Puterile unui element și calcule în grupuri finite

Puterile unui element de grup sunt rezultatele obținute prin compunerea unui element cu el însuși de un număr oarecare de ori, iar la clasa a XII-a ele sunt principalul instrument de calcul rapid. Cu ele se răspunde, în trei rânduri, la întrebări de tipul „cât face $x^{2026}$?", care altfel ar cere două mii de înmulțiri. Ideea de fond ai întâlnit-o deja de mai multe ori — la puterile matricei de rotație, la puterile lui $i$, la puterile unei rădăcini a unității — și de fiecare dată răspunsul a venit din același loc: puterile se repetă.

Lecția strânge toate aceste cazuri într-o singură teorie. Definim $x^n$ pentru orice exponent întreg, demonstrăm cele două reguli de calcul, arătăm de ce într-un grup finit puterile oricărui element sunt periodice și fixăm rețeta de reducere a exponentului. Tot ce urmează se sprijină exclusiv pe Reguli de calcul într-un grup; ecuații într-un grup — în special pe formula inversului unui produs și pe regulile de simplificare.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești $x^n$ pentru $n$ natural, pentru $n=0$ și pentru $n$ negativ, într-un grup oarecare.
• Vei ști să demonstrezi și să aplici regulile $x^m{x}^n=x^{m+n}$ și ${\left(x^m\right)}^n=x^{mn}$, valabile pentru orice exponenți întregi.
• Vei ști de ce $(xy{)}^n$ nu este, în general, $x^n{y}^n$, și în ce condiție devine.
• Vei ști să traduci totul în notație aditivă, unde puterile se numesc multipli și se scriu $nx$.
• Vei ști să demonstrezi că într-un grup finit puterile unui element se repetă și să găsești cel mai mic exponent nenul care dă elementul neutru.
• Vei ști să calculezi puteri cu exponenți uriași prin împărțire cu rest și să întocmești tabele de puteri în grupuri cu cel mult opt elemente.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă puterea unui element într-un grup?

Puterea a $n$-a a unui element $x$ dintr-un grup $(G,\cdot )$ este elementul obținut înmulțind pe $x$ cu el însuși de $n$ ori, adică $x^n=\underset{n\text{ factori}}{\underbrace{x\cdot x\cdots x}}$ pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; se completează definiția cu $x^0=e$, unde $e$ este elementul neutru al grupului, și cu $x^{-n}={\left(x^{-1}\right)}^n$ pentru exponenți negativi, astfel încât $x^n$ să aibă sens pentru orice număr întreg $n$.

Definiția riguroasă se dă prin recurență, ca să nu depindem de punctele de suspensie:

$$x^0=e,x^{n+1}=x^n\cdot x\text{pentru }n\in \mathbb{N},x^{-n}={\left(x^{-1}\right)}^n\text{pentru }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

Fiindcă grupul este parte stabilă, toate aceste elemente sunt din $G$. Iar fiindcă legea este asociativă, nu contează cum așezăm parantezele într-un produs de mai mulți factori egali — de aceea scrierea $x^n$ este lipsită de ambiguitate.

Prima verificare utilă: $x^{-1}$, scris ca putere de exponent $-1$, coincide cu inversul lui $x$, adică notația nu creează niciun conflict. Într-adevăr, $x^{-1}={\left(x^{-1}\right)}^1=x^{-1}$. Mai mult, $x^n$ și $x^{-n}$ sunt inverse unul altuia:

$$x^n\cdot x^{-n}=\underset{n}{\underbrace{x\cdots x}}\cdot \underset{n}{\underbrace{x^{-1}\cdots x^{-1}}}=e,$$

pentru că factorii se simplifică doi câte doi, dinspre mijloc spre exterior. Prin urmare ${\left(x^n\right)}^{-1}=x^{-n}$.

2. Care sunt regulile de calcul cu puteri?

Teoremă. Fie $(G,\cdot )$ un grup, $x\in G$ și $m,n\in \mathbb{Z}$. Atunci

$$x^m\cdot x^n=x^{m+n},{\left(x^m\right)}^n=x^{mn}.$$

Demonstrație (schița pentru exponenți naturali). Prima egalitate se demonstrează prin inducție după $n$, folosind metoda inducției matematice. Pentru $n=0$: $x^m{x}^0=x^{m}e=x^m$. Pasul: presupunând $x^m{x}^n=x^{m+n}$, avem

$$x^m{x}^{n+1}=x^m\left(x^{n}x\right)=\left(x^m{x}^n\right)x=x^{m+n}x=x^{m+n+1}.$$

A doua egalitate se demonstrează tot prin inducție după $n$: pentru $n=0$ ambii membri sunt $e$, iar pasul folosește prima regulă: ${\left(x^m\right)}^{n+1}={\left(x^m\right)}^n{x}^m=x^{mn}{x}^m=x^{mn+m}=x^{m(n+1)}$.

