Rădăcini multiple și derivata formală a unui polinom

Ca să afli dacă un polinom are o rădăcină multiplă, la clasa a X-a împărțeai de mai multe ori la $X-a$ și numărai resturile nule. Metoda funcționează, dar cere să cunoști dinainte rădăcina. Această lecție de clasa a XII-a aduce o unealtă mai puternică, derivata formală. Derivata formală a unui polinom $f=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$ cu coeficienți într-un corp comutativ este polinomul $f^{\prime }=n{a}_n{X}^{n-1}+\cdots +a_1$, obținut derivând termen cu termen, fără nicio trecere la limită și deci cu sens peste orice corp. Cu ea, condiția de rădăcină multiplă se scrie ca un sistem de două ecuații și se rezolvă chiar și când rădăcina este necunoscută, iar în polinom se ascund parametri.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Reținem de la început o convenție de scriere: în lecția de față semnul prim înseamnă derivată formală, nu simetricul unui element față de o lege de compoziție — cele două nu apar niciodată în aceeași lecție, tocmai ca să nu se confunde.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești derivata formală a unui polinom, algebric, fără nicio limită.
• Vei ști să calculezi $f^{\prime }$ și derivatele de ordin superior, cu regulile sumei, produsului și puterii.
• Vei ști să demonstrezi și să aplici criteriul „$a$ este rădăcină multiplă $⟺f(a)=f^{\prime }(a)=0$".
• Vei ști să determini ordinul de multiplicitate al unei rădăcini din derivatele succesive, peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$.
• Vei ști să determini parametri dintr-o condiție de rădăcină dublă sau triplă.
• Vei ști ce se schimbă peste ${\mathbb{Z}}_p$, unde derivata unui polinom neconstant poate fi polinomul nul.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este derivata formală a unui polinom?

La clasa a XI-a derivata a fost definită printr-o limită, deci printr-o proprietate de apropiere între numere reale. Peste ${\mathbb{Z}}_p$ nu există nicio noțiune de apropiere și nicio limită, așa că definiția de acolo nu se poate muta. Există însă o cale pur algebrică, iar ea este cea folosită în teoria polinoamelor.

Derivata formală a unui polinom este polinomul obținut derivând termen cu termen, după regula $(a{X}^n{)}^{\prime }=na{X}^{n-1}$, în care $n$ înmulțește coeficientul ca element al corpului; definiția este pur algebrică, nu folosește nicăieri noțiunea de limită și are sens peste orice corp, inclusiv peste ${\mathbb{Z}}_p$.

Scris complet: dacă $f=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_0$ cu coeficienți în corpul $K$, atunci

$$f^{\prime }=n{a}_n{X}^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{X}^{n-2}+\cdots +2a_{2}X+a_1.$$

Un singur punct cere atenție: ce înseamnă $na$, când $n$ este număr natural și $a$ un element din $K$? Înseamnă $\underset{n\text{ termeni}}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}$, adică o sumă în corpul $K$. Peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ sau $\mathbb{C}$ este chiar înmulțirea obișnuită; peste ${\mathbb{Z}}_p$ este adunarea repetată a claselor, deci se reduce modulo $p$. De aici vin toate surprizele din secțiunea a șasea.

Derivata a doua se notează $f^{\prime \prime }$ și este derivata formală a lui $f^{\prime }$; mai departe scriem $f^{(3)}$, $f^{(4)}$ și, în general, $f^{(k)}$.

2. Regulile de calcul cu derivata formală

Sunt exact cele de la analiză, dar aici se demonstrează prin calcul cu coeficienți, nu cu limite.

Liniaritatea. $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$ și $(cf{)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$ pentru orice constantă $c\in K$. Ambele se citesc direct din formulă: coeficientul lui $X^{k-1}$ în derivata sumei este $k(a_k+b_k)=k{a}_k+k{b}_k$.

Regula produsului. $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$. Pentru monoame verificarea este imediată: din $f=a{X}^m$ și $g=b{X}^n$ obținem $(fg{)}^{\prime }=(m+n)ab{X}^{m+n-1}$, iar $f^{\prime }g+f{g}^{\prime }=mab{X}^{m+n-1}+nab{X}^{m+n-1}$, adică același lucru. Cazul general urmează prin liniaritate, desfăcând ambele polinoame în sume de monoame.

Regula puterii. $(f^n{)}^{\prime }=n{f}^{n-1}{f}^{\prime }$, obținută din regula produsului prin inducție după $n$. Cazul de care avem nevoie tot timpul este $f=X-a$, care dă

$$((X-a{)}^n{)}^{\prime }=n(X-a{)}^{n-1}.$$

Observă că gradul lui $f^{\prime }$ este cel mult $\mathrm{grad}f-1$, nu neapărat exact atât: coeficientul dominant al derivatei este $n{a}_n$, iar acest produs poate fi nul dacă $n$ „dispare" în corp. Peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ asta nu se întâmplă niciodată, dar peste ${\mathbb{Z}}_p$ se întâmplă.

3. De ce se numește „formală" și ce se schimbă peste ${\mathbb{Z}}_p$?

Se numește formală pentru că este definită prin forma polinomului — prin șirul coeficienților lui — și nu prin comportarea funcției polinomiale. Nicio limită, nicio tangentă, nicio pantă: doar o regulă de rescriere a coeficienților.

