Punct de acumulare și punct izolat

Un termometru înregistrează temperatura din depozit la fiecare oră, dar în ziua de inventar au fost făcute și trei măsurători suplimentare, la câteva secunde una de alta. Dacă te uiți la mulțimea momentelor în care există date, vezi două feluri de puncte foarte diferite: cele trei măsurători dese sunt înghesuite, au vecine oricât de apropiate, iar în jurul lor se poate vorbi despre „cum evoluează temperatura". Măsurătorile din orar sunt, dimpotrivă, singuratice: fiecare stă la o oră distanță de următoarea, așa că nu ai cum să întrebi ce se întâmplă „chiar lângă" una dintre ele — pur și simplu nu există nimic acolo.

Aceasta este, în esență, distincția pe care o fixăm în lecția de față. Toată unitatea care începe acum se învârte în jurul întrebării „ce fac valorile funcției când argumentul se apropie de un punct?" — iar întrebarea nu are sens în orice punct. Ca să te poți apropia de un punct rămânând în domeniul funcției, ai nevoie ca acolo să existe puncte ale domeniului oricât de aproape. Punctele cu această proprietate se numesc puncte de acumulare; celelalte, izolate. Lecția le definește, îți dă un criteriu practic de recunoaștere cu ajutorul șirurilor și le pune la lucru pe mulțimile care apar efectiv la Bacalaureat M1: intervale, reuniuni de intervale, domenii de funcții raționale.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești punctul de acumulare al unei mulțimi cu ajutorul vecinătăților și să verifici definiția pe mulțimi concrete.
• Vei ști să folosești caracterizarea cu șiruri: un punct este de acumulare exact atunci când există un șir de puncte ale mulțimii, toate diferite de el, care tinde către el.
• Vei ști să recunoști punctele izolate și să explici de ce ele nu sunt puncte de acumulare.
• Vei ști să determini mulțimea punctelor de acumulare $D^{\prime }$ pentru intervale, reuniuni de intervale, mulțimi finite și mulțimi de tipul $\left\{\frac{1}{n}\right\}$.
• Vei ști când $+\infty$ și $-\infty$ sunt puncte de acumulare ale unei mulțimi și de ce ai nevoie de acest lucru.
• Vei ști să explici de ce limita unei funcții se definește numai în punctele de acumulare ale domeniului.

Hai să descoperim împreună

1. O întrebare care uneori nu are sens

Fie $f:[0,1]\cup \{5\}\to \mathbb{R}$ o funcție oarecare. Are sens întrebarea „către ce valoare se îndreaptă $f(x)$ atunci când $x$ se apropie de $0,5$"? Da: în domeniu există puncte oricât de aproape de $0,5$, de o parte și de alta, deci putem urmări valorile funcției pe măsură ce ne apropiem.

Are sens aceeași întrebare în punctul $5$? Nu. Cel mai apropiat punct al domeniului, diferit de $5$, este $1$ — la distanța $4$. Nu există nicio apropiere de făcut: dacă vrei să te apropii de $5$ rămânând în domeniu, singura variantă e să stai pe loc, în $5$. Întrebarea „ce se întâmplă în jurul lui $5$, fără să fii în $5$" nu are niciun răspuns, pentru că nu are niciun conținut.

Distincția aceasta nu este un capriciu teoretic: ea decide unde are voie profesorul să-ți ceară o limită și unde ai voie tu să scrii una. Ca să o formulăm corect, avem nevoie de unealta potrivită pentru „oricât de aproape", iar ea a fost construită deja.

2. Definiția

Reamintim, din lecția Marginile unei mulțimi. Dreapta reală încheiată și vecinătăți, că o mulțime $V\subseteq \mathbb{R}$ este vecinătate a punctului $x_0\in \mathbb{R}$ dacă există un interval deschis $(a,b)$ cu $x_0\in (a,b)\subseteq V$, iar vecinătatea canonică este $V=(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$, cu $\epsilon >0$. Lucrăm, ca și la șiruri, pe dreapta reală încheiată $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$, unde vecinătățile lui $+\infty$ sunt mulțimile care conțin un interval $(a,+\infty ]$, iar ale lui $-\infty$, cele care conțin un interval $[-\infty ,a)$.

Definiție. Fie $D\subseteq \mathbb{R}$ o mulțime nevidă și $x_0\in \overline{\mathbb{R}}$. Spunem că $x_0$ este punct de acumulare al mulțimii $D$ dacă orice vecinătate $V$ a lui $x_0$ conține cel puțin un punct din $D$ diferit de $x_0$, adică $$V\cap (D\setminus \{x_0\})\ne \varnothing \text{pentru orice vecina˘tate }V\text{ a lui }{x}_0.$$ Mulțimea tuturor punctelor de acumulare ale lui $D$ se notează $D^{\prime }$ și se numește mulțimea derivată a lui $D$.

