Puncte de inflexiune: pe scurt

Punctul de inflexiune este locul unde graficul trece de la a ține apa la a o vărsa, sau invers — momentul de cotitură, în care se schimbă ritmul, nu direcția.

Definiție: $x_0$, punct din interiorul domeniului, în care $f$ este continuă, se numește punct de inflexiune dacă funcția își schimbă convexitatea acolo: de o parte $\cup$, de cealaltă $\cap$.

Condiția necesară restrânge căutarea: dacă $f$ este de două ori derivabilă în jurul lui $x_0$ și $x_0$ e punct de inflexiune, atunci $f^{\prime \prime }(x_0)=0$. Motivul e teorema lui Fermat aplicată lui $f^{\prime }$, care are acolo un extrem local. Ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ dă deci o listă de candidați, nu un răspuns.

Criteriul complet cere ca $f^{\prime \prime }$ să își schimbe efectiv semnul în $x_0$. De aici cele două capcane, oglindă una alteia: la $f(x)=x^4$ avem $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar semnul rămâne pozitiv, deci nu e inflexiune; la $f(x)=\frac{1}{x}$ semnul lui $f^{\prime \prime }$ chiar se schimbă, dar $0$ nu aparține domeniului, deci iarăși nu e inflexiune. Sunt necesare amândouă condițiile.

Punct $\ne$ valoare, și aici: $x_0$ este punctul de inflexiune al funcției, iar perechea $(x_0,f(x_0))$ este punctul de inflexiune al graficului. În tabel, valoarea primește marcajul $\text{I}$, perechea lui $\text{M}$ și $\text{m}$. Nu confunda rândurile: extremul ține de $f^{\prime }$ și de monotonie, inflexiunea de $f^{\prime \prime }$ și de curbură.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-3{)}^4+2x$. Despre $x_0=3$ se poate spune că:

   • a) este punct de inflexiune, pentru că $f^{\prime \prime }(3)=0$
   • b) nu este punct de inflexiune, pentru că $f^{\prime \prime }$ nu își schimbă semnul acolo
   • c) este punct de minim local
   • d) este punct de maxim local
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) nu este punct de inflexiune, pentru că $f^{\prime \prime }$ nu își schimbă semnul acolo

   $f^{\prime }(x)=4(x-3{)}^3+2$ și $f^{\prime \prime }(x)=12(x-3{)}^2$, care se anulează în $3$ și este strict pozitivă în rest: semnul rămâne $+$ de ambele părți, deci funcția e convexă și nu își schimbă curbura. Nu e nici punct de extrem, pentru că $f^{\prime }(3)=2\ne 0$. Este varianta deghizată a capcanei standard $x^4$: anularea lui $f^{\prime \prime }$ e doar condiție necesară.

2. Funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{5\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x-5}$:

   • a) nu are puncte de inflexiune, deși semnul lui $f^{\prime \prime }$ se schimbă în jurul lui $5$
   • b) are punctul de inflexiune $x_0=5$
   • c) are punctul de inflexiune al graficului $(5,0)$
   • d) este convexă pe tot domeniul
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) nu are puncte de inflexiune, deși semnul lui $f^{\prime \prime }$ se schimbă în jurul lui $5$

   $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x-5{)}^3}$ este negativă înainte de $5$ și pozitivă după, deci funcția e concavă pe $(-\infty ,5)$ și convexă pe $(5,+\infty )$. Definiția cere însă ca punctul să fie interior domeniului, iar $5$ nu aparține domeniului: nu există nicio vecinătate a lui pe care funcția să fie definită, deci nu există nicio trecere. În tabel, acolo se scrie bara $|$, nu $0$.

3. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+7$, punctul de inflexiune al graficului este:

   • a) $x_0=2$
   • b) $(2,7)$
   • c) $(-9,2)$
   • d) $(2,-9)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $(2,-9)$

   $f^{\prime \prime }(x)=6x-12$ se anulează în $2$ și trece de la minus la plus, deci $x_0=2$ este punct de inflexiune al funcției. Cerința fiind despre grafic, răspunsul are două coordonate: $f(2)=8-24+7=-9$, deci punctul este $(2,-9)$. Valoarea $7$ este $f(0)$, iar inversarea coordonatelor este cealaltă greșeală clasică.