Această alegere are un preț și un câștig. Câștigul: definiția funcționează peste orice corp, deci și peste ${\mathbb{Z}}_p$, unde noțiunea de limită nici măcar nu poate fi formulată. Prețul: interpretarea geometrică se pierde. Peste $\mathbb{R}$, $f^{\prime }(a)$ rămâne panta tangentei la grafic, ca la clasa a XI-a; peste ${\mathbb{Z}}_5$ nu există grafic, nu există pantă, iar $f^{\prime }$ este pur și simplu un alt polinom, obținut mecanic.

Un exemplu care lămurește totul. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$ luăm $f=X^3+\hat{2}$. Atunci

$$f^{\prime }=\hat{3}{X}^2=\hat{0},$$

pentru că $\hat{3}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_3$. Avem deci un polinom de gradul al treilea a cărui derivată este polinomul nul — situație imposibilă peste $\mathbb{R}$, unde numai polinoamele constante au derivata nulă. Explicația structurală: $X^3+\hat{2}=(X+\hat{2}{)}^3$, cum se verifică prin înmulțire, deci $\hat{1}$ este rădăcină de ordinul $3$, iar derivata unei puteri a treia „înghite" factorul $3$, care în ${\mathbb{Z}}_3$ este zero.

4. Când este o rădăcină multiplă? Criteriul cu derivata

Reamintim definiția fixată la clasa a X-a, în lecția despre rădăcini multiple și ordinul de multiplicitate: elementul $a$ este rădăcină de ordinul $k$ a lui $f$ dacă $(X-a{)}^k\mid f$ și $(X-a{)}^{k+1}\nmid f$. Rădăcina se numește simplă dacă $k=1$ și multiplă dacă $k\ge 2$.

Teoremă. Fie $K$ un corp comutativ, $f\in K[X]$ nenul și $a\in K$. Atunci $a$ este rădăcină multiplă a lui $f$ dacă și numai dacă $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$.

Demonstrație. Presupunem întâi că $a$ este rădăcină multiplă, deci $f=(X-a{)}^{2}h$ pentru un polinom $h\in K[X]$. Evident $f(a)=0$. Derivăm cu regula produsului și cu regula puterii:

$$f^{\prime }=2(X-a)h+(X-a{)}^2{h}^{\prime }=(X-a)(2h+(X-a)h^{\prime }),$$

deci $f^{\prime }$ se divide cu $X-a$ și prin urmare $f^{\prime }(a)=0$.

Reciproc, presupunem $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$. Din $f(a)=0$ rezultă, prin teorema lui Bézout, că $f=(X-a)h$ cu $h\in K[X]$. Derivăm:

$$f^{\prime }=h+(X-a)h^{\prime }.$$

Înlocuim $X$ cu $a$: obținem $f^{\prime }(a)=h(a)+0=h(a)$. Cum $f^{\prime }(a)=0$, rezultă $h(a)=0$, deci $X-a$ divide $h$, adică $h=(X-a)h_1$. Așadar $f=(X-a{)}^2{h}_1$, ceea ce înseamnă că $a$ este rădăcină de ordin cel puțin $2$, adică rădăcină multiplă. $■$

Demonstrația nu a folosit nicăieri vreo proprietate specială a corpului: ea este valabilă peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și, la fel de bine, peste ${\mathbb{Z}}_p$.

5. Cum se află ordinul de multiplicitate din derivatele succesive?

Peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$, criteriul se prelungește natural.

Propoziție (valabilă peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$). Elementul $a$ este rădăcină de ordinul exact $k$ al lui $f$ dacă și numai dacă

$$f(a)=f^{\prime }(a)=\cdots =f^{(k-1)}(a)=0\text{și}{f}^{(k)}(a)\ne 0.$$

Ideea demonstrației este cea din teorema de mai sus, repetată: din $f=(X-a{)}^{k}h$ cu $h(a)\ne 0$, fiecare derivare scade cu unu puterea lui $X-a$, până când, la a $k$-a derivare, rămâne termenul $k!h(a)$, nenul pentru că $k!$ este un număr nenul în aceste corpuri.

Avertisment esențial: propoziția NU se aplică peste ${\mathbb{Z}}_p$. Acolo $k!$ poate fi zero, iar concluzia cade. Contraexemplul cel mai mic: în ${\mathbb{Z}}_2[X]$ luăm $f=X^2+\hat{1}=(X+\hat{1}{)}^2$. Rădăcina $\hat{1}$ are ordinul exact $2$, dar $f^{\prime }=\hat{0}$ și $f^{\prime \prime }=\hat{0}$, deci toate derivatele se anulează în $\hat{1}$, fără ca ordinul să fie mai mare ca $2$. Criteriul din secțiunea a patra rămâne însă valabil și acolo: el spune doar „multiplă sau nu", iar atât e adevărat peste orice corp.

Peste ${\mathbb{Z}}_p$, ordinul exact se determină ca la clasa a X-a, prin împărțiri repetate la $X-a$ cu schema lui Horner, numărând câte resturi consecutive ies nule.

6. Surprizele derivatei formale peste ${\mathbb{Z}}_p$

Merită strânse la un loc, pentru că fiecare dintre ele a produs greșeli la examen.

