Punctele de extrem local și determinarea extremelor

Un drumeț care urcă spre o creastă știe că a ajuns în vârf fără să vadă harta: pur și simplu, panta de sub picioare se schimbă. Până în acel punct urca, după el coboară. Nu înălțimea îi spune că e vârful — ea nu se compară cu nimic acolo, sus —, ci schimbarea sensului pantei. Iar dacă panta rămâne orientată în sus și după ce a trecut peste o porțiune plată, atunci acea porțiune plată nu era un vârf, ci doar un palier.

Lecția aceasta transformă observația în criteriu. La Puncte de extrem. Teorema lui Fermat ai învățat să faci lista candidaților: punctele critice, capetele domeniului și punctele în care funcția nu e derivabilă. Natura fiecărui candidat se decidea acolo algebric, factorizând diferența $f(x)-f(x_0)$ — un procedeu corect, dar care se blochează la funcții precum $x{e}^x$ sau $x-\ln x$, unde nu ai ce factoriza. Acum, cu tabelul de semn al derivatei construit la Monotonia unei funcții dedusă din semnul derivatei întâi, decizia devine mecanică: te uiți dacă semnul lui $f^{\prime }$ se schimbă.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi criteriul derivatei întâi, care decide natura unui candidat din schimbarea semnului lui $f^{\prime }$.
• Vei ști să deosebești cele trei situații posibile în jurul unui punct critic: maxim, minim și „niciuna".
• Vei ști să determini extreme și în puncte în care funcția nu este derivabilă, folosind doar continuitatea.
• Vei ști să scrii corect răspunsul, respectând regula punct $\ne$ valoare fixată la lecția despre teorema lui Fermat.
• Vei ști să determini extremele globale ale unei funcții pe un interval închis și, când se poate, pe tot domeniul.
• Vei ști să determini parametri dintr-o condiție de extrem și să verifici că punctul obținut chiar este extrem.

Hai să descoperim împreună

1. Ce avem și ce ne lipsește

Definițiile rămân cele fixate la lecția despre teorema lui Fermat și nu se rescriu aici: punct de maxim local, punct de minim local, punct de extrem local, valoare extremă, extrem global și punct critic (punctul în care $f$ e derivabilă și $f^{\prime }(x_0)=0$). Reia-le de acolo dacă ți-au fugit din minte; tot acolo stă și regula de redactare pe care baremele o sancționează cel mai des:

Punctul de extrem este $x_0$; valoarea extremă este $f(x_0)$. Cerința „determinați punctul de minim" așteaptă abscisa, cerința „determinați minimul" așteaptă valoarea.

Ce lipsea era un criteriu: teorema lui Fermat spune că orice extrem interior al unei funcții derivabile se află printre punctele critice, dar nu spune care punct critic e extrem. Reciproca ei fiind falsă, lista rămânea o listă de suspecți. Unealta care îi judecă vine din monotonie.

2. Criteriul derivatei întâi

Criteriul derivatei întâi. Fie $I$ un interval, $x_0$ un punct interior lui $I$ și $f:I\to \mathbb{R}$ o funcție continuă în $x_0$ și derivabilă pe $(x_0-\epsilon ,x_0)\cup (x_0,x_0+\epsilon )$, pentru un $\epsilon >0$ cu $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )\subseteq I$.

• dacă $f^{\prime }(x)>0$ pentru $x\in (x_0-\epsilon ,x_0)$ și $f^{\prime }(x)<0$ pentru $x\in (x_0,x_0+\epsilon )$, atunci $x_0$ este punct de maxim local;
• dacă $f^{\prime }(x)<0$ la stânga și $f^{\prime }(x)>0$ la dreapta, atunci $x_0$ este punct de minim local;
• dacă $f^{\prime }$ păstrează același semn de o parte și de alta, atunci $x_0$ nu este punct de extrem.

