Rangul prin transformări elementare: pe scurt

Definiția rangului rămâne cea cu minori, dar calculul se face prin eliminare. Cele trei transformări elementare pe linii sunt: $L_i\leftrightarrow L_j$ (schimbarea a două linii), $L_i\leftarrow \alpha L_i$ cu $\alpha \ne 0$ (înmulțirea unei linii cu un scalar nenul) și $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $i\ne j$ (adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un scalar). Toate trei sunt reversibile — de aici vine și demonstrația că nu schimbă rangul: minorii noi sunt combinații de minori vechi de același ordin, deci rangul nu poate crește; iar transformarea desfăcându-se, nu poate nici scădea.

O matrice este în formă eșalonată dacă liniile nule stau la sfârșit, iar în fiecare linie nenulă primul element nenul, numit pivot, se află strict la dreapta pivotului de deasupra. Rangul unei matrice eșalonate este numărul liniilor ei nenule — minorul format din liniile nenule și din coloanele pivoților este triunghiular, cu produsul pivoților nenul.

Algoritmul: alegi pivotul (schimbând liniile dacă e nevoie), faci zerouri sub el, treci la submatricea rămasă, numeri liniile nenule. La matricele cu parametru folosește numai coeficienți numerici, ca să nu împarți la o expresie care se poate anula, și lasă parametrul să ajungă singur în ultima linie; abia acolo discuți cazurile.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele NU este o transformare elementară pe linii?

   • a) $L_1\leftrightarrow L_3$
   • b) $L_2\leftarrow 0\cdot L_2$
   • c) $L_3\leftarrow L_3-4L_1$
   • d) $L_2\leftarrow \frac{1}{2}{L}_2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $L_2\leftarrow 0\cdot L_2$

   Transformarea $L_i\leftarrow \alpha L_i$ cere $\alpha \ne 0$. Înmulțirea cu $0$ face linia nulă, deci poate coborî rangul ($I_2$ are rangul $2$, dar cu prima linie anulată ajunge la $1$) și nu este reversibilă. Celelalte trei sunt transformări elementare corecte; la a treia, condiția $i\ne j$ este respectată.

2. Forma eșalonată a unei matrice este $\left(\begin{array}{ccccc}2& 1& 0& 3& 1\\ 0& 0& 5& -1& 2\\ 0& 0& 0& 0& 4\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$. Rangul matricei este:

   • a) $5$
   • b) $4$
   • c) $2$
   • d) $3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $3$

   Rangul unei matrice eșalonate este numărul liniilor nenule, aici $3$. Pivoții sunt $2$, $5$ și $4$, aflați în coloanele $1$, $3$ și $5$ — fiecare strict la dreapta celui de deasupra, deci forma chiar este eșalonată. Nu se numără toate liniile ($4$) și nici coloanele ($5$).

3. Rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ 2& 4& 3& 7\\ 3& 6& 4& 10\end{array}\right)$ este:

   • a) $2$
   • b) $3$
   • c) $1$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2$

   Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ ultimele două linii devin amândouă $(0,0,1,1)$, iar $L_3\leftarrow L_3-L_2$ o anulează pe ultima. Rămân două linii nenule, deci rangul este $2$; pivoții sunt în coloanele $1$ și $3$. Eliminarea a scos singură la iveală relația $L_3=L_1+L_2$.