Proprietățile unei primitive deduse din funcție: monotonie, extreme, convexitate

Un aparat de bord îți arată, în fiecare clipă, viteza mașinii — nu și distanța parcursă. Și totuși, dacă te uiți numai la acul vitezometrului, poți spune destul de multe despre drum: cât timp acul stă în zona pozitivă, distanța crește; când acul coboară spre zero și trece dincolo, mașina a început să se întoarcă; iar dacă acul urcă tot mai repede, graficul distanței „ține apa". Nu ai formula drumului, dar îi cunoști forma. Exact aceasta este situația din care pornește lecția de față, la clasa a XII-a: se dă $f$ și se cere totul despre o primitivă a ei, fără ca primitiva să fie neapărat calculată.

Legătura care face totul posibil e o singură egalitate: $F^{\prime }=f$. Ea transformă fiecare întrebare despre $F$ într-o întrebare despre $f$, pe care ai învățat s-o rezolvi la clasa a XI-a. Semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$; zerourile lui $f$ în care semnul se schimbă dau punctele de extrem ale lui $F$; monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$. La Bacalaureat M1, cerințe de tipul „arătați că $F$ este crescătoare" sau „arătați că $F$ are un punct de minim" apar an de an în Subiectul al III-lea, iar rezolvarea lor are, aproape mereu, trei rânduri.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci monotonia unei primitive $F$ din semnul funcției $f$.
• Vei ști să găsești punctele de extrem ale lui $F$ printre zerourile lui $f$ și să verifici schimbarea de semn.
• Vei ști să stabilești convexitatea lui $F$ din monotonia lui $f$, folosind $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$.
• Vei ști să construiești tabelul de variație complet al lui $F$ pornind numai de la $f$.
• Vei ști să răspunzi la cerințele de tip Bacalaureat M1 „arătați că $F$ este crescătoare / are un punct de extrem / este convexă".
• Vei ști ce nu se poate afla despre $F$ doar din $f$ și de ce.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune egalitatea $F^{\prime }=f$ despre $F$?

Primitiva $F$ a unei funcții $f$ este, prin definiție, funcția derivabilă pe intervalul $I$ pentru care $F^{\prime }(x)=f(x)$ oricare ar fi $x\in I$; de aceea toate proprietățile ei de variație — monotonia, punctele de extrem, convexitatea, punctele de inflexiune — se citesc din $f$ și din $f^{\prime }$, fără să fie nevoie de o formulă explicită pentru $F$.

Definiția e cea din noțiunea de primitivă. Ce e nou aici e felul în care o folosim: nu ca să calculăm $F$, ci ca să o studiem. Egalitatea $F^{\prime }=f$ spune că funcția dată $f$ este chiar derivata întâi a necunoscutei $F$. Prin urmare, derivând încă o dată,

$$F^{\prime \prime }(x)=(F^{\prime }(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x),$$

cu condiția ca $f$ să fie ea însăși derivabilă pe $I$. Cele două egalități, $F^{\prime }=f$ și $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, sunt tot ce ne trebuie: la clasa a XI-a ai învățat că derivata întâi decide monotonia și extremele, iar derivata a doua decide convexitatea și inflexiunile.

Observația care face lecția posibilă. Pe un interval, două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă (Consecința 1 a teoremei lui Lagrange, din consecințele teoremei lui Lagrange). Adunarea unei constante translatează graficul pe verticală, dar nu schimbă nici intervalele de monotonie, nici punctele de extrem, nici convexitatea, nici punctele de inflexiune. Așadar toate proprietățile studiate aici sunt aceleași pentru toate primitivele lui $f$; se schimbă doar valorile, nu forma. De aceea putem vorbi despre „primitiva lui $f$" fără să spunem care.

2. Cum se citește monotonia primitivei din semnul funcției?

Aplicăm lui $F$ Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, cea despre monotonie, exact în forma fixată la clasa a XI-a în monotonia din semnul derivatei:

Fie $f$ o funcție care admite primitive pe intervalul $I$ și fie $F$ o primitivă a ei. Dacă $f(x)>0$ pentru orice $x\in I$, atunci $F$ este strict crescătoare pe $I$; dacă $f(x)<0$ pentru orice $x\in I$, atunci $F$ este strict descrescătoare pe $I$.

Demonstrația e într-un rând: $F$ e derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }=f$, deci ipoteza „$f>0$" înseamnă „$F^{\prime }>0$", iar concluzia e chiar consecința amintită.

⚠️ Concluzia se formulează pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale. Pentru $f(x)=-\frac{1}{x^2}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ avem $f<0$ peste tot, iar $F(x)=\frac{1}{x}$ este o primitivă; dar $F$ nu este descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, pentru că $F(-1)=-1<1=F(1)$. Este descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și, separat, pe $(0,+\infty )$.