Demonstrație. Tratăm primul caz. Pe intervalul $(x_0-\epsilon ,x_0)$ avem $f^{\prime }>0$, deci, prin Consecința 2 (monotonia) a teoremei lui Lagrange, $f$ e strict crescătoare acolo; fiind continuă în $x_0$, lema de lipire din lecția precedentă extinde concluzia la $(x_0-\epsilon ,x_0]$. Prin urmare $f(x)<f(x_0)$ pentru orice $x\in (x_0-\epsilon ,x_0)$. Analog, pe $[x_0,x_0+\epsilon )$ funcția e strict descrescătoare, deci $f(x)<f(x_0)$ și pentru $x\in (x_0,x_0+\epsilon )$. Așadar $f(x)\le f(x_0)$ pe toată vecinătatea $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$: exact definiția punctului de maxim local. Cazul al doilea se obține schimbând sensul inegalităților.

În cazul al treilea, fie $f^{\prime }>0$ de ambele părți: funcția e strict crescătoare pe $(x_0-\epsilon ,x_0]$ și pe $[x_0,x_0+\epsilon )$, iar lipirea le unește într-o creștere strictă pe toată vecinătatea. Atunci $f$ ia valori mai mici decât $f(x_0)$ la stânga și mai mari la dreapta, deci $x_0$ nu poate fi nici maxim, nici minim. $■$

Reține cum se citește criteriul în tabel: maximul e acolo unde semnele trec de la $+$ la $-$, iar minimul acolo unde trec de la $-$ la $+$. Săgeata memoriei: la maxim funcția întâi urcă, apoi coboară.

3. Cele trei situații, pe un singur exemplu

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3{e}^x$. Prin regula produsului, $$f^{\prime }(x)=3x^2{e}^x+x^3{e}^x=x^2{e}^x(x+3).$$ Cum $e^x>0$ și $x^2\ge 0$, semnul derivatei este dat de $x+3$, cu observația că derivata se anulează și în $0$, unde $x^2=0$. Punctele critice sunt deci $-3$ și $0$.

În $-3$ semnul trece de la $-$ la $+$: punct de minim local, cu valoarea $f(-3)=-\frac{27}{e^3}$. În $0$ semnul nu se schimbă (rămâne $+$ de ambele părți): punctul $0$ este critic, dar nu este punct de extrem — funcția are acolo doar un palier, apoi continuă să urce. (Verificat prin eșantionare densă pe cele trei intervale și prin comparație cu vecinătatea în ambele puncte.)

Exemplul arată de ce nu e suficient să rezolvi $f^{\prime }(x)=0$: dintre cele două soluții, doar una dă un extrem.

4. Extreme în puncte în care funcția nu e derivabilă

Criteriul cere continuitate în $x_0$, nu derivabilitate. De aceea el funcționează și acolo unde teorema lui Fermat tace: în colțuri și în puncte de întoarcere, studiate la Puncte unghiulare și puncte de întoarcere.

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left|x^2-4\right|$. Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$. Scriem explicitarea modulului: $f(x)=x^2-4$ pentru $|x|\ge 2$ și $f(x)=4-x^2$ pentru $|x|<2$. Derivata este $f^{\prime }(x)=2x$ pentru $|x|>2$ și $f^{\prime }(x)=-2x$ pentru $|x|<2$. În $-2$ derivatele laterale sunt $-4$ și $4$; în $2$ sunt tot $-4$ și $4$ — finite și diferite —, deci în ambele puncte funcția nu e derivabilă (puncte unghiulare).

Citim: în $-2$ semnul trece de la $-$ la $+$, deci minim local, cu valoarea $f(-2)=0$; în $0$ trece de la $+$ la $-$, deci maxim local, cu valoarea $f(0)=4$; în $2$ trece iarăși de la $-$ la $+$, deci minim local, cu valoarea $f(2)=0$. Cele două minime sunt de fapt globale, pentru că $f(x)\ge 0$ prin definiția modulului.

Situația se repetă la $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$, unde derivatele laterale în $0$ sunt infinite și de semne contrare (punct de întoarcere), iar semnul lui $f^{\prime }$ trece de la $-$ la $+$: originea este punct de minim, deși funcția nu e derivabilă acolo. Morala: lista candidaților are trei categorii, iar criteriul le judecă pe toate la fel.

5. Două funcții pe care algebra nu le rezolva

Aici închidem două cazuri lăsate deschise mai devreme, tocmai pentru că metoda algebrică a lecției despre teorema lui Fermat nu ajungea la ele.

