Puncte unghiulare și puncte de întoarcere

Profilul unui acoperiș în două ape este o linie continuă: poți parcurge cu degetul de la o streașină la cealaltă fără să ridici mâna. Și totuși, în vârf se întâmplă ceva ce nu se întâmplă nicăieri altundeva — dacă te apropii de vârf dinspre stânga, panta sub deget e una, iar dacă te apropii dinspre dreapta, e alta. În vârf nu există o înclinare, ci două.

Exact aceasta este situația pe care o studiem astăzi. Funcțiile continue nu sunt automat derivabile, iar locurile unde derivabilitatea se pierde nu sunt accidente rare: apar la orice funcție cu modul, la orice funcție definită pe ramuri prost racordate și la orice radical care „se lipește" de verticală. Programa le numește pe cele două tipuri principale cu nume proprii — puncte unghiulare și puncte de întoarcere — și le cere identificate din derivatele laterale studiate la Derivate laterale. Funcții derivabile într-un punct.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este semitangenta la stânga și la dreapta într-un punct și cum se citește panta ei din derivata laterală.
• Vei ști să recunoști un punct unghiular din condiția ca derivatele laterale să existe, să fie diferite și cel puțin una să fie finită.
• Vei ști să recunoști un punct de întoarcere din condiția ca derivatele laterale să fie infinite și de semne contrare.
• Vei ști să deosebești aceste două situații de tangenta verticală obișnuită și de punctele în care funcția nici măcar nu e continuă.
• Vei ști să studiezi punctele de racord ale funcțiilor definite pe ramuri sau cu modul și să determini parametri astfel încât racordul să iasă de un tip cerut.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se vede pe grafic când derivatele laterale diferă

La Interpretarea geometrică a derivatei am construit tangenta ca poziție-limită a secantelor $M_{0}M$ atunci când $M\to M_0$ pe grafic. Acolo am presupus tacit că nu contează din ce parte vine $M$. Când contează, apar exact obiectele acestei lecții.

Împărțim procesul în două. Dacă lăsăm $M$ să se apropie de $M_0$ numai dinspre dreapta ($x>x_0$), pantele secantelor sunt $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ cu $x>x_0$, iar limita lor este chiar derivata la dreapta $f_d^{\prime }(x_0)$. Analog dinspre stânga, cu $f_s^{\prime }(x_0)$. Prin urmare graficul are, în $M_0$, două „jumătăți de tangentă".

Definiție. Semitangenta la dreapta în $M_0(x_0,f(x_0))$ este semidreapta cu originea în $M_0$, îndreptată spre partea $x>x_0$, care este poziția-limită a secantelor duse spre dreapta; panta ei este $f_d^{\prime }(x_0)$. Analog se definește semitangenta la stânga, de pantă $f_s^{\prime }(x_0)$.

Când $f_s^{\prime }(x_0)=f_d^{\prime }(x_0)\in \mathbb{R}$, cele două semitangente se prelungesc una pe alta și formează o singură dreaptă — tangenta obișnuită, iar funcția este derivabilă. Când nu, graficul are în acel punct un defect vizibil, și tocmai clasificarea acestor defecte urmează.

2. Punctul unghiular

Definiție. Fie $f$ o funcție continuă în $x_0$. Punctul $x_0$ se numește punct unghiular al lui $f$ dacă derivatele laterale $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$ există (în $\overline{\mathbb{R}}$), sunt diferite și cel puțin una dintre ele este finită.

Geometric: cele două semitangente sunt distincte și nu se prelungesc una pe alta, deci formează un colț — un unghi propriu-zis, de unde și numele.

Exemplul-etalon: $f(x)=|x|$ în $x_0=0$. Funcția e continuă în $0$, iar

$$f_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{|x|-0}{x-0}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{-x}{x}=-1,f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{x}{x}=1.$$

Ambele sunt finite și diferite, deci $0$ este punct unghiular. Semitangenta la stânga are panta $-1$, cea la dreapta are panta $1$; unghiul dintre ele este de $90^{\circ }$ — colțul „V" pe care îl vezi în grafic.