În practică, primul lucru pe care îl faci este tabelul de semn al lui $f$, în formatul canonic. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ — funcția care va fi firul roșu al lecției:

Citim direct: orice primitivă $F$ a lui $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,1]$, strict descrescătoare pe $[1,3]$ și strict crescătoare pe $[3,+\infty )$.

3. Unde are primitiva puncte de extrem?

Punctele de extrem ale lui $F$ se caută printre zerourile lui $f$, dar nu orice zerou dă un extrem. Regula, dedusă din teorema lui Fermat și din criteriul de la clasa a XI-a pentru punctele de extrem local, este:

Fie $x_0$ un punct interior intervalului $I$. Dacă $x_0$ este punct de extrem local al lui $F$, atunci $f(x_0)=F^{\prime }(x_0)=0$. Reciproc, dacă $f(x_0)=0$ și $f$ își schimbă semnul în $x_0$, atunci $x_0$ este punct de extrem local al lui $F$: maxim dacă semnul trece de la $+$ la $-$, minim dacă trece de la $-$ la $+$.

Pe firul roșu: $f$ se anulează în $1$ și în $3$; în $1$ semnul trece de la $+$ la $-$, deci $1$ este punct de maxim local al lui $F$; în $3$ trece de la $-$ la $+$, deci $3$ este punct de minim local.

⚠️ Condiția $f(x_0)=0$ singură nu ajunge. Pentru $f(x)=x^2$, orice primitivă este $F(x)=\frac{x^3}{3}+\mathcal{C}$; avem $F^{\prime }(0)=f(0)=0$, dar $f$ păstrează semnul $+$ de ambele părți ale lui $0$, deci $F$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și $0$ nu e punct de extrem. Este exact capcana reciprocei teoremei lui Fermat, mutată de la $F^{\prime }$ la $f$.

Reține și distincția de redactare fixată la clasa a XI-a: punctul de extrem este $x_0$, valoarea extremă este $F(x_0)$. La Bacalaureat M1 se depunctează confuzia dintre ele.

4. Convexitatea lui $F$ și monotonia lui $f$

Dacă $f$ este derivabilă pe $I$, atunci $F$ este de două ori derivabilă și $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$. Criteriul de convexitate de la clasa a XI-a, din convexitatea și derivata a doua, se traduce imediat:

$F$ este convexă pe $I$ $⟺$ $f^{\prime }(x)\ge 0$ pe $I$ $⟺$ $f$ este crescătoare pe $I$. $F$ este concavă pe $I$ $⟺$ $f^{\prime }(x)\le 0$ pe $I$ $⟺$ $f$ este descrescătoare pe $I$.

Formulat în cuvinte: acolo unde funcția urcă, primitiva ei ține apa; acolo unde funcția coboară, primitiva varsă apa. Metafora e cea fixată la clasa a XI-a și rămâne aceeași: convexă = „ține apa" ($\cup$), concavă = „varsă apa" ($\cap$).

Consecința despre inflexiuni e la fel de scurtă: punctele de inflexiune ale lui $F$ sunt exact punctele în care $f$ își schimbă monotonia, adică punctele de extrem local ale lui $f$ (atunci când $f$ e derivabilă acolo). Vezi și punctele de inflexiune pentru precizări.

Pe firul roșu: $f^{\prime }(x)=2x-4$, negativă pe $(-\infty ,2)$ și pozitivă pe $(2,+\infty )$. Deci $F$ este concavă pe $(-\infty ,2]$, convexă pe $[2,+\infty )$, iar $2$ este punct de inflexiune al lui $F$ — și, într-adevăr, $2$ este punctul de minim al parabolei $f$.

5. Tabelul de traducere $f\to F$

Tot ce am obținut încape într-un singur tabel, pe care îl vom numi tabelul de traducere $f\to F$. Îl folosești în ambele sensuri: din stânga spre dreapta când ți se dă $f$, din dreapta spre stânga când ți se dă graficul lui $F$ și ți se cere ceva despre $f$.

Rândul al treilea merită o vorbă: dacă $f$ e nulă pe tot intervalul, atunci $F^{\prime }=0$ pe $I$, deci $F$ e constantă — tot Consecința 1 a teoremei lui Lagrange.

6. Cum construiești tabelul de variație al primitivei?

Pașii sunt cei din tabelul de variație complet, cu o singură deosebire: nu derivezi nimic, pentru că derivatele îți sunt date. Rândul $F^{\prime }$ este chiar $f$, iar rândul $F^{\prime \prime }$ este chiar $f^{\prime }$.

