Puterea unei matrice pătratice: definiție și calcul direct

La numere, ridicarea la putere e o prescurtare: $2^5$ înseamnă $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$. La matrice, prescurtarea e la fel de firească — dar prima întrebare nu e „cât face", ci „se poate?". Produsul a două matrice cere ca numărul de coloane al primeia să fie egal cu numărul de linii al celeilalte, iar $A\cdot A$ pune această condiție chiar asupra lui $A$: matricea trebuie să aibă tot atâtea coloane câte linii. Deci numai matricele pătratice au puteri.

A doua întrebare vine imediat după: până unde poți merge cu calculul direct? Pentru $A^3$ sau $A^4$ înmulțești de câteva ori și gata. Pentru $A^{20}$ ar însemna nouăsprezece înmulțiri, iar pentru $A^n$, cu $n$ oarecare, calculul direct nici măcar nu are sens. De aici pornesc metodele din lecțiile următoare — dar înainte de ele ai nevoie de definiție, de reguli și de câteva familii de matrice ale căror puteri se opresc singure.

Ce vei învăța

• Vei ști de ce numai matricele pătratice se pot ridica la putere și cum se definește $A^n$.
• Vei ști convenția $A^0=I_n$ și regulile $A^m{A}^n=A^{m+n}$, $(A^m{)}^n=A^{mn}$.
• Vei ști de ce $(AB{)}^n\ne A^n{B}^n$ în general și în ce caz egalitatea este totuși adevărată.
• Vei ști să calculezi direct $A^2$, $A^3$, $A^4$ și să observi tiparul care apare.
• Vei ști să ridici la putere o matrice diagonală, dintr-o singură privire.
• Vei recunoaște matricele idempotente, nilpotente și involutive, la care toate puterile se citesc imediat.

Hai să descoperim împreună

1. Definiția

Fie $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ o matrice pătratică de ordin $n$. Produsul $A\cdot A$ are sens, pentru că numărul de coloane al primului factor ($n$) coincide cu numărul de linii al celui de-al doilea, iar rezultatul este tot de tip $n\times n$ — deci se poate înmulți din nou cu $A$, și tot așa. Definim, prin recurență:

$$A^1=A,A^{k+1}=A^k\cdot A\text{pentru orice }k\in {\mathbb{N}}^{\ast },A^0=I_n.$$

Convenția $A^0=I_n$ nu e arbitrară: matricea unitate joacă în înmulțirea matricelor exact rolul lui $1$ la numere ($A{I}_n=I_{n}A=A$), iar cu ea regula $A^m{A}^n=A^{m+n}$ rămâne valabilă și când unul dintre exponenți este $0$.

Pentru o matrice dreptunghiulară $A\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{C})$ cu $m\ne n$, scrierea $A^2$ este lipsită de sens — nu e „egală cu ceva", pur și simplu nu se poate scrie. Este prima verificare de făcut la orice exercițiu cu puteri.

2. Regulile care se păstrează și cele care se pierd

Din definiție se obțin, exact ca la numere:

$$A^m\cdot A^n=A^{m+n},(A^m{)}^n=A^{mn},m,n\in \mathbb{N}.$$

Amândouă spun același lucru: un produs de $m$ factori $A$ urmat de un produs de $n$ factori $A$ înseamnă $m+n$ factori $A$, iar asociativitatea îngăduie să-i grupăm cum vrem.

Se pierde însă regula la care ne-am aștepta cel mai tare. În general $(AB{)}^n\ne A^n{B}^n$. Motivul e necomutativitatea: desfăcând $(AB{)}^2=ABAB$, ca să ajungi la $A^2{B}^2=AABB$ ar trebui să schimbi între ele pe $B$ și $A$ din mijloc — ceea ce nu e permis. Iată contraexemplul de reținut:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),(AB{)}^2=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right),A^2{B}^2=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right).$$

Egalitatea $(AB{)}^n=A^n{B}^n$ este adevărată exact atunci când $AB=BA$, adică pentru matrice care comută. Din același motiv se pierde și formula binomului la pătrat: în general

$$(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2\ne A^2+2AB+B^2,$$

iar termenul „$2AB$" apare numai dacă $AB=BA$. Pe exemplul de mai sus, $(A+B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$, în timp ce $A^2+2AB+B^2=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$.

