Puncte de discontinuitate

Nu toate rupturile sunt la fel. Când salariul intră în cont, soldul face o treaptă: sare de la o valoare la alta, dar ambele valori sunt numere obișnuite, iar înălțimea treptei se poate măsura în lei. Când o rezistență electrică scade spre zero, intensitatea curentului nu face o treaptă, ci explodează — nu există nicio valoare finită spre care să se îndrepte. Iar dacă un senzor prost calibrat oscilează tot mai des pe măsură ce te apropii de un prag, valorile lui nu se apropie de nimic: nu au nici limită, nici măcar una infinită.

Matematica separă aceste trei feluri de ruptură în doar două categorii, și le separă printr-un cuvânt care hotărăște totul: finit. Lecția de față îți dă clasificarea exactă, îți arată cum se citește ea de pe grafic și îți fixează notația pentru mărimea care măsoară treapta — saltul funcției. Este una dintre puținele lecții în care cuvântul greșit dintr-o definiție costă direct puncte la Bacalaureat M1.

Ce vei învăța

• Vei ști exact ce este un punct de discontinuitate și de ce el trebuie să aparțină domeniului funcției.
• Vei ști cele trei moduri în care se poate strica lanțul $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$.
• Vei ști clasificarea canonică: speța I înseamnă limite laterale care există și sunt finite; speța a II-a înseamnă orice altceva.
• Vei ști să calculezi saltul funcției într-un punct de discontinuitate de speța I.
• Vei ști să recunoști tipul de discontinuitate de pe grafic, dintr-o privire.
• Vei ști să redactezi complet clasificarea unui punct, în forma cerută de baremele de la Bacalaureat M1.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un punct de discontinuitate

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$. Un punct $x_0\in D$ în care $f$ nu este continuă se numește punct de discontinuitate al funcției $f$.

Citește definiția încă o dată și oprește-te la primele trei cuvinte: $x_0\in D$. Punctul de discontinuitate este, obligatoriu, un punct al domeniului. Motivul e simplu: continuitatea în $x_0$ înseamnă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$, iar dacă $x_0$ nu e în domeniu, $f(x_0)$ nici nu se poate scrie — deci nu are ce să fie nici adevărat, nici fals.

Consecința practică e o capcană care se repetă an de an. Funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, nu are niciun punct de discontinuitate: e continuă în fiecare punct al domeniului ei, iar $0$ pur și simplu nu-i aparține. În schimb, funcția $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definită prin $g(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $g(0)=0$ are un punct de discontinuitate în $0$ — pentru că acolo a fost forțată să aibă o valoare. Aceeași formulă, două funcții diferite, două răspunsuri diferite: totul depinde de domeniu.

De aceea, la orice exercițiu de acest tip, prima propoziție pe care o scrii nu e un calcul, ci o precizare: care este domeniul funcției. Dacă enunțul spune „fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$", atunci fiecare număr real e candidat la discontinuitate și trebuie să știi unde să te uiți. Dacă enunțul dă un domeniu din care lipsesc anumite puncte, acele puncte ies din discuție cu totul — nu le clasifici, nu le pomenești în răspuns și, mai ales, nu le numești „puncte de discontinuitate", pentru că funcția nu e definită acolo.

Merită observat și de ce toată această grijă are un rost dincolo de vocabular. Rezultatele mari care urmează în capitol — proprietatea valorilor intermediare, semnul unei funcții pe un interval, existența soluțiilor unei ecuații — cer, toate, continuitatea pe un interval întreg. Un singur punct de discontinuitate strecurat înăuntru le anulează, iar consecințele sunt vizibile: o funcție care sare peste zero fără să-l atingă nu mai garantează nicio soluție. A ști exact unde se rupe o funcție este, prin urmare, condiția de intrare în tot ce urmează.

2. Cele trei feluri în care cade lanțul

Din lecția despre continuitatea într-un punct știi că totul se decide în lanțul $$l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0).$$ Un punct din domeniu este de discontinuitate exact atunci când lanțul nu se închide. Asta se poate întâmpla în trei feluri:

• (a) ambele limite laterale există, sunt finite și egale între ele, dar diferă de $f(x_0)$ — funcția are „o gaură umplută greșit";
• (b) ambele limite laterale există, sunt finite, dar diferite între ele — funcția face o treaptă;
• (c) cel puțin una dintre limitele laterale nu există sau este infinită — funcția fuge sau oscilează.

