λ \int_{a}^{b} f (x) d x + μ \int_{a}^{b} g (x) d x .$

Exemplu. $\int_{0}^{1} (2 x^{2} + 3 e^{x}) d x = 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + 3 \int_{0}^{1} e^{x} d x = 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 (e - 1) = 3 e - \frac{7}{3} \approx 5, 821$ . (Verificat numeric, cu toleranță relativă $1 0^{- 8}$ .)

Observație (structura algebrică din spatele liniarității). Prima parte a teoremei spune, în limbajul unității de algebră, ceva precis. Notăm cu $I [a, b]$ mulțimea funcțiilor integrabile pe $[a, b]$ , cu operația de adunare a funcțiilor. ⚠️ Litera caligrafică $I$ denumește aici o mulțime de funcții; litera obișnuită $I$ rămâne, ca în tot capitolul, fie valoarea unei integrale, fie numele unui interval. Atunci:

adunarea este lege de compoziție pe $I [a, b]$ , adică mulțimea e parte stabilă — chiar prima jumătate a teoremei de mai sus;
asociativitatea și comutativitatea se moștenesc din adunarea numerelor reale, făcută punct cu punct;
funcția nulă este element neutru și aparține lui $I [a, b]$ , integrala ei fiind $0$ .

Prin urmare $(I [a, b], +)$ este un monoid comutativ, în sensul fixat la lecția despre semigrupuri și monoizi. Mai mult: dacă $f$ este integrabilă, atunci $- f = (- 1) f$ este integrabilă, deci orice element este simetrizabil, iar structura este de fapt un grup comutativ, ca în lecția despre grup, definiție și exemple. Este exact observația făcută, cuvânt cu cuvânt, pentru funcțiile care admit primitive, la lecția despre integrala nedefinită. În plus, aplicația care duce fiecare funcție integrabilă în numărul $\int_{a}^{b} f$ este un morfism de la acest grup la $(R, +)$ , în sensul de la lecția despre morfismele de grupuri: ea transformă adunarea funcțiilor în adunarea numerelor.

Observație (de ce aici nu se cere $λ \neq = 0$ ). La integrala nedefinită, omogenitatea se enunță pentru $α \in R^{*}$ , pentru că înmulțirea cu $0$ ar transforma o familie infinită de primitive într-o singură funcție. Aici, rezultatul unei integrale definite este un număr, iar $\int_{a}^{b} 0 d x = 0 = 0 \cdot \int_{a}^{b} f$ ; de aceea enunțul de mai sus admite liniștit și cazul $λ = 0$ .

3. Cum se rupe un interval de integrare în bucăți?

Teorema (aditivitatea în raport cu intervalul). Fie $a < c < b$ și $f : [a, b] \to R$ . Funcția $f$ este integrabilă pe $[a, b]$ dacă și numai dacă este integrabilă pe $[a, c]$ și pe $[c, b]$ , iar în acest caz $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x .$

Această proprietate se admite fără demonstrație; demonstrația ei cere lucrul cu diviziuni care conțin obligatoriu punctul $c$ și depășește nivelul clasei. Ea este, în schimb, cea mai folosită dintre toate: pe ea se sprijină întreg calculul integralelor funcțiilor definite pe ramuri și al celor cu modul.

Interpretarea geometrică, pentru $f \geq 0$ , este cât se poate de firească: suprafața de sub grafic, de la $a$ la $b$ , se taie cu o dreaptă verticală în $c$ în două bucăți, iar ariile se adună.

Cu convențiile de orientare $\int_{a}^{a} f = 0$ și $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ , formula rămâne adevărată oricare ar fi poziția lui $c$ , chiar și în afara intervalului $[a, b]$ , atâta timp cât funcția e integrabilă pe intervalul care le cuprinde pe toate. De exemplu, pentru $c > b$ : $\int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f = \int_{a}^{c} f - \int_{b}^{c} f = \int_{a}^{b} f,$ ultima egalitate fiind chiar aditivitatea aplicată pe $[a, c]$ cu punctul intermediar $b$ . Această flexibilitate e cea care face ca, în probleme, să nu trebuiască niciodată să verifici ordinea capetelor.

Verificare pe un caz concret. $\int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}_{0}^{2} = \frac{8}{3}$ , iar $\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{2} d x = \frac{1}{3} + \frac{7}{3} = \frac{8}{3}$ . ✓ (Toate trei valorile verificate numeric.)