3. Calculul direct și tiparul care se ivește

Cea mai simplă metodă este să înmulțești efectiv, pas cu pas, folosind regula „linie pe coloană" din înmulțirea a două matrice. Fie

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Calculăm pe rând, fiecare putere din cea dinainte:

$$A^2=A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 0& 1\end{array}\right),A^3=A^2\cdot A=\left(\begin{array}{cc}8& 7\\ 0& 1\end{array}\right),A^4=A^3\cdot A=\left(\begin{array}{cc}16& 15\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Numerele nu sunt întâmplătoare. Colțul din stânga-sus dă $2,4,8,16$, adică $2^n$; colțul din dreapta-sus dă $1,3,7,15$, adică $2^n-1$; linia a doua nu se schimbă. Conjectura firească este

$$A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 2^n-1\\ 0& 1\end{array}\right),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

⚠️ O conjectură nu e o demonstrație. Patru cazuri verificate nu garantează nimic pentru $n=100$; ce am făcut aici e o observație, care trebuie apoi dovedită. Instrumentul potrivit — inducția matematică — face obiectul lecției următoare, Ridicarea la putere prin inducție matematică. Deocamdată reține procedura: calculezi câteva puteri, cauți tiparul, îl scrii ca presupunere și îl marchezi ca atare.

4. Matricele diagonale: cazul cel mai comod

O matrice diagonală are toate elementele din afara diagonalei principale nule (vezi tipurile de matrice). Pentru ele, produsul se face „pe fiecare poziție separat":

$$D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -3\end{array}\right)\Rightarrow D^2=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 9\end{array}\right),D^3=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ 0& -27\end{array}\right),D^4=\left(\begin{array}{cc}16& 0\\ 0& 81\end{array}\right).$$

Regula generală: dacă $D$ are pe diagonală elementele $d_1,d_2,\dots ,d_n$, atunci $D^k$ are pe diagonală $d_1^k,d_2^k,\dots ,d_n^k$, restul rămânând zerouri. Justificarea în doi pași: se verifică direct pentru $k=2$, apoi se observă că din $D^{k+1}=D^k\cdot D$ fiecare element diagonal se înmulțește încă o dată cu $d_i$-ul lui. Cu ordinul $3$, de pildă,

$$D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)\Rightarrow D^3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 125\end{array}\right).$$

Atenție la semn: elementele negative alternează, deci $(-1{)}^k$ dă $1$ pentru $k$ par și $-1$ pentru $k$ impar.

5. Trei familii la care puterile se opresc singure

Există matrice pentru care nu ai nevoie de nicio metodă: primul sau al doilea pătrat spune totul.

(a) Matrice idempotente: $A^2=A$. Un exemplu concret:

$$J=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -1\end{array}\right)\Rightarrow J^2=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+(-2)\cdot 1& 2\cdot (-2)+(-2)(-1)\\ 1\cdot 2+(-1)\cdot 1& 1\cdot (-2)+(-1)(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -1\end{array}\right)=J.$$

De aici, toate puterile sunt egale cu $J$: din $J^k=J$ rezultă $J^{k+1}=J^k\cdot J=J\cdot J=J^2=J$, deci pasul de la $k$ la $k+1$ nu schimbă nimic. Prin urmare $J^n=J$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Varianta mai largă: $A^2=\alpha A$, cu $\alpha$ un număr. Pentru

$$K=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)\Rightarrow K^2=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 3& 6\end{array}\right)=3K,$$

fiecare înmulțire cu $K$ adaugă un factor $3$: $K^3=K^2\cdot K=3K\cdot K=3K^2=9K$, apoi $K^4=27K$. Tiparul este $K^n=3^{n-1}K$, demonstrat riguros în lecția următoare.

