Funcția polinomială și rădăcinile polinoamelor cu coeficienți clase de resturi

Un polinom și funcția polinomială pe care o produce par același lucru, iar la clasa a 12-a descoperi că, peste clasele de resturi, chiar nu sunt. Funcția polinomială asociată unui polinom $f$ cu coeficienți într-un corp $K$ este funcția definită pe $K$ cu valori în $K$ care duce fiecare element $x$ în valoarea $f(x)$, obținută înlocuind nedeterminata $X$ cu acel element. Peste numerele complexe, un polinom este determinat complet de valorile sale; peste ${\mathbb{Z}}_p$, dimpotrivă, o infinitate de polinoame diferite pot da exact aceeași funcție, iar polinomul $X^p-X$, deși de grad $p$, se anulează în fiecare dintre cele $p$ clase. Aici, în această deosebire, se ascunde o bună parte din farmecul corpurilor finite — și una dintre cele mai frecvente greșeli de la examen.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Din clasa a X-a ai deja noțiunea de valoare a unui polinom și funcție polinomială și pe cea de rădăcină a unui polinom, amândouă peste $\mathbb{C}$. Nu le reluăm: le punem la încercare într-un corp finit și vedem care dintre ele supraviețuiește.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești funcția polinomială asociată unui polinom din $K[X]$ și să deosebești polinomul de funcția lui.
• Vei ști să arăți că polinoame diferite din ${\mathbb{Z}}_p[X]$ pot avea aceeași funcție polinomială, cu exemplul $X^3$ și $X$ peste ${\mathbb{Z}}_3$.
• Vei ști să demonstrezi că $X^p-X$ are funcția polinomială nulă pe ${\mathbb{Z}}_p$, folosind teorema lui Lagrange.
• Vei ști să determini rădăcinile unui polinom din ${\mathbb{Z}}_p[X]$ prin verificarea tuturor celor $p$ clase.
• Vei ști să rezolvi ecuații polinomiale în ${\mathbb{Z}}_p$ prin verificare sau prin factorizare, fără formula discriminantului.
• Vei ști de ce, peste ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ neprim, un polinom de gradul al doilea poate avea patru rădăcini.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este funcția polinomială asociată unui polinom?

Funcția polinomială asociată polinomului $f\in K[X]$ este funcția $\tilde{f}:K\to K$ definită prin $\tilde{f}(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$, adică funcția care duce fiecare element $x$ al corpului $K$ în valoarea polinomului calculată în acel element; ea se obține înlocuind nedeterminata $X$ cu elemente concrete din $K$.

Deosebirea dintre cele două obiecte e ușor de trecut cu vederea, dar merită numită apăsat: $f$ este o listă de coeficienți, iar $\tilde{f}$ este o regulă de asociere. Egalitatea a două polinoame se verifică pe coeficienți; egalitatea a două funcții se verifică pe valori. Că cele două criterii dau, peste $\mathbb{C}$, același răspuns este o teoremă — nu o definiție.

Notația $\tilde{f}$ o folosim doar în aceste două secțiuni, cât timp construim distincția. De la exemplele rezolvate încolo revenim la scrierea obișnuită $f(x)$, ca peste tot în manuale, dar cu conștiința limpede a ce înseamnă.

Un exemplu, în ${\mathbb{Z}}_5[X]$: pentru $f=\hat{3}{X}^2+\hat{2}X+\hat{4}$, funcția $\tilde{f}:{\mathbb{Z}}_5\to {\mathbb{Z}}_5$ se scrie complet într-un tabel de valori, pentru că domeniul are doar cinci elemente.

Verifică o celulă: $\tilde{f}(\hat{3})=\hat{3}\cdot \hat{9}+\hat{2}\cdot \hat{3}+\hat{4}=\widehat{27}+\hat{6}+\hat{4}=\widehat{37}=\hat{2}$ ✓. Acest tabel este funcția polinomială: peste un corp finit, o funcție se poate scrie integral, nu doar schița.

2. Când dau două polinoame diferite aceeași funcție?

Peste ${\mathbb{Z}}_3$, ia polinoamele $f=X^3$ și $g=X$. Sunt evident diferite — au grade diferite, deci coeficienți diferiți. Și totuși:

Singurul calcul care nu e imediat: ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_3$. Prin urmare $\tilde{f}=\tilde{g}$ ca funcții, deși $f\ne g$ ca polinoame. Echivalent, diferența $X^3-X$ este un polinom nenul, de gradul al treilea, a cărui funcție polinomială este identic nulă.

De ce nu contrazice asta ce ai învățat în clasa a X-a? Teorema de acolo spunea: dacă $f,g\in \mathbb{C}[X]$ iau aceleași valori în toate numerele complexe, atunci $f=g$, iar demonstrația ei folosea un argument care nu se poate reproduce aici: un polinom nenul are un număr finit de rădăcini, deci nu se poate anula într-o infinitate de puncte. În ${\mathbb{Z}}_3$ nu există nicio infinitate de puncte — sunt trei. Un polinom de gradul al treilea are voie să aibă trei rădăcini, iar cele trei rădăcini epuizează tot corpul. Nicio contradicție: pur și simplu, ipoteza „corpul e infinit" lipsește.

Chiar lecția clasei a X-a conținea sămânța: acolo se observa că $X^3$ și $X$ definesc aceeași funcție pe mulțimea $\{-1,0,1\}$. Ce era acolo o curiozitate despre o mulțime mică devine aici regulă, pentru că întregul corp este mulțimea mică.

3. De ce are $X^p-X$ funcția polinomială nulă pe ${\mathbb{Z}}_p$?

Fenomenul de mai sus nu e un accident al lui $p=3$; el se produce în orice ${\mathbb{Z}}_p$, cu exponentul $p$.