De ce definiția cere doar „cel puțin una finită". Formularea nu e o toleranță întâmplătoare: există colțuri autentice în care una dintre semitangente este verticală. Ia funcția

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& x<0,\\ \sqrt{x},& x\ge 0.\end{array}$$

Ea este continuă în $0$ (ambele ramuri dau $0$), iar $f_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{x}{x}=1$, în timp ce $f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$. Semitangenta la stânga urcă la $45^{\circ }$, cea la dreapta e verticală, îndreptată în sus: un colț perfect vizibil. Dacă definiția ar fi cerut ambele derivate finite, acest punct n-ar fi avut nume — deși e, geometric, același fenomen.

3. Punctul de întoarcere

Definiție. Fie $f$ o funcție continuă în $x_0$. Punctul $x_0$ se numește punct de întoarcere al lui $f$ dacă derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare, adică una este $-\infty$ și cealaltă $+\infty$ (în oricare ordine).

Geometric: ambele semitangente sunt verticale, iar cum sunt îndreptate în același sens (amândouă în sus, dacă derivatele sunt $-\infty$ la stânga și $+\infty$ la dreapta, amândouă în jos în cazul opus), ele se suprapun. Graficul urcă lipit de verticală, atinge punctul și coboară tot lipit de ea: se întoarce.

Exemplul-etalon: $f(x)=\sqrt{|x|}$ în $x_0=0$. Funcția e continuă în $0$ și

$$f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty ,f_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{-x}}{x}=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{-1}{\sqrt{-x}}=-\infty .$$

(La a doua limită am folosit că pentru $x<0$ avem $x=-\sqrt{-x}\cdot \sqrt{-x}$, deci raportul se simplifică la $-\frac{1}{\sqrt{-x}}$.) Derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare, deci $0$ este punct de întoarcere.

Un al doilea exemplu, la fel de des întâlnit, este $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$ în $0$: raportul de diferențe este $\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$, care tinde la $+\infty$ pentru $x\to 0$, $x>0$, și la $-\infty$ pentru $x\to 0$, $x<0$. Tot punct de întoarcere.

4. Ce NU este punct unghiular și ce NU este punct de întoarcere

Aici se pierd cele mai multe puncte în barem, așa că merită trei cazuri scrise explicit.

(a) Tangentă verticală simplă. Pentru $f(x)=\sqrt[3]{x}$ în $x_0=0$, raportul de diferențe este $\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$, iar numitorul este pozitiv de ambele părți. Prin urmare $f_s^{\prime }(0)=f_d^{\prime }(0)=+\infty$: derivata există și este $+\infty$, aceeași din ambele părți. Cele două semitangente sunt verticale, dar îndreptate în sensuri opuse, deci se completează într-o dreaptă întreagă. Rezultatul: tangentă verticală, funcția nu este derivabilă în $0$, dar punctul nu este nici unghiular (derivatele laterale nu sunt diferite), nici de întoarcere (nu au semne contrare).

(b) Capăt de domeniu. Pentru $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, în $x_0=0$ există numai derivata la dreapta, $f_d^{\prime }(0)=+\infty$; la stânga funcția nici nu e definită, deci $f_s^{\prime }(0)$ nu are sens. Fără două derivate laterale nu se poate vorbi nici de colț, nici de întoarcere: graficul are doar o semitangentă verticală în capătul domeniului.

(c) Funcția nu e continuă. Ambele definiții cer continuitatea în $x_0$. Motivul e simplu: dacă $f$ nu e continuă în $x_0$, atunci nu e nici derivabilă acolo (contrapoziția din lecția Legătura dintre derivabilitate și continuitate), iar graficul e rupt — nu are colț, are gaură sau salt. De aceea primul pas la orice funcție pe ramuri este verificarea continuității, nu calculul derivatelor laterale.

