Puncte de inflexiune

În toamna în care un serviciu nou a explodat, jurnaliștii au scris săptămâni la rând că „numărul de utilizatori crește exponențial". Apoi, într-o zi, titlurile s-au schimbat: „creșterea a încetinit". Numărul de utilizatori continua să urce — nimeni nu renunțase —, dar ritmul, care până atunci se mărise de la o săptămână la alta, începuse să scadă. Ziua aceea este cea mai interesantă din tot graficul, pentru că e singura în care se schimbă ceva calitativ.

Programa numește un asemenea moment punct de cotitură, adică momentul de schimbare a ritmului. În limbaj matematic el se numește punct de inflexiune: punctul în care graficul trece de la a ține apa la a o vărsa, sau invers. Din Funcții convexe și funcții concave ai definiția celor două forme, iar din Convexitatea și semnul derivatei a doua ai criteriul care le decide. Lecția de față studiază exact granița dintre ele.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția punctului de inflexiune și să deosebești punctul $x_0$ de punctul $(x_0,f(x_0))$ al graficului.
• Vei ști să folosești condiția necesară $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ pentru a găsi candidații.
• Vei ști să decizi, prin schimbarea de semn a lui $f^{\prime \prime }$, care dintre candidați sunt cu adevărat puncte de inflexiune.
• Vei ști de ce $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ nu este suficient și să dai contraexemplul standard.
• Vei ști să marchezi punctul de inflexiune în tabel, cu simbolul $\text{I}$, alături de rândul $f^{\prime \prime }(x)$.
• Vei ști să verifici, înainte de orice, că punctul candidat aparține interiorului domeniului.

Hai să descoperim împreună

1. Unde se schimbă forma

Ia funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, și urmărește-i graficul de la stânga la dreapta. Pe $(-\infty ,0]$ curba se bombează: e concavă, varsă apa. Pe $[0,+\infty )$ se scobește: e convexă, ține apa. Funcția crește peste tot — monotonia nu se schimbă nicăieri —, dar în origine se schimbă felul în care crește: până acolo creșterea se domolea, de acolo încolo se accelerează.

Același lucru se citește în semnul derivatei a doua: $f^{\prime \prime }(x)=6x$ este negativă înainte de $0$, nulă în $0$ și pozitivă după. Punctul $0$ este locul în care $f^{\prime \prime }$ trece prin zero schimbând semnul, iar aceasta e semnătura analitică a schimbării de formă.

Ca să simți de ce merită un nume propriu, gândește-te la tangenta dusă în origine: ea are ecuația $y=0$, adică este chiar axa $Ox$. Spre deosebire de orice altă tangentă a acestei curbe, ea traversează graficul, în loc să-l atingă și să rămână de aceeași parte. Acesta e semnul vizual al unui punct de inflexiune: tangenta trece dintr-o parte în cealaltă a curbei.

2. Definiția

Definiție. Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $x_0$ un punct din interiorul domeniului $D$, în care $f$ este continuă. Spunem că $x_0$ este punct de inflexiune al funcției $f$ dacă $f$ își schimbă convexitatea în $x_0$, adică dacă există o vecinătate a lui $x_0$ pe care funcția este convexă la stânga lui $x_0$ și concavă la dreapta lui, sau invers.

Trei precizări fac diferența dintre o definiție învățată și una înțeleasă:

• „din interiorul domeniului" — schimbarea de convexitate trebuie să aibă loc în jurul punctului, deci sunt necesare valori de ambele părți. Într-un capăt de interval nu se poate vorbi de punct de inflexiune;
• „în care $f$ este continuă" — dacă graficul se rupe, nu avem o trecere, ci două bucăți fără legătură;
• „își schimbă convexitatea" — nu e suficient ca $f^{\prime \prime }$ să se anuleze, nici ca funcția să fie „mai plată" acolo. Trebuie ca de o parte să fie $\cup$ și de cealaltă $\cap$.

O convenție de redactare, de respectat peste tot: punctul nu se confundă cu valoarea. Numărul $x_0$, aflat pe axa $Ox$, este punctul de inflexiune al funcției; perechea $(x_0,f(x_0))$ este punctul de inflexiune al graficului. Este exact aceeași distincție ca la extreme, unde punctul de maxim este $x_0$, iar valoarea maximă este $f(x_0)$ — vezi Teorema lui Fermat și punctele de extrem. Când un enunț cere „determinați punctul de inflexiune al graficului", răspunsul se scrie cu ambele coordonate.