Trei observații care se cer citite acum, nu mai târziu:

1. Cuvântul „orice" este esențial. Nu e destul ca o vecinătate să conțină puncte din $D$; trebuie toate, oricât de strâmte. Pentru vecinătățile canonice, cerința se scrie: pentru orice $\epsilon >0$ există $x\in D$ cu $0<|x-x_0|<\epsilon$. Inegalitatea din stânga, $0<|x-x_0|$, este exact traducerea lui „diferit de $x_0$".
2. Punctul de acumulare nu trebuie să aparțină mulțimii. Vom vedea imediat exemple în care $x_0\notin D$ și totuși $x_0\in D^{\prime }$ — și tocmai acestea sunt cazurile interesante pentru limite.
3. Un punct de acumulare are, automat, o infinitate de puncte ale mulțimii în jurul lui. Dacă în vecinătatea $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$ ar exista doar un număr finit de puncte din $D$ diferite de $x_0$, ai putea alege ${\epsilon }^{\prime }$ mai mic decât cea mai mică dintre distanțele lor la $x_0$, iar noua vecinătate nu ar mai conține niciunul — contradicție. Reține concluzia: o mulțime finită nu are niciun punct de acumulare.

3. Caracterizarea cu șiruri — unealta de lucru

Definiția cu vecinătăți este cea corectă, dar în rezolvări se folosește aproape întotdeauna forma echivalentă de mai jos, care traduce „oricât de aproape" în limbajul deja cunoscut al șirurilor.

Teoremă (caracterizarea cu șiruri). Fie $D\subseteq \mathbb{R}$ și $x_0\in \overline{\mathbb{R}}$. Atunci $x_0\in D^{\prime }$ dacă și numai dacă există un șir $(x_n)$ de elemente din $D$, cu $x_n\ne x_0$ pentru orice $n$, astfel încât $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x_0$.

Demonstrație. „$\Rightarrow$" Presupunem $x_0\in D^{\prime }$ și îl luăm mai întâi finit. Pentru fiecare $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ aplicăm definiția cu $\epsilon =\frac{1}{n}$: există $x_n\in D$, $x_n\ne x_0$, cu $|x_n-x_0|<\frac{1}{n}$. Șirul astfel construit are toți termenii în $D\setminus \{x_0\}$, iar din $|x_n-x_0|<\frac{1}{n}$ obținem $x_n\to x_0$. Dacă $x_0=+\infty$, folosim vecinătățile $(n,+\infty ]$ și alegem $x_n\in D$ cu $x_n>n$; atunci $x_n\to +\infty$. Analog pentru $-\infty$.

„$\Leftarrow$" Dacă există un asemenea șir și $V$ este o vecinătate oarecare a lui $x_0$, atunci din definiția limitei unui șir, dată în lecția Limita unui șir: de la intuiție la definiția cu vecinătăți, există un rang $N$ cu $x_n\in V$ pentru orice $n\ge N$. Termenul $x_N$ este atunci un element al lui $V\cap (D\setminus \{x_0\})$, deci intersecția nu e vidă. $■$

Verificare pe un caz concret. Fie $D=\left\{\frac{1}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$ și $x_0=0$. Șirul $x_n=\frac{1}{n}$ are toți termenii în $D$, niciunul egal cu $0$, și tinde la $0$. Deci $0\in D^{\prime }$, deși $0\notin D$. Aceeași concluzie, direct din definiție: pentru $\epsilon =10^{-k}$ alegem $n=10^k+1$ și obținem $0<\frac{1}{n}<\epsilon$.

4. Puncte izolate

Definiție. Fie $x_0\in D$. Dacă $x_0$ nu este punct de acumulare al lui $D$, spunem că $x_0$ este punct izolat al mulțimii $D$.

Negând definiția: $x_0\in D$ este izolat dacă există o vecinătate a lui $x_0$ în care $x_0$ este singurul punct al mulțimii, adică există $\epsilon >0$ cu $$(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )\cap D=\{x_0\}.$$

Atenție la un detaliu de logică pe care baremele îl urmăresc: „izolat" se spune numai despre puncte care aparțin mulțimii. Un punct care nu e în $D$ și nici nu e de acumulare pentru $D$ nu primește niciun nume — el este pur și simplu un punct fără legătură cu $D$. Astfel, orice punct al mulțimii $D$ este exact una dintre două: de acumulare sau izolat; iar un punct din afara lui $D$ este ori de acumulare, ori nimic.

Exemplu detaliat. În mulțimea $D=\left\{\frac{1}{n}\right\}$ de mai sus, fiecare element $\frac{1}{n}$ este punct izolat. Într-adevăr, cel mai apropiat vecin al lui $\frac{1}{n}$ este $\frac{1}{n+1}$, la distanța $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$; luând $\epsilon =\frac{1}{2n(n+1)}$ obținem o vecinătate care nu mai conține niciun alt punct al mulțimii. Așadar $D$ are toate punctele izolate, iar singurul ei punct de acumulare, $0$, nu îi aparține: $D^{\prime }=\{0\}$.