Primele două cazuri au ceva în comun și de aceea vor sta împreună: în amândouă, funcția are, de o parte și de alta, un comportament cuminte, descris de două numere reale. În cazul (c) acest lucru se pierde. Exact aici trece linia de despărțire a clasificării.

3. Clasificarea: speța I și speța a II-a

Definiție. Fie $x_0$ un punct de discontinuitate al funcției $f$.

• $x_0$ este punct de discontinuitate de speța I dacă limitele laterale $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$ există și sunt FINITE (dar nu se realizează egalitatea $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$).
• $x_0$ este punct de discontinuitate de speța a II-a dacă nu este de speța I, adică dacă cel puțin una dintre limitele laterale nu există sau este infinită.

Cuvântul finite este partea din definiție pe care majoritatea elevilor o pierde. Formularea „speța I înseamnă că limitele laterale există" este incompletă și greșită, iar contraexemplul care o dărâmă e la îndemână: pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ cu $f(x)=\frac{1}{x^2}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=1$, ambele limite laterale în $0$ există — sunt egale cu $+\infty$ — și totuși punctul este de speța a II-a, tocmai pentru că limitele nu sunt finite.

Merită observat cum e construită definiția: speța a II-a nu e descrisă prin ce este, ci prin ce nu este. E o definiție prin excludere, la fel ca „număr irațional = număr real care nu e rațional". De aceea, în practică, verifici întotdeauna condiția de speța I; dacă ea cade, ai automat speța a II-a, fără să mai enumeri variante.

4. Saltul funcției

Definiție. Dacă $x_0$ este punct de discontinuitate de speța I al funcției $f$, numărul $$s=l_d(x_0)-l_s(x_0)$$ se numește saltul funcției $f$ în punctul $x_0$.

Saltul are semn: e pozitiv dacă funcția „urcă" trecând prin $x_0$ de la stânga la dreapta și negativ dacă „coboară". Are și un caz special, care surprinde mereu: saltul poate fi zero. Se întâmplă în cazul (a) de mai sus, când cele două limite laterale sunt egale între ele, dar diferite de valoarea din punct — treapta lipsește, dar punctul e „scos din curbă" și pus în altă parte. Discontinuitatea rămâne, cu tot cu saltul nul.

Saltul se definește numai la speța I. La speța a II-a diferența $l_d-l_s$ ori nu are sens (o limită nu există), ori ar fi o operație interzisă în $\overline{\mathbb{R}}$, precum $(+\infty )-(+\infty )$ (dreapta reală încheiată).

5. Tabloul complet al cazurilor

Pune cele două criterii unul lângă altul și obții harta care rezolvă orice exercițiu de clasificare.

Un amănunt de limbaj, fixat în lecțiile de limite: „limita este $+\infty$" înseamnă că limita există, în $\overline{\mathbb{R}}$, dar nu este finită. „Limita nu există" e altceva și se spune numai când chiar așa e — de pildă la $\sin \frac{1}{x}$ în $0$. Ambele situații duc la speța a II-a, dar formularea trebuie să fie exactă, pentru că baremele o verifică.

6. Lectura grafică

Programa cere explicit ca identificarea punctelor de continuitate și de discontinuitate să se facă și de pe grafic, iar în practică aceasta e cea mai rapidă cale. Tabelul de mai sus se traduce în patru imagini pe care le recunoști imediat (graficul unei funcții și lectura grafică):

• un cerculeț gol pe curbă, cu punctul plin mutat mai sus sau mai jos: speța I cu salt nul;
• două capete de ramură la înălțimi diferite, ambele la distanță finită: speța I, iar saltul e chiar distanța dintre ele, măsurată de jos în sus;
• ramuri care se lipesc de o dreaptă verticală și fug în sus sau în jos: speța a II-a;
• oscilații care se îndesesc fără să se așeze pe o valoare: speța a II-a.

Cele două imagini de speța a II-a merită deosebite una de alta, pentru că justificarea scrisă diferă. În primul caz — ramuri care fug — limitele laterale există în dreapta reală încheiată; scrii $l_s(x_0)=-\infty$ sau $l_d(x_0)=+\infty$ și încheiezi cu observația că nu sunt finite. În al doilea caz — oscilații care se îndesesc — limitele nu există deloc, iar justificarea cere două șiruri concrete, cu imagini care tind la valori diferite. Nu poți scrie „limita este $+\infty$" pentru o funcție care oscilează și nici „limita nu există" pentru una care fuge la infinit: sunt afirmații diferite, cu demonstrații diferite.