(a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$. Derivata este $f^{\prime }(x)=(x+1)e^x$, cu singurul punct critic $x=-1$ și $f(-1)=-\frac{1}{e}$. Cum $e^x>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x+1$: negativ pe $(-\infty ,-1)$, pozitiv pe $(-1,+\infty )$. Trecerea de la $-$ la $+$ arată că $-1$ este punct de minim local, iar valoarea minimă este $-\frac{1}{e}$. Mai mult: funcția scade pe tot $(-\infty ,-1]$ și crește pe tot $[-1,+\infty )$, deci $f(x)\ge f(-1)$ pentru orice $x$ real — minimul este global.

Merită observat un lucru care derutează des. La Nedeterminările reduse la L'Hopital s-a calculat $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$. Cum $-\frac{1}{e}<0$, valoarea $0$ nu este un minorant al funcției; ea este doar valoarea către care funcția se apropie la $-\infty$, venind de deasupra, după ce urcă înapoi dinspre minim. Limita la un capăt și extremul sunt lucruri diferite.

(b) $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln x$. Derivata este $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$ Pe domeniu numitorul e pozitiv, deci semnul e al lui $x-1$: negativ pe $(0,1)$, pozitiv pe $(1,+\infty )$. Punctul $x=1$ este deci punct de minim, cu valoarea $f(1)=1-\ln 1=1$, iar minimul este global pe $(0,+\infty )$: funcția coboară până la $1$, apoi urcă. (Verificat prin eșantionare pe $200001$ puncte din domeniu: nicio valoare nu coboară sub $1$.)

6. De la extreme locale la extreme globale

Un extrem local compară valoarea doar cu o vecinătate. Când se cere cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției, ai nevoie de o comparație pe tot domeniul, iar rețeta depinde de forma domeniului.

Pe un interval închis $[a,b]$, dacă $f$ e continuă, se calculează valorile în toate cele trei categorii de candidați — puncte critice din interior, puncte de nederivabilitate, capetele $a$ și $b$ — și se compară numeric. Cea mai mare dintre ele este maximul global, cea mai mică este minimul global.

Pe un domeniu nemărginit, comparația numerică nu mai e posibilă, dar monotonia o înlocuiește: dacă funcția scade pe $(-\infty ,x_0]$ și crește pe $[x_0,+\infty )$, atunci $f(x)\ge f(x_0)$ peste tot, deci $x_0$ dă minimul global — exact argumentul folosit la §5.

⚠️ Capetele intervalului sunt puncte de extrem local, chiar dacă derivata nu se anulează acolo: comparația se face doar pe partea dinspre interior, singura care există. Teorema lui Fermat nu e contrazisă, pentru că ea cere ca punctul să fie interior.

7. Aplicația de examen: determinarea parametrilor

Cerința tipică sună: „determinați $a$ astfel încât funcția $f$ să aibă un punct de extrem în $x_0$; precizați natura acestuia". Rezolvarea are exact doi pași, în această ordine:

1. Condiția necesară, dată de teorema lui Fermat: dacă $x_0$ e interior și $f$ e derivabilă, atunci $f^{\prime }(x_0)=0$ — o ecuație în parametru.
2. Verificarea, cu criteriul derivatei întâi: se înlocuiește parametrul găsit, se studiază semnul lui $f^{\prime }$ în jurul lui $x_0$ și se spune dacă e maxim sau minim.

Pasul al doilea nu e opțional. Anularea derivatei este necesară, nu suficientă, iar baremele acordă punctaj separat pentru el.

Exemplu. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+a{x}^2+3$, cu punct de extrem în $x_0=-2$. Din $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax$ și $f^{\prime }(-2)=12-4a=0$ obținem $a=3$. Atunci $f^{\prime }(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$, cu semnele $+$, $-$, $+$ pe intervalele determinate de $-2$ și $0$. În $-2$ semnul trece de la $+$ la $-$: punct de maxim local, cu valoarea $f(-2)=-8+12+3=7$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un polinom cu două extreme

Determinați punctele de extrem local și valorile extreme ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x^2-9x+2$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$, cu punctele critice $-3$ și $1$. Probe de semn: $f^{\prime }(-4)=3\cdot (-1)\cdot (-5)=15>0$; $f^{\prime }(0)=-9<0$; $f^{\prime }(2)=3\cdot 5\cdot 1=15>0$.