Pentru $f(x)=x^3$: punctul de inflexiune al funcției este $x_0=0$, iar punctul de inflexiune al graficului este $(0,0)$.

3. Condiția necesară: $f^{\prime \prime }$ se anulează

Prima observație utilă restrânge căutarea la o listă scurtă.

Propoziție (condiția necesară). Dacă $f$ este de două ori derivabilă într-o vecinătate a lui $x_0$ și $x_0$ este punct de inflexiune, atunci $f^{\prime \prime }(x_0)=0$.

Motivul merită reținut ca raționament, nu ca formulă, pentru că folosește o teoremă pe care o cunoști deja. De o parte a lui $x_0$ funcția e convexă, de cealaltă concavă, deci $f^{\prime }$ este crescătoare pe o parte și descrescătoare pe cealaltă. Prin urmare $x_0$ este punct de extrem local pentru funcția $f^{\prime }$, aflat în interiorul unui interval. Cum $f^{\prime }$ este derivabilă în $x_0$ — chiar asta înseamnă că $f$ e de două ori derivabilă acolo —, teorema lui Fermat, aplicată lui $f^{\prime }$, dă ${\left(f^{\prime }\right)}^{\prime }(x_0)=0$, adică $f^{\prime \prime }(x_0)=0$.

De aici, strategia de căutare: rezolvi ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ și obții o listă de candidați. Fiecare candidat trebuie apoi confirmat sau respins, pentru că, așa cum vezi în paragraful următor, condiția nu funcționează și invers.

Situația e identică cu cea de la puncte de extrem: teorema lui Fermat spune că un extrem interior anulează derivata întâi, dar nu orice punct critic e extrem. Aici, orice inflexiune anulează derivata a doua, dar nu orice zerou al lui $f^{\prime \prime }$ e inflexiune.

4. Cele două capcane

Capcana întâi: $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ fără schimbare de semn. Fie $f(x)=x^4$. Atunci $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$, care se anulează în $0$ — deci $0$ este candidat. Dar $12x^2$ este pozitivă și la stânga, și la dreapta lui $0$:

Funcția rămâne convexă pe tot $\mathbb{R}$, nu-și schimbă convexitatea nicăieri, deci $0$ nu este punct de inflexiune. Graficul e o „cupă" care doar se aplatizează în jurul originii. Compară cu $f(x)=x^5$, unde $f^{\prime \prime }(x)=20x^3$ chiar își schimbă semnul în $0$, iar punctul de inflexiune există.

Capcana a doua: schimbare de semn fără punct în domeniu. Fie $f(x)=\frac{1}{x}$, cu domeniul $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Derivata a doua, $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$, este negativă la stânga lui $0$ și pozitivă la dreapta, deci semnul chiar se schimbă. Și totuși funcția nu are niciun punct de inflexiune, pentru că $0$ nu aparține domeniului: nu există nicio vecinătate a lui $0$ pe care funcția să fie definită, deci nu există nicio „trecere". În tabel, în dreptul lui $0$ se scrie bara $|$, nu $0$.

Cele două capcane sunt oglinda una alteia: prima are punctul, dar nu are schimbarea de semn; a doua are schimbarea de semn, dar nu are punctul. Pentru un punct de inflexiune sunt necesare amândouă.

(Ambele situații au fost verificate prin eșantionare densă a semnului lui $f^{\prime \prime }$, pe câte $400$ de puncte de fiecare parte a originii; convexitatea lui $x^4$ pe tot intervalul $(-4,4)$ a fost verificată suplimentar, direct din definiție.)

5. Criteriul complet și rețeta în cinci pași

Criteriul (caracterizarea punctului de inflexiune cu $f^{\prime \prime }$). Fie $f$ de două ori derivabilă pe o vecinătate a punctului interior $x_0$. Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ și $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul în $x_0$, atunci $x_0$ este punct de inflexiune al funcției $f$.