(b) Matrice nilpotente: există $k$ cu $A^k=O_n$; cel mai mic astfel de $k$ se numește indicele de nilpotență. Atunci toate puterile de la $k$ încolo sunt nule, pentru că $A^{k+1}=A^k\cdot A=O_n\cdot A=O_n$. Un exemplu de ordin $2$, care nu e triunghiular:

$$N=\left(\begin{array}{cc}3& -9\\ 1& -3\end{array}\right)\Rightarrow N^2=\left(\begin{array}{cc}9-9& -27+27\\ 3-3& -9+9\end{array}\right)=O_2.$$

Un exemplu de ordin $3$, cu indicele $3$:

$$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 0& 0& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^3=O_3.$$

Observația de reținut: la matrice, $A^2=O_n$ nu implică $A=O_n$ — la numere, $x^2=0$ dă $x=0$, aici nu. Este una dintre cele mai importante deosebiri dintre calculul cu numere și cel cu matrice.

(c) Matrice involutive: $A^2=I_n$. Atunci puterile alternează: cele pare dau $I_n$, cele impare dau $A$. De exemplu,

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& -1\end{array}\right)\Rightarrow A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3-3& 1\end{array}\right)=I_2\Rightarrow A^{10}=I_2,A^{11}=A.$$

Un caz înrudit, foarte des la Bacalaureat M1, este cel al matricelor periodice: $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ are $A^2=-I_2$, $A^3=-A$, $A^4=I_2$, după care totul se repetă din patru în patru. Puterea $A^n$ se citește atunci din restul împărțirii lui $n$ la $4$.

6. Ce urmează

Calculul direct rezolvă exponenții mici; familiile de mai sus rezolvă cazurile speciale. Rămâne cazul general, $A^n$ cu $n$ oarecare, pentru care lecțiile 9–12 dau patru metode: inducția matematică, binomul lui Newton (pentru matrice de forma $I_n+N$ cu $N$ nilpotentă), șirurile recurente și structura matricei de rotație. O a cincea metodă, mai puternică, devine disponibilă abia după capitolul de determinanți. Regula practică pe care o vei folosi la examen: înainte de orice metodă, calculează $A^2$ — de multe ori el îți spune singur în ce familie te afli.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcul direct și conjectură

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$. Calculați $A^2$ și $A^3$ și formulați o presupunere pentru $A^n$.

Rezolvare. Înmulțim pas cu pas:

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2+2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right),A^3=A^2\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4+2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right).$$

Colțul din stânga-jos crește din $2$ în $2$: $2,4,6$. Presupunerea firească este $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2n& 1\end{array}\right)$ — de demonstrat prin inducție, în lecția următoare.

Exemplul 2 — Matrice diagonală

Calculați $D^4$ pentru $D=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ și $E^3$ pentru $E=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Ridicăm la putere fiecare element de pe diagonală, restul rămânând zerouri:

$$D^4=\left(\begin{array}{cc}{3}^4& 0\\ 0& 2^4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}81& 0\\ 0& 16\end{array}\right),E^3=\left(\begin{array}{ccc}8& 0& 0\\ 0& 27& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

Ultimul element este $(-1{)}^3=-1$, pentru că exponentul e impar.

Exemplul 3 — Matrice nilpotentă

Arătați că $N=\left(\begin{array}{cc}3& -9\\ 1& -3\end{array}\right)$ este nilpotentă și calculați $N^5$.

Rezolvare. Calculăm pătratul: $N^2=\left(\begin{array}{cc}9-9& -27+27\\ 3-3& -9+9\end{array}\right)=O_2$, deci $N$ este nilpotentă, de indice $2$ (nu de indice $1$, pentru că $N\ne O_2$). Atunci

$$N^5=N^2\cdot N^2\cdot N=O_2\cdot O_2\cdot N=O_2.$$

Mai simplu: toate puterile de exponent cel puțin $2$ sunt nule, pentru că fiecare dintre ele îl conține pe $N^2$ ca factor.