În $-3$ semnul trece de la $+$ la $-$: punct de maxim local, valoarea $f(-3)=-27+27+27+2=29$. În $1$ trece de la $-$ la $+$: punct de minim local, valoarea $f(1)=1+3-9+2=-3$. ✓

Exemplul 2 — Trei puncte critice

Determinați punctele de extrem ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-8x^2+3$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x\left(x^2-4\right)=4x(x-2)(x+2)$, cu punctele critice $-2$, $0$ și $2$. Semnele, calculate cu probe: $f^{\prime }(-3)=4\cdot (-3)(-5)(-1)=-60<0$; $f^{\prime }(-1)=4\cdot (-1)(-3)(1)=12>0$; $f^{\prime }(1)=4\cdot 1\cdot (-1)\cdot 3=-12<0$; $f^{\prime }(3)=4\cdot 3\cdot 1\cdot 5=60>0$.

Trecerile sunt: $-$ la $+$ în $-2$, deci minim local, cu $f(-2)=16-32+3=-13$; $+$ la $-$ în $0$, deci maxim local, cu $f(0)=3$; $-$ la $+$ în $2$, deci minim local, cu $f(2)=-13$. Cele două minime sunt egale — funcția fiind pară — și sunt globale. ✓

Exemplul 3 — Un candidat care nu e extrem

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2x^3$, are un singur punct de extrem, deși are două puncte critice.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)$, deci punctele critice sunt $0$ și $\frac{3}{2}$. Cum $2x^2\ge 0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $2x-3$ peste tot, cu anulare suplimentară în $0$: negativ pe $(-\infty ,0)$, negativ pe $\left(0,\frac{3}{2}\right)$, pozitiv pe $\left(\frac{3}{2},+\infty \right)$.

În $0$ semnul nu se schimbă, deci $0$ nu e punct de extrem. În $\frac{3}{2}$ semnul trece de la $-$ la $+$: punct de minim local, cu valoarea $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{81}{16}-\frac{27}{4}=-\frac{27}{16}$. ✓

Exemplul 4 — Extrem într-un punct de nederivabilitate

Determinați punctele de extrem ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left|x-1\right|+2$, și precizați de ce teorema lui Fermat nu se aplică.

Rezolvare. Funcția e continuă pe $\mathbb{R}$. Pentru $x>1$ avem $f(x)=x+1$, deci $f^{\prime }(x)=1>0$; pentru $x<1$ avem $f(x)=3-x$, deci $f^{\prime }(x)=-1<0$. În $1$ derivatele laterale sunt $-1$ și $1$: finite, diferite, deci funcția nu e derivabilă acolo (punct unghiular).

Semnul lui $f^{\prime }$ trece de la $-$ la $+$ în $x=1$, deci $1$ este punct de minim, cu valoarea $f(1)=2$; el este chiar global, pentru că $\left|x-1\right|\ge 0$. Teorema lui Fermat nu se aplică pentru că ipoteza de derivabilitate cade — ceea ce nu împiedică existența extremului. ✓

Exemplul 5 — Extreme globale pe un interval închis

Determinați valoarea maximă și valoarea minimă ale funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-9x^2+12x$.

Rezolvare. $f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$, cu punctele critice $1$ și $2$, ambele în intervalul dat. Semnele: $+$ pe $(0,1)$, $-$ pe $(1,2)$, $+$ pe $(2,3)$. Deci $1$ e punct de maxim local, iar $2$ e punct de minim local.

Candidații pentru extremele globale sunt punctele critice și capetele: $f(0)=0$, $f(1)=5$, $f(2)=4$, $f(3)=9$. Comparând, valoarea maximă este $9$, atinsă în capătul $x=3$, iar valoarea minimă este $0$, atinsă în capătul $x=0$. (Verificat prin eșantionare pe $300001$ de puncte ale intervalului.)

Observă că niciunul dintre extremele globale nu se află într-un punct critic: maximul local $5$ din $x=1$ este mai mic decât valoarea din capăt. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+\frac{a}{x}$, unde $a$ este număr real. a) Determinați $a$ știind că funcția are un punct de extrem în $x_0=1$. b) Pentru valoarea găsită, precizați natura punctului $x_0=1$ și valoarea extremă corespunzătoare.