Teoremă. Fie $p$ un număr prim. Atunci ${\hat{a}}^p=\hat{a}$ pentru orice $\hat{a}\in {\mathbb{Z}}_p$; prin urmare polinomul $X^p-X\in {\mathbb{Z}}_p[X]$, deși are gradul $p$, are funcția polinomială nulă.

Demonstrație. Dacă $\hat{a}=\hat{0}$, egalitatea e imediată. Fie acum $\hat{a}\ne \hat{0}$. Cum $p$ este prim, ${\mathbb{Z}}_p$ este corp (rezultatul din lecția despre corpuri și corpul claselor de resturi), deci toate clasele nenule sunt inversabile și formează grupul multiplicativ ${\mathbb{Z}}_p^{\ast }$, cu $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_p^{\ast }=p-1$. Aplicăm Consecința 2 a teoremei lui Lagrange pentru grupuri finite, care spune că $x^{\mathrm{card}G}=e$ pentru orice element al unui grup finit:

$${\hat{a}}^{p-1}=\hat{1}.$$

Înmulțind cu $\hat{a}$ obținem ${\hat{a}}^p=\hat{a}$, deci ${\hat{a}}^p-\hat{a}=\hat{0}$ pentru orice clasă. $■$

(Rezultatul este cunoscut sub numele de mica teoremă a lui Fermat; noi l-am obținut, mai comod, ca simplă consecință a teoremei lui Lagrange.)

Verifică pentru $p=5$: valorile lui $X^5-X$ în $\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4}$ sunt toate $\hat{0}$; de pildă ${\hat{2}}^5=\widehat{32}=\hat{2}$ și ${\hat{3}}^5=\widehat{243}=\hat{3}$, pentru că $243=48\cdot 5+3$.

Consecința practică e importantă: dacă $f$ este un polinom oarecare din ${\mathbb{Z}}_p[X]$ și $g$ este orice polinom, atunci $f$ și $f+(X^p-X)g$ au exact aceeași funcție polinomială. Cum $g$ poate fi ales în infinit de multe feluri, rezultă că fiecare funcție polinomială provine dintr-o infinitate de polinoame distincte.

4. Cum se caută rădăcinile unui polinom din ${\mathbb{Z}}_p[X]$?

Un element $\hat{a}\in {\mathbb{Z}}_p$ se numește rădăcină a lui $f$ dacă $f(\hat{a})=\hat{0}$. Peste ${\mathbb{Z}}_p$ căutarea are o proprietate pe care $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ nu o au: mulțimea în care căutăm este finită, deci putem pur și simplu să încercăm toate posibilitățile.

Metoda tabelului de valori. Se calculează $f(\hat{0}),f(\hat{1}),\dots ,f(\widehat{p-1})$ și se citesc clasele în care rezultatul este $\hat{0}$. Metoda e completă și nu poate rata nicio soluție — dar are sens doar pentru $p$ mic, motiv pentru care în tot capitolul lucrăm cu $p\le 7$.

Un exemplu care merită memorat, pentru că arată cât de mult depinde răspunsul de corp. Fie $f=X^2+\hat{1}$.

În ${\mathbb{Z}}_5$, $f$ are două rădăcini, $\hat{2}$ și $\hat{3}$, iar din teorema lui Bézout se descompune: $X^2+\hat{1}=(X-\hat{2})(X-\hat{3})$. Verificare: $(X-\hat{2})(X-\hat{3})=X^2-\hat{5}X+\hat{6}=X^2+\hat{1}$ ✓, pentru că $\hat{5}=\hat{0}$ și $\hat{6}=\hat{1}$.

În ${\mathbb{Z}}_3$, în schimb, valorile aceluiași polinom sunt $\hat{1},\hat{2},\hat{2}$, deci $f$ nu are nicio rădăcină. Același polinom, corpuri diferite, comportamente opuse — exact ca $X^2+1$, care nu are rădăcini reale, dar are două complexe.

5. Rezolvarea ecuațiilor polinomiale în ${\mathbb{Z}}_p$

Programa cere ecuații de grad cel mult $4$, cu $p\le 7$, iar cele două metode admise sunt verificarea claselor și factorizarea. Formula cu discriminant nu se folosește: în ${\mathbb{Z}}_p$ nu orice clasă este pătratul unei clase (în ${\mathbb{Z}}_5$, de pildă, pătratele sunt doar $\hat{0},\hat{1},\hat{4}$), deci „radicalul" nu are sens automat.

Ecuațiile de gradul întâi se rezolvă înmulțind cu inversul, ca la elementele inversabile în ${\mathbb{Z}}_n$ și ecuațiile cu clase. De exemplu, $\hat{3}x+\hat{5}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_7$ dă $\hat{3}x=-\hat{5}=\hat{2}$, iar înmulțind cu ${\hat{3}}^{-1}=\hat{5}$ obținem $x=\hat{5}\cdot \hat{2}=\widehat{10}=\hat{3}$.

Ecuațiile de grad cel puțin doi se rezolvă prin tabel. Fie $\hat{3}{x}^2+\hat{2}x+\hat{4}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_5$:

Soluțiile sunt $x\in \{\hat{2},\hat{4}\}$. Odată găsite, se scrie și factorizarea, scoțând coeficientul dominant în față:

$$\hat{3}{X}^2+\hat{2}X+\hat{4}=\hat{3}(X-\hat{2})(X-\hat{4}).$$

Control: $(X-\hat{2})(X-\hat{4})=X^2-\hat{6}X+\hat{8}=X^2+\hat{4}X+\hat{3}$, iar înmulțind cu $\hat{3}$ obținem $\hat{3}{X}^2+\widehat{12}X+\hat{9}=\hat{3}{X}^2+\hat{2}X+\hat{4}$ ✓.