1. domeniul lui $F$ = intervalul $I$ pe care lucrezi;
2. rândul $F^{\prime }(x)=f(x)$: zerourile lui $f$ și semnul lui pe fiecare interval;
3. rândul $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)$: zerourile lui $f^{\prime }$ și semnul lui;
4. valorile lui $F$ în punctele marcate — pentru ele ai nevoie de o primitivă concretă, deci de o condiție suplimentară;
5. săgețile și simbolurile $\cup$ / $\cap$, marcajele $\text{M}$, $\text{m}$, $\text{I}$;
6. citirea tabelului, în două-trei propoziții.

Pentru firul roșu, alegem primitiva cu $F(0)=1$; de ce există exact una cu această proprietate și cum se determină constanta studiem sistematic în lecția următoare, despre primitiva care îndeplinește o condiție. Ea este $F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+1$, iar valorile cerute sunt $F(1)=\frac{7}{3}$, $F(2)=\frac{5}{3}$, $F(3)=1$. Mai știm $f(2)=-1$, $f^{\prime }(1)=-2$, $f^{\prime }(3)=2$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=-\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=+\infty$. Cu trei puncte interioare marcate avem $2\cdot 3+4=10$ coloane:

Citirea tabelului: $F$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,1]$ și pe $[3,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[1,3]$; are un maxim local $F(1)=\frac{7}{3}$ și un minim local $F(3)=1$. Este concavă pe $(-\infty ,2]$ și convexă pe $[2,+\infty )$, cu punct de inflexiune $\left(2,\frac{5}{3}\right)$. Cum $F$ e continuă și limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$, imaginea ei este $\mathbb{R}$.

7. Ce nu poți afla despre $F$ numai din $f$

Onestitatea metodei cere să spunem și limitele ei. Din $f$ nu poți afla:

• valoarea lui $F$ într-un punct — pentru asta îți trebuie o condiție de tipul $F(x_0)=y_0$;
• numărul de zerouri al lui $F$ — el se schimbă cu constanta: pentru $f(x)=2x$, primitiva $x^2-1$ are două zerouri, $x^2$ are unul, iar $x^2+1$ niciunul;
• semnul lui $F$ — din același motiv.

În schimb, forma graficului — urcă, coboară, ține apa, varsă apa, unde are colțuri sau inflexiuni — e complet determinată de $f$. Toate primitivele lui $f$ au grafice care se obțin unul din altul prin translație pe verticală: sunt „copii" ale aceleiași curbe, așezate la înălțimi diferite.

8. Cum arată cerința la Bacalaureat M1?

Formularea tipică din Subiectul al III-lea este: „Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\dots$, și $F$ primitiva lui $f$ cu $F(0)=\dots$. Arătați că $F$ este crescătoare pe … / are un punct de extrem în … / este convexă pe …". Rezolvarea are trei rânduri și aceeași structură de fiecare dată:

1. scrii egalitatea-cheie, $F^{\prime }(x)=f(x)$ (respectiv $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)$), și spui de ce: $F$ e primitivă a lui $f$;
2. studiezi semnul lui $f$ (respectiv al lui $f^{\prime }$) pe intervalul cerut;
3. invoci consecința teoremei lui Lagrange (respectiv criteriul de convexitate) și tragi concluzia.

Pasul 1 nu se sare niciodată: fără el, corectorul nu are de unde să știe că ai folosit ipoteza „$F$ este primitivă". Uneori cerința e și mai scurtă — „arătați că $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$" pentru o funcție $f$ evident pozitivă, cum e $f(x)=x^2+1$ sau $f(x)=e^x$. Atunci rezolvarea are literalmente două rânduri: $F^{\prime }(x)=f(x)>0$ pentru orice $x$ real, deci $F$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Monotonia și extremele, fără să calculezi primitiva

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-12$, și $F$ o primitivă a sa. Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale lui $F$.

Rezolvare. Cum $F$ e primitivă a lui $f$, avem $F^{\prime }(x)=f(x)=3(x-2)(x+2)$. Tabelul de semn:

Prin urmare $F$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-2]$, strict descrescătoare pe $[-2,2]$ și strict crescătoare pe $[2,+\infty )$. În $-2$ semnul trece de la $+$ la $-$, deci $-2$ e punct de maxim local; în $2$ trece de la $-$ la $+$, deci $2$ e punct de minim local.

Observă că nu am scris niciodată formula lui $F$. Dacă totuși o cerem, cu condiția $F(0)=5$ obținem $F(x)=x^3-12x+5$, cu valorile extreme $F(-2)=21$ și $F(2)=-11$ ✓ (verificare: $F^{\prime }(x)=3x^2-12=f(x)$).

Exemplul 2 — Un minim care dă o inegalitate

Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$, și $F$ primitiva sa cu $F(1)=0$. Arătați că $F(x)\ge 0$ pentru orice $x>0$.