Exemplul 4 — Matrice idempotentă

Arătați că $J=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -1\end{array}\right)$ verifică $J^2=J$ și determinați $J^7$.

Rezolvare. Am calculat mai sus $J^2=J$. Trecerea de la o putere la următoarea nu schimbă nimic: dacă $J^k=J$, atunci $J^{k+1}=J^k\cdot J=J\cdot J=J$. Pornind de la $J^1=J$ și aplicând pasul de șase ori, obținem $J^7=J=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -1\end{array}\right)$.

Exemplul 5 — Capcana $(AB{)}^2$

Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, comparați $(AB{)}^2$ cu $A^2{B}^2$.

Rezolvare. Avem $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, deci $(AB{)}^2=\left(\begin{array}{cc}4+1& 2+1\\ 2+1& 1+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$. Pe de altă parte $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$, deci $A^2{B}^2=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$. Cele două diferă, exact cum era de așteptat: $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, iar $BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, deci matricele nu comută.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$. a) Calculați $A^2$. b) Arătați că $A^2-3A=O_2$. c) Calculați $A^3$ și $A^4$, folosind punctul b).

Rezolvare. a) $A^2=\left(\begin{array}{cc}1+2& 2+4\\ 1+2& 2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 3& 6\end{array}\right)$.

b) $3A=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 3& 6\end{array}\right)=A^2$, deci $A^2-3A=O_2$.

c) Din $A^2=3A$ obținem $A^3=A^2\cdot A=3A\cdot A=3A^2=9A=\left(\begin{array}{cc}9& 18\\ 9& 18\end{array}\right)$ și, la fel, $A^4=A^3\cdot A=9A\cdot A=9A^2=27A=\left(\begin{array}{cc}27& 54\\ 27& 54\end{array}\right)$. Observă cât de mult scurtează relația de la punctul b) calculul: nu am mai înmulțit niciodată două matrice pline, ci doar am înmulțit cu numere.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, verifică întâi că matricea e pătratică, apoi calculează $A^2$ — el decide dacă ai de-a face cu un caz special sau cu unul obișnuit.

1. Calculează $A^2$ și $A^3$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$.

2. Calculează $D^4$ pentru $D=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$.

3. Arată că $N=\left(\begin{array}{cc}0& 5\\ 0& 0\end{array}\right)$ este nilpotentă și calculează $N^7$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ și $A^2=O_2$, atunci $A=O_2$."

5. Pentru $E=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$, arată că $E^2=2E$ și calculează $E^3$ și $E^5$.

6. Calculează $A^2$ și $A^3$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 2\end{array}\right)$.

7. Calculează $A^2$ și $A^3$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $A,B\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ avem $(AB{)}^2=A^2{B}^2$."

9. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& -1\end{array}\right)$, arată că $A^2=I_2$ și determină $A^{10}$ și $A^{11}$.

10. Calculează $A^2$ și $A^3$ pentru $A=-I_2$.

11. (Problemă aplicată.) Rețeaua de curse dintre trei orașe are matricea $F=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 1& 0& 3\\ 2& 1& 0\end{array}\right)$, iar $F^3=\left(\begin{array}{ccc}13& 14& 7\\ 7& 13& 21\\ 14& 7& 13\end{array}\right)$. Câte trasee cu exact două escale duc din $B$ în $C$? Dar din $C$ în $A$?

12. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, arată că $A^2=2A$ și calculează $A^6$.

13. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ calculează $A^2$, $A^3$, $A^4$, apoi determină $A^{2026}$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Scrierea $A^2$ are sens pentru orice matrice $A$."

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. a) Calculați $A^2$. b) Arătați că $A^2=3A-2I_2$. c) Calculați $A^3$, folosind relația de la punctul b).