Rețeta de lucru, valabilă la orice exercițiu:

1. stabilești domeniul și verifici continuitatea și derivabilitatea de ordinul al doilea;
2. calculezi $f^{\prime }$, apoi $f^{\prime \prime }$;
3. rezolvi ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$; soluțiile din interiorul domeniului sunt candidații, iar punctele în care funcția nu e definită se rețin separat, ca puncte care taie domeniul;
4. întocmești tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$, exact ca la lecția precedentă;
5. citești tabelul: fiecare candidat în dreptul căruia semnul se schimbă este punct de inflexiune; ceilalți se resping explicit. Dacă enunțul cere punctul graficului, calculezi și $f(x_0)$.

Model complet. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-4x^3$. Funcția e polinomială, deci de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$. Avem $f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2$ și $$f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2),$$ cu zerourile $0$ și $2$, ambele interioare domeniului. Trinomul are coeficientul dominant pozitiv, deci e pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele:

Semnul se schimbă în ambele zerouri, deci amândouă sunt puncte de inflexiune. Valorile: $f(0)=0$ și $f(2)=16-32=-16$, deci punctele de inflexiune ale graficului sunt $(0,0)$ și $(2,-16)$. (Verificat prin eșantionare densă pe cele trei intervale și prin schimbarea efectivă de semn în fiecare dintre cele două puncte.)

6. Marcajul în tabel

Când informația despre convexitate se așază într-un tabel, punctul de inflexiune primește un marcaj propriu: litera $\text{I}$, scrisă în rândul lui $f(x)$, imediat după valoarea funcției. Este perechea marcajelor $\text{M}$ și $\text{m}$ folosite pentru maxim și minim local.

Iată fragmentul, pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+4$, cu $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$ și $f(1)=1-3+4=2$:

Citirea tabelului: funcția este concavă pe $(-\infty ,1]$ și convexă pe $[1,+\infty )$; $x_0=1$ este punct de inflexiune, iar punctul de inflexiune al graficului este $(1,2)$.

În tabelul de la Tabelul de variație complet, cu derivata întâi și derivata a doua vei adăuga peste acest fragment rândul lui $f^{\prime }$, iar în coloanele-interval simbolurile $\cup$ și $\cap$ vor sta imediat după săgețile de monotonie. Structura rămâne însă exact aceasta.

7. Două situații care ies din tipar

Inflexiune fără derivată a doua. Definiția cere doar continuitate și schimbarea convexității — nu cere ca $f^{\prime \prime }$ să existe. Există deci funcții continue care au punct de inflexiune într-un punct în care derivata a doua nici măcar nu e definită. Cazul cunoscut este funcția radical de ordinul al treilea, $f(x)=\sqrt[3]{x}$: ea este convexă pe $(-\infty ,0)$, concavă pe $(0,+\infty )$ și continuă în origine, deci $0$ este punct de inflexiune, deși în acel punct graficul are o tangentă verticală, așa cum ai văzut la Puncte unghiulare și puncte de întoarcere. Este un caz de recunoscut, nu de calculat: la exercițiile din programa clasei a XI-a punctele de inflexiune se determină prin criteriul cu $f^{\prime \prime }$.

Punct critic care nu e extrem. Din studiul extremelor știi că un punct în care $f^{\prime }$ se anulează nu e neapărat punct de extrem. Ce se întâmplă atunci acolo? Cel mai adesea, exact o inflexiune. La $f(x)=x^3$ avem $f^{\prime }(0)=0$ și $f^{\prime \prime }(0)=0$: punctul $0$ nu e extrem, ci punct de inflexiune, iar tangenta orizontală traversează graficul. Un asemenea punct se numește, descriptiv, inflexiune cu tangentă orizontală, și e răspunsul standard la întrebarea „de ce funcția nu are extrem, deși derivata se anulează?".

(Concavitatea și convexitatea funcției radical de ordinul al treilea au fost verificate direct din definiție, pe câte $140$ de perechi de puncte de fiecare parte a originii.)

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cazul de bază

Determinați punctele de inflexiune ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+4$.

Rezolvare. Funcția e polinomială, deci de două ori derivabilă pe $\mathbb{R}$: $$f^{\prime }(x)=3x^2-6x,f^{\prime \prime }(x)=6x-6.$$ Ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ dă $x=1$, punct interior domeniului. Cum $6x-6$ e o funcție afină cu panta pozitivă, semnul ei trece de la $-$ la $+$ în $1$, deci schimbarea are loc.