Rezolvare. $F^{\prime }(x)=\ln x$, care e negativ pe $(0,1)$ și pozitiv pe $(1,+\infty )$. Deci $F$ e strict descrescătoare pe $(0,1]$ și strict crescătoare pe $[1,+\infty )$: punctul $1$ e punct de minim global al lui $F$ pe $(0,+\infty )$. Valoarea minimă este $F(1)=0$, deci $F(x)\ge F(1)=0$ pentru orice $x>0$.

În plus, $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}>0$ pe tot domeniul, deci $F$ e convexă pe $(0,+\infty )$ și nu are puncte de inflexiune. (Primitiva este $F(x)=x\ln x-x+1$, iar inegalitatea obținută, $x\ln x\ge x-1$, e una clasică.)

Exemplul 3 — Când se dă doar tabelul de semn

Funcția continuă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ are tabelul de semn de mai jos, iar $F$ este o primitivă a ei. Precizați monotonia și punctele de extrem ale lui $F$.

Rezolvare. Din $F^{\prime }=f$: $F$ e strict descrescătoare pe $(-\infty ,-3]$, strict crescătoare pe $[-3,4]$ (semnul e $+$ și pe $[-3,0]$, și pe $[0,4]$, iar $F$ e continuă în $0$, deci monotonia se lipește) și strict descrescătoare pe $[4,+\infty )$.

Punctele de extrem: în $-3$ semnul trece de la $-$ la $+$, deci $-3$ e punct de minim local; în $4$ trece de la $+$ la $-$, deci $4$ e punct de maxim local. În $0$ funcția $f$ se anulează fără să schimbe semnul, deci $0$ nu este punct de extrem al lui $F$ — este însă un punct în care tangenta la graficul lui $F$ e orizontală.

Exemplul 4 — Zeroul dublu: capcana clasică

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2$, și $F$ primitiva sa cu $F(0)=0$. Studiați monotonia, extremele și convexitatea lui $F$.

Rezolvare. Scriem $f(x)=x^2(x-3)$. Factorul $x^2$ e mereu $\ge 0$, deci semnul lui $f$ e dat de $x-3$: negativ pe $(-\infty ,3)$ (cu anulare în $0$) și pozitiv pe $(3,+\infty )$. Așadar $F$ e strict descrescătoare pe $(-\infty ,3]$ și strict crescătoare pe $[3,+\infty )$; singurul punct de extrem este $3$, punct de minim. În $0$, deși $f(0)=0$, semnul nu se schimbă, deci nu avem extrem.

Convexitatea: $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, pozitivă pe $(-\infty ,0)$ și pe $(2,+\infty )$, negativă pe $(0,2)$. Deci $F$ e convexă pe $(-\infty ,0]$ și pe $[2,+\infty )$, concavă pe $[0,2]$, cu două puncte de inflexiune: $0$ și $2$.

Primitiva cerută este $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3$, cu $F(3)=-\frac{27}{4}$, $F(0)=0$ și $F(2)=-4$. Deci $0$ este punct de inflexiune și punct în care tangenta e orizontală — o combinație perfect posibilă.

Exemplul 5 — Primitivă fără extreme, dar cu inflexiune

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$, și $F$ o primitivă a sa. Arătați că $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și determinați intervalele ei de convexitate.

Rezolvare. $F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{1}{x^2+1}>0$ pentru orice $x$ real, deci $F$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și nu are puncte de extrem.

Pentru convexitate calculăm $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=-\frac{2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$. Numitorul e strict pozitiv, deci semnul lui $F^{\prime \prime }$ e semnul lui $-2x$: pozitiv pe $(-\infty ,0)$, negativ pe $(0,+\infty )$. Prin urmare $F$ e convexă pe $(-\infty ,0]$, concavă pe $[0,+\infty )$, iar $0$ e punct de inflexiune.

Aici $F^{\prime \prime }(0)=0$ fără ca $0$ să fie punct de extrem al lui $F$ — semn că cele două derivate răspund la întrebări diferite. Din primitive cu arctangentă, arcsinus și logaritm știi că $F(x)=\mathrm{arctg}x+\mathcal{C}$, ceea ce confirmă forma descrisă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-6x-9$, și $F$ primitiva lui $f$ pentru care $F(0)=4$. a) Arătați că $F(x)=x^3-3x^2-9x+4$, pentru orice număr real $x$. b) Arătați că $F$ are un punct de maxim local în $x=-1$ și un punct de minim local în $x=3$. c) Determinați intervalele de convexitate și de concavitate ale funcției $F$.