Derivata unui polinom neconstant poate fi nulă. Am văzut $X^3+\hat{2}$ peste ${\mathbb{Z}}_3$. Regula generală: dacă toți exponenții cu coeficient nenul sunt multipli de $p$, derivata se anulează. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, $f=X^5+\hat{3}$ are $f^{\prime }=\hat{5}{X}^4=\hat{0}$, iar $f=(X+\hat{3}{)}^5$.

Gradul derivatei poate scădea cu mai mult de o unitate. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, pentru $f=X^3+X^2$ avem $f^{\prime }=\hat{3}{X}^2+\hat{2}X=\hat{2}X$: gradul a scăzut de la $3$ la $1$.

Un polinom nenul poate avea funcția polinomială nulă. Este observația din lecția despre rădăcinile în ${\mathbb{Z}}_p$ și funcția polinomială: peste ${\mathbb{Z}}_3$, polinomul $X^3+\hat{2}X$ se anulează în toate cele trei clase, fără să fie polinomul nul. Derivata lui, $\hat{2}$, este o constantă nenulă — semn că nici măcar din „$f$ se anulează peste tot" nu se poate deduce ceva despre $f^{\prime }$.

Concluzia practică: peste ${\mathbb{Z}}_p$ folosește criteriul $f(a)=f^{\prime }(a)=0$ pentru a decide dacă rădăcina este multiplă, dar nu mai număra derivate pentru ordinul exact.

7. Cum se determină parametrii dintr-o condiție de rădăcină dublă?

Aceasta este forma sub care tema apare cel mai des în subiectele de Bacalaureat M1. Numim procedeul rețeta rădăcinii duble; el are trei etape, care trebuie respectate în ordine.

Etapa 1. Scrie cele două condiții: $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$. Dacă rădăcina $a$ este dată, obții un sistem liniar în parametri; dacă nu este dată, ea devine ea însăși necunoscută.

Etapa 2. Rezolvă sistemul. Când rădăcina este necunoscută, pornește de la ecuația mai simplă, de obicei $f^{\prime }(a)=0$, care are gradul mai mic.

Etapa 3. Verifică fiecare soluție găsită, înlocuind în polinom și descompunând. Etapa aceasta nu este o formalitate: sistemul poate avea soluții care nu convin.

Merită comparate cele două metode. La clasa a X-a, o condiție de rădăcină dublă se traducea prin două împărțiri succesive la $X-a$, cu parametrii purtați prin tabelul lui Horner și cu două resturi puse egale cu zero. Metoda funcționează, dar tabelul se umple de expresii cu litere și greșelile de semn devin foarte probabile. Metoda derivatei scrie aceleași două condiții direct, evaluând două polinoame în același punct, fără niciun tabel intermediar. Când rădăcina este necunoscută, deosebirea devine decisivă: cu Horner ar trebui purtată și ea ca literă, în timp ce derivata o produce ca rădăcină a unui polinom de grad mic.

Exemplu-etalon, cu rădăcina necunoscută: pentru ce valori reale ale lui $m$ are polinomul $f=X^3-3X^2+m$ o rădăcină multiplă? Derivata este $f^{\prime }=3X^2-6X=3X(X-2)$, cu rădăcinile $0$ și $2$. O rădăcină multiplă a lui $f$ trebuie să fie printre acestea. Din $f(0)=m=0$ obținem $m=0$; din $f(2)=8-12+m=m-4=0$ obținem $m=4$. Verificarea: pentru $m=0$ avem $f=X^2(X-3)$, deci $0$ este rădăcină dublă; pentru $m=4$ avem $f=(X+1)(X-2{)}^2$, deci $2$ este rădăcină dublă. Ambele valori convin.

8. Cel mai mare divizor comun al lui $f$ și al derivatei sale

Legătura cu lecția precedentă, despre cel mai mare divizor comun și algoritmul lui Euclid, este directă și foarte utilă.

Criteriul spune că $a$ este rădăcină multiplă a lui $f$ exact când $a$ este rădăcină comună a lui $f$ și $f^{\prime }$. Iar rădăcinile comune a două polinoame sunt, după propoziția demonstrată acolo, rădăcinile celui mai mare divizor comun al lor. Prin urmare:

$$a\text{ este ra˘da˘cina˘ multipla˘ a lui }f⟺a\text{ este ra˘da˘cina˘ a lui }\mathrm{cmmdc}(f,f^{\prime }).$$

Peste $\mathbb{C}$, unde orice polinom de grad cel puțin $1$ are rădăcini — conform teoremei fundamentale a algebrei —, obținem un test complet: $f$ are rădăcini multiple dacă și numai dacă $\mathrm{grad}\mathrm{cmmdc}(f,f^{\prime })\ge 1$. Frumusețea metodei este că răspunde la întrebare fără să calculeze nicio rădăcină.

Un exemplu: fie $f=X^4-2X^3+2X-1$. Derivata este $f^{\prime }=4X^3-6X^2+2$, iar algoritmul lui Euclid dă $\mathrm{cmmdc}(f,f^{\prime })=X^2-2X+1=(X-1{)}^2$. Așadar $f$ are rădăcina multiplă $1$ — de altfel $f=(X-1{)}^3(X+1)$, iar faptul că cel mai mare divizor comun este chiar $(X-1{)}^2$ arată că ordinul lui $1$ în $f$ este $3$.