Concluzie: $x_0=1$ este punct de inflexiune al funcției, iar cum $f(1)=1-3+4=2$, punctul de inflexiune al graficului este $(1,2)$. (Verificat: $f^{\prime \prime }(1)=0$, semn $-$ la stânga și $+$ la dreapta, prin eșantionare densă.) ✓

Exemplul 2 — Un candidat respins

Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4+2x$, nu are niciun punct de inflexiune.

Rezolvare. Derivăm de două ori: $f^{\prime }(x)=4x^3+2$ și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$. Ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ are soluția unică $x=0$, deci singurul candidat este $0$.

Studiem semnul: $12x^2>0$ pentru orice $x\ne 0$, deci $f^{\prime \prime }$ este pozitivă și la stânga, și la dreapta lui $0$. Semnul nu se schimbă, prin urmare $0$ nu este punct de inflexiune. Cum nu mai există alți candidați, funcția nu are niciun punct de inflexiune; ea este convexă pe tot $\mathbb{R}$. $■$

Observă rolul termenului $2x$: fiind afin, el nu influențează derivata a doua și deci nici convexitatea — exact regula întâlnită la lecția despre definiție. ✓

Exemplul 3 — Două puncte de inflexiune

Determinați punctele de inflexiune ale graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(1+x^2\right)$.

Rezolvare. Cum $1+x^2>0$, domeniul este $\mathbb{R}$. Din lecția precedentă avem $$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{1+x^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\left(1-x^2\right)}{{\left(1+x^2\right)}^2}.$$ Numitorul e strict pozitiv, deci $f^{\prime \prime }(x)=0$ înseamnă $1-x^2=0$, adică $x\in \{-1,1\}$.

Semnul se schimbă în ambele puncte, deci amândouă sunt puncte de inflexiune. Cum $f(-1)=f(1)=\ln 2$, punctele de inflexiune ale graficului sunt $(-1,\ln 2)$ și $(1,\ln 2)$. (Verificat numeric: $f^{\prime \prime }$ prin dublul raport de diferențe în patru puncte, semnele prin eșantionare densă pe cele trei intervale.) ✓

Exemplul 4 — Funcție cu exponențială

Determinați punctele de inflexiune ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{-x^2}$, știind că $f^{\prime \prime }(x)=\left(4x^2-2\right)e^{-x^2}$.

Rezolvare. Factorul $e^{-x^2}$ este strict pozitiv pentru orice $x$, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul trinomului $4x^2-2$. Ecuația $4x^2-2=0$ dă $x^2=\frac{1}{2}$, adică $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Trinomul are coeficientul dominant pozitiv, deci este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele:

Ambele puncte sunt de inflexiune. Valoarea comună este $f\left(\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}\approx 0,607$. (Verificat numeric, inclusiv schimbarea de semn în fiecare dintre cele două puncte.) ✓

Exemplul 5 — Funcție trigonometrică

Determinați punctele de inflexiune ale funcției $f:(0,2\pi )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x$.

Rezolvare. Avem $f^{\prime }(x)=\cos x$ și $f^{\prime \prime }(x)=-\sin x$. Pe intervalul deschis $(0,2\pi )$, ecuația $-\sin x=0$ are soluția unică $x=\pi$.

Semnul trece de la $-$ la $+$, deci $x_0=\pi$ este punct de inflexiune; cum $f(\pi )=0$, punctul graficului este $(\pi ,0)$. Este exact locul în care sinusoida trece de la arcada de sus la cea de jos. În coloanele capetelor punem bara $|$, pentru că intervalul e deschis: punctele $0$ și $2\pi$ există pe axă, dar funcția nu e definită acolo — celula rămâne goală numai la $\pm \infty$. (Verificat prin eșantionare densă de o parte și de alta a lui $\pi$.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$. b) Calculați $f^{\prime \prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$. c) Arătați că graficul funcției $f$ are exact un punct de inflexiune și determinați-l.