5. Algoritmul de decizie

Pentru un punct $x_0$ suspect (racordul a două ramuri, un zerou al unei expresii sub modul, un punct în care un radical se anulează):

1. Continuitatea. Calculezi $l_s(x_0)$, $l_d(x_0)$ și $f(x_0)$. Dacă nu sunt toate trei egale, te oprești: punctul nu e nici unghiular, nici de întoarcere, iar funcția nu e derivabilă acolo.
2. Derivatele laterale. Calculezi $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$ din definiție, ca limite ale rapoartelor de diferențe pe fiecare parte.
3. Compari, după tabelul de mai jos.

Formularea răspunsului contează la fel de mult ca valorile: se scrie „derivatele laterale există, sunt diferite și cel puțin una e finită, deci $x_0$ este punct unghiular", nu simplu „funcția nu e derivabilă". A doua propoziție e adevărată, dar răspunde la altă întrebare și primește punctaj parțial în baremele de Bacalaureat M1.

6. Unde apar aceste puncte, în practică

Funcțiile cu modul. Orice $|g(x)|$ se transformă în funcție pe ramuri prin tabelul de semn al lui $g$, construit după metoda de la Semnul unei funcții continue pe un interval, iar punctele suspecte sunt zerourile lui $g$. De pildă, $f(x)=|x^2-4|$ are ca puncte suspecte $-2$ și $2$.

Atenție însă: modulul nu produce automat un colț. Funcția $f(x)=x|x|$ este continuă în $0$, iar raportul de diferențe este $\frac{x|x|}{x}=|x|\to 0$ din ambele părți — deci $f$ este derivabilă în $0$, cu $f^{\prime }(0)=0$. Colțul apare când zeroul lui $g$ este simplu; când e multiplu, ramurile se racordează neted.

Funcțiile definite pe ramuri. Punctul suspect este abscisa de racord. Aici apar problemele cu parametri, foarte frecvente la Bacalaureat M1: se cere ca funcția să fie continuă, derivabilă, sau ca punctul de racord să fie unghiular. Ordinea e mereu aceeași — întâi continuitatea, apoi derivabilitatea, pentru că a doua condiție nu se poate cere fără prima.

Radicalii. Punctele suspecte sunt cele în care expresia de sub radical se anulează. Radicalul de ordin par dintr-o expresie care își schimbă semnul dă, tipic, un punct de întoarcere; radicalul de ordin impar dintr-o expresie cu zerou simplu dă, tipic, o tangentă verticală.

7. De ce ne interesează aceste puncte mai departe

Un motiv este de redactare: în tabelul de variație pe care îl vei construi la unitatea următoare, în rândul lui $f^{\prime }(x)$ se scrie $\nexists$ în dreptul unui astfel de punct, iar natura lui — unghiular sau de întoarcere — se explică în text, sub tabel. Fără această lecție, rândul acela ar rămâne fără justificare.

Al doilea motiv e mai adânc. Multe teoreme importante ale capitolului cer derivabilitate pe tot intervalul; un singur punct unghiular le anulează ipotezele. Când vei studia teoremele lui Rolle și Lagrange, primul lucru de verificat va fi tocmai absența unor astfel de puncte pe intervalul dat. Funcția $f(x)=|x|$ pe $[-1,1]$ este exemplul standard care arată de ce ipoteza de derivabilitate nu poate fi ștearsă din enunț.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un colț la racordul a două ramuri

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=3x-2$ pentru $x>1$. Studiați natura punctului $x_0=1$.

Rezolvare. Continuitate: $l_s(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }{x}^2=1$, $f(1)=1$, $l_d(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }(3x-2)=1$. Toate trei egale, deci $f$ e continuă în $1$.

Derivate laterale:

$$f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }(x+1)=2,f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{3x-2-1}{x-1}=3.$$

Ambele finite și diferite, deci $x_0=1$ este punct unghiular. Semitangenta la stânga are panta $2$, cea la dreapta panta $3$.