5. Galeria de mulțimi

Tabelul de mai jos conține mulțimile care apar efectiv în exerciții. Merită parcurs rând cu rând, verificând definiția de fiecare dată.

Câteva justificări, pentru rândurile care surprind:

• La $(0,2)$, capătul $0$ este punct de acumulare deși nu aparține mulțimii: orice interval $(-\epsilon ,\epsilon )$ conține, de pildă, punctul $\min \left\{\frac{\epsilon }{2},1\right\}$, care e în $(0,2)$ și diferit de $0$. La fel și $2$. Prin urmare la un interval, capetele sunt întotdeauna puncte de acumulare, indiferent dacă sunt sau nu incluse.
• La $\mathbb{Q}$ intervine densitatea mulțimii numerelor raționale în $\mathbb{R}$, discutată în lecția Mulțimea numerelor reale. Mulțimi mărginite și nemărginite: în orice interval, oricât de mic, se află o infinitate de numere raționale. Deci orice număr real, rațional sau nu, este punct de acumulare pentru $\mathbb{Q}$.
• La $\mathbb{R}\setminus \{2\}$, punctul $2$ este de acumulare, deși a fost scos din mulțime — de aceea vom putea, în lecția următoare, să vorbim despre limita funcției $f(x)=\frac{1}{x-2}$ tocmai în $2$.

6. Punctele de acumulare $+\infty$ și $-\infty$

Am inclus în definiție și cazul $x_0=\pm \infty$, pentru că avem nevoie de el imediat, la limitele „la capătul axei". Aici criteriul se simplifică foarte mult.

Propoziție. $+\infty$ este punct de acumulare al mulțimii $D$ dacă și numai dacă $D$ este nemărginită superior. Analog, $-\infty \in D^{\prime }$ dacă și numai dacă $D$ este nemărginită inferior.

Demonstrație. O vecinătate a lui $+\infty$ conține un interval $(a,+\infty ]$. Condiția „orice vecinătate conține un punct din $D$ diferit de $+\infty$" înseamnă deci: pentru orice $a\in \mathbb{R}$ există $x\in D$ cu $x>a$ — adică exact definiția mulțimii nemărginite superior, din lecția Mulțimea numerelor reale. Mulțimi mărginite și nemărginite. Precizarea „diferit de $x_0$" se verifică automat, pentru că $+\infty \notin D$: elementele lui $D$ sunt numere reale. $■$

Prin urmare $+\infty \in {\mathbb{N}}^{\prime }$, $+\infty \in {\mathbb{R}}^{\prime }$, dar $+\infty \notin (0,2{)}^{\prime }$, pentru că intervalul $(0,2)$ este mărginit. Reține regula practică: la capetele nemărginite ale domeniului se poate cere o limită; la capetele finite, tot, pentru că ele sunt puncte de acumulare.

7. Acumulare la stânga și acumulare la dreapta

Uneori un punct este „atins" din ambele părți, alteori dintr-o singură parte. Distincția va conduce, în lecția Limite laterale, la cele două limite laterale, deci merită numită de pe acum.

Definiție. Spunem că $x_0$ este punct de acumulare la stânga pentru $D$ dacă este punct de acumulare pentru mulțimea $D\cap (-\infty ,x_0)$, adică dacă orice vecinătate a lui conține puncte din $D$ situate strict la stânga lui $x_0$. Analog la dreapta, cu $D\cap (x_0,+\infty )$. Un punct de acumulare la stânga și la dreapta simultan se numește bilateral.

Trei exemple, de reținut ca tipare:

• pentru $D=(0,2)$, punctul $0$ este punct de acumulare numai la dreapta, punctul $2$ numai la stânga, iar orice punct interior, de pildă $1$, este bilateral;
• pentru $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$, punctul $3$ este bilateral: te poți apropia de el și cu $3-\frac{1}{n}$, și cu $3+\frac{1}{n}$;
• pentru $D=[1,3)\cup \{5\}$, punctul $3$ este de acumulare numai la stânga, iar $5$ nu este de acumulare deloc.

8. De ce limita se definește numai în puncte de acumulare

Acum putem răspunde precis la întrebarea din secțiunea 1. În lecția următoare vei defini limita funcției $f$ în $x_0$ cerând ca, pentru orice șir $(x_n)$ de puncte din $D\setminus \{x_0\}$ cu $x_n\to x_0$, șirul valorilor $(f(x_n))$ să aibă aceeași limită $\ell$.