Un antrenament util: acoperă cu degetul jumătatea din dreapta a unui grafic și citește doar limita la stânga; apoi mută degetul și citește-o pe cealaltă. Separarea fizică a celor două lecturi te obișnuiește cu ideea că sunt două informații independente și te împiedică să „vezi" o limită bilaterală acolo unde ea nu există.

Exemplul cel mai la îndemână de discontinuități de speța I în serie este funcția parte întreagă (funcția parte întreagă și partea fracționară), pe care ai studiat-o în clasa a IX-a. Graficul ei e o scară cu trepte de înălțime $1$: în fiecare număr întreg $k$ avem $l_s(k)=k-1$, $l_d(k)=k=f(k)$, deci funcția e continuă la dreapta, discontinuă la stânga, punctul $k$ e de speța I, iar saltul este $k-(k-1)=1$.

7. Rețeta de lucru, în patru pași

1. Verifici apartenența la domeniu. Dacă $x_0\notin D$, nu se pune problema: nu e punct de discontinuitate, oricât de urât s-ar comporta funcția în jurul lui.
2. Calculezi $f(x_0)$, $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$, fiecare pe ramura lui, cu tehnicile deja învățate de eliminare a nedeterminărilor (nedeterminări la funcții raționale).
3. Decizi continuitatea. Dacă lanțul se închide, ai terminat: punctul nu e de discontinuitate.
4. Clasifici. Dacă ambele limite laterale sunt finite, e speța I și calculezi saltul $l_d-l_s$; altfel, e speța a II-a și spui exact ce s-a întâmplat: care limită e infinită sau care nu există.

Redactarea completă a pasului 4, în forma cerută la examen, arată așa: „limitele laterale sunt finite și diferite, deci $x_0=1$ este punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $s=3-1=2$". Cuvântul „finite" apare în frază; fără el, justificarea e incompletă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Gaură umplută greșit

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$ pentru $x\ne 2$ și $f(2)=5$. Studiați continuitatea în $x_0=2$ și clasificați punctul.

Rezolvare. $f(2)=5$ din enunț, iar $$l_s(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x<2\end{array}}{\lim }(x+1)=3,l_d(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }(x+1)=3.$$

Limitele laterale există, sunt finite și egale, deci limita funcției în $2$ există și este $3$. Cum $3\ne 5=f(2)$, funcția nu este continuă în $2$.

Ambele limite laterale fiind finite, punctul $x_0=2$ este de speța I, cu saltul $s=3-3=0$.

Observație: dacă am schimba definiția punând $f(2)=3$, funcția ar deveni continuă. Discontinuitatea aceasta este „reparabilă" printr-o singură modificare de valoare — spre deosebire de cele care urmează.

Exemplul 2 — O treaptă adevărată

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{|x|}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$. Clasificați punctul $x_0=0$.

Rezolvare. Pentru $x>0$ avem $|x|=x$, deci $f(x)=1$; pentru $x<0$ avem $|x|=-x$, deci $f(x)=-1$. Prin urmare $$l_s(0)=-1,f(0)=0,l_d(0)=1.$$

Lanțul nu se închide în niciun loc, deci $f$ nu e continuă în $0$ — nici la stânga, nici la dreapta. Limitele laterale sunt finite și diferite, deci $x_0=0$ este punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $$s=l_d(0)-l_s(0)=1-(-1)=2.$$

Verificare numerică: $f(-0,001)=-1$ și $f(0,001)=1$, oricât de aproape de zero am merge. ✓

Exemplul 3 — Fugă spre infinit

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$. Clasificați punctul $x_0=0$.

Rezolvare. Numitorul tinde la $0$, deci se studiază semnul lui pe fiecare parte: $$l_s(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty ,l_d(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{0^{+}}=+\infty .$$

Ambele limite laterale există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar niciuna nu e finită. Prin urmare $x_0=0$ este punct de discontinuitate de speța a II-a, iar saltul nu se definește.

Verificare numerică: $f(-10^{-6})=-10^6$ și $f(10^{-6})=10^6$ — valorile pleacă simetric spre infinit. ✓

Exemplul 4 — Capcana cuvântului „finite"

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=1$. Clasificați punctul $x_0=0$.

