Puncte de extrem local: pe scurt

Teorema lui Fermat strânge suspecții — punctele critice, punctele de nederivabilitate și capetele domeniului —, dar nu spune care dintre ei este extrem. Judecătorul este criteriul derivatei întâi: dacă $f$ este continuă în $x_0$, iar $f^{\prime }$ trece de la $+$ la $-$, atunci $x_0$ este punct de maxim local; dacă trece de la $-$ la $+$, este punct de minim local; dacă semnul rămâne același de o parte și de alta, $x_0$ nu este punct de extrem.

Observă ce se cere și ce nu: continuitatea în $x_0$ este obligatorie, derivabilitatea acolo — nu. De aceea criteriul decide și în colțuri, unde derivatele laterale sunt finite și diferite, și în punctele de întoarcere, unde sunt infinite. Funcția $f(x)=\left|x\right|$ are minim în origine tocmai așa.

Regula de redactare care se punctează separat în barem: punctul de extrem este $x_0$, valoarea extremă este $f(x_0)$. Cerința „punctul de minim" cere abscisa, cerința „minimul" cere valoarea.

Un extrem local se compară doar cu o vecinătate. Pentru extremele globale pe un interval închis se calculează valorile în punctele critice, în punctele de nederivabilitate și în cele două capete, apoi se compară numerele; pe un domeniu nemărginit, comparația o face monotonia.

La problemele cu parametru, $f^{\prime }(x_0)=0$ este doar condiția necesară; verificarea naturii punctului, cu semnul lui $f^{\prime }$, este pasul al doilea și nu se sare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Punctul de maxim local al funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x+5$, este:

   • a) $x_0=2$
   • b) $x_0=21$
   • c) $x_0=-2$
   • d) $x_0=-11$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x_0=-2$

   $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$. Semnele sunt $+$, $-$, $+$, deci în $-2$ trecerea este de la $+$ la $-$: punct de maxim local. Valoarea maximă este $f(-2)=21$, iar $-11=f(2)$ este valoarea minimului local — numere care răspund la altă întrebare: punctul de extrem este abscisa, nu valoarea.

2. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left|x^2-6x+5\right|$, are în $x_0=3$:

   • a) punct de maxim local, cu valoarea $4$
   • b) punct de minim local, cu valoarea $4$
   • c) punct de maxim local, cu valoarea $3$
   • d) niciun extrem, pentru că $f$ nu este derivabilă acolo
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) punct de maxim local, cu valoarea $4$

   Trinomul are rădăcinile $1$ și $5$, deci pe $(1,5)$ modulul se explicitează: $f(x)=-x^2+6x-5$, cu $f^{\prime }(x)=-2x+6$, pozitivă înainte de $3$ și negativă după. Trecerea $+\to -$ dă maxim local, iar valoarea este $f(3)=\left|9-18+5\right|=4$. În $3$ funcția este chiar derivabilă; punctele unghiulare sunt $1$ și $5$, unde se află două minime globale.

3. Valoarea maximă a funcției $f:[-1,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+1$, este:

   • a) $-1$
   • b) $1$
   • c) $2$
   • d) $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $3$

   $f^{\prime }(x)=3x^2-3$ se anulează în $\pm 1$, dintre care $1$ este interior intervalului. Se compară valorile din toți candidații: $f(-1)=3$, $f(1)=-1$, $f(2)=3$. Cea mai mare este $3$, atinsă în ambele capete, iar cea mai mică este $-1$. Extremele globale nu stau neapărat într-un punct critic — capetele intră întotdeauna în comparație.