Exemplul 2 — Funcție cu modul

Determinați punctele unghiulare ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^2-3x+2|$.

Rezolvare. Zerourile expresiei de sub modul sunt $1$ și $2$, deci acestea sunt punctele suspecte; în rest, $f$ coincide local cu un polinom, deci e derivabilă. Pe $(-\infty ,1)$ și pe $(2,+\infty )$ avem $f(x)=x^2-3x+2$, iar pe $(1,2)$ avem $f(x)=-(x^2-3x+2)$.

Funcția e continuă (modulul unei funcții continue e continuu, iar în $1$ și $2$ valoarea e $0$ de ambele părți). Derivatele laterale în $1$:

$$f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }(x-2)=-1,f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{-(x-1)(x-2)}{x-1}=1.$$

Deci $1$ este punct unghiular. Analog, în $2$ obținem $f_s^{\prime }(2)=-1$ și $f_d^{\prime }(2)=1$: și $2$ este punct unghiular. Răspuns: punctele unghiulare sunt $1$ și $2$.

Exemplul 3 — Un punct de întoarcere

Studiați derivabilitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{|x-1|}$, în punctul $x_0=1$.

Rezolvare. Continuitate: $f(1)=0$ și ambele limite laterale sunt $0$, deci $f$ e continuă în $1$.

Derivate laterale: pentru $x>1$, $f(x)=\sqrt{x-1}$ și

$$f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{x-1}}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x-1}}=+\infty ;$$

pentru $x<1$, $f(x)=\sqrt{1-x}$ și $\frac{\sqrt{1-x}}{x-1}=-\frac{1}{\sqrt{1-x}}\to -\infty$.

Derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare, deci $x_0=1$ este punct de întoarcere. Funcția nu este derivabilă în $1$ și nici nu are derivată acolo, pentru că limitele laterale sunt diferite.

Exemplul 4 — Capcana: tangentă verticală, nu întoarcere

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x-2}$. Este $x_0=2$ punct de întoarcere?

Rezolvare. Funcția e continuă pe $\mathbb{R}$ și $f(2)=0$. Raportul de diferențe în $2$ este

$$\frac{\sqrt[3]{x-2}}{x-2}=\frac{1}{\sqrt[3]{(x-2{)}^2}},$$

iar numitorul este strict pozitiv pentru orice $x\ne 2$, indiferent de partea din care venim. Prin urmare $f_s^{\prime }(2)=f_d^{\prime }(2)=+\infty$.

Nu este punct de întoarcere: derivatele laterale sunt infinite, dar de același semn. Funcția are derivată $+\infty$ în $2$, nu este derivabilă acolo, iar graficul are tangentă verticală de ecuație $x=2$. Răspunsul corect conține toate aceste trei precizări.

Exemplul 5 — Colț cu o semitangentă verticală

Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$ pentru $x<0$ și $f(x)=\sqrt{x}$ pentru $x\ge 0$. Studiați punctul $x_0=0$.

Rezolvare. Continuitate: $l_s(0)=0$, $f(0)=0$, $l_d(0)=0$ — funcția e continuă.

Derivate laterale: $f_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{x-0}{x-0}=1$ și $f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\sqrt{x}}{x}=+\infty$.

Cele două derivate laterale există, sunt diferite, iar una dintre ele (cea la stânga) este finită: $x_0=0$ este punct unghiular. Nu e punct de întoarcere, pentru că doar una dintre derivate e infinită. Geometric: o semitangentă înclinată la $45^{\circ }$ și una verticală, îndreptată în sus.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$ pentru $x<1$ și $f(x)=x^2$ pentru $x\ge 1$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. a) Determinați $a$ și $b$ astfel încât $f$ să fie derivabilă în $x_0=1$. b) Determinați valorile lui $a$ și $b$ pentru care $x_0=1$ este punct unghiular al lui $f$.