Rezolvare. Numitorul $x^2$ este strict pozitiv de ambele părți ale lui zero, deci $$l_s(0)=\frac{1}{0^{+}}=+\infty ,l_d(0)=\frac{1}{0^{+}}=+\infty .$$

Aici cele două limite laterale nu doar că există, dar sunt și egale între ele. Cu definiția incompletă („speța I înseamnă că limitele laterale există"), am clasifica greșit punctul ca fiind de speța I. Definiția corectă cere ca ele să fie finite, iar $+\infty$ nu e număr real. Prin urmare $x_0=0$ este de speța a II-a.

Reține exemplul acesta: e cel mai scurt contraexemplu care arată de ce cuvântul „finite" nu se poate scoate din definiție.

Exemplul 5 — Limită laterală inexistentă

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$. Arătați că $l_d(0)$ nu există și clasificați punctul.

Rezolvare. Folosim criteriul cu șiruri, în varianta lui de infirmare: găsim două șiruri de numere strict pozitive care tind la $0$, dar ale căror imagini au limite diferite. Fie $$x_n=\frac{1}{2n\pi },y_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi },n\ge 1.$$ Ambele sunt șiruri de numere strict pozitive și ambele tind la $0$. Însă $$f(x_n)=\sin (2n\pi )=0\to 0,f(y_n)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=1\to 1.$$

Imaginile au limite diferite, deci $l_d(0)$ nu există. (Analog, cu șiruri negative, nu există nici $l_s(0)$.) Prin urmare $x_0=0$ este punct de discontinuitate de speța a II-a.

Observă că funcția este mărginită: toate valorile ei stau între $-1$ și $1$. Deci speța a II-a nu înseamnă neapărat „valori care explodează" — poate însemna și „valori care nu se hotărăsc".

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2^x-1}{x},& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}$. a) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$. b) Arătați că $x_0=0$ este punct de discontinuitate și precizați speța lui, precum și saltul funcției.

Rezolvare.

a) Este exact limita fundamentală cu exponențială, pentru $a=2$: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2^x-1}{x}=\ln 2.$$ Limita există și este finită, iar aceeași valoare se obține din ambele părți: $l_s(0)=l_d(0)=\ln 2$.

b) Din enunț, $f(0)=1$. Cum $\ln 2\approx 0,693\ne 1$, lanțul nu se închide, deci $f$ nu e continuă în $0$: punctul $x_0=0$ este punct de discontinuitate. Limitele laterale sunt finite (ambele egale cu $\ln 2$), deci punctul este de speța I, cu saltul $$s=l_d(0)-l_s(0)=\ln 2-\ln 2=0.$$

Observație de barem: valoarea $\ln 2$, nu $1$ — a treia limită fundamentală are rezultatul $\ln a$, iar $1$ se obține doar pentru $a=e$. Verificare numerică: $f(10^{-7})=0,6931472$. ✓

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie $l_s(x_0)$, $f(x_0)$, $l_d(x_0)$, apoi concluzia și, unde se poate, saltul.

1. Clasifică punctul $x_0=0$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<0\\ x+2,& x\ge 0\end{array}$.

2. Clasifică punctul $x_0=0$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=5$.

3. Clasifică punctul $x_0=1$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1\\ x+3,& x>1\end{array}$.

4. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=[x]$ (partea întreagă). Clasifică punctul $x_0=2$ și spune de care parte este funcția continuă.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un punct de discontinuitate de speța I are limitele laterale egale."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă ambele limite laterale în $x_0$ sunt infinite, punctul este de speța I, pentru că limitele există."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Punctul $x=0$ este punct de discontinuitate pentru funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$."

8. Clasifică punctul $x_0=2$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ pentru $x\ne 2$ și $f(2)=1$.

9. Clasifică punctul $x_0=0$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^{\frac{1}{x}}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=1$.

10. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\cos \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$. Arată, cu două șiruri, că $l_d(0)$ nu există, și clasifică punctul.

11. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dată prin $f(x)=\mathrm{tg}x$ acolo unde tangenta e definită și $f(x)=0$ în rest. Clasifică punctul $x_0=\frac{\pi }{2}$.

12. Calculează saltul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x,& x<1\\ x^2,& x\ge 1\end{array}$ în punctul $x_0=1$.