Regula care se ghicește din exemplu, și care este adevărată peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$, merită reținută: o rădăcină de ordinul $k$ al lui $f$ apare în $\mathrm{cmmdc}(f,f^{\prime })$ cu ordinul $k-1$. Rădăcinile simple dispar cu totul din acest divizor comun, iar cele multiple rămân, cu ordinul micșorat cu o unitate. De aici și numele sub care metoda circulă: „curățarea de rădăcini multiple". Ea este pasul care lipsește pentru a înțelege de ce, în descompunerea în factori ireductibili din lecția următoare, factorii apar la puteri: exponenții aceia sunt exact ordinele de multiplicitate pe care le-am învățat să le calculăm aici.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Derivata formală, calculată direct

Calculați derivata formală a polinomului $f=3X^5-2X^3+X-7$, apoi verificați regula produsului pe $f=(X-1{)}^3$.

Rezolvare. Termen cu termen: $(3X^5{)}^{\prime }=15X^4$, $(-2X^3{)}^{\prime }=-6X^2$, $(X{)}^{\prime }=1$, $(-7{)}^{\prime }=0$. Prin urmare

$$f^{\prime }=15X^4-6X^2+1.$$

Pentru al doilea polinom, desfacem întâi: $(X-1{)}^3=X^3-3X^2+3X-1$, cu derivata $3X^2-6X+3$. Regula puterii dă $3(X-1{)}^2=3(X^2-2X+1)=3X^2-6X+3$. ✓ Cele două căi coincid.

Exemplul 2 — Criteriul rădăcinii multiple

Arătați că $1$ este rădăcină multiplă a polinomului $f=X^3-3X+2$ și că $-2$ este rădăcină simplă.

Rezolvare. Derivata este $f^{\prime }=3X^2-3$.

Pentru $a=1$: $f(1)=1-3+2=0$ și $f^{\prime }(1)=3-3=0$. Ambele condiții sunt îndeplinite, deci $1$ este rădăcină multiplă.

Pentru $a=-2$: $f(-2)=-8+6+2=0$, deci este rădăcină, dar $f^{\prime }(-2)=12-3=9\ne 0$, deci este rădăcină simplă.

Control prin descompunere: $f=(X-1{)}^2(X+2)$, ceea ce confirmă ordinele $2$ și $1$.

Exemplul 3 — Ordinul exact, din derivatele succesive

Determinați ordinul de multiplicitate al rădăcinii $2$ pentru $f=X^4-5X^3+6X^2+4X-8$.

Rezolvare. Calculăm derivatele și le evaluăm în $2$:

$$f^{\prime }=4X^3-15X^2+12X+4,f^{\prime \prime }=12X^2-30X+12,f^{(3)}=24X-30.$$

Valorile: $f(2)=16-40+24+8-8=0$; $f^{\prime }(2)=32-60+24+4=0$; $f^{\prime \prime }(2)=48-60+12=0$; $f^{(3)}(2)=48-30=18\ne 0$.

Prima derivată care nu se anulează în $2$ este cea de ordinul $3$, deci ordinul de multiplicitate este exact $3$. Confirmare: $f=(X-2{)}^3(X+1)$.

Exemplul 4 — În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, unde derivata se anulează

În ${\mathbb{Z}}_3[X]$ se consideră $f=X^3+\hat{2}$. Calculați $f^{\prime }$, arătați că $\hat{1}$ este rădăcină multiplă și determinați-i ordinul.

Rezolvare. Derivata formală: $f^{\prime }=\hat{3}{X}^2=\hat{0}$, pentru că $\hat{3}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_3$.

Verificăm criteriul în $\hat{1}$: $f(\hat{1})=\hat{1}+\hat{2}=\hat{0}$ și $f^{\prime }(\hat{1})=\hat{0}$. Deci $\hat{1}$ este rădăcină multiplă.

Ordinul nu se poate citi din derivate, pentru că toate sunt nule. Îl aflăm prin împărțiri succesive la $X-\hat{1}=X+\hat{2}$. Prima împărțire dă câtul $X^2+X+\hat{1}$ și restul $\hat{0}$; a doua, aplicată câtului, dă câtul $X+\hat{2}$ și restul $\hat{0}$; a treia dă câtul $\hat{1}$ și restul $\hat{0}$. Prin urmare $f=(X+\hat{2}{)}^3$ și ordinul lui $\hat{1}$ este $3$ — verificabil și direct, prin înmulțire: $(X+\hat{2}{)}^3=X^3+\hat{6}{X}^2+\widehat{12}X+\hat{8}=X^3+\hat{2}$. ✓

Exemplul 5 — Un parametru, cu rădăcina necunoscută

Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care polinomul $f=X^3-12X+m$ are o rădăcină multiplă, precizând de fiecare dată rădăcina.

Rezolvare. Derivata este $f^{\prime }=3X^2-12=3(X-2)(X+2)$, deci singurele candidate la rădăcină multiplă sunt $2$ și $-2$.

Din $f(2)=8-24+m=m-16=0$ obținem $m=16$; atunci $f=X^3-12X+16=(X-2{)}^2(X+4)$, deci $2$ este rădăcină dublă.

Din $f(-2)=-8+24+m=m+16=0$ obținem $m=-16$; atunci $f=X^3-12X-16=(X+2{)}^2(X-4)$, deci $-2$ este rădăcină dublă.