Pentru exponenți negativi se folosește $x^{-n}={\left(x^n\right)}^{-1}$ și se reduce totul la cazul natural, discutând după semnele lui $m$ și $n$. $■$

Cele două reguli arată exact ca la puterile numerelor reale — și nu întâmplător: acolo se demonstrau la fel, din asociativitatea înmulțirii. Deosebirea vine abia la regula a treia.

3. De ce $(xy{)}^n$ nu este $x^n{y}^n$?

La numere, $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ este o banalitate. Într-un grup oarecare, egalitatea este falsă în general, iar motivul se vede scriind desfășurat pentru $n=2$:

$$(xy{)}^2=xyxy,x^2{y}^2=xxyy.$$

Ca cele două expresii să fie egale, ar trebui să putem muta pe $y$ peste $x$ în mijloc, adică ar trebui ca $yx=xy$. Reciproc, dacă $xy=yx$, atunci $xyxy=x(yx)y=x(xy)y=xxyy$, deci egalitatea are loc.

Propoziție. Într-un grup $(G,\cdot )$ și pentru $x,y\in G$, egalitatea $(xy{)}^2=x^2{y}^2$ are loc dacă și numai dacă $xy=yx$. Mai general, dacă $x$ și $y$ comută, atunci $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ pentru orice $n\in \mathbb{Z}$.

Demonstrație (partea „numai dacă"). Din $xyxy=xxyy$ simplificăm la stânga cu $x$ și obținem $yxy=xyy$; simplificăm apoi la dreapta cu $y$ și obținem $yx=xy$. $■$

Reține și forma inversată, care se cere adesea la Bacalaureat M1: $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$, deci și $(xy{)}^n$ se desface, pentru elemente care nu comută, tot cu ordinea răsturnată. În grupul permutărilor de grad $3$ există $18$ perechi $(x,y)$ pentru care $(xy{)}^2\ne x^2{y}^2$ — sunt exact perechile care nu comută.

4. Aceleași puteri, în notație aditivă

Când grupul se scrie aditiv, $(G,+)$, „puterea" se numește multiplu și se notează $nx$, nu $x^n$:

$$0x=0,(n+1)x=nx+x,(-n)x=n(-x).$$

⚠️ Atenție: aici $nx$ nu este o înmulțire a două elemente ale grupului — $n$ este un număr întreg, iar $x$ un element al grupului. Cele două reguli devin

$$mx+nx=(m+n)x,n(mx)=(nm)x.$$

În $({\mathbb{Z}}_{12},+)$, de pildă, multiplii lui $\hat{5}$ sunt $\hat{5},\widehat{10},\hat{3},\hat{8},\hat{1},\hat{6},\widehat{11},\hat{4},\hat{9},\hat{2},\hat{7},\hat{0}$ — după doisprezece pași ajungem la $\hat{0}$, adică la elementul neutru, și lista se reia.

5. De ce se repetă puterile într-un grup finit?

Aici este miezul lecției. Rezultatul e simplu de enunțat și de demonstrat, iar consecințele lui de calcul sunt uriașe.

Teoremă. Fie $(G,\cdot )$ un grup finit și $x\in G$. Atunci există $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ astfel încât $x^k=e$.

Demonstrație. Considerăm șirul de elemente $x^1,x^2,x^3,\dots$ Toate aparțin lui $G$, care are un număr finit de elemente, deci nu pot fi toate distincte: există $i<j$ cu $x^i=x^j$. Înmulțim ambii membri cu $x^{-i}$ (adică simplificăm) și obținem

$$e=x^{j-i},\text{unde }j-i\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

Luăm $k=j-i$. $■$

Există, prin urmare, exponenți naturali nenuli care duc elementul în $e$; fiind o mulțime nevidă de numere naturale, ea are un cel mai mic element. Notăm cu $k$ acest cel mai mic exponent natural nenul cu $x^k=e$. (Numărul $k$ este atât de important încât primește un nume propriu în lecția despre numărul de puteri distincte ale unui element; aici îl folosim doar ca unealtă de calcul.)

Consecința 1 — periodicitatea. Pentru orice $n\in \mathbb{Z}$, avem $x^n=x^r$, unde $r$ este restul împărțirii lui $n$ la $k$.

Demonstrație. Scriem $n=kq+r$, cu $0\le r<k$. Atunci $x^n={\left(x^k\right)}^q{x}^r=e^q{x}^r=x^r$. $■$

Consecința 2 — inversul ca putere pozitivă. $x^{-1}=x^{k-1}$, pentru că $x\cdot x^{k-1}=x^k=e$.

Consecința 3 — câte puteri distincte există. Elementele $x^0=e,x^1,\dots ,x^{k-1}$ sunt distincte două câte două (dacă $x^i=x^j$ cu $0\le i<j\le k-1$, atunci $x^{j-i}=e$ cu $0<j-i<k$, ceea ce contrazice minimalitatea lui $k$), iar orice putere a lui $x$ este una dintre ele. Mulțimea puterilor lui $x$ are deci exact $k$ elemente.

