Rădăcini multiple și derivata formală: pe scurt

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Derivata formală a unui polinom se definește algebric, prin regula $(a{X}^n{)}^{\prime }=na{X}^{n-1}$ aplicată termen cu termen, fără nicio limită; de aceea are sens peste orice corp, inclusiv peste ${\mathbb{Z}}_p$, unde nu există grafic, tangentă sau pantă. Regulile de calcul sunt cele cunoscute: $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$, $(cf{)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$, $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ și ${\left(f^n\right)}^{\prime }=n{f}^{n-1}{f}^{\prime }$. Criteriul central, valabil peste orice corp comutativ, este: elementul $a$ este rădăcină multiplă a lui $f$ dacă și numai dacă $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$. Peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ se poate spune mai mult: ordinul exact al rădăcinii $a$ este primul indice $k$ pentru care $f^{(k)}(a)\ne 0$. Peste ${\mathbb{Z}}_p$ acest criteriu al derivatelor succesive nu se aplică — derivata unui polinom neconstant se poate anula identic, ca la $X^2+\hat{1}=(X+\hat{1}{)}^2$ peste ${\mathbb{Z}}_2$ — iar ordinul se determină prin împărțiri repetate la $X-a$. Rețeta rădăcinii duble rezolvă problemele cu parametri: se scriu cele două ecuații $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$, se rezolvă sistemul și se verifică soluțiile prin descompunere.

Exerciții din această mini-lecție

1. Ordinul de multiplicitate al rădăcinii $1$ pentru polinomul $f=X^5-5X+4$ este:

   • a) $1$
   • b) $3$
   • c) $5$
   • d) $2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $2$

   Calculăm derivatele succesive: $f(1)=1-5+4=0$; $f^{\prime }=5X^4-5$, deci $f^{\prime }(1)=0$; $f^{\prime \prime }=20X^3$, deci $f^{\prime \prime }(1)=20\ne 0$. Primul indice cu derivata nenulă în $1$ este $k=2$, deci ordinul este exact $2$. Criteriul derivatelor succesive este valabil aici, fiindcă lucrăm peste $\mathbb{R}$.

2. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, derivata formală a polinomului $f=X^5+\hat{2}{X}^3+\hat{4}$ este:

   • a) $X^2$
   • b) $\hat{5}{X}^4+\hat{6}{X}^2$
   • c) $X^4+X^2$
   • d) $\hat{0}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $X^2$

   Derivăm termen cu termen și reducem modulo $5$: ${\left(X^5\right)}^{\prime }=\hat{5}{X}^4=\hat{0}$, ${\left(\hat{2}{X}^3\right)}^{\prime }=\hat{6}{X}^2=\hat{1}{X}^2$, iar derivata constantei este $\hat{0}$. Rezultă $f^{\prime }=X^2$. Varianta b lasă coeficienții nereduși, iar varianta d apare când se crede că orice polinom cu exponent divizibil cu $p$ are derivata nulă în întregime.

3. Valoarea reală a lui $m$ pentru care polinomul $f=X^4-32X+m$ are o rădăcină multiplă este:

   • a) $-48$
   • b) $16$
   • c) $48$
   • d) $24$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $48$

   Aplicăm rețeta rădăcinii duble. Din $f^{\prime }(a)=4a^3-32=0$ rezultă $a^3=8$, deci $a=2$ (singura rădăcină reală). Din $f(2)=16-64+m=0$ obținem $m=48$. Verificare: $X^4-32X+48=(X-2{)}^2\left(X^2+4X+12\right)$, iar al doilea factor are discriminantul negativ.