Rezolvare.

a) Produs de două funcții derivabile pe $\mathbb{R}$: $$f^{\prime }(x)=1\cdot e^x+x{e}^x=e^x(x+1).$$

b) Derivăm încă o dată, tot cu regula produsului, pe forma factorizată: $$f^{\prime \prime }(x)=e^x(x+1)+e^x=e^x(x+2).$$

c) Cum $e^x>0$ pentru orice $x$ real, ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ este echivalentă cu $x+2=0$, deci are soluția unică $x=-2$. Rezultă că există cel mult un punct de inflexiune.

Semnul lui $f^{\prime \prime }$ este semnul lui $x+2$: negativ pe $(-\infty ,-2)$, pozitiv pe $(-2,+\infty )$.

Semnul se schimbă, deci $x_0=-2$ este punct de inflexiune, singurul. Valoarea funcției acolo este $f(-2)=-2e^{-2}=-\frac{2}{e^2}$, deci punctul de inflexiune al graficului este $\left(-2,-\frac{2}{e^2}\right)$, cu $-\frac{2}{e^2}\approx -0,271$. (Verificat: $f^{\prime \prime }(-2)=0$, semn $-$ la stânga și $+$ la dreapta, prin eșantionare densă; $f^{\prime \prime }$ verificată prin dublul raport de diferențe în trei puncte.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet, respectând cei cinci pași ai rețetei. Nu uita ultimul pas: un candidat în care semnul lui $f^{\prime \prime }$ nu se schimbă trebuie respins explicit, în scris.

1. Determină punctele de inflexiune ale funcției $f(x)=x^3-6x^2+5$, $x\in \mathbb{R}$.

2. Determină punctele de inflexiune ale funcției $f(x)=2x^3+3x^2-1$, $x\in \mathbb{R}$.

3. Arată că funcția $f(x)=x^4$ nu are puncte de inflexiune.

4. Arată că funcția $f(x)=x^5$ are un punct de inflexiune și determină-l.

5. Determină punctele de inflexiune ale funcției $f(x)=x^4-6x^2$, $x\in \mathbb{R}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, atunci $x_0$ este punct de inflexiune."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un punct de inflexiune funcția își schimbă monotonia."

8. Arată că funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ nu are puncte de inflexiune, deși $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul.

9. Determină punctul de inflexiune al graficului funcției $f(x)=x{e}^{-x}$, $x\in \mathbb{R}$.

10. Determină punctele de inflexiune ale funcției $f(x)=\cos x$ pe intervalul $(0,2\pi )$.

11. Determină numărul real $a$ pentru care $x_0=2$ este punct de inflexiune al funcției $f(x)=x^3+a{x}^2+x$.

12. Determină punctul de inflexiune al graficului funcției $f(x)=e^x-x^2$, $x\in \mathbb{R}$.

13. Arată că funcția $f(x)=(x-1{)}^4+x$ nu are puncte de inflexiune, deși $f^{\prime \prime }$ se anulează.

14. (Problemă aplicată.) Numărul de utilizatori ai unei aplicații, în mii, după $t$ luni de la lansare, este aproximat de $N(t)=t^3-9t^2+30t$, cu $t\in (0,6)$. Determină luna în care ritmul de creștere încetează să scadă și începe să crească, și explică ce înseamnă asta pentru echipa aplicației.

15. Determină punctele de inflexiune ale funcției $f(x)=x^4-4x^3+10$, $x\in \mathbb{R}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2-2\right)e^x$. a) Calculează $f^{\prime }(x)$. b) Arată că $f^{\prime \prime }(x)=\left(x^2+4x\right)e^x$. c) Determină punctele de inflexiune ale graficului funcției $f$.

17. Arată că funcția $f(x)=e^x$ nu are puncte de inflexiune.

18. (Provocare.) Determină punctele de inflexiune ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$, știind că $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2x\left(x^2-3\right)}{{\left(x^2+1\right)}^3}$.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-12x$, $f^{\prime \prime }(x)=6x-12$, cu zeroul $2$; semnul trece de la $-$ la $+$. Cum $f(2)=8-24+5=-11$, punctul de inflexiune al graficului este $(2,-11)$.

2. $f^{\prime }(x)=6x^2+6x$, $f^{\prime \prime }(x)=12x+6$, cu zeroul $-\frac{1}{2}$; semnul se schimbă. Valoarea: $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{2}$, deci punctul graficului este $\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$.