Rezolvare.

a) Funcția e derivabilă pe $(0,+\infty )$, cu $f^{\prime }(x)=2x-\frac{a}{x^2}$. Punctul $1$ fiind interior domeniului, teorema lui Fermat dă condiția necesară $f^{\prime }(1)=0$, adică $2-a=0$, deci $a=2$.

b) Pentru $a=2$ avem $$f^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}=\frac{2\left(x^3-1\right)}{x^2}=\frac{2(x-1)\left(x^2+x+1\right)}{x^2}.$$ Pe $(0,+\infty )$, numitorul și factorul $x^2+x+1$ sunt strict pozitivi, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $x-1$: negativ pe $(0,1)$, pozitiv pe $(1,+\infty )$. Trecerea de la $-$ la $+$ arată că $1$ este punct de minim, iar valoarea minimă este $f(1)=1+2=3$. Cum monotonia acoperă tot domeniul, minimul este global. ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu scrie separat punctul de extrem și valoarea extremă — baremele le punctează distinct.

1. Determină punctul de extrem și valoarea extremă ale funcției $f(x)=x^2-10x+7$.

2. Determină punctele de extrem local ale funcției $f(x)=x^3-3x^2-9x+11$ și valorile corespunzătoare.

3. Determină punctele de extrem local ale funcției $f(x)=-2x^3+3x^2+12x-1$.

4. Determină punctele de extrem ale funcției $f(x)=x^4-4x+1$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice punct critic al unei funcții derivabile este punct de extrem local."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este continuă în $x_0$ și $f^{\prime }$ trece de la $-$ la $+$ la trecerea prin $x_0$, atunci $x_0$ este punct de minim local."

7. Determină punctele de extrem ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2{e}^x$.

8. Determină punctul de extrem al funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x-x$, și valoarea extremă.

9. Determină punctul de minim al funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4\ln x$.

10. Arată că funcția $f(x)=\left|x-3\right|$ are minim în $x=3$ și explică de ce criteriul derivatei întâi se aplică, deși teorema lui Fermat nu.

11. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$, are minim global în origine.

12. Determină $a\in \mathbb{R}$ astfel încât funcția $f(x)=x^3+a{x}^2+5$ să aibă un punct de extrem în $x_0=4$, apoi precizează natura acestuia.

13. (Problemă aplicată.) Concentrația unei substanțe în sânge, la $t$ ore de la administrare, este $c(t)=\frac{8t}{t^2+4}$, $t\ge 0$. Determină momentul în care concentrația este maximă și valoarea maximă.

14. Determină punctul de minim al funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{16}{x}$, și valoarea minimă.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) La lecția despre teorema lui Fermat s-a arătat că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$, are punctele critice $-1$ și $2$. Precizează acum natura fiecăruia și valorile extreme.

16. Determină punctele de extrem local ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+4}$.

17. Explică, în trei-patru rânduri, de ce un punct de extrem interior al unei funcții derivabile este obligatoriu punct critic, dar un punct critic poate să nu fie punct de extrem.

18. (Provocare.) Determină $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$, să aibă un punct de minim local în $x=2$, cu $f(2)=-3$. Precizează apoi și celălalt punct de extrem.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=2x-10$, negativă pentru $x<5$ și pozitivă pentru $x>5$. Punctul de minim este $x_0=5$, iar valoarea minimă este $f(5)=-18$.

2. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$, cu semnele $+$, $-$, $+$. În $-1$ trecerea e de la $+$ la $-$: maxim local, $f(-1)=16$. În $3$ trecerea e de la $-$ la $+$: minim local, $f(3)=-16$.

3. $f^{\prime }(x)=-6x^2+6x+12=-6(x-2)(x+1)$. Coeficientul dominant fiind negativ, semnele sunt $-$, $+$, $-$. În $-1$: minim local, $f(-1)=-8$. În $2$: maxim local, $f(2)=19$.

4. $f^{\prime }(x)=4x^3-4=4(x-1)\left(x^2+x+1\right)$. Al doilea factor e strict pozitiv, deci semnul e al lui $x-1$: minim în $x_0=1$, cu valoarea $f(1)=-2$.