4. Când este o integrală mai mare decât alta?

Teorema (monotonia). Fie $f, g : [a, b] \to R$ integrabile, cu $a < b$ , astfel încât $f (x) \leq g (x)$ pentru orice $x \in [a, b]$ . Atunci $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} g (x) d x .$

Demonstrație. Fie $Δ$ o diviziune și $ξ$ un sistem de puncte intermediare. Pentru fiecare $i$ avem $f (ξ_{i}) \leq g (ξ_{i})$ , iar lungimile $x_{i} - x_{i - 1}$ sunt strict pozitive, deci înmulțirea păstrează sensul inegalității: $f (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) \leq g (ξ_{i}) (x_{i} - x_{i - 1}) .$ Adunând cele $n$ inegalități, obținem $σ_{Δ} (f, ξ) \leq σ_{Δ} (g, ξ)$ pentru orice diviziune și orice puncte intermediare. Trecând la limită după $∥ Δ ∥ \to 0$ și folosind faptul că o inegalitate nestrictă se păstrează prin trecere la limită, rezultă $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ . $■$

Două consecințe imediate, pe care e bine să le reții separat:

Pozitivitatea: dacă $f \geq 0$ pe $[a, b]$ și $a < b$ , atunci $\int_{a}^{b} f \geq 0$ . (Se aplică teorema cu funcția nulă în locul lui $f$ .)
Semnul integralei: dacă $f \leq 0$ pe $[a, b]$ și $a < b$ , atunci $\int_{a}^{b} f \leq 0$ .

⚠️ Ipoteza $a < b$ nu e decorativă. Dacă intervalul e parcurs invers, convenția de orientare schimbă semnul și inegalitatea se răstoarnă: din $x^{2} \leq x$ pe $[0, 1]$ nu rezultă $\int_{1}^{0} x^{2} d x \leq \int_{1}^{0} x d x$ , ci exact pe dos. De aceea monotonia se enunță întotdeauna cu capetele în ordine crescătoare.

Exemplu. Pe $[0, 1]$ avem $x^{2} \leq x$ , pentru că $x - x^{2} = x (1 - x) \geq 0$ acolo. Prin urmare $\int_{0}^{1} x^{2} d x \leq \int_{0}^{1} x d x$ , ceea ce calculul confirmă: $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2}$ . Valoarea monotoniei este că am fi putut spune asta fără să calculăm ceva. Din ea se obțin, la lecția despre inegalitățile cu integrale, încadrări între două constante pentru integrale pe care nu le putem calcula deloc.

5. Mărginirea funcțiilor integrabile

Această proprietate a fost stabilită deja, la lecția despre clasele de funcții integrabile, și o cităm de acolo:

Teoremă (mărginirea funcțiilor integrabile). Orice funcție integrabilă pe $[a, b]$ este mărginită pe $[a, b]$ .

Ea se folosește aproape întotdeauna prin contrapoziție — forma numită acolo criteriul negativ al mărginirii: dacă o funcție nu este mărginită pe $[a, b]$ , atunci ea nu este integrabilă pe $[a, b]$ . Acesta e argumentul standard prin care se respinge un enunț care cere, de pildă, $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x$ : oricum am defini funcția în $0$ , valorile ei cresc nemărginit când $x$ se apropie de $0$ , deci integrala pur și simplu nu există. Aceeași observație explică de ce, la lecția despre formula Leibniz–Newton, aplicarea mecanică a formulei peste un punct-problemă produce rezultate absurde.

Reciproca este falsă: mărginirea nu garantează integrabilitatea. Contraexemplul clasic este funcția lui Dirichlet, $d : [0, 1] \to R$ , care ia valoarea $1$ în punctele raționale și $0$ în cele iraționale — ea ia doar valorile $0$ și $1$ , deci e mărginită, dar sumele ei Riemann pot fi făcute egale cu $1$ (alegând toate punctele intermediare raționale) sau cu $0$ (alegându-le iraționale), oricât de fină ar fi diviziunea. Neexistând o singură valoare-limită, funcția nu e integrabilă. Așadar mărginirea este o condiție necesară, dar nu suficientă.

6. Ereditatea

Teorema (proprietatea de ereditate). Dacă $f$ este integrabilă pe $[a, b]$ , atunci $f$ este integrabilă pe orice subinterval $[c, d] \subseteq [a, b]$ .

Și această proprietate se admite fără demonstrație. Numele ei spune ce face: integrabilitatea se „moștenește" în jos, de la interval la subintervalele lui. Ea este perechea necesară a aditivității — aceasta din urmă scrie o egalitate între integrale pe bucăți, dar mai întâi cineva trebuie să garanteze că integralele de pe bucăți există.