6. De la rădăcini la factori: descompunerea cu Horner

Când ai găsit o rădăcină, teorema lui Bézout îți dă un factor, iar schema lui Horner modulo $p$ din lecția despre împărțirea peste un corp îți dă câtul. Repetând, cobori gradul până când nu mai găsești rădăcini.

Un caz în care se descompune complet. În ${\mathbb{Z}}_7[X]$, polinomul $X^3-\hat{1}$ are rădăcinile $\hat{1}$, $\hat{2}$ și $\hat{4}$: într-adevăr, ${\hat{1}}^3=\hat{1}$, ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{1}$ și ${\hat{4}}^3=\widehat{64}=\hat{1}$, pentru că $64=9\cdot 7+1$. Fiind trei rădăcini pentru un polinom de gradul al treilea, adică maximul permis, obținem

$$X^3-\hat{1}=(X-\hat{1})(X-\hat{2})(X-\hat{4}).$$

Observă cine sunt cele trei clase: exact elementele $\hat{a}$ cu ${\hat{a}}^3=\hat{1}$, adică elementele de ordin care divide $3$ din grupul ${\mathbb{Z}}_7^{\ast }$ — o rimă frumoasă cu rădăcinile de ordinul $n$ ale unității din $\mathbb{C}$.

Un caz în care descompunerea se oprește. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, fie $f=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}$. Tabelul de valori este $\hat{2},\hat{0},\hat{3},\hat{2},\hat{3}$, deci singura rădăcină este $\hat{1}$. Horner cu $a=\hat{1}$ pe coeficienții $\hat{1},\hat{2},\hat{0},\hat{2}$ dă rândul $\hat{1},\hat{3},\hat{3},\hat{0}$, deci

$$f=(X-\hat{1})(X^2+\hat{3}X+\hat{3}).$$

Câtul $X^2+\hat{3}X+\hat{3}$ nu are nicio rădăcină în ${\mathbb{Z}}_5$ (valorile lui sunt $\hat{3},\hat{2},\hat{3},\hat{1},\hat{1}$), deci nu se mai poate scoate niciun factor de gradul întâi și ne oprim aici. Ce înseamnă exact „nu se mai poate descompune" și cum se decide în general vei studia la polinoamele ireductibile și descompunerea în factori.

7. Ce se strică peste ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ neprim?

În lecția precedentă ai demonstrat că un polinom nenul de grad $n$ peste un corp are cel mult $n$ rădăcini. Iată ce se întâmplă când ipoteza cade. În ${\mathbb{Z}}_8$, care este inel dar nu corp, considerăm $f=X^2-\hat{1}$:

Patru rădăcini pentru un polinom de gradul al doilea: $\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}$. Verifică una: ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{1}$, deci $\hat{9}-\hat{1}=\hat{0}$ ✓.

Unde s-a rupt demonstrația? Exact la pasul pe care l-am izolat atunci. Scriem $f=(X-\hat{1})(X+\hat{1})$ și evaluăm în rădăcina $\hat{3}$:

$$(\hat{3}-\hat{1})(\hat{3}+\hat{1})=\hat{2}\cdot \hat{4}=\hat{8}=\hat{0},$$

deși niciunul dintre cei doi factori nu este nul. În ${\mathbb{Z}}_8$ există divizori ai lui zero, deci din „produsul e nul" nu mai rezultă „unul dintre factori e nul" — și odată cu acest pas cade și numărarea rădăcinilor.

Tot de aici vine și pierderea unicității descompunerii: în ${\mathbb{Z}}_8[X]$ avem simultan

$$X^2-\hat{1}=(X-\hat{1})(X-\hat{7})\text{și}{X}^2-\hat{1}=(X-\hat{3})(X-\hat{5}),$$

două scrieri esențial diferite ale aceluiași polinom (verifică-le: în ambele, suma rădăcinilor este $\hat{8}=\hat{0}$ și produsul este $\hat{7}=-\hat{1}$). Concluzia de reținut, cu majuscule: toată teoria din acest capitol cere ca modulul să fie un număr prim.

8. Câte funcții polinomiale există peste ${\mathbb{Z}}_p$?

Numărarea explică dintr-o singură lovitură de ce fenomenul din secțiunea 2 era inevitabil. O funcție ${\mathbb{Z}}_3\to {\mathbb{Z}}_3$ este determinată de cele trei valori pe care le ia, fiecare cu $3$ posibilități, deci există $3^3=27$ astfel de funcții. Pe de altă parte, în ${\mathbb{Z}}_3[X]$ există o infinitate de polinoame. Cum fiecare polinom produce o funcție și funcțiile sunt doar $27$, este imposibil ca alocarea să fie injectivă: unele funcții trebuie să provină din mai multe polinoame — de fapt, cum am văzut în secțiunea 3, din infinit de multe.

Se poate spune și mai precis. Cele $3^3=27$ de polinoame de grad cel mult $2$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ dau exact cele $27$ de funcții, fiecare o singură dată: nicio funcție nu lipsește și niciuna nu se repetă. Prin urmare orice polinom din ${\mathbb{Z}}_3[X]$, oricât de mare i-ar fi gradul, are aceeași funcție polinomială ca unul (și numai unul) de grad cel mult $2$ — cel obținut, de pildă, înlocuind peste tot $X^3$ cu $X$.

Coincidența numerelor de pe cele două coloane nu e întâmplătoare, ci exprimă exact faptul de mai sus. Peste $\mathbb{C}$ o astfel de tabelă nici nu s-ar putea scrie: acolo sunt infinit de multe polinoame și infinit de multe funcții, iar corespondența dintre ele este bijectivă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabelul de valori și rădăcinile

Determinați rădăcinile polinomului $f=X^2-\hat{2}$ din ${\mathbb{Z}}_7[X]$.