Ambele valori convin, iar în fiecare caz ordinul este exact $2$, pentru că $f^{\prime \prime }=6X$ nu se anulează în $\pm 2$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinomul $f=X^4-3X^3+a{X}^2+bX-4$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. a) Calculați derivata formală $f^{\prime }$. b) Determinați $a$ și $b$ știind că $2$ este rădăcină dublă a polinomului $f$. c) Arătați că ordinul de multiplicitate al rădăcinii $2$ este exact $2$.

Rezolvare. Este structura obișnuită a unei probleme de la Subiectul al II-lea: un calcul, un sistem, o verificare.

a) Derivând termen cu termen, $f^{\prime }=4X^3-9X^2+2aX+b$.

b) Condiția „$2$ este rădăcină dublă" înseamnă $f(2)=0$ și $f^{\prime }(2)=0$:

$$f(2)=16-24+4a+2b-4=4a+2b-12=0,f^{\prime }(2)=32-36+4a+b=4a+b-4=0.$$

Sistemul se scrie $2a+b=6$ și $4a+b=4$. Scăzând prima ecuație din a doua, $2a=-2$, deci $a=-1$ și apoi $b=8$.

c) Cu $a=-1$ și $b=8$ avem $f=X^4-3X^3-X^2+8X-4$ și $f^{\prime \prime }=12X^2-18X-2$. Cum $f^{\prime \prime }(2)=48-36-2=10\ne 0$, iar $f(2)=f^{\prime }(2)=0$, ordinul este exact $2$. Confirmare prin descompunere: $f=(X-2{)}^2(X^2+X-1)$, iar $X^2+X-1$ nu se anulează în $2$, valoarea lui acolo fiind $5$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, calculează întâi derivata formală și abia apoi evaluează; verifică rezultatele prin descompunere ori de câte ori este posibil.

1. Calculează derivata formală a polinomului $f=3X^5-2X^3+X-7$.

2. Calculează derivata lui $f=(X-1{)}^3$ pe două căi: desfăcând parantezele și cu regula puterii.

3. Arată că $1$ este rădăcină multiplă pentru $f=X^4-X^3-X+1$ și determină-i ordinul.

4. Determină ordinul de multiplicitate al rădăcinii $2$ pentru $f=X^4-5X^3+6X^2+4X-8$, folosind derivatele succesive.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Derivata formală a unui polinom de gradul $n$ are întotdeauna gradul $n-1$."

6. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care $f=X^3-12X+m$ are o rădăcină multiplă.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$, atunci $a$ este rădăcină de ordin cel puțin $2$ pentru $f$."

8. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, calculează derivata formală a polinomului $f=X^3+\hat{2}{X}^2+X+\hat{1}$.

9. În ${\mathbb{Z}}_5[X]$, arată că $f=X^5+\hat{3}$ are derivata formală nulă și verifică prin înmulțire că $f=(X+\hat{3}{)}^5$.

10. (Problemă aplicată.) Distanța, în metri, a unui cărucior față de un perete este modelată de $h(t)=t^3-6t^2+9t$, unde $t\ge 0$ este timpul în secunde. Arată că la $t=3$ căruciorul atinge peretele fără să-l depășească și explică fenomenul prin ordinul de multiplicitate al rădăcinii.

11. Verifică regula produsului $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ pentru $f=X^2+1$ și $g=X^3-X$, calculând ambii membri.

12. Determină $\mathrm{cmmdc}(f,f^{\prime })$ pentru $f=X^4-2X^3+2X-1$ și spune ce rădăcină multiplă are $f$.

13. Arată că $f=X^3-3X^2+3X-1$ are o singură rădăcină și determină-i ordinul folosind derivatele.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Peste ${\mathbb{Z}}_2$, polinomul $X^2+\hat{1}$ are derivata formală nulă."

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f=X^3+a{X}^2+bX-4$, cu $a,b\in \mathbb{R}$. a) Calculați $f^{\prime }$. b) Determinați $a$ și $b$ știind că $2$ este rădăcină dublă a lui $f$. c) Determinați a treia rădăcină a polinomului.

16. Determină ordinul de multiplicitate al rădăcinii $0$ pentru $f=X^5-3X^4+2X^3$, folosind derivatele succesive.

17. În ${\mathbb{Z}}_3[X]$, arată că polinomul $f=X^3+X^2$ are derivata $f^{\prime }=\hat{2}X$ și decide, cu criteriul din lecție, dacă $\hat{0}$ este rădăcină multiplă.

18. (Provocare.) Arată că, peste $\mathbb{C}$, polinomul $X^n-1$ nu are rădăcini multiple, oricare ar fi $n\ge 1$. Verifică apoi că, peste ${\mathbb{Z}}_3$, polinomul $X^3-\hat{1}$ are o singură rădăcină, de ordinul $3$, și explică unde se rupe raționamentul de la $\mathbb{C}$.

Răspunsuri și explicații

1. Derivând termen cu termen, $f^{\prime }=15X^4-6X^2+1$. Termenul liber $-7$ dispare, iar $X$ are derivata $1$.

2. Desfăcut: $(X-1{)}^3=X^3-3X^2+3X-1$, cu derivata $3X^2-6X+3$. Cu regula puterii: $3(X-1{)}^2=3X^2-6X+3$. Rezultatele coincid, ceea ce confirmă regula.

