Puterea unei matrice pătratice: pe scurt

Produsul $A\cdot A$ cere ca numărul de coloane să fie egal cu numărul de linii, deci numai matricele pătratice au puteri: pentru $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$, scrierea $A^2$ nu este greșită, ci imposibilă. Definiția este prin recurență: $A^1=A$ și $A^{k+1}=A^k\cdot A$, cu convenția $A^0=I_n$, aleasă tocmai ca regula $A^m{A}^n=A^{m+n}$ să rămână valabilă. Se păstrează și ${\left(A^m\right)}^n=A^{mn}$.

Se pierde, în schimb, $(AB{)}^n=A^n{B}^n$: ca să ajungi de la $ABAB$ la $AABB$ ar trebui să schimbi ordinea din mijloc. Egalitatea este adevărată exact atunci când $AB=BA$. Din același motiv, $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$, iar termenul $2AB$ apare doar dacă matricele comută.

O matrice diagonală se ridică la putere element cu element, pe diagonală. Trei familii dau răspunsul imediat: idempotente ($A^2=A$, deci $A^n=A$), nilpotente ($A^k=O_n$, deci toate puterile de la $k$ încolo sunt nule) și involutive ($A^2=I_n$, deci puterile alternează). Reține deosebirea esențială față de numere: din $A^2=O_n$ nu rezultă $A=O_n$. Regula practică pentru examen: primul gest la orice exercițiu cu puteri este calculul lui $A^2$ — el arată singur în ce familie te afli.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right)$. Atunci $A^7$ este egală cu:

   • a) $O_2$
   • b) $I_2$
   • c) $3^{6}A$
   • d) $A$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $A$

   Primul gest este calculul pătratului: $A^2=\left(\begin{array}{cc}9-6& -18+12\\ 3-2& -6+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right)=A$, deci $A$ este idempotentă. De aici, dacă $A^k=A$, atunci $A^{k+1}=A^k\cdot A=A^2=A$: toate puterile coincid cu $A$, în particular $A^7=A$.

2. Se consideră $N=\left(\begin{array}{cc}4& -8\\ 2& -4\end{array}\right)$. Care afirmație este adevărată?

   • a) $N^2=O_2$, deși $N\ne O_2$
   • b) $N^2=N$
   • c) $N^2=I_2$
   • d) $N^2=4N$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $N^2=O_2$, deși $N\ne O_2$

   Calculăm: $N^2=\left(\begin{array}{cc}16-16& -32+32\\ 8-8& -16+16\end{array}\right)=O_2$, iar $N$ este evident nenulă. Matricea este deci nilpotentă, de indice $2$, și toate puterile ei de exponent cel puțin $2$ sunt nule. La numere, din $x^2=0$ rezultă $x=0$; la matrice, nu.

3. Pentru $D=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$, matricea $D^5$ este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}32& 0\\ 0& 243\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}-32& 0\\ 0& 243\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}-10& 0\\ 0& 15\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}-32& 0\\ 0& 15\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\left(\begin{array}{cc}-32& 0\\ 0& 243\end{array}\right)$

   O matrice diagonală se ridică la putere element cu element, pe diagonală: $(-2{)}^5=-32$ și $3^5=243$, restul rămânând zerouri. Semnul se păstrează, pentru că exponentul $5$ este impar. Variantele c) și d) conțin înmulțirea cu $5$ în loc de ridicarea la puterea a cincea.