Puterile unui element: pe scurt

Puterea $x^n$ a unui element dintr-un grup $(G,\cdot )$ se definește prin recurență: $x^0=e$, $x^{n+1}=x^n\cdot x$ și $x^{-n}={\left(x^{-1}\right)}^n$, astfel încât exponentul poate fi orice număr întreg. Regulile $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$ și ${\left(x^m\right)}^n=x^{mn}$ sunt adevărate în orice grup și se demonstrează prin inducție, pornind de la asociativitate. A treia regulă de la numere nu se transferă: $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ are loc dacă și numai dacă $x$ și $y$ comută, iar pentru $n=2$ demonstrația se face simplificând $xyxy=xxyy$ la stânga cu $x$ și la dreapta cu $y$.

Într-un grup finit, puterile $x^1,x^2,x^3,\dots$ nu pot fi toate distincte, deci există $i<j$ cu $x^i=x^j$ și, prin simplificare, $x^{j-i}=e$. Cel mai mic exponent natural nenul $k$ cu $x^k=e$ se numește, în această lecție, perioada lui $x$. Ea aduce trei consecințe: puterile se repetă din $k$ în $k$, adică $x^n=x^r$ unde $r$ este restul împărțirii lui $n$ la $k$; inversul se scrie ca putere pozitivă, $x^{-1}=x^{k-1}$; iar puterile distincte sunt exact $k$ la număr. Rețeta pentru exponenți uriași are trei pași: afli perioada, împarți exponentul la ea cu rest, scrii $x^n=x^r$. În grupurile aditive puterea se numește multiplu și se scrie $nx$, nu $x^n$.

Exerciții din această mini-lecție

1. În grupul $\left(U({\mathbb{Z}}_{11},\cdot ),\cdot \right)$, valoarea lui ${\hat{3}}^{2027}$ este:

   • a) $\hat{9}$
   • b) $\hat{3}$
   • c) $\hat{5}$
   • d) $\hat{1}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\hat{9}$

   Calculăm puterile lui $\hat{3}$: ${\hat{3}}^1=\hat{3}$, ${\hat{3}}^2=\hat{9}$, ${\hat{3}}^3=\widehat{27}=\hat{5}$, ${\hat{3}}^4=\widehat{15}=\hat{4}$, ${\hat{3}}^5=\widehat{12}=\hat{1}$, deci perioada este $5$. Cum $2027=5\cdot 405+2$, obținem ${\hat{3}}^{2027}={\hat{3}}^2=\hat{9}$. Variantele $\hat{3}$, $\hat{5}$ și $\hat{1}$ corespund resturilor greșite $1$, $3$ și $0$.

2. În grupul $({\mathbb{Z}}_{20},+)$, perioada elementului $\hat{8}$ este:

   • a) $4$
   • b) $5$
   • c) $10$
   • d) $20$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $5$

   În notație aditivă căutăm cel mai mic $k$ natural nenul cu $k\cdot \hat{8}=\hat{0}$, adică cu $8k$ multiplu de $20$. Multiplii lui $8$ sunt $8,16,24\to \hat{4},32\to \widehat{12},40\to \hat{0}$, deci $k=5$. Varianta $4$ este $\frac{20}{5}$, varianta $20$ confundă perioada cu numărul de elemente ale grupului, iar $10$ este perioada lui $\hat{2}$.

3. Care egalitate este adevărată în orice grup $(G,\cdot )$, pentru orice $x,y\in G$ și orice $m,n\in \mathbb{Z}$?

   • a) $(xy{)}^n=x^n{y}^n$
   • b) $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$
   • c) $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$
   • d) din $x^6=e$ rezultă că perioada lui $x$ este $6$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$

   Regula $x^m{x}^n=x^{m+n}$ se demonstrează prin inducție, folosind numai asociativitatea, deci ține în orice grup. Egalitățile $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ și $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$ cer ca $x$ și $y$ să comute. Enunțul despre perioadă este greșeala clasică: din $x^6=e$ perioada poate fi $1$, $2$, $3$ sau $6$ — perioada este cel mai mic exponent natural nenul cu această proprietate.