13. (Problemă aplicată.) O parcare taxează $5$ lei pentru prima oră și încă $3$ lei pentru fiecare oră începută după aceea. Scrie costul pentru $t\in (0,3]$ ore, arată că $t_0=1$ este punct de discontinuitate și calculează saltul.

14. Clasifică punctul $x_0=0$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x,& x\le 0\\ x+2,& x>0\end{array}$. Arată că $x_0=0$ este punct de discontinuitate de speța I, calculează saltul și precizează de care parte este $f$ continuă.

16. Dă un exemplu de funcție $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ care are în $x=1$ un punct de discontinuitate de speța a II-a și justifică alegerea.

17. Clasifică punctul $x_0=2$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{(x-2{)}^2}$ pentru $x\ne 2$ și $f(2)=3$.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x\le 0\\ \sin \frac{1}{x},& x>0\end{array}$. Arată că $f$ este continuă la stânga în $0$, dar că $x_0=0$ este totuși punct de discontinuitate de speța a II-a.

Răspunsuri și explicații

1. $f(0)=2$; $l_s(0)=1$; $l_d(0)=2$. Limitele laterale sunt finite și diferite, deci $x_0=0$ e de speța I, cu saltul $s=2-1=1$. Funcția e continuă la dreapta.

2. $l_s(0)=-\infty$, $l_d(0)=+\infty$, $f(0)=5$. Limitele nu sunt finite, deci punctul e de speța a II-a; saltul nu se definește.

3. $f(1)=1$; $l_s(1)=1$; $l_d(1)=4$. Speța I, salt $s=4-1=3$; funcția e continuă la stânga.

4. $f(2)=2$; $l_s(2)=1$ (pentru $x$ puțin sub $2$, partea întreagă este $1$); $l_d(2)=2$. Speța I, salt $s=2-1=1$; funcția e continuă la dreapta în $2$ și, la fel, în orice număr întreg.

5. Fals. Speța I cere doar ca limitele laterale să existe și să fie finite; ele pot fi diferite — atunci saltul e nenul, ca în Exemplul 2. Egalitatea lor este cazul particular cu salt zero.

6. Fals. Definiția cere limite laterale finite, nu doar „existente". Exemplul 4 ($\frac{1}{x^2}$ prelungită cu $f(0)=1$) are ambele limite egale cu $+\infty$ și este de speța a II-a.

7. Fals. Punctul $0$ nu aparține domeniului ${\mathbb{R}}^{\ast }$, deci nu poate fi punct de discontinuitate. Funcția este continuă în fiecare punct al domeniului ei.

8. Pentru $x\ne 2$, $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$, deci $l_s(2)=l_d(2)=4$. Cum $f(2)=1\ne 4$, punctul e de speța I, cu saltul $s=4-4=0$.

9. Când $x\to 0$, $x<0$, avem $\frac{1}{x}\to -\infty$, deci $l_s(0)=2^{-\infty }=0$. Când $x\to 0$, $x>0$, avem $\frac{1}{x}\to +\infty$, deci $l_d(0)=2^{+\infty }=+\infty$. O limită laterală nu e finită, deci punctul e de speța a II-a.

10. Cu $x_n=\frac{1}{2n\pi }$ obținem $f(x_n)=\cos (2n\pi )=1\to 1$, iar cu $y_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }$ obținem $f(y_n)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=0\to 0$. Ambele șiruri tind la $0$ prin valori pozitive, dar imaginile au limite diferite, deci $l_d(0)$ nu există: punct de speța a II-a.

11. $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ din definiție; $l_s\left(\frac{\pi }{2}\right)=+\infty$, iar $l_d\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\infty$. Limitele nu sunt finite, deci punctul e de speța a II-a.

12. $f(1)=1$; $l_s(1)=-1$; $l_d(1)=1$. Punctul e de speța I, cu saltul $s=1-(-1)=2$; funcția e continuă la dreapta.

13. $C(t)=5$ pentru $t\in (0,1]$, $C(t)=8$ pentru $t\in (1,2]$ și $C(t)=11$ pentru $t\in (2,3]$. În $t_0=1$: $C(1)=5=l_s(1)$, iar $l_d(1)=8$. Limitele sunt finite și diferite, deci punctul e de speța I, cu saltul $s=8-5=3$ lei — exact tariful orei suplimentare. Funcția e continuă la stânga: dacă ieși fix la ora $1$, plătești încă $5$ lei.