6. Cum se calculează $x^{2026}$ într-un grup finit?

Rețeta are trei pași și se aplică identic în orice grup finit — de clase de resturi, de permutări, de matrice, de rotații sau de rădăcini ale unității.

1. Află perioada: calculează $x^1,x^2,x^3,\dots$ până obții pentru prima dată elementul neutru; exponentul la care s-a întâmplat este $k$.
2. Împarte exponentul la $k$ cu rest: $n=kq+r$, cu $0\le r<k$.
3. Scrie răspunsul: $x^n=x^r$, iar dacă $r=0$ răspunsul este $e$.

Aplicăm rețeta în $U({\mathbb{Z}}_7,\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6}\right\}$, pentru $x=\hat{3}$. Puterile succesive sunt

$${\hat{3}}^1=\hat{3},{\hat{3}}^2=\hat{2},{\hat{3}}^3=\hat{6},{\hat{3}}^4=\hat{4},{\hat{3}}^5=\hat{5},{\hat{3}}^6=\hat{1},$$

deci $k=6$. Cum $2026=6\cdot 337+4$, obținem ${\hat{3}}^{2026}={\hat{3}}^4=\hat{4}$. Verificare independentă: $3^4=81=11\cdot 7+4$, deci $\widehat{81}=\hat{4}$. ✓

Observă un lucru important: puterile lui $\hat{3}$ au epuizat tot grupul, în timp ce puterile lui $\hat{2}$ dau doar $\hat{2},\hat{4},\hat{1}$ — trei elemente din șase. Perioada depinde de element, nu doar de grup, iar acest fenomen va fi studiat sistematic la grupurile în care toate elementele sunt puterile unuia singur. Mai întâi însă, în lecția următoare, vei învăța cum recunoști o mulțime care formează grup în interiorul altui grup — iar mulțimea puterilor lui $x$ va fi primul exemplu.

7. Cum arată tabelele de puteri în grupuri mici?

Într-un grup cu cel mult opt elemente, tabelul tuturor puterilor se scrie într-un minut și răspunde dintr-o privire la orice întrebare de calcul. Iată-l pentru $U({\mathbb{Z}}_9,\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{7},\hat{8}\right\}$, grup cu șase elemente față de înmulțirea claselor:

Se citesc imediat: inversul fiecărui element (puterea dinaintea lui $\hat{1}$), perioadele (coloana din dreapta) și, cu împărțirea cu rest, orice putere.

De pildă ${\hat{5}}^{2026}$: perioada este $6$, iar $2026=6\cdot 337+4$, deci ${\hat{5}}^{2026}={\hat{5}}^4=\hat{4}$.

⚠️ Un tipar de reținut: în tabelul de mai sus, toate perioadele ($1$, $2$, $3$, $6$) sunt divizori ai numărului de elemente al grupului. Nu este o coincidență, dar explicația ei cere un rezultat pe care încă nu îl avem — teorema lui Lagrange, de la Grupuri finite; teorema lui Lagrange. Până acolo, perioada se calculează, nu se ghicește.

8. Un grup în care toate elementele au pătratul $e$

Un caz care apare des în subiecte: grupul $U({\mathbb{Z}}_8,\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}\right\}$. Calculăm pătratele: ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{1}$, ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$, ${\hat{7}}^2=\widehat{49}=\hat{1}$. Toate elementele verifică $x^2=\hat{1}$, deci toate au perioada $1$ sau $2$.

Consecința de calcul este spectaculoasă: pentru orice element $x$ și orice exponent par, $x^{\text{par}}=\hat{1}$, iar pentru orice exponent impar, $x^{\text{impar}}=x$. Astfel ${\hat{3}}^{2026}=\hat{1}$ și ${\hat{5}}^{2027}=\hat{5}$, fără niciun calcul. Același comportament îl are grupul lui Klein, iar din lecția precedentă știi și consecința structurală: un grup în care $x^2=e$ pentru orice $x$ este comutativ.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Puterile unei clase de resturi

În grupul $U({\mathbb{Z}}_9,\cdot )$, calculează ${\hat{2}}^{2026}$ și ${\hat{2}}^{-1}$.

Rezolvare. Din tabelul de mai sus, perioada lui $\hat{2}$ este $k=6$, adică ${\hat{2}}^6=\hat{1}$. Împărțim exponentul: $2026=6\cdot 337+4$, deci

$${\hat{2}}^{2026}={\hat{2}}^4=\hat{7}.$$

Verificare independentă: $2^4=16=9+7$, deci $\widehat{16}=\hat{7}$. ✓ Pentru invers folosim Consecința 2: ${\hat{2}}^{-1}={\hat{2}}^{6-1}={\hat{2}}^5=\hat{5}$; verificare: $2\cdot 5=10=9+1$, deci $\hat{2}\hat{5}=\hat{1}$. ✓

Exemplul 2 — Puterile unei permutări

În grupul permutărilor de grad $4$, fie $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\end{array}\right)$. Determină perioada lui $\sigma$, apoi calculează ${\sigma }^{2026}$ și ${\sigma }^{-1}$.