Dacă $x_0$ nu este punct de acumulare al domeniului, atunci — prin caracterizarea din secțiunea 3 — nu există niciun astfel de șir. Condiția „pentru orice șir…" devine o afirmație despre o mulțime vidă de cazuri, deci este adevărată oricare ar fi $\ell$: fiecare număr real, și $+\infty$, și $-\infty$, ar fi „limită" a lui $f$ în $x_0$. O noțiune care nu distinge nimic nu folosește la nimic, iar unicitatea limitei — pe care ai demonstrat-o la șiruri, în lecția Șiruri convergente și șiruri divergente — s-ar pierde.

Convenția, valabilă în tot restul manualului: limita unei funcții $f:D\to \mathbb{R}$ se definește numai în puncte $x_0\in D^{\prime }$. Primul rând al oricărei rezolvări corecte este, de aceea, verificarea faptului că punctul cerut este de acumulare pentru domeniu — de obicei o singură propoziție, dar una pe care baremele o cer.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Punctele de acumulare ale unei reuniuni

Determinați $D^{\prime }$ și punctele izolate pentru $D=(-2,1]\cup (3,4)\cup \{7\}$.

Rezolvare. Analizăm pe bucăți. Intervalul $(-2,1]$ are ca puncte de acumulare toate punctele lui, plus capătul $-2$: deci $[-2,1]$. Intervalul $(3,4)$ dă $[3,4]$. Punctul $7$ este izolat: vecinătatea $(6,8)$ nu conține niciun alt punct al lui $D$, fiindcă $D\cap (6,8)=\{7\}$.

Rămâne de verificat că nu apar puncte de acumulare „între" bucăți: un punct din $(1,3)$, de pildă $2$, are vecinătatea $(1,5;2,5)$, care nu întâlnește deloc $D$. Așadar $$D^{\prime }=[-2,1]\cup [3,4],\text{punctul izolat: }7.$$ Observă: $-2$, $3$ și $4$ aparțin lui $D^{\prime }$ fără să aparțină lui $D$, iar $7$ aparține lui $D$ fără să aparțină lui $D^{\prime }$.

Exemplul 2 — Verificare directă din definiție

Arătați, folosind definiția, că $2$ este punct de acumulare pentru $D=(2,5)$, dar nu este punct de acumulare pentru $E=[3,5]$.

Rezolvare. Pentru $D$: fie $\epsilon >0$ arbitrar. Trebuie să găsim un punct din $D$, diferit de $2$, în intervalul $(2-\epsilon ,2+\epsilon )$. Luăm $$x=2+\min \left\{\frac{\epsilon }{2},1\right\}.$$ Atunci $2<x<3<5$, deci $x\in D$; în plus $x-2\le \frac{\epsilon }{2}<\epsilon$, deci $x$ e în vecinătate. Cum $\epsilon$ a fost arbitrar, $2\in D^{\prime }$.

Pentru $E$: luăm $\epsilon =\frac{1}{2}$. Vecinătatea $\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)$ nu conține niciun punct din $[3,5]$, pentru că toate punctele lui $E$ sunt $\ge 3>\frac{5}{2}$. O singură vecinătate „rea" este de ajuns pentru a nega definiția, deci $2\notin E^{\prime }$. Cum, în plus, $2\notin E$, punctul $2$ nu este nici izolat pentru $E$ — el este pur și simplu în afara discuției.

Exemplul 3 — Caracterizarea cu șiruri, în ambele sensuri

Fie $D = \left{2 + \dfrac{(-1)^n}{n} \ \middle\vert\ n \in \mathbb{N}^{}\right}$.Ar\breve{a}tațic\breve{a}$2 \in D'$șic\breve{a}$2$ este punct de acumulare bilateral.*

Rezolvare. Șirul $x_n=2+\frac{(-1{)}^n}{n}$ are toți termenii în $D$ și niciunul egal cu $2$, fiindcă $\frac{(-1{)}^n}{n}\ne 0$. În plus $|x_n-2|=\frac{1}{n}\to 0$, deci $x_n\to 2$. Prin caracterizarea cu șiruri, $2\in D^{\prime }$.

Pentru caracterul bilateral, separăm subșirurile: cele de rang par dau $x_{2k}=2+\frac{1}{2k}>2$, iar cele de rang impar dau $x_{2k+1}=2-\frac{1}{2k+1}<2$. Ambele tind la $2$, deci $2$ este punct de acumulare și la stânga, și la dreapta. Verificare pe primii termeni: $1$; $2,5$; $1,666\dots$; $2,25$; $1,8$ — valorile sar alternativ de o parte și de alta a lui $2$, apropiindu-se.

Exemplul 4 — Domeniul unei funcții raționale

Determinați domeniul maxim de definiție $D$ al funcției $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$ și apoi $D^{\prime }$.

