Rangul unei matrice prin transformări elementare

Definiția cu minori spune limpede ce este rangul, dar nu spune cum să-l afli repede. O matrice de tip $4\times 5$ are $5$ minori de ordin $4$ și $40$ de ordin $3$: în cel mai rău caz, patruzeci și cinci de determinanți, calculați de mână, ca să afli un singur număr. Nimeni nu lucrează așa.

Din fericire, unealta potrivită o ai deja. Când ai calculat determinanți de ordin 4 prin transformări elementare, ai văzut că poți face zerouri într-o linie fără să strici valoarea determinantului. Aceleași trei transformări nu schimbă nici rangul — iar o matrice plină de zerouri își spune rangul dintr-o privire.

Ce vei învăța

• Vei ști cele trei transformări elementare pe linii și notațiile lor exacte.
• Vei ști să demonstrezi că ele nu schimbă rangul unei matrice.
• Vei ști ce este forma eșalonată și de ce rangul ei este numărul liniilor nenule.
• Vei ști să aplici algoritmul de eliminare pe matrice de până la $4\times 5$.
• Vei ști să compari cele două metode și să o alegi pe cea potrivită situației.
• Vei ști să tratezi corect matricele cu parametru, fără să împarți la expresii care se pot anula.

Hai să descoperim împreună

1. Cele trei transformări elementare pe linii

Fie $A$ o matrice cu liniile $L_1,L_2,\dots ,L_m$. Se numesc transformări elementare pe linii:

• $L_i\leftrightarrow L_j$ — schimbarea între ele a două linii;
• $L_i\leftarrow \alpha L_i$, cu $\alpha \ne 0$ — înmulțirea unei linii cu un scalar nenul;
• $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$, cu $i\ne j$ — adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un scalar.

Condiția $\alpha \ne 0$ de la a doua transformare este esențială: înmulțirea unei linii cu $0$ nu este transformare elementară, pentru că șterge informație și poate coborî rangul. La fel de important: fiecare transformare este reversibilă — schimbarea a două linii se desface repetând-o, $L_i\leftarrow \alpha L_i$ se desface cu $L_i\leftarrow \frac{1}{\alpha }{L}_i$, iar $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ se desface cu $L_i\leftarrow L_i-\alpha L_j$. Vom folosi imediat această observație.

Fiecare pas se scrie explicit, deasupra sau lângă săgeata de trecere de la o matrice la următoarea. „Se fac calculele" nu e o justificare acceptată la Bacalaureat M1.

2. Transformările elementare nu schimbă rangul

Teoremă. Dacă matricea $A^{\prime }$ se obține din $A$ printr-o transformare elementară pe linii, atunci $\mathrm{rang}{A}^{\prime }=\mathrm{rang}A$.

Demonstrație. Arătăm întâi că orice minor de ordin $k$ al lui $A^{\prime }$ este o combinație de minori de ordin $k$ ai lui $A$, luând transformările pe rând.

Schimbarea $L_i\leftrightarrow L_j$. Un minor al lui $A^{\prime }$ folosește aceleași elemente ca un minor al lui $A$, eventual cu două linii inversate între ele, deci este egal cu acel minor sau cu opusul lui (Proprietatea 5).

Înmulțirea $L_i\leftarrow \alpha L_i$. Un minor care nu conține linia $i$ rămâne neschimbat; unul care o conține se înmulțește cu $\alpha$, prin Proprietatea 3 (factorul comun pe o linie).

Adunarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$. Un minor care nu conține linia $i$ rămâne neschimbat. Un minor care o conține se desface, prin Proprietatea 4 (liniaritatea pe o linie), într-o sumă de doi determinanți: primul este minorul corespunzător al lui $A$, iar al doilea are pe locul liniei $i$ bucata din linia $j$, înmulțită cu $\alpha$. Dacă minorul conținea și linia $j$, al doilea determinant are două linii egale, deci este $0$ prin Proprietatea 6; dacă nu o conținea, el este, până la ordinea liniilor, tot un minor de ordin $k$ al lui $A$, înmulțit cu $\alpha$.

În toate cazurile, dacă toți minorii de ordin $k$ ai lui $A$ sunt nuli, atunci și cei ai lui $A^{\prime }$ sunt nuli. Prin urmare $\mathrm{rang}{A}^{\prime }\le \mathrm{rang}A$.