Rezolvare. Compunem succesiv, cu convenția „întâi cea din dreapta":

$${\sigma }^2=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 1& 2\end{array}\right),{\sigma }^3=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right),{\sigma }^4=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1& 2& 3& 4\end{array}\right)=e.$$

Perioada este $k=4$. Cum $2026=4\cdot 506+2$, avem ${\sigma }^{2026}={\sigma }^2=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 1& 2\end{array}\right)$. Iar ${\sigma }^{-1}={\sigma }^3=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right)$; verificare: $\sigma \circ {\sigma }^3={\sigma }^4=e$. ✓

Exemplul 3 — Multipli într-un grup aditiv

În grupul $({\mathbb{Z}}_{12},+)$, calculează $2026\cdot \hat{5}$.

Rezolvare. Aici „puterea" este multiplu, iar elementul neutru este $\hat{0}$. Perioada lui $\hat{5}$ este cel mai mic $k$ cu $k\cdot \hat{5}=\hat{0}$, adică cel mai mic $k$ cu $12\mid 5k$; cum $5$ și $12$ nu au divizori comuni în afară de $1$, rezultă $k=12$. Împărțim: $2026=12\cdot 168+10$, deci

$$2026\cdot \hat{5}=10\cdot \hat{5}=\widehat{50}=\hat{2},$$

fiindcă $50=4\cdot 12+2$. Verificare pe drumul direct: $2026\cdot 5=10130=844\cdot 12+2$. ✓

Exemplul 4 — Puterile unei rotații

În grupul rotațiilor cu centrul în origine, calculează ${\left(R_{\frac{\pi }{3}}\right)}^{2026}$.

Rezolvare. Din regula de compunere a rotațiilor, ${\left(R_{\frac{\pi }{3}}\right)}^n=R_{\frac{n\pi }{3}}$. Perioada este cel mai mic $k$ cu $\frac{k\pi }{3}$ multiplu de $2\pi$, adică $k=6$. Cum $2026=6\cdot 337+4$, obținem

$${\left(R_{\frac{\pi }{3}}\right)}^{2026}={\left(R_{\frac{\pi }{3}}\right)}^4=R_{\frac{4\pi }{3}}.$$

Aceeași rețetă merge, cuvânt cu cuvânt, în grupul rădăcinilor unității: pentru $\epsilon \in U_6$ avem ${\epsilon }^{2026}={\epsilon }^4$ — semn că cele două grupuri se comportă identic la calculul puterilor.

Exemplul 5 — Un exponent care „nu se vede"

Fie $(G,\cdot )$ un grup și $x\in G$ cu $x^5=e$. Arată că $x^{-2}=x^3$ și calculează $x^{2026}$.

Rezolvare. Din $x^5=e$ rezultă $x^{-5}=e$, deci $x^{-2}=x^{-2}\cdot e=x^{-2}{x}^5=x^3$, folosind regula $x^m{x}^n=x^{m+n}$ cu $m=-2$ și $n=5$.

Pentru putere: $2026=5\cdot 405+1$, deci $x^{2026}={\left(x^5\right)}^{405}x=e^{405}x=x$.

Observație: enunțul nu spune că $5$ este perioada lui $x$ — spune doar că $x^5=e$. Dacă $x=e$, perioada este $1$. Concluziile rămân însă valabile în ambele cazuri, pentru că am folosit numai relația dată.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Un enunț în formatul Subiectului al II-lea, cu trei subpuncte. Se consideră grupul $U({\mathbb{Z}}_9,\cdot )$, unde $U({\mathbb{Z}}_9,\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{7},\hat{8}\right\}$.

a) Arată că ${\hat{2}}^6=\hat{1}$. b) Determină inversul clasei $\hat{2}$ în acest grup. c) Calculează ${\hat{2}}^{2026}$.