Rezolvare. Calculăm valorile în toate cele șapte clase, folosind $-\hat{2}=\hat{5}$:

De pildă $f(\hat{4})=\widehat{16}-\hat{2}=\hat{2}-\hat{2}=\hat{0}$. Rădăcinile sunt $\hat{3}$ și $\hat{4}$, deci

$$X^2-\hat{2}=(X-\hat{3})(X-\hat{4}).$$

Verificare: $(X-\hat{3})(X-\hat{4})=X^2-\hat{7}X+\widehat{12}=X^2+\hat{5}$ ✓, iar $\hat{5}=-\hat{2}$.

Exemplul 2 — Două polinoame, o singură funcție

Arătați că polinoamele $f=X^3+X+\hat{1}$ și $g=\hat{2}X+\hat{1}$ din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ sunt diferite, dar au aceeași funcție polinomială.

Rezolvare. Sunt diferite pentru că au grade diferite: $\mathrm{grad}f=3$, $\mathrm{grad}g=1$. Comparăm valorile:

De exemplu $f(\hat{2})=\hat{8}+\hat{2}+\hat{1}=\widehat{11}=\hat{2}$ și $g(\hat{2})=\hat{4}+\hat{1}=\hat{5}=\hat{2}$. Funcțiile coincid în toate cele trei clase, deci sunt egale.

Explicația structurală: $f-g=X^3+X+\hat{1}-\hat{2}X-\hat{1}=X^3-X$, adică exact polinomul cu funcția nulă din secțiunea 3.

Exemplul 3 — O ecuație de gradul al doilea în ${\mathbb{Z}}_5$

Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_5$ ecuația $\hat{3}{x}^2+\hat{2}x+\hat{4}=\hat{0}$ și scrieți factorizarea polinomului asociat.

Rezolvare. Verificăm toate clasele: $f(\hat{0})=\hat{4}$; $f(\hat{1})=\hat{3}+\hat{2}+\hat{4}=\hat{9}=\hat{4}$; $f(\hat{2})=\widehat{12}+\hat{4}+\hat{4}=\widehat{20}=\hat{0}$; $f(\hat{3})=\widehat{27}+\hat{6}+\hat{4}=\widehat{37}=\hat{2}$; $f(\hat{4})=\widehat{48}+\hat{8}+\hat{4}=\widehat{60}=\hat{0}$.

Soluțiile sunt $x\in \{\hat{2},\hat{4}\}$. Factorizarea, cu coeficientul dominant scos în față:

$$\hat{3}{X}^2+\hat{2}X+\hat{4}=\hat{3}(X-\hat{2})(X-\hat{4}).$$

Observație de metodă: nu am folosit nicio formulă cu discriminant. În ${\mathbb{Z}}_5$ pătratele sunt doar $\hat{0}$, $\hat{1}$ și $\hat{4}$, deci nu orice clasă are „rădăcină pătrată", iar formula obișnuită nu are sens automat.

Exemplul 4 — Descompunere completă cu Horner

În ${\mathbb{Z}}_7[X]$, descompuneți $f=X^3-\hat{1}$ în factori de gradul întâi.

Rezolvare. Coeficienții sunt $\hat{1},\hat{0},\hat{0},\hat{6}$, pentru că $-\hat{1}=\hat{6}$. Cum $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{6}=\hat{0}$, aplicăm Horner cu $a=\hat{1}$ și obținem rândul $\hat{1},\hat{1},\hat{1},\hat{0}$, deci $f=(X-\hat{1})(X^2+X+\hat{1})$.

Căutăm rădăcinile câtului: valorile lui $X^2+X+\hat{1}$ în cele șapte clase sunt $\hat{1},\hat{3},\hat{0},\hat{6},\hat{0},\hat{3},\hat{1}$, deci rădăcinile sunt $\hat{2}$ și $\hat{4}$. Aplicând Horner cu $a=\hat{2}$ pe coeficienții $\hat{1},\hat{1},\hat{1}$, obținem rândul $\hat{1},\hat{3},\hat{0}$, adică $X^2+X+\hat{1}=(X-\hat{2})(X+\hat{3})=(X-\hat{2})(X-\hat{4})$, căci $-\hat{4}=\hat{3}$. În final

$$X^3-\hat{1}=(X-\hat{1})(X-\hat{2})(X-\hat{4}).$$

Exemplul 5 — Un polinom de gradul al doilea cu patru rădăcini

Arătați că polinomul $X^2-\hat{1}$ are patru rădăcini în ${\mathbb{Z}}_8$ și explicați de ce acest lucru nu contrazice teorema despre numărul de rădăcini.

Rezolvare. Calculăm pătratele: ${\hat{1}}^2=\hat{1}$, ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{1}$, ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$, ${\hat{7}}^2=\widehat{49}=\hat{1}$. Deci fiecare dintre clasele $\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}$ anulează polinomul: patru rădăcini pentru gradul $2$.

Nu există nicio contradicție, pentru că teorema cere ca inelul coeficienților să fie corp, iar ${\mathbb{Z}}_8$ nu este: $8$ nu e prim, iar $\hat{2}$ nu are invers. Concret, pasul care cade este trecerea de la $(\hat{3}-\hat{1})(\hat{3}+\hat{1})=\hat{0}$ la „unul dintre factori e nul": aici $\hat{2}\cdot \hat{4}=\hat{8}=\hat{0}$ cu ambii factori nenuli.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinomul $f=X^3+a{X}^2+\hat{2}$ din ${\mathbb{Z}}_5[X]$, cu $a\in {\mathbb{Z}}_5$. (Problemă în formatul Subiectului al II-lea de la Bacalaureat M1.) a) Determinați $a$ știind că $\hat{1}$ este rădăcină a lui $f$. b) Pentru valoarea găsită, determinați toate rădăcinile lui $f$ în ${\mathbb{Z}}_5$. c) Descompuneți $f$ într-un produs de doi factori de grade $1$ și $2$.