Rezolvare. a) Funcția $G(x)=x^3-3x^2-9x+4$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$ și $G^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=f(x)$, deci $G$ e o primitivă a lui $f$; cum $G(0)=4$, ea este exact primitiva cerută, adică $F=G$.

b) $F^{\prime }(x)=f(x)=3\left(x^2-2x-3\right)=3(x+1)(x-3)$. Semnul lui $F^{\prime }$ este $+$ pe $(-\infty ,-1)$, $-$ pe $(-1,3)$, $+$ pe $(3,+\infty )$. În $-1$ derivata se anulează și trece de la $+$ la $-$, deci $-1$ e punct de maxim local, cu $F(-1)=9$; în $3$ trece de la $-$ la $+$, deci $3$ e punct de minim local, cu $F(3)=-23$.

c) $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=6x-6=6(x-1)$, negativă pe $(-\infty ,1)$ și pozitivă pe $(1,+\infty )$. Prin urmare $F$ e concavă pe $(-\infty ,1]$ și convexă pe $[1,+\infty )$, cu punct de inflexiune $(1,-7)$.

Tabelul de variație complet, cu $2\cdot 3+4=10$ coloane:

Citirea tabelului: $F$ urcă până la $9$, coboară până la $-23$ și apoi urcă nemărginit; își schimbă convexitatea o singură dată, în $x=1$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi egalitatea pe care o folosești ($F^{\prime }=f$ sau $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$) și abia apoi concluzia.

1. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$, și $F$ o primitivă a sa. Arată că $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-6$, și $F$ o primitivă a sa. Determină intervalele de monotonie și punctul de extrem ale lui $F$.

3. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+1)e^x$, și $F$ o primitivă a sa. Arată că $-1$ este punct de minim local al lui $F$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f(x_0)=0$, atunci orice primitivă a lui $f$ are un punct de extrem în $x_0$."

5. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4-x^2$, și $F$ o primitivă. Precizează intervalele de convexitate și de concavitate ale lui $F$.

6. Graficul unei primitive $F$ a funcției continue $f$ este strict crescător pe $[0,3]$ și are un punct de inflexiune în $x=1$. Ce poți spune despre $f$ pe intervalul $[0,3]$?

7. Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=1-\frac{1}{x^2}$, și $F$ o primitivă. Determină punctul de extrem al lui $F$ și natura lui.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Două primitive ale aceleiași funcții pe un interval au aceleași intervale de monotonie."

9. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\cos x$, și $F$ o primitivă. Determină punctele de extrem ale lui $F$ din intervalul $(0,2\pi )$ și natura fiecăruia.

10. Se dă tabelul de semn al unei funcții continue $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$: negativă pe $(-\infty ,-1)$, nulă în $-1$, pozitivă pe $(-1,2)$, nulă în $2$, negativă pe $(2,+\infty )$. Construiește tabelul de monotonie al unei primitive $F$ și precizează extremele.

11. (Problemă aplicată.) Viteza unui mobil care se deplasează pe o dreaptă este $v(t)=t^2-5t+6$ (metri pe secundă), pentru $t\in [0,5]$. Poziția $x(t)$ este o primitivă a vitezei. În ce momente își schimbă mobilul sensul de mers și pe ce intervale de timp înaintează?

12. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, și $F$ o primitivă. Arată că $F$ are un punct de minim în $0$ și determină intervalele de convexitate ale lui $F$.

13. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ derivabilă, strict crescătoare, cu $f(2)=0$. Ce poți spune despre punctul $2$ pentru o primitivă $F$ a lui $f$? Dar despre convexitatea lui $F$?

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $F$ este convexă pe intervalul $I$, atunci $f=F^{\prime }$ este pozitivă pe $I$."

15. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3$, și $F$ primitiva cu $F(0)=1$. Calculează valoarea maximului local și a minimului local ale lui $F$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-6x$, și $F$ primitiva lui $f$ cu $F(0)=2$. a) Arătați că $F(x)=x^3-3x^2+2$. b) Determinați punctele de extrem ale lui $F$ și valorile extreme. c) Arătați că $F$ este convexă pe $[1,+\infty )$.

17. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{-x^2}$, și $F$ o primitivă. Arată că $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și că $0$ este punct de inflexiune al lui $F$.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continuă, cu $f(x)>0$ pentru orice $x$ real, și $F$ o primitivă a sa. Arată că ecuația $F(x)=0$ are cel mult o soluție. Poate să nu aibă niciuna? Dă un exemplu.

Răspunsuri și explicații

1. $F^{\prime }(x)=f(x)=x^2+1>0$ pentru orice $x$ real (suma dintre un pătrat și $1$), deci, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, $F$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

2. $F^{\prime }(x)=2x-6$, negativă pe $(-\infty ,3)$ și pozitivă pe $(3,+\infty )$. Deci $F$ e strict descrescătoare pe $(-\infty ,3]$, strict crescătoare pe $[3,+\infty )$, iar $3$ e punct de minim local (semnul trece de la $-$ la $+$).