Rezolvare. a) Calculăm puterile succesive, reducând de fiecare dată modulo $9$: ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{2}}^3=\hat{8}$, ${\hat{2}}^4=\widehat{16}=\hat{7}$, ${\hat{2}}^5=\widehat{14}=\hat{5}$, ${\hat{2}}^6=\widehat{10}=\hat{1}$. (Se poate și mai scurt: ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\widehat{-1}$, deci ${\hat{2}}^6={\left({\hat{2}}^3\right)}^2={\widehat{(-1)}}^2=\hat{1}$.)

b) Din $\hat{2}\cdot {\hat{2}}^5={\hat{2}}^6=\hat{1}$ rezultă ${\hat{2}}^{-1}={\hat{2}}^5=\hat{5}$. Verificare: $\hat{2}\cdot \hat{5}=\widehat{10}=\hat{1}$. ✓

c) Împărțim exponentul la perioada găsită la subpunctul a): $2026=6\cdot 337+4$. Prin urmare

$${\hat{2}}^{2026}={\left({\hat{2}}^6\right)}^{337}\cdot {\hat{2}}^4={\hat{1}}^{337}\cdot \hat{7}=\hat{7}.$$

Să exersăm

1. În grupul $U({\mathbb{Z}}_7,\cdot )$, calculează ${\hat{2}}^2$, ${\hat{2}}^3$ și ${\hat{2}}^4$, apoi determină perioada lui $\hat{2}$.

2. În grupul $U({\mathbb{Z}}_8,\cdot )$, calculează ${\hat{5}}^2$ și deduce ${\hat{5}}^{-1}$.

3. În grupul $({\mathbb{Z}}_{10},+)$, scrie toți multiplii lui $\hat{4}$ până obții $\hat{0}$ și precizează perioada.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În orice grup are loc $(xy{)}^n=x^n{y}^n$, pentru orice $n$ natural."

5. Fie $(G,\cdot )$ un grup și $x\in G$. Demonstrează că $x^{-n}={\left(x^n\right)}^{-1}$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

6. În grupul permutărilor de grad $4$, cu $\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\end{array}\right)$, calculează ${\sigma }^{2026}$.

7. În grupul rotațiilor cu centrul în origine, calculează ${\left(R_{\frac{\pi }{4}}\right)}^{2026}$.

8. Fie $\epsilon \in U_6$ rădăcina de argument $\frac{2\pi }{6}$. Calculează ${\epsilon }^{2026}$ și ${\epsilon }^{-5}$.

9. Întocmește tabelul puterilor pentru grupul $({\mathbb{Z}}_8,+)$, adică lista multiplilor fiecărui element, și scrie perioada fiecăruia.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un grup infinit, puterile unui element sunt întotdeauna distincte două câte două."

11. În grupul lui Klein, în care fiecare element verifică $x^2=e$, calculează $x^{2026}$ și $x^{2027}$ pentru un element oarecare $x$.

12. (Problemă aplicată.) O bandă rulantă mută cutiile pe un carusel cu $12$ locuri, avansând cu $5$ locuri la fiecare pornire. După câte porniri revine o cutie în locul ei inițial? Unde se află cutia după $2026$ de porniri, dacă a plecat din locul $0$?

13. Fie $(G,\cdot )$ un grup, $x\in G$ și $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ cu $x^k=e$. Demonstrează că $x^{-1}=x^{k-1}$.

14. În grupul $U({\mathbb{Z}}_{10},\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9}\right\}$, determină perioada clasei $\hat{3}$ și calculează ${\hat{3}}^{2026}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $(G,\cdot )$ un grup cu elementul neutru $e$ și $x\in G$ cu $x^5=e$. a) Arată că $x^{-1}=x^4$. b) Arată că ${\left(x^2\right)}^3=x$. c) Calculează $x^{2026}\cdot x^{2027}$.

16. Demonstrează că, dacă $x$ și $y$ comută într-un grup, atunci $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ pentru orice $n\in \mathbb{N}$.

17. În grupul permutărilor de grad $3$, determină toate elementele $x$ care verifică $x^2=e$.

18. (Provocare.) Fie $(G,\cdot )$ un grup finit și $x\in G$, iar $k$ cel mai mic număr natural nenul cu $x^k=e$. Demonstrează că mulțimea $\left\{x^n|n\in \mathbb{Z}\right\}$ are exact $k$ elemente și că $x^m=x^n$ dacă și numai dacă $m$ și $n$ dau același rest la împărțirea cu $k$.

Răspunsuri și explicații

1. ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{1}$, ${\hat{2}}^4=\hat{2}$. Perioada este $k=3$, pentru că ${\hat{2}}^3=\hat{1}$ și niciun exponent mai mic nu dă $\hat{1}$.

2. ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$, fiindcă $25=3\cdot 8+1$. Prin urmare $\hat{5}$ este propriul invers: ${\hat{5}}^{-1}=\hat{5}$.

3. $\hat{4},\hat{8},\widehat{12}=\hat{2},\hat{6},\widehat{10}=\hat{0}$. Perioada este $5$.

4. Fals. În grupul permutărilor de grad $3$, luând $\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$ și $\tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$, avem $(\sigma \tau {)}^2=e$, în timp ce ${\sigma }^2{\tau }^2={\sigma }^2\ne e$. Egalitatea are loc exact atunci când cele două elemente comută.