Rezolvare. a) Condiția $f(\hat{1})=\hat{0}$ se scrie $\hat{1}+a+\hat{2}=\hat{0}$, adică $a=-\hat{3}=\hat{2}$.

b) Cu $a=\hat{2}$ avem $f=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}$. Tabelul de valori:

De pildă $f(\hat{2})=\hat{8}+\hat{8}+\hat{2}=\widehat{18}=\hat{3}$. Singura rădăcină este $\hat{1}$.

c) Aplicăm Horner cu $a=\hat{1}$ pe coeficienții $\hat{1},\hat{2},\hat{0},\hat{2}$: se coboară $\hat{1}$; apoi $\hat{2}+\hat{1}=\hat{3}$; apoi $\hat{0}+\hat{3}=\hat{3}$; apoi $\hat{2}+\hat{3}=\hat{0}$. Restul este $\hat{0}$ ✓ și

$$f=(X-\hat{1})(X^2+\hat{3}X+\hat{3}).$$

Verificare prin înmulțire înapoi: $(X-\hat{1})(X^2+\hat{3}X+\hat{3})=X^3+\hat{3}{X}^2+\hat{3}X-X^2-\hat{3}X-\hat{3}=X^3+\hat{2}{X}^2-\hat{3}=X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}$ ✓.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie tabelul complet de valori — peste ${\mathbb{Z}}_p$ el are doar $p$ celule și nu poate rata nicio rădăcină.

1. Alcătuiește tabelul de valori al polinomului $f=X^2+X+\hat{1}$ pe ${\mathbb{Z}}_5$ și precizează rădăcinile lui.

2. Determină rădăcinile polinomului $X^2+\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_5$.

3. Arată, prin calcul direct, că polinomul $X^3-X$ are funcția polinomială nulă pe ${\mathbb{Z}}_3$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două polinoame din ${\mathbb{Z}}_p[X]$ au aceeași funcție polinomială, atunci ele sunt egale."

5. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_7$ ecuația $\hat{4}x=\hat{6}$.

6. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_5$ ecuația $x^2+\hat{1}=\hat{0}$.

7. Descompune $X^2+\hat{1}$ în factori de gradul întâi în ${\mathbb{Z}}_5[X]$, pornind de la rădăcinile găsite la exercițiul precedent.

8. Determină rădăcinile polinomului $X^3-\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_7$ și verifică-le pe fiecare prin calcul.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un polinom de gradul al doilea din ${\mathbb{Z}}_n[X]$ are cel mult două rădăcini, oricare ar fi $n$."

10. Câte funcții de la ${\mathbb{Z}}_5$ la ${\mathbb{Z}}_5$ există? Câte polinoame de grad cel mult $4$ are ${\mathbb{Z}}_5[X]$?

11. Arată că ${\hat{2}}^5=\hat{2}$ și ${\hat{3}}^5=\hat{3}$ în ${\mathbb{Z}}_5$, apoi explică de ce rezultatul era de așteptat.

12. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, descompune $X^3+\hat{2}{X}^2+\hat{2}$ cât se poate în factori, folosind schema lui Horner.

13. (Problemă aplicată.) Un circuit lucrează cu clase din ${\mathbb{Z}}_2$. Arată că polinoamele $X^2$ și $X$ produc același comportament, adică aceeași funcție polinomială pe ${\mathbb{Z}}_2$, și spune câte funcții distincte de la ${\mathbb{Z}}_2$ la ${\mathbb{Z}}_2$ există în total.

14. Determină $a\in {\mathbb{Z}}_7$ astfel încât $\hat{2}$ să fie rădăcină a polinomului $X^2+aX+\hat{3}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f=X^3+\hat{4}{X}^2+aX+\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_5[X]$. a) Determină $a$ pentru care $\hat{1}$ este rădăcină a lui $f$. b) Pentru acest $a$, găsește toate rădăcinile lui $f$. c) Descompune $f$ în factori de gradul întâi.

16. Explică, în două-trei fraze, de ce faptul că $X^3$ și $X$ dau aceeași funcție pe ${\mathbb{Z}}_3$ nu contrazice teorema din clasa a X-a despre polinoame cu aceleași valori.

17. Câte polinoame monice de gradul al doilea din ${\mathbb{Z}}_3[X]$ nu au nicio rădăcină în ${\mathbb{Z}}_3$? Scrie-le pe toate.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $g\in {\mathbb{Z}}_3[X]$, polinoamele $f$ și $f+(X^3-X)g$ au aceeași funcție polinomială pe ${\mathbb{Z}}_3$. Deduce de aici că fiecare funcție de la ${\mathbb{Z}}_3$ la ${\mathbb{Z}}_3$ provine de la o infinitate de polinoame.

Răspunsuri și explicații

1. Valorile sunt $f(\hat{0})=\hat{1}$, $f(\hat{1})=\hat{3}$, $f(\hat{2})=\hat{4}+\hat{2}+\hat{1}=\hat{2}$, $f(\hat{3})=\hat{9}+\hat{3}+\hat{1}=\hat{3}$, $f(\hat{4})=\widehat{16}+\hat{4}+\hat{1}=\hat{1}$. Nicio valoare nu este $\hat{0}$, deci $f$ nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_5$.