3. $f^{\prime \prime }(x)=12x^2$, cu unicul candidat $0$; semnul e pozitiv de ambele părți, deci nu se schimbă. Funcția rămâne convexă pe $\mathbb{R}$ și nu are puncte de inflexiune.

4. $f^{\prime \prime }(x)=20x^3$, cu zeroul $0$; semnul trece de la $-$ la $+$, deci $x_0=0$ e punct de inflexiune, iar punctul graficului este $(0,0)$.

5. $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$, cu zerourile $\pm 1$; semnul se schimbă în ambele. Cum $f(\pm 1)=1-6=-5$, punctele graficului sunt $(-1,-5)$ și $(1,-5)$.

6. Fals. Condiția e doar necesară. Contraexemplul standard: $f(x)=x^4$ are $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar semnul nu se schimbă, iar funcția rămâne convexă.

7. Fals. Într-un punct de inflexiune se schimbă convexitatea, nu monotonia. La $f(x)=x^3$, funcția crește și înainte, și după origine.

8. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$ chiar își schimbă semnul „în jurul" lui $0$, dar $0$ nu aparține domeniului $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, iar definiția cere un punct interior domeniului. În tabel se scrie bara $|$ în dreptul lui $0$.

9. $f^{\prime }(x)=e^{-x}(1-x)$, $f^{\prime \prime }(x)=e^{-x}(x-2)$. Semnul e cel al lui $x-2$ și se schimbă în $2$. Cum $f(2)=2e^{-2}=\frac{2}{e^2}$, punctul graficului este $\left(2,\frac{2}{e^2}\right)$.

10. $f^{\prime \prime }(x)=-\cos x$, care se anulează în $\frac{\pi }{2}$ și în $\frac{3\pi }{2}$, iar semnul se schimbă în ambele. Punctele graficului sunt $\left(\frac{\pi }{2},0\right)$ și $\left(\frac{3\pi }{2},0\right)$.

11. $f^{\prime \prime }(x)=6x+2a$; condiția $f^{\prime \prime }(2)=0$ dă $12+2a=0$, adică $a=-6$. Cum $f^{\prime \prime }$ e afină cu panta $6>0$, semnul chiar trece de la $-$ la $+$, deci $2$ e într-adevăr punct de inflexiune.

12. $f^{\prime }(x)=e^x-2x$, $f^{\prime \prime }(x)=e^x-2$, care se anulează pentru $e^x=2$, adică $x=\ln 2$; semnul trece de la $-$ la $+$, pentru că exponențiala e crescătoare. Valoarea: $f(\ln 2)=2-{\ln }^{2}2$, deci punctul graficului este $\left(\ln 2,2-{\ln }^{2}2\right)$.

13. $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^3+1$ și $f^{\prime \prime }(x)=12(x-1{)}^2$, care se anulează în $1$. Fiind un pătrat înmulțit cu un număr pozitiv, $f^{\prime \prime }$ e pozitivă de ambele părți: semnul nu se schimbă, deci nu există punct de inflexiune. (Verificat și prin definiție: funcția e convexă pe tot intervalul $(-3,5)$.)

14. $N^{\prime \prime }(t)=6t-18$, care se anulează în $t=3$ și trece de la $-$ la $+$. Luna a treia este punctul de cotitură: până atunci creșterea se domolea, după aceea se accelerează din nou. Pentru echipă, este semnalul că măsurile luate au început să dea rezultate.

15. $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$, cu zerourile $0$ și $2$, în ambele semnul schimbându-se. Valorile: $f(0)=10$ și $f(2)=16-32+10=-6$, deci punctele graficului sunt $(0,10)$ și $(2,-6)$.

16. a) $f^{\prime }(x)=2x{e}^x+\left(x^2-2\right)e^x=\left(x^2+2x-2\right)e^x$. b) Derivând încă o dată: $(2x+2)e^x+\left(x^2+2x-2\right)e^x=\left(x^2+4x\right)e^x$. c) Cum $e^x>0$, semnul e al lui $x(x+4)$, cu zerourile $-4$ și $0$, iar semnul se schimbă în ambele. Valorile: $f(-4)=14e^{-4}$ și $f(0)=-2$, deci punctele graficului sunt $\left(-4,\frac{14}{e^4}\right)$ și $(0,-2)$.