Rezolvare. Continuitatea în $1$ cere $l_s(1)=f(1)$, adică $a+b=1$. Fără ea nu se poate discuta nici derivabilitatea, nici punctul unghiular.

Derivatele laterale, presupunând $a+b=1$: $f_s^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{ax+b-1}{x-1}=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }\frac{a(x-1)}{x-1}=a$ (am folosit $b-1=-a$), iar $f_d^{\prime }(1)=\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2$.

a) Derivabilitate înseamnă $f_s^{\prime }(1)=f_d^{\prime }(1)$ finite, deci $a=2$, iar din $a+b=1$ rezultă $b=-1$. Verificare: ramura din stânga devine $y=2x-1$, tangenta la parabolă în $(1,1)$ — se racordează neted.

b) Punct unghiular înseamnă continuitate plus derivate laterale diferite, deci $a+b=1$ și $a\ne 2$. Răspuns: toate perechile $(a,1-a)$ cu $a\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$. De exemplu $a=3$, $b=-2$ dă semitangente de pante $3$ și $2$.

Să exersăm

1. Calculați derivatele laterale ale funcției $f(x)=|x|$ în $x_0=0$ și precizați natura punctului.

2. Studiați natura punctului $x_0=3$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x-3|$.

3. Arătați că $x_0=0$ este punct de întoarcere pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{|x|}$.

4. Studiați natura punctului $x_0=0$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$.

5. Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$, are tangentă verticală în origine și explicați de ce $0$ nu este punct de întoarcere.

6. Fie $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. Ce se poate spune despre punctul $x_0=0$?

7. Studiați natura punctului $x_0=1$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=3x-2$ pentru $x>1$.

8. Determinați punctele unghiulare ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^2-4|$, și calculați derivatele laterale în ele.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice punct în care o funcție continuă nu este derivabilă este punct unghiular.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) Într-un punct de întoarcere funcția este continuă.

11. Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât funcția $f(x)=ax+b$ pentru $x<1$, $f(x)=x^2$ pentru $x\ge 1$, să aibă în $x_0=1$ un punct unghiular cu $f_s^{\prime }(1)=-1$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ astfel încât funcția de la exercițiul 11 să fie derivabilă în $x_0=1$.

13. Studiați natura punctului $x_0=1$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{|x-1|}$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$ pentru $x\le 0$ și $f(x)=x$ pentru $x>0$. Arătați că $x_0=0$ este punct unghiular și scrieți pantele celor două semitangente.

15. (Problemă aplicată.) Temperatura dintr-o seră, în grade Celsius, este $T(t)=20-2t$ pentru $t\in [0,5]$ și $T(t)=10+3(t-5)$ pentru $t\in (5,8]$, unde $t$ e timpul în ore. Arătați că $t=5$ este punct unghiular al graficului și interpretați rezultatul.

16. Studiați natura punctului $x_0=2$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{(x-2{)}^2}$.

17. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x$ pentru $x<0$ și $f(x)=\sqrt{x}$ pentru $x\ge 0$. Precizați natura punctului $x_0=0$ și pantele semitangentelor.

18. (Provocare.) Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x|x|$, este derivabilă în $0$, deși conține un modul, și calculați $f^{\prime }(0)$.

Răspunsuri și explicații

1. $f_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{-x}{x}=-1$ și $f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{x}{x}=1$. Finite și diferite, funcția e continuă în $0$, deci $0$ este punct unghiular.

2. Prin translație, aceeași situație ca la exercițiul 1: $f_s^{\prime }(3)=-1$, $f_d^{\prime }(3)=1$, funcția e continuă, deci $3$ este punct unghiular.

3. $f$ e continuă în $0$, iar $f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty$ și $f_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\left(-\frac{1}{\sqrt{-x}}\right)=-\infty$. Infinite și de semne contrare, deci punct de întoarcere.

4. Raportul de diferențe este $\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$, care tinde la $+\infty$ la dreapta și la $-\infty$ la stânga. Funcția fiind continuă, $0$ este punct de întoarcere.