Atenție la sensul implicației: ereditatea merge dinspre intervalul mare spre cel mic. Invers nu e nimic gratuit — dintr-un interval mic nu se poate deduce nimic despre unul mai mare, pentru că funcția poate face orice în afara lui.

7. Stabilitatea la modificarea valorilor într-un număr finit de puncte

Teorema (stabilitatea). Fie $f$ integrabilă pe $[a, b]$ și $g : [a, b] \to R$ o funcție care coincide cu $f$ în afara unei mulțimi finite de puncte. Atunci $g$ este integrabilă pe $[a, b]$ și $\int_{a}^{b} g (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Justificare. E de ajuns să tratăm cazul unui singur punct $x_{0}$ (restul se obține repetând raționamentul, punct cu punct). Fie $h = g - f$ ; ea este nulă peste tot, cu excepția lui $x_{0}$ , unde ia valoarea $k = g (x_{0}) - f (x_{0})$ . Într-o sumă Riemann a lui $h$ , singurii termeni nenuli sunt cei ai subintervalelor care îl conțin pe $x_{0}$ — cel mult două, dacă $x_{0}$ e chiar un punct al diviziunii — și numai atunci când punctul intermediar ales acolo este exact $x_{0}$ . Prin urmare $∣ σ_{Δ} (h, ξ)∣ \leq 2 ∣ k ∣ \cdot ∥ Δ ∥,$ mărime care tinde la $0$ când norma diviziunii tinde la $0$ . Așadar $h$ este integrabilă cu $\int_{a}^{b} h = 0$ , iar din liniaritate $g = f + h$ este integrabilă și $\int_{a}^{b} g = \int_{a}^{b} f + 0 = \int_{a}^{b} f$ . $■$

Consecința practică e mare: integrala nu vede punctele izolate. Când o funcție e dată pe ramuri, valoarea ei exactă în punctul de racord nu contează pentru integrală; când o funcție are câteva discontinuități, ele nu strică nici integrabilitatea, nici valoarea. Este proprietatea care va face posibil, în lecția următoare, calculul integralei funcțiilor definite pe ramuri și a celor cu modul fără nicio grijă la capetele bucăților.

⚠️ „Un număr finit" este esențial. Funcția lui Dirichlet, de la punctul 5, diferă de funcția nulă într-o infinitate de puncte (toate raționalele din $[0, 1]$ ) și nu este integrabilă — dovadă că proprietatea nu se poate extinde naiv.

8. De ce este modulul integralei cel mult integrala modulului?

Ultima proprietate a lecției e o consecință a celor de mai sus, dar se folosește atât de des încât primește nume propriu.

Consecința (inegalitatea modulului). Dacă $f$ este integrabilă pe $[a, b]$ , cu $a < b$ , atunci $∣ f ∣$ este integrabilă și $\int_{a}^{b} f (x) d x \leq \int_{a}^{b} ∣ f (x)∣ d x .$

Integrabilitatea lui $∣ f ∣$ se admite; la funcțiile din exercițiile de clasă ea e imediată, pentru că $∣ f ∣$ este fie continuă, fie cu un număr finit de discontinuități. Restul se demonstrează în două rânduri. Pentru orice $x$ avem încadrarea $- ∣ f (x)∣ \leq f (x) \leq ∣ f (x)∣ .$ Aplicăm monotonia de două ori, o dată pentru fiecare inegalitate, și folosim liniaritatea pentru a scoate semnul minus: $- \int_{a}^{b} ∣ f ∣ \leq \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣,$ ceea ce este exact definiția inegalității cu modul din enunț. $■$

Inegalitatea poate fi strictă, și cel mai simplu exemplu arată de ce. Pe $[0, 2]$ , funcția $f (x) = x - 1$ are $\int_{0}^{2} (x - 1) d x = (\frac{x ^{2}}{2} - x)_{0}^{2} = 0$ , în timp ce $\int_{0}^{2} ∣ x - 1 ∣ d x = 1$ . Într-adevăr, $∣ 0 ∣ \leq 1$ . Diferența vine din compensarea dintre bucata negativă și cea pozitivă: integrala lui $f$ le scade una din alta, integrala lui $∣ f ∣$ le adună. (Ambele valori verificate numeric.)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Liniaritatea în calcul direct

Calculați $\int_{1}^{2} (3 x^{2} - \frac{2}{x}) d x$ .