2. Valorile lui $X^2+\hat{2}$ sunt $\hat{2},\hat{3},\hat{1},\hat{1},\hat{3}$ (de pildă $\hat{9}+\hat{2}=\widehat{11}=\hat{1}$). Niciuna nu e nulă, deci polinomul nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_5$.

3. ${\hat{0}}^3-\hat{0}=\hat{0}$; ${\hat{1}}^3-\hat{1}=\hat{0}$; ${\hat{2}}^3-\hat{2}=\hat{8}-\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}$, pentru că $6$ e multiplu de $3$. Toate cele trei valori sunt nule, deci funcția polinomială este nulă, deși polinomul are gradul $3$.

4. Fals. Peste ${\mathbb{Z}}_3$, polinoamele $X^3$ și $X$ au aceeași funcție, dar au grade diferite, deci sunt diferite. Afirmația este adevărată doar peste corpuri infinite, cum e $\mathbb{C}$.

5. Inversul lui $\hat{4}$ în ${\mathbb{Z}}_7$ este $\hat{2}$, pentru că $\hat{8}=\hat{1}$. Înmulțind ecuația cu $\hat{2}$: $x=\hat{2}\cdot \hat{6}=\widehat{12}=\hat{5}$. Verificare: $\hat{4}\cdot \hat{5}=\widehat{20}=\hat{6}$ ✓.

6. Valorile lui $x^2+\hat{1}$ sunt $\hat{1},\hat{2},\hat{0},\hat{0},\hat{2}$, deci soluțiile sunt $x\in \{\hat{2},\hat{3}\}$.

7. Din teorema lui Bézout, $X^2+\hat{1}=(X-\hat{2})(X-\hat{3})$. Verificare: $X^2-\hat{5}X+\hat{6}=X^2+\hat{1}$, pentru că $\hat{5}=\hat{0}$ și $\hat{6}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_5$.

8. ${\hat{1}}^3=\hat{1}$; ${\hat{2}}^3=\hat{8}=\hat{1}$; ${\hat{4}}^3=\widehat{64}=\hat{1}$, căci $64=9\cdot 7+1$. Celelalte clase nu convin: ${\hat{3}}^3=\widehat{27}=\hat{6}$, ${\hat{5}}^3=\widehat{125}=\hat{6}$, ${\hat{6}}^3=\widehat{216}=\hat{6}$, iar ${\hat{0}}^3=\hat{0}$. Rădăcinile sunt deci $\hat{1},\hat{2},\hat{4}$.

9. Fals. Afirmația cere ca $n$ să fie prim, adică ${\mathbb{Z}}_n$ să fie corp. În ${\mathbb{Z}}_8$, polinomul $X^2-\hat{1}$ are patru rădăcini: $\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}$.

10. O funcție ${\mathbb{Z}}_5\to {\mathbb{Z}}_5$ e determinată de cele $5$ valori, fiecare cu $5$ posibilități, deci sunt $5^5=3125$. Polinoamele de grad cel mult $4$ au $5$ coeficienți, fiecare cu $5$ valori, deci sunt tot $5^5=3125$. Egalitatea nu e o coincidență: fiecare funcție provine exact de la un polinom de grad cel mult $4$.

11. ${\hat{2}}^5=\widehat{32}=\hat{2}$, căci $32=6\cdot 5+2$; ${\hat{3}}^5=\widehat{243}=\hat{3}$, căci $243=48\cdot 5+3$. Rezultatul era de așteptat din teorema secțiunii 3: pentru orice clasă din ${\mathbb{Z}}_p$ are loc ${\hat{a}}^p=\hat{a}$, aici cu $p=5$.

12. Tabelul de valori este $\hat{2},\hat{0},\hat{3},\hat{2},\hat{3}$, deci singura rădăcină e $\hat{1}$. Horner cu $a=\hat{1}$ pe $\hat{1},\hat{2},\hat{0},\hat{2}$ dă rândul $\hat{1},\hat{3},\hat{3},\hat{0}$, deci $f=(X-\hat{1})(X^2+\hat{3}X+\hat{3})$. Câtul nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_5$ (valorile lui sunt $\hat{3},\hat{2},\hat{3},\hat{1},\hat{1}$), deci descompunerea se oprește aici.

13. În ${\mathbb{Z}}_2$ avem ${\hat{0}}^2=\hat{0}$ și ${\hat{1}}^2=\hat{1}$, deci $X^2$ și $X$ iau aceleași valori în ambele clase: funcțiile lor polinomiale coincid. Funcții de la ${\mathbb{Z}}_2$ la ${\mathbb{Z}}_2$ există $2^2=4$: cele două constante, identitatea și negația.

14. Condiția $f(\hat{2})=\hat{0}$ se scrie $\hat{4}+\hat{2}a+\hat{3}=\hat{0}$, adică $\hat{7}+\hat{2}a=\hat{0}$, deci $\hat{2}a=\hat{0}$. Cum $\hat{2}$ este inversabil în ${\mathbb{Z}}_7$, rezultă $a=\hat{0}$. Verificare: $X^2+\hat{3}$ în $\hat{2}$ dă $\hat{4}+\hat{3}=\hat{0}$ ✓.

15. a) $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{4}+a+\hat{1}=\hat{6}+a=\hat{1}+a$; condiția $\hat{1}+a=\hat{0}$ dă $a=\hat{4}$. b) Cu $f=X^3+\hat{4}{X}^2+\hat{4}X+\hat{1}$, tabelul de valori este $\hat{1},\hat{0},\hat{3},\hat{1},\hat{0}$, deci rădăcinile sunt $\hat{1}$ și $\hat{4}$. c) Horner cu $a=\hat{1}$ pe $\hat{1},\hat{4},\hat{4},\hat{1}$ dă rândul $\hat{1},\hat{0},\hat{4},\hat{0}$, deci $f=(X-\hat{1})(X^2+\hat{4})$. Cum $X^2+\hat{4}=X^2-\hat{1}=(X-\hat{1})(X+\hat{1})$, obținem $f=(X-\hat{1}{)}^2(X-\hat{4})$, pentru că $\hat{1}=-\hat{4}$.