5. Raportul este $\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$, cu numitor pozitiv de ambele părți, deci $f_s^{\prime }(0)=f_d^{\prime }(0)=+\infty$. Derivata există și e $+\infty$: tangentă verticală $x=0$. Nu e punct de întoarcere pentru că derivatele laterale nu au semne contrare — ele sunt egale.

6. Funcția nu e definită la stânga lui $0$, deci $f_s^{\prime }(0)$ nu are sens. Există doar $f_d^{\prime }(0)=+\infty$: graficul are în capătul domeniului o semitangentă verticală, iar punctul nu este nici unghiular, nici de întoarcere.

7. Continuă în $1$ (ambele ramuri dau $1$); $f_s^{\prime }(1)=2$, $f_d^{\prime }(1)=3$. Finite și diferite: punct unghiular.

8. Punctele suspecte sunt $-2$ și $2$. În $2$: pentru $x<2$ (aproape de $2$) avem $f(x)=4-x^2$, deci $f_s^{\prime }(2)=-4$; pentru $x>2$, $f(x)=x^2-4$, deci $f_d^{\prime }(2)=4$. În $-2$: $f_s^{\prime }(-2)=-4$ și $f_d^{\prime }(-2)=4$. Ambele sunt puncte unghiulare.

9. Fals. Contraexemplu: $f(x)=\sqrt[3]{x}$ în $0$ este continuă și nederivabilă, dar derivatele laterale sunt egale ($+\infty$), deci punctul nu e unghiular, ci un punct cu tangentă verticală.

10. Adevărat. Continuitatea în $x_0$ face parte din definiția punctului de întoarcere. Fără ea, graficul ar fi rupt și n-ar avea cum să „se întoarcă".

11. Continuitatea cere $a+b=1$, iar $f_s^{\prime }(1)=a$, deci $a=-1$ și $b=2$. Cum $f_d^{\prime }(1)=2\ne -1$, punctul este într-adevăr unghiular, cu semitangente de pante $-1$ și $2$.

12. Continuitate: $a+b=1$. Derivabilitate: $f_s^{\prime }(1)=f_d^{\prime }(1)$, adică $a=2$. Rezultă $a=2$, $b=-1$.

13. Funcția e continuă în $1$, iar $f_d^{\prime }(1)=+\infty$, $f_s^{\prime }(1)=-\infty$ (calculele din exemplul 3). Punct de întoarcere.

14. Continuitate: $l_s(0)=0=f(0)=l_d(0)$. Derivate laterale: $f_s^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{x^2}{x}=0$ și $f_d^{\prime }(0)=\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{x}{x}=1$. Finite și diferite: punct unghiular, cu semitangente de pante $0$ (orizontală, la stânga) și $1$ (înclinată la $45^{\circ }$, la dreapta).

15. $T(5)=10$, iar limita la dreapta este tot $10$: funcția e continuă în $5$. Derivatele laterale sunt $-2$ (răcire cu $2$ grade pe oră) și $3$ (încălzire cu $3$ grade pe oră), finite și diferite, deci $t=5$ este punct unghiular. Interpretare: la ora $5$ regimul termic se schimbă brusc — de pildă, se pornește încălzirea. Temperatura variază continuu, dar ritmul ei sare instantaneu de la $-2$ la $3$.

16. Raportul de diferențe este $\frac{\sqrt[3]{(x-2{)}^2}}{x-2}=\frac{1}{\sqrt[3]{x-2}}$, care tinde la $+\infty$ pentru $x\to 2$, $x>2$, și la $-\infty$ pentru $x\to 2$, $x<2$. Funcția fiind continuă: punct de întoarcere.

17. $f_s^{\prime }(0)=1$, $f_d^{\prime }(0)=+\infty$; funcția e continuă, derivatele laterale sunt diferite și una e finită, deci $0$ este punct unghiular. Semitangenta la stânga are panta $1$; cea la dreapta este verticală și nu are pantă.