5. Fals. Este exact reciproca falsă a teoremei lui Fermat. Contraexemplu: $f(x)=x^3$ are $f^{\prime }(0)=0$, dar semnul derivatei rămâne pozitiv de ambele părți, deci $0$ nu e punct de extrem.

6. Adevărat. Este cazul al doilea al criteriului derivatei întâi. Ipoteza de continuitate în $x_0$ este esențială — fără ea, lipirea celor două monotonii nu se poate face.

7. $f^{\prime }(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=x{e}^x(x+2)$, cu punctele critice $-2$ și $0$. Semnele: $+$ pe $(-\infty ,-2)$, $-$ pe $(-2,0)$, $+$ pe $(0,+\infty )$. Deci $-2$ e punct de maxim local, cu $f(-2)=\frac{4}{e^2}$, iar $0$ e punct de minim local, cu $f(0)=0$.

8. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$. Pe domeniu numitorul e pozitiv, deci semnul e al lui $1-x$: pozitiv pe $(0,1)$, negativ pe $(1,+\infty )$. Punctul de maxim este $x_0=1$, cu valoarea $f(1)=-1$; maximul este global.

9. $f^{\prime }(x)=2x-\frac{4}{x}=\frac{2\left(x^2-2\right)}{x}$. Pe $(0,+\infty )$ semnul e al lui $x^2-2$: negativ până în $\sqrt{2}$, pozitiv după. Punctul de minim este $x_0=\sqrt{2}$, cu valoarea $f\left(\sqrt{2}\right)=2-2\ln 2$.

10. Pentru $x>3$ avem $f^{\prime }(x)=1>0$, iar pentru $x<3$, $f^{\prime }(x)=-1<0$. Funcția fiind continuă în $3$, criteriul dă minim local; el e și global, pentru că modulul e nenegativ. Teorema lui Fermat nu se aplică pentru că derivatele laterale în $3$ sunt $-1$ și $1$, deci funcția nu e derivabilă acolo — dar criteriul cere doar continuitate.

11. Pentru $x\ne 0$, funcția fiind pară, semnul derivatei este negativ pe $(-\infty ,0)$ și pozitiv pe $(0,+\infty )$: $f^{\prime }(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. Funcția e continuă în $0$, iar semnul trece de la $-$ la $+$, deci $0$ e punct de minim, cu valoarea $f(0)=0$; minimul e global, deoarece $\sqrt[3]{x^2}\ge 0$. În $0$ funcția nu e derivabilă: derivatele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$, deci originea e punct de întoarcere.

12. $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax$, iar $f^{\prime }(4)=48+8a=0$ dă $a=-6$. Atunci $f^{\prime }(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$, cu semnele $+$, $-$, $+$. În $4$ trecerea e de la $-$ la $+$: punct de minim local, cu valoarea $f(4)=64-96+5=-27$.

13. $c^{\prime }(t)=\frac{8\left(t^2+4\right)-8t\cdot 2t}{{\left(t^2+4\right)}^2}=\frac{8\left(4-t^2\right)}{{\left(t^2+4\right)}^2}$. Pe $[0,+\infty )$ semnul e al lui $4-t^2$: pozitiv pe $[0,2)$, negativ pe $(2,+\infty )$. Concentrația e maximă la $t=2$ ore, cu valoarea $c(2)=\frac{16}{8}=2$.

14. $f^{\prime }(x)=1-\frac{16}{x^2}=\frac{x^2-16}{x^2}$. Pe $(0,+\infty )$ semnul e al lui $x^2-16$: negativ pe $(0,4)$, pozitiv pe $(4,+\infty )$. Punctul de minim este $x_0=4$, cu valoarea minimă $f(4)=8$.

15. $f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$, cu semnele $+$, $-$, $+$. În $-1$ trecerea e de la $+$ la $-$: maxim local, valoarea $f(-1)=12$. În $2$ trecerea e de la $-$ la $+$: minim local, valoarea $f(2)=-15$.