3. $f(1)=1-1-1+1=0$ și $f^{\prime }=4X^3-3X^2-1$, cu $f^{\prime }(1)=4-3-1=0$: rădăcina este multiplă. Apoi $f^{\prime \prime }=12X^2-6X$ și $f^{\prime \prime }(1)=6\ne 0$, deci ordinul este exact $2$. Confirmare: $f=(X-1{)}^2(X^2+X+1)$.

4. $f^{\prime }(2)=32-60+24+4=0$, $f^{\prime \prime }(2)=48-60+12=0$, $f^{(3)}(2)=48-30=18\ne 0$. Prima derivată nenulă în $2$ este cea de ordinul $3$, deci ordinul de multiplicitate este $3$ și $f=(X-2{)}^3(X+1)$.

5. Fals. Peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ afirmația este adevărată, dar peste ${\mathbb{Z}}_p$ nu: în ${\mathbb{Z}}_3[X]$, polinomul $X^3+\hat{2}$ are gradul $3$, iar derivata lui este polinomul nul, care nu are gradul $2$. Corect este că $\mathrm{grad}{f}^{\prime }\le \mathrm{grad}f-1$.

6. $f^{\prime }=3X^2-12$ are rădăcinile $2$ și $-2$. Din $f(2)=m-16=0$ rezultă $m=16$, iar din $f(-2)=m+16=0$ rezultă $m=-16$. Descompunerile $(X-2{)}^2(X+4)$ și $(X+2{)}^2(X-4)$ confirmă ambele soluții.

7. Adevărat. Este exact implicația „$\Leftarrow$" din teorema demonstrată în lecție: din $f(a)=0$ scriem $f=(X-a)h$, derivăm și obținem $f^{\prime }(a)=h(a)$; condiția $f^{\prime }(a)=0$ dă $h(a)=0$, deci $(X-a{)}^2$ divide $f$.

8. $f^{\prime }=\hat{3}{X}^2+\hat{4}X+\hat{1}=\hat{0}{X}^2+\hat{1}X+\hat{1}=X+\hat{1}$, pentru că $\hat{3}=\hat{0}$ și $\hat{4}=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_3$.

9. $f^{\prime }=\hat{5}{X}^4=\hat{0}$, pentru că $\hat{5}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_5$. Înmulțind pas cu pas: $(X+\hat{3}{)}^2=X^2+\hat{6}X+\hat{9}=X^2+X+\hat{4}$; apoi $(X+\hat{3}{)}^3=X^3+\hat{4}{X}^2+\hat{2}X+\hat{2}$; apoi $(X+\hat{3}{)}^4=X^4+\hat{2}{X}^3+\hat{4}{X}^2+\hat{3}X+\hat{1}$; în sfârșit $(X+\hat{3}{)}^5=X^5+\hat{3}$, toți coeficienții intermediari reducându-se la $\hat{0}$.

10. $h(3)=27-54+27=0$, iar $h^{\prime }(t)=3t^2-12t+9$ dă $h^{\prime }(3)=27-36+9=0$. Cele două condiții arată că $3$ este rădăcină multiplă, iar $h=t(t-3{)}^2$ confirmă ordinul $2$. Un factor la putere pară nu schimbă semnul, deci distanța atinge valoarea zero fără să devină negativă: căruciorul atinge peretele și se întoarce.

11. $fg=(X^2+1)(X^3-X)=X^5-X$, deci $(fg{)}^{\prime }=5X^4-1$. Pe de altă parte, $f^{\prime }g+f{g}^{\prime }=2X(X^3-X)+(X^2+1)(3X^2-1)=2X^4-2X^2+3X^4+2X^2-1=5X^4-1$. ✓

12. $f^{\prime }=4X^3-6X^2+2$; algoritmul lui Euclid dă $\mathrm{cmmdc}(f,f^{\prime })=X^2-2X+1$. Rădăcina lui, $1$, este singura rădăcină multiplă a lui $f$; într-adevăr, $f=(X-1{)}^3(X+1)$.

13. $f=(X-1{)}^3$. Verificare prin derivate: $f(1)=0$; $f^{\prime }=3X^2-6X+3$ cu $f^{\prime }(1)=0$; $f^{\prime \prime }=6X-6$ cu $f^{\prime \prime }(1)=0$; $f^{(3)}=6\ne 0$. Ordinul este exact $3$, iar suma ordinelor fiind $3=\mathrm{grad}f$, alte rădăcini nu există.

14. Adevărat. $(X^2+\hat{1}{)}^{\prime }=\hat{2}X=\hat{0}$, pentru că $\hat{2}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_2$. Polinomul este de altfel $(X+\hat{1}{)}^2$, deci $\hat{1}$ este rădăcină de ordinul $2$ — un exemplu în care derivatele nu pot da ordinul exact.

15. a) $f^{\prime }=3X^2+2aX+b$. b) Condițiile $f(2)=8+4a+2b-4=0$ și $f^{\prime }(2)=12+4a+b=0$ dau sistemul $2a+b=-2$, $4a+b=-12$; scăzând, $a=-5$ și $b=8$. c) Cu $f=X^3-5X^2+8X-4=(X-2{)}^2(X-1)$, a treia rădăcină este $1$. (Se poate obține și din suma rădăcinilor: $2+2+x_3=5$.)

