Rădăcini în clase de resturi și funcția polinomială: pe scurt

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Fiecărui polinom $f\in K[X]$ i se asociază funcția polinomială de la $K$ la $K$, dată de regula $x\mapsto f(x)$; peste un corp finit ea se scrie complet într-un tabel cu atâtea celule câte elemente are corpul. Aici apare deosebirea esențială față de clasa a X-a: peste ${\mathbb{Z}}_p$, polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială. Exemplul canonic este $X^3$ și $X$ pe ${\mathbb{Z}}_3$, iar cazul general este $X^p-X$, al cărui comportament este identic cu al polinomului nul — fapt care rezultă din Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, aplicată grupului claselor nenule, cu $p-1$ elemente. Egalitatea polinoamelor se verifică deci pe coeficienți, nu pe valori. Rădăcinile unui polinom din ${\mathbb{Z}}_p[X]$ se caută verificând pe rând toate cele $p$ clase, iar fiecare rădăcină $\hat{a}$ dă, prin teorema lui Bézout, factorul $X-\hat{a}$, pe care schema lui Horner îl scoate. Formula discriminantului nu se folosește: nu orice clasă este pătrat perfect. În sfârșit, teorema „cel mult $n$ rădăcini distincte” cere ca modulul să fie prim; peste ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ compus, o ecuație de gradul al doilea poate avea patru soluții.

Exerciții din această mini-lecție

1. Rădăcinile polinomului $X^2+\hat{3}X+\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_5$ sunt:

   • a) $\hat{3}$ și $\hat{4}$
   • b) $\hat{1}$ și $\hat{2}$
   • c) $\hat{2}$ și $\hat{3}$
   • d) nu are rădăcini
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\hat{3}$ și $\hat{4}$

   Verificăm toate cele cinci clase: $f(\hat{0})=\hat{2}$, $f(\hat{1})=\hat{1}$, $f(\hat{2})=\hat{4}+\hat{1}+\hat{2}=\hat{2}$, $f(\hat{3})=\hat{4}+\hat{4}+\hat{2}=\hat{0}$, $f(\hat{4})=\hat{1}+\hat{2}+\hat{2}=\hat{0}$. Rădăcinile sunt $\hat{3}$ și $\hat{4}$, coerent cu descompunerea $X^2+\hat{3}X+\hat{2}=(X+\hat{1})(X+\hat{2})$, fiindcă $-\hat{1}=\hat{4}$ și $-\hat{2}=\hat{3}$. Varianta b uită tocmai trecerea la opuse.

2. Care pereche de polinoame din ${\mathbb{Z}}_5[X]$ este formată din polinoame diferite care au aceeași funcție polinomială?

   • a) $X^2$ și $X$
   • b) $X^4$ și $X$
   • c) $X^5$ și $X$
   • d) $X^5$ și $X^2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $X^5$ și $X$

   Din Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, ${\hat{a}}^5=\hat{a}$ pentru orice clasă din ${\mathbb{Z}}_5$, deci $X^5$ și $X$ dau aceeași funcție, deși au coeficienți diferiți. Pentru $X^2$ și $X$ perechea cade la $\hat{2}$: $\hat{4}\ne \hat{2}$. Pentru $X^4$ și $X$ perechea cade tot la $\hat{2}$, fiindcă ${\hat{2}}^4=\widehat{16}=\hat{1}\ne \hat{2}$, iar pentru $X^5$ și $X^2$ la fel: ${\hat{2}}^5=\hat{2}\ne \hat{4}$. Egalitatea polinoamelor se verifică pe coeficienți, egalitatea funcțiilor pe valori.

3. Câte soluții are ecuația $x^2=\hat{4}$ în ${\mathbb{Z}}_{12}$?

   • a) $2$
   • b) $1$
   • c) $0$
   • d) $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $4$

   Verificăm toate cele douăsprezece clase și găsim $\hat{2},\hat{4},\hat{8},\widehat{10}$, deci patru soluții. Teorema „cel mult $n$ rădăcini distincte” cere ca modulul să fie prim, adică ${\mathbb{Z}}_n$ să fie corp; $12$ nu este prim, iar ${\mathbb{Z}}_{12}$ are divizori ai lui zero, așa că o ecuație de gradul al doilea poate avea mai mult de două soluții.