14. $l_s(0)=l_d(0)=1$ (limita fundamentală), iar $f(0)=0\ne 1$. Punctul e de speța I, cu saltul $0$; funcția ar deveni continuă dacă am pune $f(0)=1$.

15. $f(0)=e^0=1$; $l_s(0)=1$; $l_d(0)=2$. Limitele laterale sunt finite și diferite, deci $x_0=0$ e de speța I, cu saltul $s=2-1=1$. Cum $l_s(0)=f(0)$, funcția e continuă la stânga în $0$.

16. De exemplu $f(x)=\frac{1}{x-1}$ pentru $x\ne 1$ și $f(1)=0$: avem $l_s(1)=-\infty$ și $l_d(1)=+\infty$, deci cel puțin o limită laterală nu e finită. Alt exemplu, cu limite inexistente: $f(x)=\sin \frac{1}{x-1}$ pentru $x\ne 1$ și $f(1)=0$.

17. $(x-2{)}^2>0$ de ambele părți, deci $l_s(2)=l_d(2)=+\infty$, iar $f(2)=3$. Limitele există, dar nu sunt finite: punct de speța a II-a. (Este perechea Exemplului 4, mutată în $2$.)

18. Pe ramura din stânga, $f(x)=x$, deci $l_s(0)=0$; cum $0\le 0$, avem $f(0)=0$, deci $l_s(0)=f(0)$: funcția este continuă la stânga în $0$. La dreapta însă, cu șirurile $x_n=\frac{1}{2n\pi }$ și $y_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }$, imaginile tind la $0$, respectiv la $1$, deci $l_d(0)$ nu există. O limită laterală lipsind, punctul e de speța a II-a — deși de o parte funcția se comportă perfect.

De reținut

• Punctul de discontinuitate aparține domeniului. În afara domeniului nu există nici continuitate, nici discontinuitate.
• Speța I: ambele limite laterale există și sunt FINITE, dar lanțul $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$ nu se închide. Cuvântul „finite" face parte din definiție.
• Speța a II-a: orice punct de discontinuitate care nu e de speța I — cel puțin o limită laterală este infinită sau nu există.
• Saltul $s=l_d(x_0)-l_s(x_0)$ se definește numai la speța I și poate fi zero, atunci când limitele laterale coincid, dar diferă de $f(x_0)$.
• De pe grafic: cerculeț gol sau trepte la distanță finită înseamnă speța I; ramuri care fug spre o dreaptă verticală sau oscilații care se îndesesc înseamnă speța a II-a.

Greșeli frecvente

• Spui „speța I înseamnă că limitele laterale există" și uiți „finite". Este greșeala clasică a acestui capitol. Contraexemplul de reținut: $\frac{1}{x^2}$ prelungită cu $f(0)=1$ are ambele limite laterale egale cu $+\infty$, deci existente, și totuși punctul e de speța a II-a.
• Declari discontinuitate într-un punct din afara domeniului. Pentru $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, punctul $0$ nu e punct de discontinuitate; el devine unul abia dacă extinzi domeniul la $\mathbb{R}$, dându-i o valoare.
• Confunzi „limita nu există" cu „limita e infinită". Sunt situații diferite: la $\frac{1}{x}$ în $0$ limitele laterale există în $\overline{\mathbb{R}}$ și sunt infinite; la $\sin \frac{1}{x}$ ele chiar nu există. Ambele dau speța a II-a, dar justificarea trebuie scrisă corect.
• Calculezi saltul la speța a II-a. Diferența $l_d-l_s$ nu are sens acolo: fie una dintre limite lipsește, fie ai ajunge la o operație interzisă, de tipul $(+\infty )-(+\infty )$.
• Crezi că salt zero înseamnă continuitate. Saltul nul spune doar că cele două limite laterale coincid; dacă valoarea $f(x_0)$ e altundeva, punctul rămâne de discontinuitate, ca în Exemplul 1.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de trepte. Timp de o zi, notează cinci mărimi din jurul tău care sar dintr-odată: numărul de pași afișat de telefon, tariful unui abonament la depășirea traficului inclus, temperatura afișată de un termostat cu praguri, numărul de persoane din autobuz, ora afișată de un ceas digital. Pentru fiecare, scrie momentul saltului și înălțimea lui.