Rezolvare. Numitorul se anulează pentru $x^2=4$, adică $x\in \{-2,2\}$, deci $$D=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}=(-\infty ,-2)\cup (-2,2)\cup (2,+\infty ).$$ Punctele scoase rămân puncte de acumulare: în orice vecinătate a lui $2$ există puncte din $D$ (de pildă $2\pm \frac{1}{n}$ pentru $n$ mare). La fel și $-2$. Mulțimea fiind nemărginită în ambele sensuri, $\pm \infty$ sunt și ele puncte de acumulare. Prin urmare $$D^{\prime }=\overline{\mathbb{R}}.$$ Concluzia practică: la această funcție se poate cere limita în orice punct real — inclusiv în $-2$ și $2$, unde funcția nici măcar nu e definită — și la $\pm \infty$.

Exemplul 5 — O mulțime cu două „aglomerări"

Fie $D = \left{\dfrac1n \ \middle\vert\ n \in \mathbb{N}^{}\right} \cup \left{5 - \dfrac1n \ \middle\vert\ n \in \mathbb{N}^{}\right}$.Determinați$D'$.

Rezolvare. Prima mulțime se îngrămădește în $0$, a doua în $5$: șirul $\frac{1}{n}\to 0$ și șirul $5-\frac{1}{n}\to 5$, ambele cu termeni în $D$, diferiți de limită. Deci $0\in D^{\prime }$ și $5\in D^{\prime }$.

Niciun alt punct nu este de acumulare. Un punct $c\notin \{0,5\}$ are în jurul lui doar finit de multe elemente ale lui $D$ (termenii cu rang mic ai celor două șiruri), iar o mulțime finită de puncte se poate ocoli cu o vecinătate suficient de mică, exact ca în observația 3 din secțiunea 2. Așadar $D^{\prime }=\{0,5\}$, iar toate punctele lui $D$ sunt izolate. Observă că $0\notin D$, în timp ce $5\notin D$ de asemenea — mulțimea își are ambele puncte de acumulare în afara ei.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră mulțimea $D=[-1,2)\cup \{2\}\cup (3,+\infty )$. a) Scrieți mulțimea $D$ sub forma unei reuniuni de intervale. b) Determinați $D^{\prime }$ și punctele izolate ale lui $D$. c) Precizați în care dintre punctele $-1$, $2$, $3$ și $+\infty$ se poate pune problema limitei unei funcții definite pe $D$.

Rezolvare.

a) Cum $[-1,2)\cup \{2\}=[-1,2]$, avem $D=[-1,2]\cup (3,+\infty )$. (Scrierea din enunț este o capcană de citire: punctul $2$ nu e izolat, pentru că se lipește de intervalul dinaintea lui.)

b) Pentru $[-1,2]$, punctele de acumulare sunt toate punctele intervalului, capetele incluse: $[-1,2]$. Pentru $(3,+\infty )$ obținem $[3,+\infty )$, capătul $3$ fiind punct de acumulare deși nu aparține mulțimii; iar cum mulțimea e nemărginită superior, $+\infty \in D^{\prime }$. Așadar $$D^{\prime }=[-1,2]\cup [3,+\infty )\cup \{+\infty \}.$$ Puncte izolate: niciunul. Nu este punct de acumulare, de pildă, $2,5$, dar el nici nu aparține lui $D$.

c) Se poate pune problema limitei în orice punct din $D^{\prime }$, deci în $-1$ (numai la dreapta), în $2$ (numai la stânga), în $3$ (numai la dreapta, deși $3\notin D$) și la $+\infty$. Verificare a unei afirmații: $2$ este de acumulare la stânga fiindcă $2-\frac{1}{n}\in [-1,2]$ pentru $n\ge 1$ și $2-\frac{1}{n}\to 2$; nu este de acumulare la dreapta, fiindcă vecinătatea $(2;2,5)$ nu întâlnește $D$.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie întâi mulțimea sub forma cea mai simplă (reuniune de intervale) — jumătate dintre greșeli dispar la acest pas.

1. Determină $D^{\prime }$ pentru $D=(0,5)$.

2. Determină $D^{\prime }$ pentru $D=[2,7]$.

3. Determină punctele de acumulare și punctele izolate pentru $D=(0,1)\cup \{4\}$.

4. Determină punctele de acumulare și punctele izolate pentru $D=\{-3,0,1,8\}$.

5. Determină $D^{\prime }$ pentru $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

6. Arată, folosind un șir potrivit, că $0$ este punct de acumulare pentru $D=\left\{\frac{1}{2^n}|n\in \mathbb{N}\right\}$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice punct de acumulare al unei mulțimi aparține mulțimii."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O mulțime finită nu are niciun punct de acumulare."

9. Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\frac{2x-1}{x-3}$ și apoi $D^{\prime }$.

10. Determină domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\frac{x}{x^2-1}$ și precizează în care puncte reale se poate cere limita ei.

11. Pentru $D=[1,4)\cup (4,6]$, precizează dacă $4$ este punct de acumulare și, în caz afirmativ, dacă e la stânga, la dreapta sau bilateral.