16. $f^{\prime }=5X^4-12X^3+6X^2$, $f^{\prime \prime }=20X^3-36X^2+12X$, $f^{(3)}=60X^2-72X+12$. Valorile în $0$ sunt $0$, $0$, $0$ și, respectiv, $12\ne 0$, deci ordinul rădăcinii $0$ este $3$. Confirmare: $f=X^3(X-1)(X-2)$.

17. $f^{\prime }=\hat{3}{X}^2+\hat{2}X=\hat{2}X$, pentru că $\hat{3}=\hat{0}$. Evaluăm în $\hat{0}$: $f(\hat{0})=\hat{0}$ și $f^{\prime }(\hat{0})=\hat{0}$, deci $\hat{0}$ este rădăcină multiplă. Într-adevăr, $f=X^2(X+\hat{1})$, deci ordinul este $2$.

18. Peste $\mathbb{C}$: dacă $a$ ar fi rădăcină multiplă a lui $X^n-1$, ar trebui ca $a^n=1$ și, din $f^{\prime }=n{X}^{n-1}$, ca $n{a}^{n-1}=0$. Cum $n\ne 0$ în $\mathbb{C}$, ar rezulta $a=0$, incompatibil cu $a^n=1$. Deci nu există rădăcini multiple. Peste ${\mathbb{Z}}_3$ raționamentul se rupe la „$n\ne 0$": pentru $n=3$ avem $\hat{3}=\hat{0}$, deci $f^{\prime }=\hat{0}$ și argumentul dispare. Concret, $X^3-\hat{1}=(X-\hat{1}{)}^3$, cu singura rădăcină $\hat{1}$, de ordinul $3$.

De reținut

• Derivata formală a unui polinom se definește algebric, prin regula $(a{X}^n{)}^{\prime }=na{X}^{n-1}$, fără nicio limită, deci are sens peste orice corp, inclusiv peste ${\mathbb{Z}}_p$.
• Regulile de calcul sunt cele cunoscute: $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$, $(cf{)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$, $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ și $(f^n{)}^{\prime }=n{f}^{n-1}{f}^{\prime }$.
• Elementul $a$ este rădăcină multiplă a lui $f$ dacă și numai dacă $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$, iar acest criteriu este valabil peste orice corp comutativ.
• Peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$, ordinul exact al rădăcinii $a$ este primul indice $k$ pentru care $f^{(k)}(a)\ne 0$, toate derivatele anterioare anulându-se în $a$.
• Peste ${\mathbb{Z}}_p$ derivata unui polinom neconstant poate fi polinomul nul, deci ordinul exact al unei rădăcini se determină acolo prin împărțiri repetate la $X-a$, nu prin derivate.

Greșeli frecvente

• Aplicarea criteriului derivatelor succesive peste ${\mathbb{Z}}_p$. În ${\mathbb{Z}}_2[X]$, polinomul $X^2+\hat{1}$ are toate derivatele nule, dar rădăcina $\hat{1}$ are ordinul exact $2$. Peste ${\mathbb{Z}}_p$ folosește numai criteriul $f(a)=f^{\prime }(a)=0$, iar pentru ordin împarte repetat la $X-a$.
• Convingerea că $\mathrm{grad}{f}^{\prime }=\mathrm{grad}f-1$. Corect este $\mathrm{grad}{f}^{\prime }\le \mathrm{grad}f-1$, cu egalitate garantată doar peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$. Peste ${\mathbb{Z}}_3$, polinomul $X^3+X^2$ are derivata de gradul întâi.
• Confuzia dintre condiția „rădăcină" și condiția „rădăcină multiplă". $f(a)=0$ singură dă doar o rădăcină; abia adăugarea lui $f^{\prime }(a)=0$ o face multiplă. La probleme cu doi parametri sunt necesare două ecuații, altfel sistemul este nedeterminat.
• Uitarea verificării finale la problemele cu parametru. După ce ai găsit valorile, înlocuiește-le și descompune polinomul: numai așa afli dacă rădăcina obținută are într-adevăr ordinul cerut și dacă toate soluțiile sistemului convin.
• Căutarea unei interpretări geometrice peste ${\mathbb{Z}}_p$. Acolo nu există grafic, nu există tangentă și nu există pantă. Derivata formală este doar un polinom obținut printr-o regulă de calcul; imaginea cu tangenta se păstrează exclusiv peste $\mathbb{R}$.

Aplică acasă

1. Două metode, același răspuns. Ia polinomul $f=X^4-4X^3+6X^2-4X+1$ și determină ordinul rădăcinii $1$ în două feluri: prin împărțiri repetate la $X-1$ și prin derivate succesive. Compară numărul de operații și notează care metodă ți se pare mai sigură sub presiunea timpului.

2. Fabrica de rădăcini duble. Alege un număr $a$ și un polinom $h$ de gradul al doilea, apoi construiește $f=(X-a{)}^{2}h$. Desfă parantezele, uită descompunerea și verifică, doar cu $f$ și $f^{\prime }$, că $a$ este rădăcină multiplă. Repetă cu $(X-a{)}^3$ și observă câte derivate se anulează.