3. $F^{\prime }(x)=(x+1)e^x$; cum $e^x>0$, semnul lui $F^{\prime }$ e semnul lui $x+1$: negativ pe $(-\infty ,-1)$, pozitiv pe $(-1,+\infty )$. Semnul trece de la $-$ la $+$ în $-1$, deci $-1$ e punct de minim local. (Primitiva este $F(x)=x{e}^x+\mathcal{C}$.)

4. Fals. E nevoie și de schimbarea de semn. Contraexemplu: $f(x)=x^2$ are $f(0)=0$, dar $f>0$ de ambele părți, deci $F(x)=\frac{x^3}{3}+\mathcal{C}$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și nu are extreme.

5. $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=-2x$, pozitivă pe $(-\infty ,0)$ și negativă pe $(0,+\infty )$. Deci $F$ e convexă pe $(-\infty ,0]$, concavă pe $[0,+\infty )$, cu punct de inflexiune în $0$.

6. Din $F^{\prime }=f$ și din faptul că $F$ e strict crescătoare pe $[0,3]$ rezultă $f(x)\ge 0$ pe $[0,3]$. Din inflexiunea în $x=1$ rezultă că $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$ își schimbă semnul în $1$, adică $f$ are un punct de extrem local în $x=1$: $f$ e monotonă de o parte și de cealaltă, cu monotonii diferite.

7. $F^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$; pe $(0,+\infty )$ semnul e dat de $x^2-1$: negativ pe $(0,1)$, pozitiv pe $(1,+\infty )$. Deci $1$ e punct de minim local (și global pe $(0,+\infty )$). Primitiva este $F(x)=x+\frac{1}{x}+\mathcal{C}$, cu minimul $2+\mathcal{C}$.

8. Adevărat. Pe un interval, două primitive diferă printr-o constantă: $F_2=F_1+c$. Atunci $F_2^{\prime }=F_1^{\prime }=f$, deci ambele au același tabel de semn al derivatei, deci aceleași intervale de monotonie (și aceleași puncte de extrem, și aceeași convexitate).

9. $F^{\prime }(x)=\cos x$, care pe $(0,2\pi )$ e pozitivă pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, negativă pe $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$, pozitivă pe $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. Deci $\frac{\pi }{2}$ e punct de maxim local, iar $\frac{3\pi }{2}$ e punct de minim local. (Primitiva este $F(x)=\sin x+\mathcal{C}$ — se vede pe grafic.)

10. Tabelul de monotonie al lui $F$:

$F$ e strict descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$, strict crescătoare pe $[-1,2]$, strict descrescătoare pe $[2,+\infty )$; $-1$ e punct de minim local, $2$ e punct de maxim local.

11. $x^{\prime }(t)=v(t)=(t-2)(t-3)$. Pe $[0,2)$ viteza e pozitivă, pe $(2,3)$ negativă, pe $(3,5]$ pozitivă. Mobilul înaintează pe $[0,2]$ și pe $[3,5]$ și se întoarce pe $[2,3]$; își schimbă sensul în momentele $t=2$ s și $t=3$ s, care sunt punct de maxim local, respectiv de minim local ale poziției.

12. $F^{\prime }(x)=x^3$, negativ pe $(-\infty ,0)$ și pozitiv pe $(0,+\infty )$: semnul trece de la $-$ la $+$, deci $0$ e punct de minim. Pentru convexitate, $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$ pe $\mathbb{R}$, deci $F$ e convexă pe tot $\mathbb{R}$; $0$ nu e punct de inflexiune, pentru că $F^{\prime \prime }$ nu schimbă semnul. (Primitiva este $F(x)=\frac{x^4}{4}+\mathcal{C}$.)

13. $f$ strict crescătoare cu $f(2)=0$ înseamnă $f<0$ pe $(-\infty ,2)$ și $f>0$ pe $(2,+\infty )$. Deci $F^{\prime }=f$ schimbă semnul din $-$ în $+$ în punctul $2$: acesta e punct de minim al lui $F$ (chiar global). Cum $f$ e crescătoare pe $\mathbb{R}$, $F^{\prime \prime }=f^{\prime }\ge 0$, deci $F$ e convexă pe $\mathbb{R}$.

14. Fals. Convexitatea lui $F$ înseamnă $F^{\prime \prime }\ge 0$, adică $f$ crescătoare, nu $f$ pozitivă. Contraexemplu: $f(x)=x$ e crescătoare (deci $F(x)=\frac{x^2}{2}+\mathcal{C}$ e convexă pe $\mathbb{R}$), dar $f$ e negativă pe $(-\infty ,0)$.