18. Pentru $x\ne 0$, $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x|x|}{x}=|x|$, iar $|x|\to 0$ atunci când $x\to 0$, din ambele părți. Deci $f_s^{\prime }(0)=f_d^{\prime }(0)=0$: funcția este derivabilă în $0$ și $f^{\prime }(0)=0$. Concluzia de reținut: prezența modulului nu garantează un colț — aici zeroul de sub modul este „compensat" de factorul $x$ din față.

De reținut

• Semitangentele la stânga și la dreapta au pantele $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$; funcția e derivabilă exact când ele sunt finite și egale, iar cele două semitangente formează o singură dreaptă.
• Punct unghiular: $f$ continuă în $x_0$, derivatele laterale există, sunt diferite și cel puțin una e finită. Graficul are un colț. Etalon: $|x|$ în $0$.
• Punct de întoarcere: $f$ continuă în $x_0$, derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare. Graficul are o semitangentă verticală și se întoarce. Etalon: $\sqrt{|x|}$ în $0$.
• Tangenta verticală simplă ($f_s^{\prime }=f_d^{\prime }=\pm \infty$) nu este punct de întoarcere: derivata există în $\overline{\mathbb{R}}$, iar semitangentele se completează într-o dreaptă. Etalon: $\sqrt[3]{x}$ în $0$.
• Ordinea de lucru: întâi continuitatea, apoi derivatele laterale, apoi clasificarea; formularea concluziei folosește numele exact al punctului, nu doar „nu e derivabilă".

Greșeli frecvente

• Spui că orice punct de nederivabilitate e unghiular. Nu: mai există punctele de întoarcere, punctele cu tangentă verticală și capetele de domeniu. Clasificarea se face după tabelul din secțiunea 5, nu din reflex.
• Confunzi tangenta verticală cu punctul de întoarcere. La $\sqrt[3]{x}$ în $0$ derivatele laterale sunt amândouă $+\infty$, deci egale — nu e întoarcere. La $\sqrt{|x|}$ sunt $-\infty$ și $+\infty$ — abia acolo e întoarcere. Cheia e semnul, nu infinitatea.
• Uiți să verifici continuitatea. Dacă funcția are salt în $x_0$, calculul derivatelor laterale nu mai are niciun sens ca test de colț. Verificarea continuității este pasul unu, nu o formalitate.
• Crezi că orice modul dă un colț. $f(x)=x|x|$ este derivabilă în $0$. Colțul apare când zeroul expresiei de sub modul e simplu; când e multiplu sau compensat, racordul iese neted.
• Ceri derivabilitatea înainte de continuitate la problemele cu parametri. Sistemul corect are întâi ecuația de continuitate, apoi cea de egalitate a derivatelor laterale; rezolvate în ordine inversă, ele duc adesea la soluții false.

Aplică acasă

1. Desenează pe hârtie graficele funcțiilor $|x|$, $\sqrt{|x|}$ și $\sqrt[3]{x}$, pe intervalul $[-2,2]$, folosind câte zece valori pentru fiecare. Pune-le una sub alta și scrie sub fiecare ce fel de punct are în origine. Diferența dintre a doua și a treia se vede cel mai bine dacă desenezi și verticala prin origine.
2. Caută în casă sau pe stradă trei obiecte al căror profil are un colț (acoperiș, spătarul unui scaun, muchia unui trotuar) și trei al căror profil e neted (o farfurie, un balon, o anvelopă). Fotografiază-le și notează, pentru fiecare, dacă „graficul" are punct unghiular și cam ce pante ar avea semitangentele.
3. Deschide o aplicație de grafice și trasează $f(x)=\sqrt{|x|}$. Mărește imaginea în jurul originii de câteva ori la rând. Observă că, spre deosebire de o funcție derivabilă, curba nu devine tot mai asemănătoare cu o dreaptă înclinată, ci se apropie tot mai mult de verticală — semnătura vizuală a punctului de întoarcere.