16. Pentru că teorema din clasa a X-a era enunțată pentru polinoame cu coeficienți complecși, iar demonstrația ei folosea faptul că $\mathbb{C}$ este infinit: un polinom nenul nu poate avea o infinitate de rădăcini. În ${\mathbb{Z}}_3$ nu există decât trei elemente, deci un polinom de gradul al treilea are voie să se anuleze în toate. Ipoteza care lipsește este exact infinitatea corpului.

17. Sunt $9$ polinoame monice de gradul al doilea; dintre ele, $3$ nu au rădăcini: $X^2+\hat{1}$, $X^2+X+\hat{2}$ și $X^2+\hat{2}X+\hat{2}$. (Verificare pe primul: valorile lui sunt $\hat{1},\hat{2},\hat{2}$.)

18. Pentru orice $\hat{a}\in {\mathbb{Z}}_3$ avem ${\hat{a}}^3-\hat{a}=\hat{0}$, deci valoarea lui $(X^3-X)g$ în $\hat{a}$ este $\hat{0}\cdot g(\hat{a})=\hat{0}$. Prin urmare $f$ și $f+(X^3-X)g$ iau aceeași valoare în fiecare dintre cele trei clase, adică au aceeași funcție polinomială. Cum $g$ poate fi ales în infinit de multe feluri, iar polinoamele $f+(X^3-X)g$ obținute sunt distincte două câte două, fiecare funcție provine de la o infinitate de polinoame.

De reținut

• Funcția polinomială asociată unui polinom $f\in K[X]$ este funcția de la $K$ la $K$ dată de regula $x\mapsto f(x)$, iar peste un corp finit ea se poate scrie complet într-un tabel cu $\mathrm{card}K$ celule.
• Peste ${\mathbb{Z}}_p$, polinoame diferite pot avea aceeași funcție polinomială: $X^3$ și $X$ coincid ca funcții pe ${\mathbb{Z}}_3$, deși sunt polinoame distincte.
• Polinomul $X^p-X$ are funcția polinomială nulă pe ${\mathbb{Z}}_p$, fapt care rezultă din Consecința 2 a teoremei lui Lagrange aplicată grupului ${\mathbb{Z}}_p^{\ast }$, cu $p-1$ elemente.
• Rădăcinile unui polinom din ${\mathbb{Z}}_p[X]$ se găsesc verificând toate cele $p$ clase, iar fiecare rădăcină $\hat{a}$ dă, prin teorema lui Bézout, un factor $X-\hat{a}$ pe care schema lui Horner îl scoate în evidență.
• Teorema „cel mult $n$ rădăcini pentru gradul $n$" cere ca modulul să fie prim: în ${\mathbb{Z}}_8$, polinomul $X^2-\hat{1}$ are patru rădăcini.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre polinom și funcția lui. Peste ${\mathbb{Z}}_p$ două polinoame cu aceleași valori nu sunt neapărat egale; egalitatea polinoamelor se verifică pe coeficienți, nu pe valori.
• Aplicarea formulei discriminantului în ${\mathbb{Z}}_p$. Nu orice clasă este pătrat perfect: în ${\mathbb{Z}}_5$, pătratele sunt doar $\hat{0},\hat{1},\hat{4}$. Rezolvă prin verificarea claselor sau prin factorizare.
• Oprirea căutării la prima rădăcină. Tabelul se completează până la capăt: un polinom de gradul al treilea peste ${\mathbb{Z}}_7$ poate avea trei rădăcini, iar cine se oprește la prima pierde două puncte din trei.
• Folosirea teoremei despre numărul de rădăcini în ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ compus. Ea cere corp, adică $n$ prim. În ${\mathbb{Z}}_8$, $X^2-\hat{1}$ are patru rădăcini și două descompuneri diferite.
• Uitarea reducerii la calculul puterilor. ${\hat{4}}^3$ nu se lasă ca $\widehat{64}$: în ${\mathbb{Z}}_7$ este $\hat{1}$. Redu la fiecare pas, ca să lucrezi mereu cu clase din intervalul de la $\hat{0}$ la $\widehat{p-1}$.

Aplică acasă

1. Tabelul complet al puterilor. Pentru $p=5$ și $p=7$, scrie tabelul cu $\hat{a}$, ${\hat{a}}^2$, ${\hat{a}}^3$ și ${\hat{a}}^p$ pentru toate clasele. Verifică pe el teorema din secțiunea 3 și notează care clase sunt pătrate perfecte.

2. Toate polinoamele mici. Scrie cele $9$ polinoame monice de gradul al doilea din ${\mathbb{Z}}_3[X]$, alcătuiește pentru fiecare tabelul de valori și marchează-le pe cele fără rădăcini. Compară numărul obținut cu răspunsul exercițiului 17.

3. Lista pătratelor. Pentru $p=3$, $p=5$ și $p=7$, scrie mulțimea pătratelor claselor: $\{\hat{0},\hat{1}\}$, $\{\hat{0},\hat{1},\hat{4}\}$, respectiv $\{\hat{0},\hat{1},\hat{2},\hat{4}\}$. Observă că de fiecare dată sunt $\frac{p+1}{2}$ clase. Folosește apoi lista ca să decizi fără tabel dacă $X^2-\hat{a}$ are rădăcini, pentru fiecare clasă $\hat{a}$.

