Puncte unghiulare și puncte de întoarcere: pe scurt

Dacă lăsăm punctul mobil să se apropie de $M_0$ numai dinspre o parte, secantele au o poziție-limită proprie: semitangenta. Panta semitangentei la stânga este $f_s^{\prime }(x_0)$, a celei la dreapta este $f_d^{\prime }(x_0)$. Când cele două sunt finite și egale, semitangentele se prelungesc una pe alta și formează tangenta obișnuită; când nu, graficul are un defect vizibil.

Punct unghiular: $f$ este continuă în $x_0$, derivatele laterale există, sunt diferite și cel puțin una este finită. Graficul are un colț. Etalonul: $f(x)=|x|$ în $0$, cu $f_s^{\prime }(0)=-1$ și $f_d^{\prime }(0)=1$. Condiția „cel puțin una finită" nu e o toleranță întâmplătoare — există colțuri autentice cu o semitangentă verticală.

Punct de întoarcere: $f$ este continuă în $x_0$, iar derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare. Ambele semitangente sunt verticale și îndreptate la fel, deci graficul urcă lipit de verticală și se întoarce. Etalonul: $f(x)=\sqrt{|x|}$ în $0$.

Capcana: la $f(x)=\sqrt[3]{x}$ în $0$ derivatele laterale sunt amândouă $+\infty$, deci egale — graficul are tangentă verticală, dar punctul nu este nici unghiular, nici de întoarcere. Cheia clasificării este semnul, nu infinitatea.

Ordinea de lucru rămâne aceeași: întâi continuitatea, apoi derivatele laterale din definiție, apoi verdictul, formulat cu numele exact al punctului.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{|x-4|}$, punctul $x_0=4$ este:

   • a) punct unghiular
   • b) punct de întoarcere
   • c) punct în care graficul are tangentă verticală, dar nu se întoarce
   • d) punct în care $f$ este derivabilă, cu $f^{\prime }(4)=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) punct de întoarcere

   $f(4)=0$ și funcția este continuă. Pentru $x>4$, $\frac{\sqrt{x-4}}{x-4}=\frac{1}{\sqrt{x-4}}\to +\infty$; pentru $x<4$, $\frac{\sqrt{4-x}}{x-4}=-\frac{1}{\sqrt{4-x}}\to -\infty$. Derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare, deci punctul este de întoarcere.

2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x+5}$, și $x_0=-5$. Care afirmație este corectă?

   • a) $f_s^{\prime }(-5)=f_d^{\prime }(-5)=+\infty$, deci graficul are tangentă verticală, iar $-5$ nu este punct de întoarcere
   • b) $-5$ este punct de întoarcere
   • c) $-5$ este punct unghiular
   • d) $f$ este derivabilă în $-5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $f_s^{\prime }(-5)=f_d^{\prime }(-5)=+\infty$, deci graficul are tangentă verticală, iar $-5$ nu este punct de întoarcere

   Raportul de diferențe este $\frac{\sqrt[3]{x+5}}{x+5}=\frac{1}{\sqrt[3]{(x+5{)}^2}}$, cu numitor strict pozitiv de ambele părți, deci ambele derivate laterale sunt $+\infty$. Fiind egale, nu poate fi vorba nici de colț, nici de întoarcere: graficul are tangenta verticală $x=-5$.

3. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& x<0\\ \sqrt{x},& x\ge 0\end{array}$. Punctul $x_0=0$ este:

   • a) punct de întoarcere, pentru că o derivată laterală este infinită
   • b) punct în care $f$ este derivabilă
   • c) punct unghiular, cu o semitangentă de pantă $2$ și una verticală
   • d) punct în care $f$ nu este continuă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) punct unghiular, cu o semitangentă de pantă $2$ și una verticală

   Ambele ramuri dau $0$ în punct, deci $f$ este continuă. Apoi $f_s^{\prime }(0)=\lim \frac{2x}{x}=2$, iar $f_d^{\prime }(0)=\lim \frac{\sqrt{x}}{x}=+\infty$. Derivatele laterale există, sunt diferite și una este finită — exact definiția punctului unghiular. Pentru întoarcere ar fi fost nevoie ca amândouă să fie infinite, de semne contrare.