12. Pentru $D=(-\infty ,0]$, precizează dacă $-\infty$ și $+\infty$ sunt puncte de acumulare.

13. Arată că $3$ este punct de acumulare pentru $D=(3,10)$, alegând explicit, pentru $\epsilon =0,01$, un punct al mulțimii aflat în vecinătatea corespunzătoare.

14. (Problemă aplicată.) Un senzor înregistrează date la momentele $t_n=10-\frac{1}{n}$ minute, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Descrie mulțimea momentelor de măsurare, arată că are un singur punct de acumulare și explică ce înseamnă acest lucru pentru experiment.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $D=(-2,0]\cup \{1\}\cup [3,+\infty )$. Determinați $D^{\prime }$, punctele izolate ale lui $D$ și precizați dacă $+\infty \in D^{\prime }$.

16. Dă exemplu de mulțime $D$ pentru care $D^{\prime }=\{0,1\}$ și niciun punct al lui $D$ nu aparține lui $D^{\prime }$.

17. Arată că mulțimea $D=\{n+\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N},n\ge 2\}$ are $D^{\prime }=\{+\infty \}$ și toate punctele izolate.

18. (Provocare.) Arată că nu există nicio mulțime $D\subseteq \mathbb{R}$ cu exact două elemente pentru care $D^{\prime }\ne \varnothing$, dar există mulțimi numărabile cu $D^{\prime }=\overline{\mathbb{R}}$.

Răspunsuri și explicații

1. $D^{\prime }=[0,5]$: toate punctele intervalului, plus cele două capete, care sunt puncte de acumulare fără să aparțină mulțimii.

2. $D^{\prime }=[2,7]$. La un interval închis, mulțimea derivată coincide cu intervalul; nu există puncte izolate.

3. $D^{\prime }=[0,1]$; punctul izolat este $4$, fiindcă vecinătatea $(3,5;4,5)$ nu conține alt punct al mulțimii.

4. $D^{\prime }=\varnothing$; toate cele patru puncte sunt izolate. O mulțime finită nu are puncte de acumulare (observația 3 din secțiunea 2).

5. $D^{\prime }=\overline{\mathbb{R}}$. Punctul $0$ rămâne de acumulare, deși a fost scos: $\frac{1}{n}\to 0$ cu termeni din $D$. Mulțimea fiind nemărginită în ambele sensuri, și $\pm \infty$ sunt puncte de acumulare.

6. Șirul $x_n=\frac{1}{2^n}$ are toți termenii în $D$, este format din numere strict pozitive (deci $x_n\ne 0$) și $x_n\to 0$, fiind un șir de tip $q^n$ cu $q=\frac{1}{2}$, $|q|<1$ — vezi Limitele șirurilor cu termenul general de tip putere și de tip progresie geometrică. Prin caracterizarea cu șiruri, $0\in D^{\prime }$.

7. Fals. Contraexemplu: $D=(0,1)$ are $0\in D^{\prime }$, dar $0\notin D$. Tocmai acest caz face posibile limitele în punctele în care funcția nu e definită.

8. Adevărat. Într-o mulțime finită, fiecare punct are o distanță minimă strict pozitivă până la celelalte; o vecinătate mai mică decât această distanță izolează punctul.

9. $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$, iar $D^{\prime }=\overline{\mathbb{R}}$: punctul $3$ rămâne de acumulare, iar mulțimea e nemărginită în ambele sensuri.

10. Numitorul se anulează pentru $x\in \{-1,1\}$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$. Cum $D^{\prime }=\overline{\mathbb{R}}$, limita se poate cere în orice punct real, inclusiv în $-1$ și $1$, și la $\pm \infty$.

11. Da, $4$ este punct de acumulare bilateral: $4-\frac{1}{n}\in [1,4)$ și $4+\frac{1}{n}\in (4,6]$ pentru $n$ suficient de mare, iar ambele șiruri tind la $4$. Punctul nu aparține mulțimii.

12. $-\infty \in D^{\prime }$, pentru că mulțimea este nemărginită inferior. $+\infty \notin D^{\prime }$, pentru că mulțimea este majorată de $0$.

13. Pentru $\epsilon =0,01$, vecinătatea este $(2,99;3,01)$. Punctul $x=3,005$ aparține lui $(3,10)$ și vecinătății, și este diferit de $3$. Cum același procedeu funcționează pentru orice $\epsilon$ (luăm $x=3+\min \{\epsilon /2,1\}$), rezultă $3\in D^{\prime }$.

14. Mulțimea este $T=\left\{10-\frac{1}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$, cu termenii $9$; $9,5$; $9,666\dots$; $9,75$; … Șirul este strict crescător și tinde la $10$, deci $T^{\prime }=\{10\}$, iar toate momentele de măsurare sunt puncte izolate. Interpretare: măsurătorile se îndesesc la nesfârșit chiar înainte de minutul $10$, fără ca minutul $10$ să fie vreodată atins — deci se poate întreba ce valoare „se conturează" la momentul $10$, deși acolo nu există nicio măsurătoare.