Rezolvare. Funcțiile $x \mapsto x^{2}$ și $x \mapsto \frac{1}{x}$ sunt continue pe $[1, 2]$ , deci integrabile; prin liniaritate, și combinația lor este integrabilă și $\int_{1}^{2} (3 x^{2} - \frac{2}{x}) d x = 3 \int_{1}^{2} x^{2} d x - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x = 3 \cdot \frac{7}{3} - 2 ln 2 = 7 - 2 ln 2.$ Valoarea aproximativă este $7 - 2 ln 2 \approx 5, 614$ . (Verificat numeric: $5, 613705638880$ .) ✓

Exemplul 2 — Aditivitatea, fără să știm funcția

Se știe că $\int_{0}^{3} f (x) d x = 7$ și $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2$ , unde $f$ este integrabilă pe $[0, 3]$ . Calculați $\int_{1}^{3} f (x) d x$ și $\int_{3}^{1} f (x) d x$ .

Rezolvare. Din ereditate, $f$ este integrabilă pe $[0, 1]$ și pe $[1, 3]$ , deci ambele integrale au sens. Aditivitatea în raport cu intervalul, cu punctul $c = 1$ , dă $\int_{0}^{3} f = \int_{0}^{1} f + \int_{1}^{3} f ⟹ 7 = 2 + \int_{1}^{3} f ⟹ \int_{1}^{3} f = 5.$ Pentru a doua, convenția de orientare: $\int_{3}^{1} f = - \int_{1}^{3} f = - 5$ .

Observă că nu am avut nevoie de nicio informație despre formula lui $f$ — tocmai asta e puterea proprietăților. ✓

Exemplul 3 — Monotonia, fără calcul

Comparați $\int_{0}^{1} x^{3} d x$ cu $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ , mai întâi fără a le calcula, apoi verificați prin calcul.

Rezolvare. Comparația: pentru $x \in [0, 1]$ avem $x^{3} - x^{2} = x^{2} (x - 1) \leq 0$ , pentru că $x^{2} \geq 0$ și $x - 1 \leq 0$ . Deci $x^{3} \leq x^{2}$ pe $[0, 1]$ , iar capetele sunt în ordine crescătoare. Din monotonie, $\int_{0}^{1} x^{3} d x \leq \int_{0}^{1} x^{2} d x .$ Verificarea: $\int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{x ^{4}}{4}_{0}^{1} = \frac{1}{4}$ și $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ , iar $\frac{1}{4} \leq \frac{1}{3}$ . ✓ (Ambele verificate numeric.)

Exemplul 4 — Mărginirea, folosită ca argument de respingere

Arătați că funcția $f : [0, 2] \to R$ , $f (x) = \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}$ pentru $x \neq = 1$ și $f (1) = 0$ , nu este integrabilă pe $[0, 2]$ .

Rezolvare. Presupunem, prin reducere la absurd, că $f$ ar fi integrabilă pe $[0, 2]$ . Atunci, conform teoremei de mărginire, ar exista $M > 0$ cu $∣ f (x)∣ \leq M$ pentru orice $x \in [0, 2]$ .

Alegem $x = 1 + \frac{1}{M + 1}$ . Cum $M + 1 > 1$ , avem $0 < \frac{1}{M + 1} < 1$ , deci $x \in (1, 2]$ , iar $f (x) = \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = M + 1 > M,$ contradicție. Prin urmare $f$ nu este mărginită și, deci, nu este integrabilă pe $[0, 2]$ .

Observă două lucruri. Întâi, valoarea aleasă în $1$ nu are nicio importanță: oricum am completa funcția acolo, ea rămâne nemărginită pe orice vecinătate a lui $1$ . Apoi, punctul-problemă este interior intervalului — exact situația în care aplicarea mecanică a formulei Leibniz–Newton produce rezultate absurde. ✓

Exemplul 5 — Stabilitatea

Fie $f : [0, 2] \to R$ definită prin $f (x) = x$ pentru $x \neq = 1$ și $f (1) = - 4$ . Arătați că $f$ este integrabilă și calculați $\int_{0}^{2} f (x) d x$ .

Rezolvare. Funcția $g (x) = x$ este continuă pe $[0, 2]$ , deci integrabilă, cu $\int_{0}^{2} x d x = \frac{x ^{2}}{2}_{0}^{2} = 2.$ Funcția $f$ coincide cu $g$ în afara mulțimii finite ${1}$ . Din proprietatea de stabilitate, $f$ este integrabilă pe $[0, 2]$ și are aceeași integrală: $\int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{0}^{2} x d x = 2.$ Valoarea $- 4$ din punctul $1$ nu schimbă nimic, oricât de departe ar fi de restul graficului — un singur punct are „lățime zero". ✓ (Verificat numeric.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcțiile $f, g : [0, 1] \to R$ , $f (x) = x^{2}$ și $g (x) = x$ . a) Arătați că $f (x) \leq g (x)$ pentru orice $x \in [0, 1]$ . b) Calculați $\int_{0}^{1} f (x) d x$ și $\int_{0}^{1} g (x) d x$ . c) Verificați, prin calcul direct, egalitatea $\int_{0}^{1} (g (x) - f (x)) d x = \int_{0}^{1} g (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x$ și interpretați rezultatul.