5. Prin definiție, $x^{-n}={\left(x^{-1}\right)}^n$. Calculăm produsul $x^n{\left(x^{-1}\right)}^n=\underset{n}{\underbrace{x\cdots x}}\underset{n}{\underbrace{x^{-1}\cdots x^{-1}}}$; simplificând perechile din mijloc, una câte una, se obține $e$. Cum un singur produs egal cu $e$ determină inversul, rezultă ${\left(x^n\right)}^{-1}=x^{-n}$.

6. Perioada lui $\sigma$ este $4$ (calculată în Exemplul 2), iar $2026=4\cdot 506+2$, deci ${\sigma }^{2026}={\sigma }^2=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 1& 2\end{array}\right)$.

7. Perioada lui $R_{\frac{\pi }{4}}$ este $8$, fiindcă $8\cdot \frac{\pi }{4}=2\pi$. Cum $2026=8\cdot 253+2$, avem ${\left(R_{\frac{\pi }{4}}\right)}^{2026}=R_{\frac{2\pi }{4}}=R_{\frac{\pi }{2}}$.

8. $2026=6\cdot 337+4$, deci ${\epsilon }^{2026}={\epsilon }^4$. Pentru exponentul negativ: ${\epsilon }^{-5}={\epsilon }^{-5+6}=\epsilon$, folosind ${\epsilon }^6=1$.

9. Multiplii, în ordine: $\hat{1}$ dă toate cele opt clase, perioada $8$; $\hat{2}$ dă $\hat{2},\hat{4},\hat{6},\hat{0}$, perioada $4$; $\hat{3}$ dă $\hat{3},\hat{6},\hat{1},\hat{4},\hat{7},\hat{2},\hat{5},\hat{0}$, perioada $8$; $\hat{4}$ dă $\hat{4},\hat{0}$, perioada $2$; $\hat{5}$ și $\hat{7}$ au perioada $8$; $\hat{6}$ are perioada $4$; $\hat{0}$ are perioada $1$. Toate perioadele sunt divizori ai lui $8$.

10. Fals. În grupul numerelor complexe nenule față de înmulțire, care este infinit, elementul $i$ verifică $i^4=1$, deci puterile lui se repetă din patru în patru. Într-un grup infinit pot exista atât elemente cu puteri care se repetă, cât și elemente cu toate puterile distincte (de pildă $2$, în același grup).

11. Din $x^2=e$ rezultă $x^{2026}={\left(x^2\right)}^{1013}=e$ și $x^{2027}=x^{2026}\cdot x=e\cdot x=x$. Pe scurt: exponent par dă $e$, exponent impar dă $x$.

12. Trebuie găsit cel mai mic $k$ cu $k\cdot \hat{5}=\hat{0}$ în $({\mathbb{Z}}_{12},+)$, adică $12\mid 5k$; cum $5$ și $12$ nu au divizori comuni, $k=12$: după douăsprezece porniri cutia revine. După $2026$ de porniri: $2026=12\cdot 168+10$, deci cutia se află unde ar ajunge după $10$ porniri, adică în locul dat de $10\cdot \hat{5}=\widehat{50}=\hat{2}$, fiindcă $50=4\cdot 12+2$ — locul $2$.

13. Din $x^k=e$ scriem $x\cdot x^{k-1}=x^k=e$. Cum într-un grup un singur produs egal cu elementul neutru determină inversul, rezultă $x^{-1}=x^{k-1}$. (Pentru $k=1$ obținem $x=e$ și $x^{-1}=x^0=e$, ceea ce este corect.)

14. ${\hat{3}}^2=\hat{9}$, ${\hat{3}}^3=\widehat{27}=\hat{7}$, ${\hat{3}}^4=\widehat{21}=\hat{1}$, deci perioada este $4$. Cum $2026=4\cdot 506+2$, avem ${\hat{3}}^{2026}={\hat{3}}^2=\hat{9}$.

15. a) Din $x\cdot x^4=x^5=e$ rezultă $x^{-1}=x^4$. b) ${\left(x^2\right)}^3=x^6=x^5\cdot x=e\cdot x=x$. c) $x^{2026}\cdot x^{2027}=x^{4053}$, iar $4053=5\cdot 810+3$, deci rezultatul este $x^3$. (Se poate și pe bucăți: $2026=5\cdot 405+1$ dă $x^{2026}=x$, iar $2027=5\cdot 405+2$ dă $x^{2027}=x^2$, deci produsul este $x\cdot x^2=x^3$.)

16. Prin inducție după $n$. Pentru $n=0$ ambii membri sunt $e$. Pasul: presupunem $(xy{)}^n=x^n{y}^n$. Atunci $(xy{)}^{n+1}=(xy{)}^n(xy)=x^n{y}^{n}xy$. Fiindcă $x$ și $y$ comută, comută și $y^n$ cu $x$ (se mută $x$ peste fiecare dintre cei $n$ factori $y$), deci $y^{n}x=x{y}^n$ și expresia devine $x^{n}x{y}^{n}y=x^{n+1}{y}^{n+1}$.