15. Bucată cu bucată: $(-2,0]$ dă $[-2,0]$; punctul $1$ este izolat (vecinătatea $(0,5;1,5)$ nu întâlnește restul mulțimii); $[3,+\infty )$ dă $[3,+\infty )$, iar nemărginirea superioară adaugă $+\infty$. Deci $$D^{\prime }=[-2,0]\cup [3,+\infty )\cup \{+\infty \},\text{punct izolat: }1,+\infty \in D^{\prime }.$$

16. De exemplu $D=\left\{\frac{1}{n}|n\ge 2\right\}\cup \left\{1+\frac{1}{n}|n\ge 1\right\}$: primul grup se acumulează în $0$, al doilea în $1$, iar niciunul dintre cele două puncte nu aparține mulțimii (termenii primului grup sunt $\le \frac{1}{2}$ și $>0$; ai celui de-al doilea sunt $>1$).

17. Termenii $n+\frac{1}{n}$ cresc peste orice prag, deci mulțimea e nemărginită superior și $+\infty \in D^{\prime }$. Distanța dintre doi termeni consecutivi este $\left(n+1+\frac{1}{n+1}\right)-\left(n+\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{n(n+1)}\ge \frac{1}{2}$ pentru $n\ge 2$, deci fiecare punct se poate izola cu o vecinătate de rază $\frac{1}{4}$; niciun număr real nu poate fi punct de acumulare.

18. O mulțime cu două elemente este finită, deci $D^{\prime }=\varnothing$, prin observația 3 din secțiunea 2. Pe de altă parte, $\mathbb{Q}$ este numărabilă și, prin densitatea numerelor raționale, orice număr real este punct de acumulare pentru ea; fiind nemărginită în ambele sensuri, îi adăugăm și $\pm \infty$, deci ${\mathbb{Q}}^{\prime }=\overline{\mathbb{R}}$. Concluzia: „puține elemente" înseamnă neapărat mulțime derivată vidă, dar „numărabil" nu înseamnă „rar".

De reținut

• $x_0$ este punct de acumulare al lui $D$ dacă orice vecinătate a lui conține cel puțin un punct din $D$ diferit de $x_0$. Mulțimea lor se notează $D^{\prime }$.
• Caracterizarea cu șiruri, forma folosită în rezolvări: $x_0\in D^{\prime }$ dacă și numai dacă există $(x_n)$ cu termeni în $D$, toți diferiți de $x_0$, cu $x_n\to x_0$.
• Punctul de acumulare nu trebuie să aparțină mulțimii, iar un punct al mulțimii nu e neapărat de acumulare: acela se numește izolat. „Izolat" se spune numai despre puncte din $D$.
• La un interval, capetele sunt întotdeauna puncte de acumulare, incluse sau nu; o mulțime finită nu are niciunul; $+\infty \in D^{\prime }$ exact când $D$ e nemărginită superior.
• Limita unei funcții se definește numai în puncte de acumulare ale domeniului — altfel nu există niciun șir de test și orice valoare ar trece drept limită.

Greșeli frecvente

• Crezi că punctul de acumulare trebuie să fie în mulțime. Pentru $D=(0,2)$, capetele $0$ și $2$ sunt puncte de acumulare fără să aparțină lui $D$ — și tocmai în ele se cer, de obicei, limitele.
• Numești „izolat" un punct din afara mulțimii. Pentru $D=[3,5]$, punctul $2$ nu este nici de acumulare, nici izolat: el nu aparține lui $D$, deci nu primește niciun nume.
• Verifici definiția pe o singură vecinătate. Ca să arăți că $x_0\in D^{\prime }$ trebuie să tratezi un $\epsilon >0$ arbitrar; o vecinătate „bună" nu demonstrează nimic. Pentru negație, în schimb, o singură vecinătate „rea" este suficientă.
• Uiți condiția $x_n\ne x_0$ în caracterizarea cu șiruri. Fără ea, orice punct al mulțimii ar fi de acumulare, folosind șirul constant $x_n=x_0$ — și distincția s-ar prăbuși.
• Confunzi „mulțime nemărginită" cu „mulțime cu multe puncte de acumulare". $\mathbb{N}$ este infinită și nemărginită, dar are un singur punct de acumulare, $+\infty$, toate punctele ei fiind izolate.

Aplică acasă

1. Harta unei mulțimi. Desenează pe o axă mulțimea $D=[-1,1)\cup \{2\}\cup \left\{3+\frac{1}{n}|n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right\}$, folosind bulină plină pentru punctele incluse și bulină goală pentru cele excluse. Marchează cu o altă culoare punctele de acumulare și verifică, punct cu punct, dacă aparțin sau nu mulțimii.