16. Calculează $D^3$ pentru $D=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$.

17. Cu $A$ și $B$ din exemplul 5, arată că $(A+B{)}^2\ne A^2+2AB+B^2$ și scrie formula corectă pentru $(A+B{)}^2$.

18. (Provocare.) Matricea $J=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -1\end{array}\right)$ este idempotentă. Arată că și $I_2-J$ este idempotentă și că $J(I_2-J)=O_2$.

Răspunsuri și explicații

1. $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right)$; colțul din stânga-jos crește din $2$ în $2$.

2. $D^4=\left(\begin{array}{cc}81& 0\\ 0& 16\end{array}\right)$, ridicând la puterea a patra fiecare element de pe diagonală.

3. $N^2=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 0+5\cdot 0& 0\cdot 5+5\cdot 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2$, deci $N$ e nilpotentă de indice $2$, iar $N^7=O_2$ (conține factorul $N^2$).

4. Fals. Contraexemplu: $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ are $A^2=O_2$, dar $A\ne O_2$. La numere, $x^2=0$ forțează $x=0$; la matrice, nu — există „divizori ai lui zero".

5. $E^2=\left(\begin{array}{cc}1+1& -1-1\\ -1-1& 1+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 2\end{array}\right)=2E$. Atunci $E^3=2E\cdot E=2E^2=4E=\left(\begin{array}{cc}4& -4\\ -4& 4\end{array}\right)$, iar $E^5=16E=\left(\begin{array}{cc}16& -16\\ -16& 16\end{array}\right)$.

6. $A^2=\left(\begin{array}{cc}4& 12\\ 0& 4\end{array}\right)$ și $A^3=\left(\begin{array}{cc}8& 36\\ 0& 8\end{array}\right)$: pe diagonală apar puterile lui $2$, iar deasupra $12=3\cdot 2\cdot 2$ și $36=3\cdot 3\cdot 4$.

7. $A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ și $A^3=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 6\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

8. Fals. Egalitatea cere $AB=BA$. Contraexemplul din exemplul 5: $(AB{)}^2=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$, iar $A^2{B}^2=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$.

9. $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3-3& 1\end{array}\right)=I_2$. Atunci $A^{10}=(A^2{)}^5=I_2$ și $A^{11}=A^{10}\cdot A=A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& -1\end{array}\right)$.

10. $(-I_2{)}^2=I_2$ și $(-I_2{)}^3=-I_2$: puterile pare dau $I_2$, cele impare dau $-I_2$.

11. Din $B$ în $C$ sunt $21$ de trasee cu două escale (elementul de pe linia $2$, coloana $3$), iar din $C$ în $A$ sunt $14$ (linia $3$, coloana $1$). Numărul de escale este cu unu mai mic decât exponentul, pentru că $F^3$ numără drumurile formate din trei curse.

12. $A^2=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)=2A$, deci fiecare înmulțire cu $A$ adaugă un factor $2$: $A^6=2^{5}A=32A=\left(\begin{array}{cc}32& 32\\ 32& 32\end{array}\right)$.

13. $A^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I_2$, $A^3=-A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$, $A^4=I_2$. Puterile se repetă din patru în patru; cum $2026=4\cdot 506+2$, avem $A^{2026}=A^2=-I_2$.

14. Fals. $A^2$ are sens numai pentru matrice pătratice. Pentru $A\in {\mathcal{M}}_{2,3}(\mathbb{C})$, produsul $A\cdot A$ ar cere ca $3$ (coloanele) să fie egal cu $2$ (liniile), ceea ce nu se întâmplă.

15. a) $A^2=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$. b) $3A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 0& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 0& 1\end{array}\right)=A^2$. c) Înmulțim relația cu $A$: $A^3=3A^2-2A=\left(\begin{array}{cc}12& 9\\ 0& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 7\\ 0& 1\end{array}\right)$, ceea ce coincide cu calculul direct din lecție.

16. $D^3=\left(\begin{array}{ccc}8& 0& 0\\ 0& 27& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$.