17. Sunt patru: permutarea identică și cele trei permutări care schimbă între ele exact două valori, adică $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$. Celelalte două permutări au perioada $3$, deci pătratul lor nu este identitatea.

18. Fie $n\in \mathbb{Z}$ oarecare și $n=kq+r$ împărțirea cu rest, $0\le r<k$. Atunci $x^n={\left(x^k\right)}^q{x}^r=x^r$, deci orice putere este una dintre $x^0,x^1,\dots ,x^{k-1}$: mulțimea are cel mult $k$ elemente. Ele sunt și distincte: dacă $x^i=x^j$ cu $0\le i<j\le k-1$, simplificarea dă $x^{j-i}=e$ cu $0<j-i<k$, ceea ce contrazice minimalitatea lui $k$. Deci mulțimea are exact $k$ elemente. În fine, $x^m=x^n$ înseamnă $x^{m-n}=e$; scriind $m-n=k{q}^{\prime }+r^{\prime }$ obținem $x^{r^{\prime }}=e$ cu $0\le r^{\prime }<k$, deci $r^{\prime }=0$ (altfel s-ar contrazice minimalitatea), adică $k\mid m-n$ — exact condiția ca $m$ și $n$ să dea același rest la împărțirea cu $k$.

De reținut

• Puterea $x^n$ se definește prin recurență pentru $n$ natural, se completează cu $x^0=e$ și cu $x^{-n}={\left(x^{-1}\right)}^n$, astfel încât exponentul poate fi orice număr întreg.
• Regulile $x^m{x}^n=x^{m+n}$ și ${\left(x^m\right)}^n=x^{mn}$ sunt adevărate în orice grup, pentru orice exponenți întregi, și se demonstrează prin inducție din asociativitate.
• Egalitatea $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ nu este o regulă generală: ea are loc dacă și numai dacă cele două elemente comută, iar în grupurile de permutări sau de matrice acest lucru trebuie verificat.
• Într-un grup finit, pentru orice element $x$ există un exponent natural nenul $k$ cu $x^k=e$, iar puterile lui $x$ se repetă apoi din $k$ în $k$.
• Orice putere se reduce prin împărțire cu rest: dacă $n=kq+r$, atunci $x^n=x^r$ — regula care face din $x^{2026}$ un calcul de trei rânduri, în orice grup finit.

Greșeli frecvente

• Se desface $(xy{)}^n$ în $x^n{y}^n$ fără justificare. Această egalitate cere ca $x$ și $y$ să comute. În grupurile necomutative, scrierea corectă păstrează ordinea factorilor, iar la trecerea la invers ordinea se răstoarnă.
• Se confundă „$x^k=e$" cu „$k$ este perioada". Din $x^6=e$ nu rezultă că perioada este $6$: ea poate fi $1$, $2$, $3$ sau $6$. Perioada este cel mai mic exponent natural nenul cu această proprietate și se găsește calculând puterile în ordine.
• Se calculează puterile mari prin înmulțiri repetate. Cu perioada aflată, orice exponent se reduce la restul împărțirii lui la ea. A ridica efectiv la puterea $2026$ înseamnă a pierde examenul pe o problemă de trei rânduri.
• Se aplică formula perioadei în grupuri infinite. Teorema care garantează existența lui $k$ cere ca grupul să fie finit. În grupul numerelor reale nenule, elementul $2$ are toate puterile distincte, deci niciun exponent natural nenul nu dă $1$.
• Se amestecă notațiile. Într-un grup aditiv se scrie $nx$, nu $x^n$, iar elementul neutru este $0$, nu $e$. Scrierea ${\hat{5}}^{2026}$ în $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ este greșită: acolo se scrie $2026\cdot \hat{5}$.

Aplică acasă

1. Tabelul puterilor. Alege grupul $U({\mathbb{Z}}_7,\cdot )$ și scrie, pe caiet, tabelul complet al puterilor: pe linii elementele, pe coloane exponenții de la $1$ la $6$. Marchează în fiecare linie prima apariție a lui $\hat{1}$ și notează perioada. Verifică apoi că fiecare perioadă divide numărul de elemente al grupului.

2. Caruselul de acasă. Desenează un cerc cu douăsprezece poziții, ca un cadran de ceas, și un jeton care avansează de fiecare dată cu același număr fix de poziții — încearcă pe rând cu $2$, $3$, $5$ și $6$. Notează, pentru fiecare, după câți pași revine jetonul la start și câte poziții diferite a atins. Compară rezultatele cu perioadele calculate în $({\mathbb{Z}}_{12},+)$.

3. Exponentul uriaș. Alege trei grupuri diferite dintre cele studiate — unul de clase de resturi, unul de permutări și unul de rotații — și calculează în fiecare puterea $2026$ a unui element, folosind aceeași rețetă în trei pași. Scrie apoi, în cinci fraze, de ce rețeta este identică deși obiectele sunt complet diferite.