15. Primitiva este $F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+1$. Punctele de extrem sunt $1$ (maxim) și $3$ (minim), cu $F(1)=\frac{1}{3}-2+3+1=\frac{7}{3}$ și $F(3)=9-18+9+1=1$.

16. a) ${\left(x^3-3x^2+2\right)}^{\prime }=3x^2-6x=f(x)$ și valoarea în $0$ este $2$, deci funcția dată e chiar primitiva cerută. b) $F^{\prime }(x)=3x(x-2)$: $+$ pe $(-\infty ,0)$, $-$ pe $(0,2)$, $+$ pe $(2,+\infty )$. Deci $0$ e punct de maxim local, cu $F(0)=2$, și $2$ e punct de minim local, cu $F(2)=8-12+2=-2$. c) $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=6x-6\ge 0$ pentru $x\ge 1$, deci $F$ e convexă pe $[1,+\infty )$.

17. $F^{\prime }(x)=e^{-x^2}>0$ pentru orice $x$ real (exponențiala e strict pozitivă), deci $F$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Apoi $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=-2x{e}^{-x^2}$, care are semnul lui $-2x$: pozitiv pe $(-\infty ,0)$, negativ pe $(0,+\infty )$. Cum $F^{\prime \prime }$ schimbă semnul în $0$ și $F$ e derivabilă acolo, $0$ e punct de inflexiune.

18. $F^{\prime }=f>0$ pe $\mathbb{R}$, deci $F$ e strict crescătoare, deci injectivă: ecuația $F(x)=0$ are cel mult o soluție. Poate să nu aibă niciuna: pentru $f(x)=e^x$, primitiva $F(x)=e^x$ e strict pozitivă și nu se anulează. (Dacă în plus $\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=+\infty$, atunci soluția există și e unică — prin teorema lui Bolzano, aplicată funcției continue $F$.)

De reținut

• Egalitatea $F^{\prime }=f$ traduce orice întrebare despre primitivă într-o întrebare despre funcția dată, iar $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$ o traduce pe cea despre convexitate.
• Semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$: unde $f>0$ primitiva urcă, unde $f<0$ primitiva coboară — și concluzia se scrie întotdeauna pe un interval.
• Un zerou al lui $f$ dă punct de extrem al lui $F$ numai dacă $f$ își schimbă semnul acolo: din $+$ în $-$ maxim, din $-$ în $+$ minim.
• $F$ este convexă exact pe intervalele pe care $f$ este crescătoare, iar punctele de inflexiune ale lui $F$ sunt punctele de extrem ale lui $f$.
• Toate primitivele unei funcții au aceeași formă a graficului: constanta le translatează pe verticală, fără să schimbe monotonia, extremele sau convexitatea.

Greșeli frecvente

• Confuzia „$f$ crescătoare $\Rightarrow$ $F$ crescătoare". Monotonia lui $F$ vine din semnul lui $f$, nu din monotonia lui $f$; monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$. Verifică mereu care dintre cele două informații ți se dă.
• Extrem declarat doar pentru că $f(x_0)=0$. Fără schimbare de semn nu există extrem: $f(x)=x^2$ în $0$ e contraexemplul de reținut.
• Monotonia enunțată pe o reuniune de intervale. Pentru $f(x)=-\frac{1}{x^2}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, primitiva $F(x)=\frac{1}{x}$ e descrescătoare pe fiecare dintre cele două intervale, dar nu pe reuniunea lor.
• Uitarea primului rând al rezolvării. Dacă nu scrii explicit „$F$ e primitivă a lui $f$, deci $F^{\prime }(x)=f(x)$", rezolvarea pare să folosească o ipoteză nejustificată și se depunctează la Bacalaureat M1.
• Afirmații despre semnul sau despre zerourile lui $F$. Ele depind de constantă și nu se pot deduce doar din $f$; ai nevoie de o condiție suplimentară, de tipul $F(x_0)=y_0$.

Aplică acasă

1. Cele două grafice suprapuse. Desenează pe aceeași foaie, una sub alta, parabola $f(x)=x^2-4x+3$ și o primitivă a ei. Trage linii verticale prin $x=1$, $x=2$, $x=3$ și verifică: unde $f$ taie axa, primitiva are vârf; unde $f$ are vârf, primitiva are inflexiune.

2. Fișa de traducere. Copiază pe o foaie tabelul de traducere $f\to F$ din secțiunea 5 și ține-o la vedere o săptămână. După zece exerciții vei citi monotonia primitivei direct din tabelul de semn, fără să te uiți la fișă.

3. Sensul invers. Ia graficul unei funcții simple, de exemplu $G(x)=x^3-3x$, tratează-l ca pe graficul unei primitive și deduce cum arată funcția $g=G^{\prime }$: unde e pozitivă, unde se anulează, unde își schimbă monotonia. Apoi verifică prin derivare.

