Punct de acumulare și punct izolat: pe scurt

Un punct $x_0\in \overline{\mathbb{R}}$ este punct de acumulare al mulțimii $D$ dacă orice vecinătate a lui conține cel puțin un punct din $D$ diferit de $x_0$. Mulțimea tuturor acestor puncte se notează $D^{\prime }$. Forma folosită în rezolvări este caracterizarea cu șiruri: $x_0\in D^{\prime }$ exact atunci când există un șir $(x_n)$ cu termeni în $D$, toți diferiți de $x_0$, cu $x_n\to x_0$.

Un punct $x_0\in D$ care nu este de acumulare se numește punct izolat. Cuvântul „izolat” se spune numai despre puncte ale mulțimii: un punct din afara lui $D$ care nu e de acumulare nu primește niciun nume.

Tiparele care se repetă la exerciții: la un interval, capetele sunt întotdeauna puncte de acumulare, incluse sau nu; o mulțime finită nu are niciun punct de acumulare; $+\infty \in D^{\prime }$ exact când $D$ este nemărginită superior, iar $-\infty \in D^{\prime }$ exact când este nemărginită inferior. Pentru $D=\left\{\frac{1}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$ avem $D^{\prime }=\{0\}$, deși $0\notin D$, iar toate punctele lui $D$ sunt izolate.

Un punct poate fi de acumulare la stânga, la dreapta sau bilateral. Totul servește o singură regulă: limita unei funcții se definește numai în puncte de acumulare ale domeniului.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră mulțimea $D=(-3,1]\cup \{4\}$. Mulțimea $D^{\prime }$ a punctelor de acumulare ale lui $D$ este:

   • a) $(-3,1]$
   • b) $[-3,1]\cup \{4\}$
   • c) $[-3,1]$
   • d) $(-3,1)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $[-3,1]$

   Un interval contribuie cu el însuși împreună cu capetele, incluse sau nu, deci $(-3,1]$ dă $[-3,1]$. Punctul $4$ este izolat (vecinătatea $(3,5;4,5)$ nu conține alt punct al mulțimii), deci nu intră în $D^{\prime }$. Așadar $D^{\prime }=[-3,1]$.

2. Pentru mulțimea $D=\{2,5,9\}$ este adevărat că:

   • a) $D^{\prime }=\varnothing$, iar toate punctele lui $D$ sunt izolate
   • b) $D^{\prime }=D$, iar $D$ nu are puncte izolate
   • c) $D^{\prime }=\{+\infty \}$
   • d) $D^{\prime }=\overline{\mathbb{R}}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $D^{\prime }=\varnothing$, iar toate punctele lui $D$ sunt izolate

   O mulțime finită nu are niciun punct de acumulare: fiecare element are o distanță minimă strict pozitivă până la celelalte, iar o vecinătate mai mică decât această distanță îl izolează. Deci $D^{\prime }=\varnothing$ și toate cele trei puncte sunt izolate. Varianta c) ar cere ca $D$ să fie nemărginită superior.

3. Fie $f(x)=\frac{x+3}{x^2-9}$, cu domeniul maxim de definiție $D$. Atunci:

   • a) $D^{\prime }=D$
   • b) $D^{\prime }=\mathbb{R}$
   • c) $D^{\prime }=\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$
   • d) $D^{\prime }=\overline{\mathbb{R}}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $D^{\prime }=\overline{\mathbb{R}}$

   Numitorul se anulează pentru $x^2=9$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$. Punctele scoase rămân puncte de acumulare: $\pm 3\pm \frac{1}{n}$ sunt în $D$ și tind la $\pm 3$. Mulțimea fiind nemărginită în ambele sensuri, se adaugă și $-\infty$, $+\infty$, deci $D^{\prime }=\overline{\mathbb{R}}$ — la această funcție se poate cere limita oriunde.