Pentru părinți și profesori

Ce verifică lecția: (1) că elevul calculează corect derivatele laterale din definiție, pe fiecare parte separat; (2) că verifică întâi continuitatea; (3) că folosește definițiile exacte, inclusiv condiția „cel puțin una finită" de la punctul unghiular și condiția „semne contrare" de la punctul de întoarcere; (4) că deosebește ambele situații de tangenta verticală simplă.

Întrebări de control: De ce $\sqrt[3]{x}$ nu are punct de întoarcere în $0$? — pentru că derivatele laterale sunt amândouă $+\infty$, deci egale. Poate o funcție discontinuă să aibă punct unghiular? — nu, continuitatea e în definiție. Ce e diferit între $|x|$ și $x|x|$ în origine? — prima are colț, a doua e derivabilă.

Semne că a înțeles: începe orice studiu de racord cu verificarea continuității; scrie derivatele laterale cu notațiile $f_s^{\prime }$ și $f_d^{\prime }$ și cu limitele pe fiecare parte; formulează concluzia cu numele punctului, nu doar cu „nu e derivabilă".

Unde apare la BAC M1: la subiectul II și III, în cerințe de tipul „studiați derivabilitatea funcției în punctul…", „determinați $a$ și $b$ astfel încât funcția să fie derivabilă în…" sau „arătați că punctul… este punct de întoarcere". Funcțiile cu modul și cele definite pe ramuri sunt sursa aproape exclusivă a acestor exerciții.

Întrebări frecvente

Ce este un punct unghiular? Este un punct în care funcția e continuă, derivatele laterale există și sunt diferite, iar cel puțin una dintre ele e finită. Graficul are acolo un colț, format de două semitangente care nu se prelungesc una pe alta.

Ce este un punct de întoarcere? Este un punct în care funcția e continuă, iar derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare, adică una $-\infty$ și cealaltă $+\infty$. Graficul are o semitangentă verticală și se întoarce înapoi de-a lungul ei.

Care e diferența dintre punct de întoarcere și tangentă verticală? La punctul de întoarcere derivatele laterale au semne contrare; la tangenta verticală obișnuită ele sunt egale, ambele $+\infty$ sau ambele $-\infty$. În al doilea caz derivata există în dreapta reală încheiată, iar graficul traversează verticala în loc să se întoarcă.

De ce e obligatorie continuitatea în ambele definiții? Pentru că o funcție care nu e continuă într-un punct nu e nici derivabilă acolo, iar graficul e rupt. Un salt nu produce colț, ci o discontinuitate — alt fenomen, cu altă clasificare.

Funcția modul dă întotdeauna un punct unghiular? Nu. $f(x)=x|x|$ este derivabilă în $0$, cu $f^{\prime }(0)=0$. Colțul apare când zeroul expresiei de sub modul este simplu și nu e compensat de alți factori care se anulează acolo.

Cum studiez o funcție definită pe ramuri într-un punct de racord? În trei pași: verifici continuitatea comparând cele două limite laterale cu valoarea funcției; calculezi derivatele laterale din definiție, pe fiecare ramură; compari rezultatele și dai verdictul — derivabilă, punct unghiular, punct de întoarcere sau tangentă verticală.

Ce scriu în tabelul de variație în dreptul unui astfel de punct? În rândul derivatei se scrie $\nexists$, iar sub tabel se explică în cuvinte natura punctului: unghiular sau de întoarcere. Valoarea funcției se trece normal, pentru că funcția este continuă acolo.

Poate un punct unghiular să aibă o semitangentă verticală? Da. Dacă o derivată laterală e finită și cealaltă infinită, condiția „cel puțin una finită" e îndeplinită, deci punctul e unghiular, chiar dacă una dintre semitangente e verticală. Exemplul din lecție este funcția care e $x$ la stânga și $\sqrt{x}$ la dreapta lui $0$.