Rezolvare.

a) $g (x) - f (x) = x - x^{2} = x (1 - x)$ . Pentru $x \in [0, 1]$ avem $x \geq 0$ și $1 - x \geq 0$ , deci produsul este mai mare sau egal cu zero. Așadar $f (x) \leq g (x)$ pe tot intervalul.

b) Ambele funcții sunt continue, deci integrabile: $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}_{0}^{1} = \frac{1}{3}, \int_{0}^{1} x d x = \frac{x ^{2}}{2}_{0}^{1} = \frac{1}{2} .$

c) Membrul stâng, calculat direct cu primitiva $\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3}$ : $\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = (\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3})_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} .$ Membrul drept: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ . Cele două coincid, așa cum prezice liniaritatea.

Interpretare: numărul $\frac{1}{6}$ este pozitiv, ceea ce confirmă monotonia de la punctul a) — dacă $f \leq g$ , diferența integralelor nu poate fi negativă. Geometric, el măsoară cât de mult „stă" graficul lui $g$ deasupra graficului lui $f$ pe intervalul $[0, 1]$ . (Toate valorile verificate numeric.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La exercițiile în care se cere o comparație, scrie întâi inegalitatea dintre funcții și abia apoi concluzia despre integrale.

1. Calculează $\int_{0}^{1} (4 x^{3} + 2 x) d x$ , folosind liniaritatea.

2. Calculează $\int_{0}^{π /2} (2 sin x - 3 cos x) d x$ .

3. Se știe că $\int_{1}^{5} f = 10$ și $\int_{1}^{3} f = 4$ . Calculează $\int_{3}^{5} f$ .

4. Se știe că $\int_{0}^{2} f (x) d x = 3$ . Calculează $\int_{0}^{2} (2 f (x) + 1) d x$ .

5. Compară $\int_{0}^{1} x^{5} d x$ cu $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ fără a le calcula, apoi verifică prin calcul.

6. Arată că $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x \leq 1$ , folosind monotonia și o funcție de comparație potrivită.

7. Calculează $\int_{2}^{0} x^{2} d x$ .

8. Calculează $\int_{4}^{4} (x^{3} - 7 x + 2) d x$ și justifică răspunsul.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f (x) \leq g (x)$ pe intervalul dintre $a$ și $b$ , atunci $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ , oricare ar fi numerele $a$ și $b$ ."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice funcție mărginită pe $[a, b]$ este integrabilă pe $[a, b]$ ."

11. Arată, folosind pozitivitatea, că $\int_{0}^{1} x^{n} d x > 0$ pentru orice $n \in N$ , apoi calculează valoarea integralei.

12. Calculează $\int_{0}^{2} (x - 1) d x$ și $\int_{0}^{2} ∣ x - 1 ∣ d x$ , apoi verifică inegalitatea modulului.

13. (Problemă aplicată.) Într-un experiment se măsoară, pe intervalul de timp $[0, 4]$ , două mărimi date de funcțiile continue $f$ și $g$ , despre care se știe că $f (t) \leq g (t)$ în fiecare moment. S-a calculat $\int_{0}^{4} f (t) d t = 12$ . Ce se poate afirma, sigur, despre $\int_{0}^{4} g (t) d t$ ?

14. O funcție $f$ este integrabilă pe $[0, 5]$ . Ce proprietate garantează că are sens $\int_{1}^{2} f (x) d x$ ? Enunț-o.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f, g : [0, 1] \to R$ , $f (x) = x^{2} + 1$ și $g (x) = x + 1$ . a) Calculează $\int_{0}^{1} f (x) d x$ . b) Arată că $f (x) \leq g (x)$ pe $[0, 1]$ . c) Deduce, fără calcul, o inegalitate între cele două integrale și verific-o calculând $\int_{0}^{1} g (x) d x$ .

16. Fie $f : [0, 3] \to R$ , $f (x) = x^{2}$ pentru $x \in / {1, 2}$ și $f (1) = f (2) = 10$ . Calculează $\int_{0}^{3} f (x) d x$ .

17. Calculează $\int_{0}^{1} (5 e^{x} - 4 x) d x$ .

18. (Provocare.) Arată că, dacă $f$ este integrabilă și $f \geq 0$ pe $[a, b]$ , iar $\int_{a}^{b} f (x) d x = 0$ , nu rezultă că $f$ este identic nulă. Construiește un contraexemplu și spune ce proprietate din lecție îl justifică.