17. $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, deci $(A+B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$, în timp ce $A^2+2AB+B^2=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$. Formula corectă este $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$, iar cei doi termeni din mijloc nu se pot aduna decât dacă $AB=BA$.

18. $I_2-J=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -1& 2\end{array}\right)$, iar $(I_2-J{)}^2=\left(\begin{array}{cc}1-2& -2+4\\ 1-2& -2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -1& 2\end{array}\right)=I_2-J$, deci și ea e idempotentă. Pentru al doilea punct, folosim distributivitatea: $J(I_2-J)=J{I}_2-J^2=J-J=O_2$. (Argumentul e general: dacă $J^2=J$, atunci $I_n-J$ e idempotentă și cele două se anulează reciproc.)

De reținut

• Numai matricele pătratice au puteri: $A^2$ cere ca numărul de coloane să fie egal cu numărul de linii. Definiția: $A^1=A$, $A^{k+1}=A^k\cdot A$, cu convenția $A^0=I_n$.
• Se păstrează $A^m{A}^n=A^{m+n}$ și $(A^m{)}^n=A^{mn}$; se pierde $(AB{)}^n=A^n{B}^n$, adevărată doar când $AB=BA$.
• Matricea diagonală se ridică la putere element cu element, pe diagonală; restul rămâne zero.
• Trei familii speciale: idempotente ($A^2=A\Rightarrow A^n=A$), nilpotente ($A^k=O_n\Rightarrow$ toate puterile de la $k$ încolo sunt nule), involutive ($A^2=I_n\Rightarrow$ puterile alternează).
• Primul gest la orice exercițiu cu puteri este calculul lui $A^2$: el arată dacă matricea intră într-o familie specială sau dacă e nevoie de o metodă din lecțiile următoare.

Greșeli frecvente

• Ridicarea la putere a unei matrice dreptunghiulare. $A^2$ nu e „egal cu ceva greșit", ci pur și simplu nu se poate scrie. Corectare: verifică întâi că matricea e pătratică.
• Folosirea formulei $(AB{)}^n=A^n{B}^n$. E cea mai frecventă greșeală de la acest capitol. Corectare: desfă produsul pe litere și vezi dacă poți schimba ordinea; dacă nu ai arătat că $AB=BA$, nu ai voie.
• Formula binomului la pătrat. $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ e falsă în general; scrie întotdeauna $A^2+AB+BA+B^2$ și abia apoi verifică dacă termenii din mijloc se pot aduna.
• Confuzia dintre „$A^2=O_2$" și „$A=O_2$". Există matrice nenule cu pătratul nul; „scoaterea rădăcinii" nu funcționează la matrice.
• Considerarea unei conjecturi drept demonstrație. Din $A^2$, $A^3$, $A^4$ se ghicește formula, dar nu se dovedește. Corectare: scrie „presupunem că…" și demonstrează prin inducție, ca în lecția următoare.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de familii. Scrie cinci matrice de ordin $2$ cu numere între $-3$ și $3$ și calculează pătratul fiecăreia. Vezi câte dintre ele nimeresc într-una dintre cele trei familii speciale — vei fi surprins cât de des se întâmplă la matricele cu linii proporționale.

2. Puterile ceasului. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$, calculează puterile de la $A^1$ la $A^8$ și așază-le în cerc, ca pe un cadran. Vei vedea cum se închide ciclul de lungime $4$.

3. Numărătoarea de înmulțiri. Ca să obții $A^8$, poți face șapte înmulțiri la rând sau poți calcula $A^2$, apoi $(A^2{)}^2$ și apoi pătratul rezultatului — doar trei. Verifică pe o matrice concretă că rezultatul e același și numără operațiile.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce puterile matricelor și pregătește terenul pentru cele patru metode de ridicare la putere din lecțiile următoare. Ea are două componente: una de definiție și reguli (ce se păstrează de la numere și ce nu), alta de recunoaștere (familiile de matrice pentru care puterile se citesc imediat). A doua este cea care aduce puncte la examen, pentru că multe subiecte se rezolvă în două rânduri dacă elevul observă că $A^2=\alpha A$ sau că $A^2=I_2$.