17. $f^{\prime \prime }(x)=e^x>0$ pentru orice $x$ real, deci ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ nu are soluții: nu există niciun candidat, iar funcția e convexă pe tot $\mathbb{R}$.

18. Numitorul e strict pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime \prime }$ e al produsului $2x\left(x^2-3\right)$, cu zerourile $-\sqrt{3}$, $0$ și $\sqrt{3}$. Semnul se schimbă în toate trei, deci există trei puncte de inflexiune. Valorile: $f(0)=0$ și $f\left(\pm \sqrt{3}\right)=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}$, deci punctele graficului sunt $\left(-\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$, $(0,0)$ și $\left(\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$. (Verificat numeric în toate cele trei puncte.)

De reținut

• Definiția: $x_0$, punct interior domeniului în care $f$ e continuă, este punct de inflexiune dacă funcția își schimbă convexitatea acolo — de la $\cup$ la $\cap$ sau invers.
• Condiția necesară: dacă $f$ e de două ori derivabilă în jurul lui $x_0$ și $x_0$ e punct de inflexiune, atunci $f^{\prime \prime }(x_0)=0$. Ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$ dă lista de candidați.
• Criteriul complet: candidatul e confirmat doar dacă $f^{\prime \prime }$ își schimbă efectiv semnul în acel punct.
• Cele două capcane: $f(x)=x^4$ are $f^{\prime \prime }(0)=0$ fără schimbare de semn; $f(x)=\frac{1}{x}$ are schimbare de semn fără punct în domeniu. Niciuna nu are punct de inflexiune.
• Punct ≠ valoare: punctul de inflexiune al funcției este $x_0$; punctul de inflexiune al graficului este $(x_0,f(x_0))$, marcat în tabel cu $\text{I}$.

Greșeli frecvente

• Declari punct de inflexiune imediat ce $f^{\prime \prime }$ se anulează. Condiția e doar necesară; fără schimbarea semnului nu există inflexiune, iar exemplul $x^4$ trebuie știut pe de rost.
• Confunzi inflexiunea cu extremul. În punctul de extrem se schimbă monotonia și se anulează $f^{\prime }$; în punctul de inflexiune se schimbă convexitatea și se anulează $f^{\prime \prime }$. Sunt rânduri diferite ale tabelului.
• Accepți un punct care nu e în domeniu. La $\frac{1}{x}$ sau la $\frac{1}{x-2}$, $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul, dar în puncte care nu aparțin domeniului; acolo se scrie bara $|$ și nu se declară inflexiune.
• Răspunzi cu $x_0$ atunci când se cere punctul graficului. Dacă enunțul spune „punctul de inflexiune al graficului", răspunsul are două coordonate: $(x_0,f(x_0))$.
• Uiți să calculezi valoarea funcției. Mulți candidați determină corect $x_0$, dar nu mai înlocuiesc în $f$, pierzând punctele de la ultimul pas al baremului.

Aplică acasă

1. Cotitura dintr-un grafic real. Caută un grafic al unei mărimi care a crescut în ultimul an — abonați, prețuri, număr de mașini electrice — și marchează pe el punctul de la care creșterea a început să se domolească. Explică în două propoziții de ce acolo se schimbă convexitatea, nu monotonia.

2. Testul celor trei valori. Alege o funcție din lecție și un punct candidat $x_0$. Calculează $f^{\prime \prime }$ în $x_0-0,1$, în $x_0$ și în $x_0+0,1$. Dacă primul și ultimul număr au semne contrare, ai confirmat inflexiunea; dacă au același semn, ai respins-o. Repetă pentru $x^4$ și pentru $x^5$ și compară rezultatele.

3. Colecția de cotituri. Notează, timp de o săptămână, trei situații din viața ta în care „ritmul s-a schimbat": o notă care a început să crească tot mai încet, o economie care a început să crească tot mai repede, un antrenament în care progresul s-a domolit. Pentru fiecare, spune de la ce formă la ce formă s-a trecut, folosind cuvintele convex și concav.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide triada convexitate–concavitate–inflexiune și este locul în care se formează o deprindere de raționament valoroasă dincolo de matematică: deosebirea dintre o condiție necesară și una suficientă. Elevii rețin repede „$f^{\prime \prime }=0$ înseamnă inflexiune" și pierd puncte la fiecare examen din cauza asta; exemplul $f(x)=x^4$ trebuie repetat până devine reflex, iar exemplul-oglindă $f(x)=\frac{1}{x}$ arată că nici schimbarea de semn, singură, nu ajunge.