Răspunsuri și explicații

1. Liniaritate: $4 \int_{0}^{1} x^{3} + 2 \int_{0}^{1} x = 4 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 1 = 2$ .

2. $(- 2 cos x - 3 sin x)_{0}^{π /2} = (0 - 3) - (- 2 - 0) = - 1$ . Rezultatul negativ e firesc: pe intervalul dat, $3 cos x$ „cântărește" mai mult decât $2 sin x$ .

3. Aditivitatea cu $c = 3$ : $\int_{1}^{5} f = \int_{1}^{3} f + \int_{3}^{5} f$ , deci $\int_{3}^{5} f = 10 - 4 = 6$ .

4. Liniaritate, plus faptul că $\int_{0}^{2} 1 d x = x_{0}^{2} = 2$ : rezultatul este $2 \cdot 3 + 2 = 8$ .

5. Pentru $x \in [0, 1]$ avem $x^{5} \leq x^{2}$ , pentru că $x^{5} - x^{2} = x^{2} (x^{3} - 1) \leq 0$ . Din monotonie, $\int_{0}^{1} x^{5} \leq \int_{0}^{1} x^{2}$ ; calculul confirmă: $\frac{1}{6} \leq \frac{1}{3}$ .

6. Pe $[1, 2]$ avem $x \geq 1$ , deci $\frac{1}{x} \leq 1$ . Din monotonie, $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x \leq \int_{1}^{2} 1 d x = 1$ . Calculul dă $ln 2 \approx 0, 693 \leq 1$ . ✓

7. Convenția de orientare: $\int_{2}^{0} x^{2} d x = - \int_{0}^{2} x^{2} d x = - \frac{8}{3}$ .

8. Zero, prin convenția $\int_{a}^{a} f = 0$ : capetele coincid, deci nu există niciun interval pe care să se integreze.

9. Fals. Monotonia se enunță pentru $a < b$ . Dacă $a > b$ , convenția de orientare schimbă semnul ambelor integrale și inegalitatea se răstoarnă: din $x^{2} \leq x$ pe $[0, 1]$ rezultă $\int_{1}^{0} x^{2} d x \geq \int_{1}^{0} x d x$ , adică $- \frac{1}{3} \geq - \frac{1}{2}$ .

10. Fals. Mărginirea este necesară, nu suficientă. Contraexemplu: funcția lui Dirichlet, care ia valoarea $1$ în punctele raționale din $[0, 1]$ și $0$ în cele iraționale, este mărginită, dar sumele ei Riemann pot fi făcute egale cu $1$ sau cu $0$ , oricât de fină ar fi diviziunea, deci nu există o valoare-limită unică.

11. Funcția $x^{n}$ este continuă și pozitivă pe $[0, 1]$ , deci integrabilă, iar din pozitivitate integrala este mai mare sau egală cu $0$ ; ea este chiar strict pozitivă, pentru că funcția nu e nulă pe niciun subinterval. Valoarea: $\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}_{0}^{1} = \frac{1}{n + 1}$ .

12. $\int_{0}^{2} (x - 1) d x = (\frac{x ^{2}}{2} - x)_{0}^{2} = (2 - 2) - 0 = 0$ , iar $\int_{0}^{2} ∣ x - 1 ∣ d x = 1$ (se va calcula sistematic în lecția următoare). Inegalitatea modulului cere $∣ 0 ∣ \leq 1$ , adevărat, și chiar strict.

13. Din monotonie, $\int_{0}^{4} g (t) d t \geq \int_{0}^{4} f (t) d t = 12$ . Mai mult nu se poate afirma: valoarea exactă depinde de $g$ , care poate fi oricât de mare.

14. Proprietatea de ereditate: dacă $f$ este integrabilă pe $[0, 5]$ , atunci este integrabilă pe orice subinterval al lui, în particular pe $[1, 2]$ .

15. a) $(\frac{x ^{3}}{3} + x)_{0}^{1} = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$ . b) $g (x) - f (x) = x - x^{2} = x (1 - x) \geq 0$ pe $[0, 1]$ . c) Din monotonie, $\int_{0}^{1} f \leq \int_{0}^{1} g$ ; verificare: $\int_{0}^{1} (x + 1) d x = (\frac{x ^{2}}{2} + x)_{0}^{1} = \frac{3}{2}$ , iar $\frac{4}{3} \leq \frac{3}{2}$ . ✓

16. Funcția coincide cu $x^{2}$ în afara mulțimii finite ${1, 2}$ , deci, din stabilitate, este integrabilă și are aceeași integrală: $\frac{x ^{3}}{3}_{0}^{3} = 9$ .