De verificat în caiet: (1) elevul verifică întâi că matricea e pătratică; (2) calculează $A^2$ înainte de orice altceva; (3) nu folosește $(AB{)}^n=A^n{B}^n$ fără să fi arătat comutarea; (4) marchează explicit că o formulă ghicită din primii termeni este deocamdată o presupunere. Întrebări de control: „Se poate ridica la putere o matrice $2\times 3$?"; „Cât e $A^0$?"; „Când e adevărat că $(AB{)}^2=A^2{B}^2$?"; „Ce înseamnă că o matrice e nilpotentă?".

La BAC M1, puterile apar aproape în fiecare sesiune, cel mai des sub forma „calculați $A^2$, arătați că $A^2=\alpha A+\beta I_2$, deduceți $A^3$" — exact structura exercițiului 15. Semn că elevul a înțeles: pus în fața unei puteri mari, caută întâi o relație satisfăcută de $A^2$ în loc să înmulțească de zece ori.

Întrebări frecvente

De ce se pot ridica la putere numai matricele pătratice? Pentru că produsul $A\cdot A$ cere ca numărul de coloane al primului factor să fie egal cu numărul de linii al celui de-al doilea — adică, fiind vorba de aceeași matrice, cere ca ea să aibă tot atâtea coloane câte linii. Pentru o matrice de tip $2\times 3$, scrierea $A^2$ nu are sens.

Cât este $A^0$? Prin convenție, $A^0=I_n$, matricea unitate de același ordin. Convenția e aleasă tocmai ca regula $A^m{A}^n=A^{m+n}$ să rămână valabilă și când unul dintre exponenți este zero.

Este adevărat că $(AB{)}^n=A^n{B}^n$? Nu, în general. Egalitatea e adevărată exact când $AB=BA$, adică pentru matrice care comută. Fără această verificare, desfacerea produsului ar cere schimbarea ordinii factorilor, ceea ce la matrice nu e permis.

Ce este o matrice nilpotentă? O matrice pătratică pentru care o anumită putere este matricea nulă: $A^k=O_n$. Cel mai mic astfel de $k$ se numește indice de nilpotență. De la acel exponent încolo, toate puterile sunt nule. Un exemplu de ordin $2$ este $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$.

Ce este o matrice idempotentă? Una pentru care $A^2=A$. Consecința imediată este că toate puterile ei coincid cu $A$: fiecare înmulțire suplimentară nu schimbă nimic. Exemplele tipice sunt matricele cu liniile proporționale, precum $\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& -1\end{array}\right)$.

Cum calculez o putere mare, de exemplu $A^{100}$? Începi cu $A^2$. Dacă matricea e diagonală, ridici la putere fiecare element de pe diagonală; dacă e idempotentă, nilpotentă sau involutivă, răspunsul se citește imediat; dacă $A^2=\alpha A$, apare un factor $\alpha$ la fiecare pas. În rest, folosești una dintre metodele din lecțiile 9–12, prima dintre ele fiind inducția matematică.

De ce nu e suficient să verific formula pentru $n=1,2,3$? Pentru că o formulă poate să fie adevărată pentru primele valori și să cadă mai departe. Verificarea pe câteva cazuri dă doar o presupunere; ca ea să devină rezultat, trebuie demonstrată pentru orice $n$, prin inducție matematică.

Cum apar puterile matricelor la Bacalaureat M1? Cel mai adesea în lanțul „calculați $A^2$ — arătați o relație de tipul $A^2=\alpha A+\beta I_2$ — deduceți $A^3$ sau $A^n$". Uneori se cere direct o putere mare a unei matrice speciale, iar atunci recunoașterea familiei scurtează rezolvarea la câteva rânduri.