Ce verifică lecția: (1) definiția, cu cele trei condiții — punct interior, continuitate, schimbare de convexitate; (2) rezolvarea ecuației $f^{\prime \prime }(x)=0$ și identificarea candidaților; (3) studiul semnului lui $f^{\prime \prime }$ în tabel, cu $0$ în zerouri și $|$ în punctele excluse; (4) respingerea explicită a candidaților falși; (5) scrierea răspunsului sub forma cerută — abscisa sau punctul cu ambele coordonate.

Întrebări bune de control: „De ce $x^4$ nu are punct de inflexiune, deși $f^{\prime \prime }(0)=0$?", „Ce se schimbă într-un punct de inflexiune: urcarea sau curbura?", „Ce răspunzi când se cere punctul graficului?". Semn că a înțeles: verifică schimbarea de semn înainte de a da verdictul și calculează $f(x_0)$ fără să i se ceară de două ori. La BAC M1, cerința apare frecvent în forma „arătați că graficul funcției are un singur punct de inflexiune", iar structura răspunsului este exact cea din Exemplul 6.

Întrebări frecvente

Ce este un punct de inflexiune? Este un punct din interiorul domeniului, în care funcția e continuă și își schimbă convexitatea: de o parte graficul ține apa, de cealaltă o varsă. Vizual, este locul în care tangenta traversează graficul, în loc să rămână de aceeași parte a lui.

Cum determin punctele de inflexiune ale unei funcții? În cinci pași: stabilești domeniul, calculezi $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, rezolvi ecuația $f^{\prime \prime }(x)=0$, faci tabelul de semn al lui $f^{\prime \prime }$ și reții doar punctele în care semnul se schimbă. Dacă se cere punctul graficului, calculezi la final și $f(x_0)$.

Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, este $x_0$ punct de inflexiune? Nu neapărat. Condiția este necesară, nu suficientă. Pentru $f(x)=x^4$ avem $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar derivata a doua rămâne pozitivă de ambele părți, funcția rămâne convexă și originea nu este punct de inflexiune.

Care e diferența dintre punct de extrem și punct de inflexiune? În punctul de extrem se schimbă monotonia, iar semnalul este anularea lui $f^{\prime }$; în punctul de inflexiune se schimbă convexitatea, iar semnalul este anularea lui $f^{\prime \prime }$ cu schimbare de semn. O funcție poate avea, în același punct, ambele derivate nule și totuși niciun extrem — cazul $f(x)=x^3$ în origine.

De ce funcția $\frac{1}{x}$ nu are punct de inflexiune? Pentru că $0$, singurul loc în care semnul lui $f^{\prime \prime }$ se schimbă, nu aparține domeniului. Definiția cere un punct interior domeniului, în care funcția să fie continuă; aici funcția nici măcar nu e definită, iar în tabel se scrie bara $|$.

Ce scriu în răspuns: $x_0$ sau $(x_0,f(x_0))$? Depinde de enunț. „Punctul de inflexiune al funcției" înseamnă abscisa $x_0$; „punctul de inflexiune al graficului" înseamnă perechea de coordonate. Când nu ești sigur, dă ambele — nu se depunctează niciodată informația corectă în plus.

Cum se marchează inflexiunea în tabelul de variație? Cu litera $\text{I}$, scrisă în rândul lui $f(x)$, imediat după valoarea funcției în acel punct — la fel cum maximul se marchează cu $\text{M}$, iar minimul cu $\text{m}$. Deasupra ei, rândul $f^{\prime \prime }(x)$ arată $0$, cu semne contrare de o parte și de alta.

Poate exista punct de inflexiune acolo unde $f^{\prime \prime }$ nu există? Da, pentru că definiția cere doar continuitate și schimbarea convexității. Funcția radical de ordinul al treilea are în origine un punct de inflexiune, deși graficul are acolo o tangentă verticală. La exercițiile din programa clasei a XI-a însă, punctele de inflexiune se determină prin criteriul cu derivata a doua.