Puncte de discontinuitate: pe scurt

Un punct de discontinuitate este un punct din domeniu în care $f$ nu e continuă. Prima propoziție a oricărei rezolvări este deci domeniul: $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, nu are niciun punct de discontinuitate, pentru că $0$ nu îi aparține; dar $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ cu $g(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $g(0)=0$ are unul, în $0$.

Lanțul $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$ poate cădea în trei feluri: lateralele sunt finite și egale între ele, dar diferite de $f(x_0)$; lateralele sunt finite și diferite; sau cel puțin una nu există ori e infinită.

Clasificarea. Speța I: limitele laterale există și sunt FINITE — cuvântul „finite” este partea pe care baremele o verifică; o formulare fără el este greșită. Speța a II-a: orice altceva. Etalonul-capcană: $f(x)=\frac{1}{x^2}$ pentru $x\ne 0$, $f(0)=1$ — ambele laterale există și sunt egale cu $+\infty$, dar punctul e de speța a II-a.

Saltul $s=l_d(x_0)-l_s(x_0)$ se definește numai la speța I; el poate fi și nul. Exemplul-etalon: partea întreagă, cu salt $1$ în fiecare număr întreg.

Exerciții din această mini-lecție

1. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{|x-2|}{x-2}$ pentru $x\ne 2$ și $f(2)=0$. Punctul $2$ este:

   • a) punct de continuitate
   • b) punct de discontinuitate de speța a II-a
   • c) punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $0$
   • d) punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $2$

   Pentru $x<2$ avem $|x-2|=2-x$, deci $f(x)=-1$; pentru $x>2$, $f(x)=1$. Așadar $l_s(2)=-1$ și $l_d(2)=1$: finite și diferite, deci speța I, cu saltul $s=1-(-1)=2$. Valoarea $f(2)=0$ nu intră în calculul saltului.

2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{(x-4{)}^2}$ pentru $x\ne 4$ și $f(4)=5$. Punctul $4$ este:

   • a) punct de continuitate
   • b) punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $0$
   • c) punct de discontinuitate de speța a II-a
   • d) punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) punct de discontinuitate de speța a II-a

   Numitorul $(x-4{)}^2$ este strict pozitiv de ambele părți, deci $l_s(4)=l_d(4)=+\infty$: limitele există și sunt chiar egale, dar nu sunt finite. Definiția speței I cere finitudinea, deci punctul e de speța a II-a, iar saltul nu se definește. Aceasta e capcana-etalon a lecției.

3. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

   • a) Funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, are un punct de discontinuitate în $0$
   • b) Un punct de discontinuitate aparține obligatoriu domeniului funcției
   • c) Speța I înseamnă că limitele laterale există
   • d) Saltul se poate calcula și în punctele de speța a II-a
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) Un punct de discontinuitate aparține obligatoriu domeniului funcției

   Continuitatea în $x_0$ se scrie $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$; dacă $x_0\notin D$, membrul drept nici nu se poate scrie, deci afirmația nu are ce să fie nici adevărată, nici falsă. De aceea a) e falsă: pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ funcția e continuă peste tot. c) e formularea incompletă a lecției — lipsește „și sunt finite”. d) e falsă: la speța a II-a diferența $l_d-l_s$ ori nu are sens, ori este o operație interzisă.