16. $f^{\prime }(x)=\frac{\left(x^2+4\right)-x\cdot 2x}{{\left(x^2+4\right)}^2}=\frac{4-x^2}{{\left(x^2+4\right)}^2}$. Semnul e al lui $4-x^2$: $-$, $+$, $-$. În $-2$: minim local, $f(-2)=-\frac{1}{4}$. În $2$: maxim local, $f(2)=\frac{1}{4}$.

17. Implicația „extrem interior $\Rightarrow$ punct critic" este teorema lui Fermat: dacă funcția ar avea derivata nenulă în punct, ea ar crește sau ar scădea acolo, deci ar lua și valori mai mari, și valori mai mici decât $f(x_0)$ în orice vecinătate. Reciproca cade pentru că anularea derivatei înseamnă doar tangentă orizontală într-o clipă; dacă semnul lui $f^{\prime }$ nu se schimbă, funcția își continuă sensul de variație, ca la $f(x)=x^3$ în origine.

18. $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$. Condiția de extrem în $2$ dă $f^{\prime }(2)=12+4a+b=0$, iar $f(2)=8+4a+2b+1=-3$ dă $4a+2b=-12$, adică $2a+b=-6$. Scăzând a doua ecuație din prima: $2a=-6$, deci $a=-3$ și $b=0$. Funcția este $f(x)=x^3-3x^2+1$, cu $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$: semnele $+$, $-$, $+$ confirmă că $2$ e punct de minim local (valoarea $-3$), iar celălalt punct de extrem este $x=0$, punct de maxim local, cu valoarea $f(0)=1$.

De reținut

• Criteriul derivatei întâi: dacă $f$ e continuă în $x_0$ și $f^{\prime }$ trece de la $+$ la $-$, atunci $x_0$ e punct de maxim local; de la $-$ la $+$, punct de minim local; dacă semnul nu se schimbă, nu e extrem.
• Criteriul cere continuitate, nu derivabilitate în $x_0$ — de aceea el decide și în colțuri și în puncte de întoarcere, acolo unde teorema lui Fermat tace.
• Punctul nu este valoarea: răspunsul complet conține abscisa $x_0$ și valoarea $f(x_0)$, scrise separat.
• Un punct critic poate să nu fie extrem: la $f(x)=x^3{e}^x$, derivata se anulează în $0$ fără schimbare de semn, deci acolo nu e nici maxim, nici minim.
• Extremele globale pe un interval închis se găsesc comparând valorile din punctele critice, din punctele de nederivabilitate și din capete; pe domenii nemărginite, comparația se face prin monotonie.

Greșeli frecvente

• Declari extrem imediat după $f^{\prime }(x_0)=0$. Anularea derivatei dă doar un candidat; natura lui cere studiul semnului de o parte și de alta.
• Confunzi punctul cu valoarea. „Minimul funcției este $1$" când $1$ este abscisa este un răspuns greșit; scrie „punctul de minim este $x_0=1$, iar valoarea minimă este $f(1)=3$".
• Uiți punctele în care funcția nu e derivabilă. La $f(x)=\left|x^2-4\right|$, cele două minime sunt tocmai în punctele unghiulare $\pm 2$; cine caută doar soluțiile lui $f^{\prime }(x)=0$ le pierde.
• Confunzi extremul local cu cel global. La $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-9x^2+12x$, maximul local este $5$, dar valoarea maximă pe interval este $9$, atinsă în capăt.
• Aplici criteriul fără să verifici continuitatea. Dacă funcția are un salt în $x_0$, semnele derivatei de o parte și de alta nu se pot lipi, iar concluzia despre extrem poate fi falsă.

Aplică acasă

1. Vârfuri pe hartă. Deschide o hartă de traseu montan cu profil de altitudine (sau desenează una). Marchează vârfurile și șeile, apoi scrie pentru fiecare dacă panta trece de la urcare la coborâre sau invers. Verifică pe desen că fiecare vârf corespunde trecerii $+\to -$ și fiecare șa trecerii $-\to +$.

2. Cutia de volum maxim. Dintr-o coală A4 (aproximativ $21\times 29,7$ cm) decupează la colțuri patru pătrate de latură $x$ și îndoaie marginile. Calculează volumul ca funcție de $x$, determină punctul critic din interiorul domeniului și verifică practic, construind trei cutii cu $x$ diferit, că volumul cel mai mare corespunde valorii calculate.