Pentru părinți și profesori

Lecția transformă o rutină de calcul întâlnită de-a lungul liceului — puterile lui $i$, puterile matricei de rotație, puterile unei rădăcini a unității — într-un rezultat general, demonstrat o singură dată. Programa cere aceste calcule prin competența XII.CS.4.2 și prin conținutul „Reguli de calcul într-un grup", iar noțiunea de „ordin al unui element", care va boteza perioada, apare abia în lecția următoare din unitate; până atunci elevul lucrează cu ea sub numele descriptiv de „cel mai mic exponent care dă elementul neutru".

De verificat în caiet: (1) puterile se calculează în ordine, până la prima apariție a elementului neutru, nu se ghicesc; (2) exponentul mare este redus prin împărțire cu rest, cu împărțirea scrisă explicit; (3) în grupurile aditive se folosește notația $nx$, nu $x^n$; (4) formula $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ este folosită numai după ce s-a verificat comutarea. Întrebări bune de control: „De ce se repetă puterile într-un grup finit?"; „Din $x^6=e$ rezultă că perioada este $6$?"; „Cum afli inversul unui element cunoscându-i perioada?".

La BAC M1, tiparul apare aproape în fiecare variantă, în Subiectul al II-lea: se dă un grup finit concret — clase de resturi, permutări, matrice — și se cere, la subpunctul c), o putere cu exponent egal cu anul examenului. Semn că elevul a înțeles: începe prin a căuta perioada, scrie împărțirea cu rest și verifică rezultatul printr-un calcul independent, de pildă reducând modulo $n$ puterea numerică.

Întrebări frecvente

Ce este puterea unui element într-un grup? Este rezultatul înmulțirii elementului cu el însuși de un anumit număr de ori: $x^n=x\cdot x\cdots x$, cu $n$ factori. Se completează cu $x^0=e$, elementul neutru, și cu $x^{-n}={\left(x^{-1}\right)}^n$ pentru exponenți negativi, astfel încât notația să aibă sens pentru orice număr întreg $n$.

Care sunt regulile de calcul cu puteri într-un grup? Sunt două: $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$ și ${\left(x^m\right)}^n=x^{mn}$, adevărate pentru orice exponenți întregi și în orice grup, comutativ sau nu. Ele se demonstrează prin inducție, folosind doar asociativitatea. A treia regulă de la numere, $(xy{)}^n=x^n{y}^n$, nu se transferă automat.

Cum se calculează $x$ la puterea 2026 într-un grup finit? În trei pași: afli perioada $k$, adică cel mai mic exponent natural nenul cu $x^k=e$; împarți $2026$ la $k$ cu rest, $2026=kq+r$; scrii răspunsul $x^{2026}=x^r$. Dacă restul este $0$, răspunsul este elementul neutru. Rețeta funcționează identic în orice grup finit.

De ce se repetă puterile unui element într-un grup finit? Pentru că elementele $x^1,x^2,x^3,\dots$ nu pot fi toate distincte într-o mulțime cu un număr finit de elemente. Există deci $i<j$ cu $x^i=x^j$, iar prin simplificare rezultă $x^{j-i}=e$. De aici încolo puterile reiau, la nesfârșit, aceeași listă finită.

Când este adevărată egalitatea $(xy{)}^n=x^n{y}^n$? Exact atunci când $x$ și $y$ comută, adică $xy=yx$. Demonstrația pentru $n=2$ este scurtă: din $xyxy=xxyy$ se simplifică la stânga cu $x$ și la dreapta cu $y$, rămânând $yx=xy$. În grupurile comutative egalitatea e mereu adevărată; în cele de permutări sau de matrice, trebuie verificată.

Cum se scriu puterile într-un grup aditiv? Se numesc multipli și se notează $nx$, nu $x^n$: $0x=0$, $(n+1)x=nx+x$ și $(-n)x=n(-x)$. Regulile devin $mx+nx=(m+n)x$ și $n(mx)=(nm)x$. Atenție, $n$ este un număr întreg, iar $x$ un element al grupului — nu este o înmulțire între două elemente.

Cum afli inversul unui element folosind puterile lui? Dacă $k$ este cel mai mic exponent natural nenul cu $x^k=e$, atunci $x^{-1}=x^{k-1}$, pentru că $x\cdot x^{k-1}=x^k=e$. Practic, inversul este penultimul element din lista puterilor, cel dinaintea apariției elementului neutru; se citește direct din tabelul de puteri.

Ce tip de exerciții cu puteri se dau la clasa a 12-a în examen? Se dă un grup finit concret — clase de resturi modulo $n$, permutări, matrice sau rotații — și se cere, în trei subpuncte: o relație de tipul $x^k=e$, apoi inversul unui element, apoi o putere cu exponent uriaș, de obicei anul examenului. Toate se rezolvă cu rețeta perioadei și cu împărțirea cu rest.