Proprietățile primitivei, citite din funcție: pe scurt

Egalitatea $F^{\prime }=f$ traduce orice întrebare despre primitivă într-o întrebare despre funcția dată, iar $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$ o traduce pe cea despre convexitate. De aici tabelul de traducere $f\to F$, care se citește pe cinci rânduri.

Semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$: unde $f>0$ primitiva urcă, unde $f<0$ coboară — iar concluzia se scrie întotdeauna pe un interval, niciodată pe o reuniune. Un zerou al lui $f$ dă punct de extrem al lui $F$ numai dacă $f$ își schimbă semnul acolo: din $+$ în $-$ maxim, din $-$ în $+$ minim; pentru $f(x)=x^2$ în $0$ nu există extrem, deși $f(0)=0$. Monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$: $F$ este convexă exact pe intervalele pe care $f$ este crescătoare, iar punctele de inflexiune ale lui $F$ sunt punctele de extrem ale lui $f$.

Tabelul de variație al lui $F$ se construiește deci fără a calcula primitiva, cu etichetele de rând scrise ca ecuații: $F^{\prime }(x)=f(x)$ și $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)$. Toate primitivele au aceeași formă a graficului — constanta doar le translatează pe verticală. Ce nu se poate afla din $f$ singură: semnul și zerourile lui $F$; pentru ele e nevoie de o condiție de tipul $F(x_0)=y_0$. Iar rezolvarea începe mereu cu rândul „$F$ e primitivă a lui $f$, deci $F^{\prime }(x)=f(x)$”.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+8$, și $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci $F$ are:

   • a) un minim în $x=2$ și un maxim în $x=4$
   • b) niciun punct de extrem
   • c) un singur punct de extrem, în $x=3$
   • d) un maxim în $x=2$ și un minim în $x=4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) un maxim în $x=2$ și un minim în $x=4$

   Cum $F^{\prime }=f$, extremele lui $F$ sunt în zerourile lui $f$: $x=2$ și $x=4$. Trinomul are semnul $+$ în afara rădăcinilor și $-$ între ele, deci în $2$ trece din $+$ în $-$ (maxim), iar în $4$ din $-$ în $+$ (minim). Punctul $x=3$ este vârful parabolei lui $f$, deci punct de inflexiune al lui $F$.

2. Primitiva $F$ a unei funcții $f$ este convexă exact pe intervalele pe care:

   • a) $F$ este crescătoare
   • b) $f$ este pozitivă
   • c) $f$ este crescătoare
   • d) $f$ este descrescătoare
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $f$ este crescătoare

   Convexitatea lui $F$ se decide după semnul lui $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, iar $f^{\prime }\ge 0$ înseamnă $f$ crescătoare. Semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$, nu convexitatea — confuzia dintre cele două informații este greșeala tipică a lecției.

3. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-3{)}^2$, și $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci $F$:

   • a) are un maxim în $x=3$
   • b) este crescătoare pe $\mathbb{R}$ și are un punct de inflexiune în $x=3$
   • c) este descrescătoare pe $(-\infty ,3)$
   • d) are un minim în $x=3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) este crescătoare pe $\mathbb{R}$ și are un punct de inflexiune în $x=3$

   Cum $f(x)\ge 0$ pe $\mathbb{R}$, cu egalitate doar în $3$, primitiva este crescătoare pe tot $\mathbb{R}$: zeroul este dublu, deci $f$ nu își schimbă semnul și nu există extrem. În schimb $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, iar $f^{\prime }(x)=2(x-3)$ își schimbă semnul în $3$: acolo $F$ are punct de inflexiune.