2. Vânătoarea de puncte de acumulare în date reale. Notează, timp de o zi, momentele exacte la care primești notificări pe telefon. Grupează-le și întreabă-te unde s-ar aglomera dacă notificările ar continua la nesfârșit, îndesindu-se: ai construit, practic, o mulțime cu punct de acumulare.

3. Domenii de funcții. Scrie cinci funcții raționale cu numitori diferiți, determină-le domeniile maxime și, pentru fiecare, precizează $D^{\prime }$. Vei observa că, la funcțiile raționale, răspunsul este aproape întotdeauna $\overline{\mathbb{R}}$ — de aceea limita se poate cere oriunde, inclusiv unde funcția nu e definită.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea de limite de funcții și are un rol de „temelie tăcută": elevul nu calculează nimic spectaculos, dar fără ea toate definițiile care urmează rămân fără suport. Ideea centrală, pe care trebuie să o poată formula singur, este că limita descrie comportamentul în jurul unui punct, nu în punct — și că un asemenea „în jur" există numai acolo unde domeniul se îngrămădește.

Ce verifică lecția: (1) aplicarea definiției pe un $\epsilon$ arbitrar, nu pe unul particular; (2) determinarea corectă a lui $D^{\prime }$ pentru reuniuni de intervale și pentru domenii de funcții raționale; (3) distincția dintre punct izolat și punct din afara mulțimii; (4) recunoașterea situațiilor în care $\pm \infty$ intră în $D^{\prime }$. Întrebări bune de control: „Poate un punct de acumulare să lipsească din mulțime?", „De ce nu are sens limita într-un punct izolat?", „Cum arăți, cu un șir, că $0$ e punct de acumulare pentru mulțimea inverselor numerelor naturale?".

La BAC M1, noțiunea apare rareori ca cerință de sine stătătoare, dar apare implicit în fiecare exercițiu de limite: baremul cere ca punctul în care se calculează limita să fie punct de acumulare al domeniului, iar la funcțiile definite pe ramuri se verifică separat acumularea la stânga și la dreapta. Semne că elevul a înțeles: scrie domeniul înainte de orice calcul de limită și nu se sperie când i se cere limita într-un punct în care funcția nu este definită.

Întrebări frecvente

Ce este un punct de acumulare, pe scurt? Este un punct în jurul căruia mulțimea se îngrămădește: orice vecinătate a lui, oricât de mică, conține cel puțin un punct al mulțimii diferit de el. Echivalent, există un șir de puncte ale mulțimii, toate diferite de acel punct, care tinde către el.

Punctul de acumulare trebuie să aparțină mulțimii? Nu. Pentru intervalul $(0,2)$, capetele $0$ și $2$ sunt puncte de acumulare, deși nu fac parte din interval. Această situație este chiar cea mai utilă: ea permite să se ceară limita unei funcții într-un punct în care funcția nu este definită.

Ce este un punct izolat? Este un punct al mulțimii care nu este punct de acumulare, adică are o vecinătate în care nu se mai află niciun alt punct al mulțimii. De exemplu, $5$ este izolat pentru $[1,3)\cup \{5\}$.

Cum determin mulțimea punctelor de acumulare a unui domeniu? Scrii domeniul ca reuniune de intervale și de puncte răzlețe. Fiecare interval contribuie cu el însuși împreună cu capetele lui; punctele răzlețe nu contribuie cu nimic și sunt izolate; dacă domeniul este nemărginit superior, adaugi $+\infty$, iar dacă e nemărginit inferior, adaugi $-\infty$.

De ce se cere ca $x_0$ să fie punct de acumulare când se definește limita? Pentru că definiția limitei folosește șiruri de puncte din domeniu, diferite de $x_0$, care tind la $x_0$. Dacă $x_0$ nu e punct de acumulare, asemenea șiruri nu există, condiția devine adevărată pentru orice valoare și limita nu ar mai fi unică — deci noțiunea nu ar mai spune nimic.

Când este $+\infty$ punct de acumulare pentru o mulțime? Exact atunci când mulțimea este nemărginită superior, adică oricât de mare ai lua un prag, mulțimea are elemente peste el. La fel, $-\infty$ este punct de acumulare exact când mulțimea este nemărginită inferior.

Ce înseamnă punct de acumulare la stânga sau la dreapta? Înseamnă că te poți apropia de punct rămânând în domeniu numai dintr-o parte: la stânga, cu valori mai mici decât $x_0$; la dreapta, cu valori mai mari. Un punct interior unui interval este de acumulare din ambele părți, adică bilateral — situație în care se pot discuta cele două limite laterale.

Poate o mulțime infinită să nu aibă puncte de acumulare finite? Da. Mulțimea numerelor naturale este infinită, dar toate punctele ei sunt izolate: singurul ei punct de acumulare este $+\infty$. „Infinit" înseamnă multe elemente, nu elemente înghesuite.