Pentru părinți și profesori

Lecția are o miză conceptuală mai mare decât pare: ea desface o identificare pe care elevii o fac de ani de zile, aceea dintre un polinom și funcția pe care o produce. Peste $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ identificarea e legitimă și comodă; peste un corp finit e pur și simplu falsă, iar exemplul $X^3=X$ pe ${\mathbb{Z}}_3$ o arată în trei rânduri de calcul. Partea a doua a lecției e tehnică și liniștitoare: căutarea rădăcinilor se face prin încercarea tuturor claselor, deci nu cere nicio idee, doar răbdare și corectitudine în calcul.

De verificat în caiet: (1) tabelul de valori e complet, cu toate cele $p$ celule, nu doar până la prima rădăcină; (2) puterile sunt reduse la fiecare pas, nu lăsate ca $\widehat{64}$ sau $\widehat{243}$; (3) după găsirea rădăcinilor, elevul scrie și factorizarea și o verifică prin înmulțire; (4) nu apare nicăieri formula cu discriminant. Întrebări de control: „Câte rădăcini poate avea un polinom de gradul al treilea în ${\mathbb{Z}}_5$?"; „De ce $X^2-\hat{1}$ are patru rădăcini în ${\mathbb{Z}}_8$?"; „Dau $X^5$ și $X$ aceeași funcție pe ${\mathbb{Z}}_5$?".

La Bacalaureat M1, tema apare în Subiectul al II-lea, în problemele de polinoame din suplimentul valabil pentru sesiunile 2027–2029: se cere un parametru pentru care o clasă e rădăcină, apoi toate rădăcinile, apoi descompunerea. Elevii care ajung la BAC cu tabelul de valori automatizat rezolvă aceste subpuncte în două-trei minute. Semn că elevul a înțeles distincția din prima parte: la întrebarea „sunt egale polinoamele $X^3$ și $X$ peste ${\mathbb{Z}}_3$?" răspunde „nu, dar au aceeași funcție", nu doar „da" sau „nu".

Întrebări frecvente

Ce este funcția polinomială asociată unui polinom? Este funcția de la $K$ la $K$ care duce fiecare element $x$ al corpului în valoarea $f(x)$ a polinomului calculată în acel element. Polinomul este o listă de coeficienți, iar funcția este o regulă de asociere; peste un corp finit, funcția se poate scrie complet într-un tabel cu atâtea celule câte elemente are corpul.

Pot două polinoame diferite să aibă aceeași funcție polinomială? Da, peste corpurile finite. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, polinoamele $X^3$ și $X$ sunt diferite (au grade diferite), dar iau aceleași valori în toate cele trei clase, deci definesc aceeași funcție. Peste $\mathbb{C}$ acest lucru este imposibil, pentru că un polinom nenul are un număr finit de rădăcini, iar $\mathbb{C}$ este infinit.

De ce are $X^p-X$ funcția polinomială nulă pe ${\mathbb{Z}}_p$? Pentru că ${\hat{a}}^p=\hat{a}$ pentru orice clasă. Demonstrația: dacă $\hat{a}\ne \hat{0}$, atunci $\hat{a}$ aparține grupului multiplicativ ${\mathbb{Z}}_p^{\ast }$, care are $p-1$ elemente, iar Consecința 2 a teoremei lui Lagrange dă ${\hat{a}}^{p-1}=\hat{1}$; înmulțind cu $\hat{a}$ obținem concluzia. Cazul $\hat{a}=\hat{0}$ e imediat.

Cum se găsesc rădăcinile unui polinom cu coeficienți clase de resturi? Se calculează valoarea polinomului în fiecare dintre cele $p$ clase și se rețin acelea în care rezultatul este $\hat{0}$. Metoda este completă, pentru că mulțimea în care se caută este finită. Pentru fiecare rădăcină găsită se scoate factorul corespunzător cu schema lui Horner, iar căutarea continuă pe cât.

Cum se rezolvă o ecuație polinomială în ${\mathbb{Z}}_p$? Ecuațiile de gradul întâi se rezolvă înmulțind cu inversul coeficientului, iar cele de grad mai mare prin verificarea tuturor claselor sau prin factorizare. Formula cu discriminant nu se folosește: în ${\mathbb{Z}}_p$ nu orice clasă este pătratul unei clase, deci „radicalul" nu are sens automat. Programa cere ecuații de grad cel mult $4$, cu $p\le 7$.

De ce are $X^2-\hat{1}$ patru rădăcini în ${\mathbb{Z}}_8$? Pentru că ${\mathbb{Z}}_8$ nu este corp: $8$ nu este prim, iar $\hat{2}$ nu are invers. Teorema „un polinom de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini" cere ca inelul coeficienților să nu aibă divizori ai lui zero. Aici $(\hat{3}-\hat{1})(\hat{3}+\hat{1})=\hat{2}\cdot \hat{4}=\hat{0}$ fără ca vreun factor să fie nul.

Câte funcții polinomiale există peste ${\mathbb{Z}}_p$? Există exact $p^p$ funcții de la ${\mathbb{Z}}_p$ la ${\mathbb{Z}}_p$, iar toate sunt polinomiale: fiecare provine de la exact un polinom de grad cel mult $p-1$. Peste ${\mathbb{Z}}_3$, de pildă, sunt $27$ de funcții și tot $27$ de polinoame de grad cel mult $2$, în corespondență perfectă.

Unde apare această temă la Bacalaureat M1? În Subiectul al II-lea, la problemele cu polinoame peste ${\mathbb{Z}}_p$ din suplimentul pentru sesiunile 2027–2029. Cerințele tipice sunt: determinarea unui parametru pentru care o clasă dată este rădăcină, aflarea tuturor rădăcinilor prin tabel de valori și descompunerea în factori. Continuarea firească este cel mai mare divizor comun și algoritmul lui Euclid.