3. Vârful zilei. Notează, timp de o săptămână, ora la care temperatura din orașul tău atinge maximul zilei — o găsești în orice aplicație de vreme. Pentru fiecare zi scrie separat punctul de maxim (ora) și valoarea maximă (temperatura), exact ca într-un răspuns de examen, apoi observă cât de des cele două se confundă în vorbirea obișnuită: „azi maximul a fost la $15$" nu spune dacă e vorba de oră sau de grade.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide bucla deschisă de teorema lui Fermat: acolo s-a construit lista candidaților, aici se decide natura fiecăruia. Ideea metodologică este că derivata, folosită de două ori — o dată pentru a găsi candidații, a doua oară pentru a le studia semnul în jurul lor —, rezolvă complet o problemă de optimizare. Programa cere ca punctele de extrem să fie evidențiate în tabelul de variație, iar lecția pregătește exact citirea care se va face acolo.

Ce verifică lecția: (1) enunțul complet al criteriului derivatei întâi, cu ipoteza de continuitate; (2) construirea corectă a tabelului de semn al derivatei; (3) citirea naturii punctelor din schimbările de semn; (4) tratarea punctelor de nederivabilitate și a capetelor; (5) redactarea care distinge punctul de valoare.

Întrebări bune de control: „Ce faci după ce ai rezolvat $f^{\prime }(x)=0$?", „Poate exista un extrem acolo unde derivata nu există?", „Care e diferența dintre maxim local și valoare maximă?". La BAC M1, cerința apare an de an în subiectul al doilea, singură sau ca pas într-o problemă cu parametru. Semn că elevul a înțeles: după ce află parametrul dintr-o condiție de extrem, verifică natura punctului fără să i se ceară.

Întrebări frecvente

Cum aflu dacă un punct critic este maxim sau minim? Studiezi semnul derivatei imediat la stânga și imediat la dreapta punctului. Dacă semnul trece de la plus la minus, ai un maxim local; dacă trece de la minus la plus, ai un minim local; dacă rămâne același, punctul nu este de extrem.

Ce este criteriul derivatei întâi? Este regula care decide natura unui punct pornind de la schimbarea semnului derivatei în jurul lui. Se demonstrează din Consecința 2 a teoremei lui Lagrange: pe fiecare parte funcția este strict monotonă, iar continuitatea în punct lipește cele două comportări.

Poate o funcție să aibă extrem într-un punct în care nu e derivabilă? Da. Criteriul cere doar continuitate în acel punct. Exemplele clasice sunt funcția modul, cu minim în origine, și $\sqrt[3]{x^2}$, tot cu minim în origine, unde derivatele laterale sunt infinite.

Care e diferența dintre punctul de extrem și valoarea extremă? Punctul de extrem este abscisa $x_0$, adică locul de pe axa $Ox$; valoarea extremă este $f(x_0)$, adică înălțimea graficului acolo. Un răspuns complet le conține pe amândouă, scrise separat.

Cum găsesc valoarea maximă a unei funcții pe un interval închis? Calculezi valorile funcției în punctele critice din interior, în punctele în care nu e derivabilă și în cele două capete, apoi compari numerele obținute. Cea mai mare este maximul, cea mai mică este minimul.

De ce nu e suficient să rezolv ecuația derivatei egale cu zero? Pentru că reciproca teoremei lui Fermat este falsă: există puncte în care derivata se anulează fără ca funcția să își schimbe sensul de variație. Exemplul standard este $x^3$ în origine, iar unul mai bogat este $x^3{e}^x$, care are două puncte critice și un singur extrem.

Un extrem local este întotdeauna și global? Nu. Un maxim local compară valoarea doar cu o vecinătate, deci funcția poate lua altundeva valori mai mari. Extremul devine global numai dacă monotonia sau o inegalitate demonstrată acoperă tot domeniul.

Ce înseamnă că minimul unei funcții este atins în capătul intervalului? Înseamnă că cea mai mică valoare apare într-un punct de frontieră al domeniului, unde comparația se face doar pe o parte. Acolo derivata nu trebuie să se anuleze, iar teorema lui Fermat nici nu se aplică, pentru că ea cere puncte interioare.