Pentru părinți și profesori

Lecția nu introduce nicio noțiune nouă de analiză: reia instrumentele de la clasa a XI-a (consecințele teoremei lui Lagrange, teorema lui Fermat, criteriul de convexitate cu derivata a doua) și le aplică unei funcții despre care se știe doar că are derivata egală cu o funcție dată. Programa cere explicit, la competența XII.CS.6.5, „stabilirea unor proprietăți ale primitivelor unei funcții (monotonie, existența unor puncte de extrem, convexitate, concavitate)".

Dificultatea reală nu e matematică, ci de citire: elevul trebuie să distingă între ce spune semnul lui $f$ (monotonia lui $F$) și ce spune monotonia lui $f$ (convexitatea lui $F$). Aproape toate greșelile de la teste vin din amestecarea celor două.

De verificat în caiet: (1) fiecare rezolvare începe cu $F^{\prime }(x)=f(x)$, scris explicit; (2) la extreme apare schimbarea de semn, nu doar anularea; (3) monotonia e enunțată pe intervale, nu pe reuniuni; (4) punctul de extrem ($x_0$) nu e confundat cu valoarea extremă ($F(x_0)$). Întrebări de control: „Ce derivată îți dă monotonia lui $F$?"; „De ce nu ajunge $f(x_0)=0$?"; „Ce înseamnă că $f$ e crescătoare, în limbajul lui $F$?".

La BAC M1, tema apare aproape exclusiv în Subiectul al III-lea, ca prim sau al doilea subpunct al problemei de analiză, adesea urmată de o cerință de calcul efectiv al primitivei. Semn că elevul a înțeles: primește o funcție $f$ și schițează forma graficului unei primitive fără să facă niciun calcul de integrare.

Întrebări frecvente

Cum arăt că o primitivă este crescătoare? Scrii că $F$ este primitivă a lui $f$, deci $F^{\prime }(x)=f(x)$, apoi studiezi semnul lui $f$ pe intervalul cerut. Dacă $f(x)>0$ pe acel interval, Consecința 2 a teoremei lui Lagrange dă imediat că $F$ este strict crescătoare acolo. Rezolvarea completă are trei rânduri și nu cere calculul efectiv al primitivei.

Ce este $F^{\prime \prime }$ când $F$ este o primitivă a lui $f$? Este derivata funcției date: $F^{\prime \prime }={\left(F^{\prime }\right)}^{\prime }=f^{\prime }$. Egalitatea are sens atunci când $f$ este ea însăși derivabilă pe intervalul de lucru. Pe ea se sprijină tot studiul convexității primitivei: $F$ este convexă exact acolo unde $f^{\prime }$ este pozitivă, adică exact acolo unde $f$ este crescătoare.

Când are o primitivă punct de extrem? Într-un punct interior $x_0$ în care funcția $f$ se anulează și își schimbă semnul. Dacă semnul trece de la plus la minus, $x_0$ este punct de maxim local; dacă trece de la minus la plus, este punct de minim local. Anularea singură nu ajunge — exemplul $f(x)=x^2$ în $x_0=0$ arată de ce.

De ce toate primitivele au aceleași puncte de extrem? Pentru că pe un interval ele diferă printr-o constantă, iar adunarea unei constante mută graficul în sus sau în jos fără să-l deformeze. Derivata rămâne aceeași, deci tabelul de semn al derivatei, monotonia, extremele, convexitatea și inflexiunile sunt identice. Se schimbă doar valorile funcției, nu forma graficului.

Care este legătura dintre punctele de inflexiune ale lui $F$ și extremele lui $f$? Punctele de inflexiune ale primitivei sunt punctele în care $f$ își schimbă monotonia, adică punctele de extrem local ale lui $f$, atunci când $f$ este derivabilă acolo. Explicația e imediată: inflexiunea cere ca $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$ să își schimbe semnul, iar $f^{\prime }$ își schimbă semnul exact în punctele de extrem ale lui $f$.

Ce nu pot afla despre primitivă doar din funcția dată? Valoarea primitivei într-un punct, semnul ei și numărul soluțiilor ecuației $F(x)=0$. Toate trei depind de constantă. Ca să le determini, ai nevoie de o condiție suplimentară, de tipul $F(x_0)=y_0$ sau „graficul trece prin punctul $A$" — subiectul lecției următoare din unitate.

Cum apare tema la Bacalaureat M1? Cel mai des în Subiectul al III-lea, ca subpunct de forma „arătați că $F$ este crescătoare pe intervalul dat", „arătați că $F$ are un punct de extrem" sau „studiați convexitatea lui $F$". Punctele se pierd când elevul nu scrie egalitatea $F^{\prime }=f$ sau când confundă semnul lui $f$ cu monotonia lui $f$.