17. $(5 e^{x} - 2 x^{2})_{0}^{1} = (5 e - 2) - 5 = 5 e - 7 \approx 6, 591$ .

18. Contraexemplu: $f : [0, 1] \to R$ , $f (x) = 0$ pentru $x \neq = \frac{1}{2}$ și $f (\frac{1}{2}) = 1$ . Funcția este pozitivă și nu este identic nulă, dar coincide cu funcția nulă în afara mulțimii finite ${\frac{1}{2}}$ ; din stabilitate, ea este integrabilă și $\int_{0}^{1} f (x) d x = 0$ . Concluzia: din integrală nulă nu se poate deduce funcție nulă. (Afirmația devine adevărată dacă se adaugă ipoteza că $f$ este continuă — dar acela e alt enunț, cu altă demonstrație.)

De reținut

Liniaritatea spune că $\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g$ și se demonstrează scriind proprietatea la nivelul sumelor Riemann, unde e o simplă regrupare de termeni.
Aditivitatea în raport cu intervalul, $\int_{a}^{b} = \int_{a}^{c} + \int_{c}^{b}$ , se admite fără demonstrație și rămâne valabilă pentru orice poziție a lui $c$ , datorită convențiilor de orientare.
Monotonia transferă o inegalitate dintre funcții într-una dintre integrale, cu condiția obligatorie ca intervalul să fie parcurs în ordine crescătoare.
Mărginirea este o condiție necesară a integrabilității, iar reciproca ei este falsă; se folosește prin contrapoziție, ca să se arate că o funcție nu este integrabilă.
Ereditatea și stabilitatea spun că integrabilitatea se moștenește pe subintervale și că valorile dintr-un număr finit de puncte nu schimbă nici integrabilitatea, nici valoarea integralei.

Greșeli frecvente

Aplici monotonia cu capetele inversate. Proprietatea cere $a < b$ ; cu capetele schimbate, convenția de orientare răstoarnă inegalitatea. Scrie întotdeauna integralele cu capătul mic jos înainte de a compara.
Crezi că integrala produsului este produsul integralelor. Liniaritatea privește numai adunarea și înmulțirea cu o constantă. În general $\int_{a}^{b} f g \neq = (\int_{a}^{b} f) (\int_{a}^{b} g)$ ; verifică pe $f = g = x$ pe $[0, 1]$ : $\frac{1}{3}$ față de $\frac{1}{4}$ .
Confunzi mărginirea cu integrabilitatea. Orice funcție integrabilă e mărginită, dar nu orice funcție mărginită e integrabilă. Contrapoziția e utilă, reciproca e falsă.
Deduci din integrală nulă că funcția e nulă. Fals: fie funcția ia și valori negative care compensează, fie diferă de funcția nulă doar în câteva puncte izolate. Concluzia devine corectă abia dacă adaugi continuitatea și pozitivitatea.
Uiți ereditatea când rupi intervalul. Înainte de a scrie $\int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f$ , integralele de pe bucăți trebuie să existe — ereditatea e cea care garantează asta, iar la examen propoziția se scrie.

Aplică acasă

Fișa celor șase proprietăți. Scrie pe o singură pagină, într-un tabel cu patru coloane, cele șase proprietăți: numele, enunțul complet, regimul (se demonstrează / se admite / se citează) și un exemplu numeric de o linie pentru fiecare. Ține fișa la vedere când rezolvi exerciții.
Comparații fără calcul. Alege cinci perechi de funcții uzuale pe intervalul $[0, 1]$ (de pildă $x$ și $x^{2}$ , $sin x$ și $x$ , $e^{x}$ și $1 + x$ ) și, pentru fiecare, stabilește prin studiul semnului diferenței care este mai mare. Scrie apoi inegalitatea dintre integrale și verific-o prin calcul, ca să vezi cât de mult te scutește monotonia.
Detectorul de ipoteze. Scrie cinci enunțuri false despre integrale (de tipul „integrala produsului este produsul integralelor" sau „o funcție mărginită este integrabilă"). Pentru fiecare, construiește un contraexemplu numeric complet și indică proprietatea din lecție care arată unde se rupe raționamentul.