3. Aritmetica modulo, cu creionul. În ${\mathbb{Z}}_5$ scrie toate polinoamele de forma $X^5+c$, cu $c$ clasă de resturi, și calculează-le derivatele formale. Explică de ce toate ies nule și verifică pe două dintre ele că polinomul este puterea a cincea a unui polinom de gradul întâi.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce o unealtă cu dublă valoare. Practic, criteriul $f(a)=f^{\prime }(a)=0$ este cea mai rapidă cale de a rezolva problemele cu parametri și rădăcini duble, care apar constant în subiectele de examen. Teoretic, ea arată că o noțiune născută în analiză poate fi redefinită pur algebric și transportată într-un context în care limitele nu au niciun sens — o experiență de gândire matematică valoroasă în anul terminal.

De verificat în caiet: (1) derivata este calculată corect, cu atenție la termenul liber, care dispare; (2) se scriu ambele condiții la o rădăcină dublă; (3) soluțiile găsite sunt verificate prin descompunere; (4) elevul nu aplică criteriul derivatelor succesive peste clasele de resturi. Întrebări de control: „De ce se numește derivata formală?"; „Ce înseamnă $na$ când $a$ e clasă de resturi?"; „Cum afli ordinul unei rădăcini peste ${\mathbb{Z}}_3$?"; „Ce legătură este între rădăcinile multiple și $\mathrm{cmmdc}(f,f^{\prime })$?".

La profilul matematică-informatică (mate-info) merită insistat pe faptul că definiția algebrică a derivatei este o alegere conștientă, nu o simplificare. La BAC, tema apare aproape exclusiv sub forma „determinați $a$ și $b$ știind că $x_0$ este rădăcină dublă", la Subiectul al II-lea. Semn că elevul a înțeles: la o astfel de cerință scrie imediat sistemul din cele două condiții, în loc să încerce împărțiri repetate cu parametri în tabel.

Întrebări frecvente

Ce este derivata formală a unui polinom? Este polinomul obținut din $f$ derivând fiecare termen după regula $(a{X}^n{)}^{\prime }=na{X}^{n-1}$, unde $n$ înmulțește coeficientul ca element al corpului. Definiția este pur algebrică: nu apare nicio limită, deci are sens peste orice corp comutativ, inclusiv peste clasele de resturi modulo un număr prim, unde limitele nici nu pot fi definite.

Cum știu dacă o rădăcină este multiplă? Verifici două condiții simultan: $f(a)=0$ și $f^{\prime }(a)=0$. Dacă amândouă sunt îndeplinite, rădăcina este multiplă, adică are ordinul cel puțin $2$. Dacă $f(a)=0$, dar $f^{\prime }(a)\ne 0$, rădăcina este simplă. Criteriul este demonstrat în lecție și funcționează peste orice corp comutativ.

Care este formula pentru ordinul de multiplicitate? Peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$, ordinul rădăcinii $a$ este primul număr $k$ pentru care $f^{(k)}(a)\ne 0$, cu condiția ca toate derivatele de ordin mai mic, inclusiv $f$ însuși, să se anuleze în $a$. Regula nu se poate folosi peste ${\mathbb{Z}}_p$, unde derivatele se pot anula toate fără ca ordinul să crească.

De ce derivata formală nu se definește cu limite? Pentru că limitele au nevoie de o noțiune de apropiere între elemente, iar în ${\mathbb{Z}}_p$ nu există așa ceva: mulțimea are $p$ elemente și nimic nu se apropie de nimic. Definind derivata prin coeficienți, obținem un obiect care se comportă la fel de bine peste orice corp și păstrează toate regulile de calcul cunoscute.

Cum determin parametrii când se cere o rădăcină dublă? Scrii sistemul format din $f(x_0)=0$ și $f^{\prime }(x_0)=0$, unde $x_0$ este rădăcina dublă. Dacă rădăcina este dată, sistemul este liniar în parametri și se rezolvă direct. La final înlocuiești valorile găsite și descompui polinomul, ca să verifici că ordinul obținut este într-adevăr cel cerut.

Poate un polinom neconstant să aibă derivata nulă? Peste $\mathbb{R}$ nu, dar peste ${\mathbb{Z}}_p$ da. Exemplul standard este $X^3+\hat{2}$ peste ${\mathbb{Z}}_3$: derivata lui este $\hat{3}{X}^2=\hat{0}$, pentru că $\hat{3}=\hat{0}$. Structural, astfel de polinoame sunt puteri de ordinul $p$ ale unor polinoame mai mici, aici $X^3+\hat{2}=(X+\hat{2}{)}^3$.

Ce legătură este între rădăcinile multiple și cel mai mare divizor comun? Rădăcinile multiple ale lui $f$ sunt exact rădăcinile comune ale lui $f$ și $f^{\prime }$, adică rădăcinile lui $\mathrm{cmmdc}(f,f^{\prime })$. Peste $\mathbb{C}$ acest lucru dă un test complet: polinomul are rădăcini multiple dacă și numai dacă acest cel mai mare divizor comun are gradul cel puțin $1$, fără a calcula vreo rădăcină.

Unde apare tema la Bacalaureat M1? La Subiectul al II-lea, în problemele cu polinoame: „determinați $a$ și $b$ știind că $2$ este rădăcină dublă", „arătați că polinomul are o rădăcină multiplă", „determinați ordinul de multiplicitate al rădăcinii". Toate se rezolvă cu criteriul din lecție, iar redactarea corectă cere scrierea explicită a ambelor condiții.