2. Scara părții întregi. Desenează pe hârtie graficul funcției parte întreagă pentru $x\in [-2,3]$, cu cerculețe goale și puncte pline la locul lor. Verifică pe desen că, în fiecare număr întreg, saltul este $1$ și că funcția e continuă la dreapta. Este cel mai bun exercițiu de citire a limitelor laterale de pe grafic.

3. Prăpastia și oscilația. Pe un calculator care are funcții științifice, calculează $\frac{1}{x}$ și $\sin \frac{1}{x}$ pentru $x=0,1$; $0,01$; $0,001$; $0,0001$. Notează rezultatele în două coloane și descrie în cuvinte diferența dintre cele două comportamente: una fuge, cealaltă se agită. Amândouă înseamnă speța a II-a.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă observația calitativă „funcția are o ruptură" într-o clasificare riguroasă, cu două categorii și un criteriu unic de separare: caracterul finit al limitelor laterale. Pentru elev, dificultatea reală nu este calculul, ci precizia formulării. Programa cere explicit studiul punctelor de discontinuitate, iar baremele naționale verifică prezența cuvântului „finite" și corectitudinea distincției dintre „limita nu există" și „limita este infinită".

Ce verifică lecția: (1) verificarea apartenenței punctului la domeniu, înainte de orice; (2) calculul separat al celor două limite laterale și al valorii; (3) aplicarea criteriului de speță în forma completă; (4) calculul saltului, cu semnul lui, și înțelegerea cazului cu salt nul; (5) citirea tipului de discontinuitate de pe grafic. Întrebări bune de control: „Ce cuvânt lipsește din definiția «speța I înseamnă că limitele laterale există»?", „Poate o funcție să aibă salt zero și totuși să fie discontinuă?", „De ce $\frac{1}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu are puncte de discontinuitate?".

La BAC M1, cerințele tipice sunt „determinați punctele de discontinuitate" și „precizați speța", cel mai adesea într-un subiect cu funcție dată pe ramuri sau cu o prelungire într-un punct. Semne că elevul a înțeles: nu clasifică înainte de a verifica finitudinea, spune corect de care parte e funcția continuă și nu confundă saltul cu diferența dintre valoarea funcției și o limită. Continuarea firească este lecția Funcții continue definite pe ramuri, în care aceleași calcule se folosesc pentru a impune continuitatea, nu doar pentru a o constata.

Întrebări frecvente

Ce este un punct de discontinuitate? Este un punct din domeniul funcției în care funcția nu este continuă, adică în care nu se realizează egalitatea dintre limită și valoare. Dacă punctul nu aparține domeniului, întrebarea nu are sens.

Care e diferența dintre speța I și speța a II-a? La speța I, ambele limite laterale există și sunt finite (dar lanțul cu $f(x_0)$ nu se închide). La speța a II-a, cel puțin una dintre limitele laterale este infinită sau nu există deloc. Definiția speței a II-a se dă prin excludere.

De ce nu ajunge să spun că limitele laterale există? Pentru că o limită poate exista și să fie infinită. Funcția $\frac{1}{x^2}$, prelungită cu valoarea $1$ în zero, are ambele limite laterale egale cu $+\infty$ — există, dar nu sunt finite —, deci punctul este de speța a II-a, nu de speța I.

Ce este saltul unei funcții? Este numărul $s=l_d(x_0)-l_s(x_0)$, adică diferența dintre limita la dreapta și limita la stânga. Se definește doar în punctele de discontinuitate de speța I și măsoară înălțimea treptei, cu semn.

Poate saltul să fie zero? Da. Se întâmplă când cele două limite laterale sunt egale între ele, dar diferă de valoarea funcției în punct — cazul „gaură umplută greșit". Funcția rămâne discontinuă, deși graficul nu are treaptă.

Cum recunosc tipul de discontinuitate de pe grafic? Dacă vezi un cerculeț gol cu punctul mutat, sau două capete de ramură la înălțimi finite diferite, este speța I. Dacă ramurile se lipesc de o dreaptă verticală și fug în sus sau în jos, ori dacă oscilațiile se îndesesc fără să se așeze, este speța a II-a.

O funcție mărginită poate avea discontinuitate de speța a II-a? Da. Funcția $\sin \frac{1}{x}$, prelungită cu $0$ în zero, ia valori numai între $-1$ și $1$, dar limitele ei laterale în zero nu există, deci punctul este de speța a II-a. Speța a II-a nu înseamnă neapărat valori mari.