Pentru părinți și profesori

Proprietățile integralei definite sunt, în programa clasei a XII-a, un conținut cerut nominal: mărginire, liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu intervalul de integrare, ereditate și stabilitate. Ele nu sunt o listă de reținut pe de rost, ci setul de reguli care fac calculul posibil: fără liniaritate nu se poate integra un polinom, fără aditivitate nu se poate integra nicio funcție dată pe ramuri, fără monotonie nu se poate estima nimic. La BAC M1 apar mai ales sub forma exercițiilor „se știe că integrala pe un interval este…, calculați integrala pe alt interval".

Ce verifică lecția: (1) enunțarea corectă a celor șase proprietăți, cu numele lor; (2) cele două demonstrații cerute — liniaritatea și monotonia — prin trecerea de la sumele Riemann la limită; (3) folosirea aditivității împreună cu convențiile de orientare; (4) folosirea mărginirii prin contrapoziție; (5) înțelegerea faptului că un număr finit de puncte nu influențează integrala.

Întrebări bune de control: „Ce se demonstrează și ce se admite din lista de azi?", „De ce se cere $a < b$ la monotonie?", „Dacă schimb valoarea funcției în trei puncte, ce se întâmplă cu integrala?". Semn că elevul a înțeles: la un exercițiu de comparare nu se repede să calculeze, ci studiază mai întâi semnul diferenței celor două funcții.

Întrebări frecvente

Care sunt proprietățile integralei definite? Sunt șase, cerute nominal de programă: liniaritatea, aditivitatea în raport cu intervalul de integrare, monotonia, mărginirea funcțiilor integrabile, proprietatea de ereditate și stabilitatea integralei la modificarea valorilor funcției într-un număr finit de puncte. La ele se adaugă o consecință folosită foarte des, inegalitatea dintre modulul integralei și integrala modulului.

Cum se demonstrează liniaritatea integralei definite? Se scrie proprietatea mai întâi la nivelul sumelor Riemann, unde totul e o sumă finită: suma Riemann a lui $f + g$ este suma sumelor Riemann ale lui $f$ și $g$ . Apoi se trece la limită după norma diviziunii, folosind definiția integrabilității pentru fiecare funcție cu $\frac{ε}{2}$ și inegalitatea triunghiului. Rezultă că $f + g$ este integrabilă și că integrala ei este suma integralelor.

Ce înseamnă aditivitatea în raport cu intervalul? Înseamnă că un interval de integrare poate fi tăiat: pentru $a < c < b$ , integrala de la $a$ la $b$ este suma integralelor de la $a$ la $c$ și de la $c$ la $b$ . Proprietatea se admite fără demonstrație și rămâne valabilă și când $c$ se află în afara intervalului, datorită convențiilor $\int_{a}^{a} f = 0$ și $\int_{b}^{a} f = - \int_{a}^{b} f$ .

De ce este orice funcție integrabilă mărginită? Pentru că, dacă funcția ar lua valori oricât de mari, s-ar putea alege un punct intermediar în care valoarea ei să fie enormă, iar suma Riemann corespunzătoare ar fi la fel de mare — deci sumele nu s-ar putea apropia de un singur număr. Proprietatea se folosește prin contrapoziție: o funcție nemărginită pe intervalul de integrare nu este integrabilă acolo.

Ce este proprietatea de ereditate a integralei? Este afirmația că integrabilitatea se transmite subintervalelor: dacă o funcție este integrabilă pe $[a, b]$ , atunci ea este integrabilă pe orice interval $[c, d]$ inclus în $[a, b]$ . Se admite fără demonstrație și este ceea ce garantează că integralele de pe bucăți, folosite în aditivitate, chiar există.

De ce nu schimbă integrala valorile dintr-un număr finit de puncte? Pentru că diferența dintre cele două funcții este nulă peste tot, cu excepția câtorva puncte, iar într-o sumă Riemann fiecare astfel de punct contribuie cu cel mult produsul dintre saltul de valoare și lungimea unui subinterval. Când norma diviziunii tinde la zero, această contribuție se stinge, deci diferența are integrala nulă.

De ce modulul integralei este cel mult integrala modulului? Pentru că, pentru orice $x$ , avem încadrarea între minus modul și plus modul, iar monotonia transferă ambele inegalități la integrale. Inegalitatea este adesea strictă: dacă funcția schimbă semnul, integrala ei compensează bucata negativă cu cea pozitivă, în timp ce integrala modulului le adună.

Unde se folosesc proprietățile integralei definite mai departe? În aproape tot restul capitolului. Aditivitatea și stabilitatea stau la baza calculului integralelor funcțiilor definite pe ramuri și cu modul, monotonia dă încadrările și inegalitățile cu integrale, iar liniaritatea intervine în fiecare calcul cu polinoame sau cu combinații de funcții uzuale, inclusiv la teorema de medie și la aplicațiile geometrice.