Rămâne partea scurtă: transformarea este reversibilă, deci $A$ se obține din $A^{\prime }$ printr-o transformare elementară de același fel, iar raționamentul de mai sus, aplicat în sens invers, dă $\mathrm{rang}A\le \mathrm{rang}{A}^{\prime }$. Din cele două inegalități, $\mathrm{rang}{A}^{\prime }=\mathrm{rang}A$. $■$

Proprietățile $3$ și $4$ folosite mai sus sunt demonstrate la proprietățile determinanților (I), iar $5$ și $6$ la proprietățile determinanților (II).

3. Și pe coloane? Da, dar cu o precauție

Cum $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}{}^{t}A$, tot ce am arătat pentru linii rămâne valabil pentru coloane. Notațiile sunt cele fixate la proprietățile determinanților: $C_i\leftrightarrow C_j$, $C_i\leftarrow \alpha C_i$ cu $\alpha \ne 0$, și $C_i\leftarrow C_i+\alpha C_j$. Niciuna dintre ele nu schimbă rangul.

⚠️ Precauția. Când matricea provine dintr-un sistem, coloanele reprezintă necunoscutele. O schimbare de coloane amestecă rolurile lui $x$, $y$, $z$, iar dacă uiți să notezi permutarea făcută, citești la final soluția pe necunoscutele greșite. De aceea: pentru rang poți lucra și pe coloane, dar la rezolvarea sistemelor se lucrează pe linii, unde fiecare linie este o ecuație, iar transformările înseamnă doar combinarea ecuațiilor între ele — o operație pe care o faci de la clasa a IX-a fără să-i spui pe nume.

4. Forma eșalonată

Definiție. O matrice este în formă eșalonată dacă:

• toate liniile nule (dacă există) sunt așezate la sfârșit;
• în fiecare linie nenulă, primul element nenul — numit pivot — se află strict la dreapta pivotului liniei de deasupra.

Zerourile de sub pivoți formează atunci o „scară" care coboară spre dreapta. Exemplu:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& -4& 1\\ 0& 0& 5& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Teoremă. Rangul unei matrice în formă eșalonată este egal cu numărul liniilor ei nenule.

Justificare. Fie $r$ numărul liniilor nenule și fie minorul format din aceste $r$ linii și din cele $r$ coloane în care se află pivoții. Sub diagonala acestui minor sunt numai zerouri (chiar așa e construită scara), deci el este determinantul unei matrice triunghiulare, egal cu produsul pivoților — toți nenuli. Deci $\mathrm{rang}\ge r$. Pe de altă parte, orice minor de ordin mai mare decât $r$ ar trebui să folosească cel puțin o linie nulă, deci este $0$. Prin urmare rangul este exact $r$. $■$

În matricea de mai sus pivoții sunt $1$, $1$ și $5$, aflați în coloanele $1$, $2$ și $3$: rangul este $3$, citit dintr-o privire.

5. Algoritmul de eliminare

1. Alegi în prima coloană nenulă un element nenul, care va fi pivot; dacă e nevoie, îl aduci pe prima linie printr-o schimbare $L_1\leftrightarrow L_i$.
2. Cu transformări de tipul $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_1$ faci $0$ sub pivot, în toată coloana.
3. Repeți procedeul pe submatricea rămasă, ignorând prima linie și prima coloană, până când nu mai ai ce elimina.
4. Numeri liniile nenule: acesta este rangul.

Exemplu. Reluăm matricea de la lecția precedentă și obținem același rezultat, cu mult mai puțin calcul:

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 2& -1& 3& 1\\ 3& 1& 2& 4\end{array}\right)\stackrel{L_2\leftarrow L_2-2L_1,L_3\leftarrow L_3-3L_1}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& -5& 5& -5\\ 0& -5& 5& -5\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 0& -5& 5& -5\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

Forma finală este eșalonată, cu două linii nenule, deci $\mathrm{rang}A=2$ — exact valoarea găsită cu minori, dar în două transformări în loc de cinci determinanți. Observă și că linia care s-a anulat este chiar cea care era suma celorlalte două: eliminarea scoate la iveală dependența.

6. Ce metodă alegi

Cele două metode nu se exclud: cel mai des se face eliminarea până apar zerouri și, la final, se justifică rangul cu un minor citit din forma eșalonată.

7. Matricele cu parametru: capcana împărțirii

Aici greșesc cei mai mulți. Într-o eliminare cu parametru nu ai voie să împarți la o expresie care s-ar putea anula și nici să înmulțești o linie cu un scalar care depinde de parametru, fără să discuți separat cazul în care acel scalar este $0$.

Calea sigură este să folosești numai transformări de tipul $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $\alpha$ numeric, lăsând parametrul să ajungă singur în ultimul colț. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& m\end{array}\right)$:

$$A\stackrel{L_2\leftarrow L_2-L_1,L_3\leftarrow L_3-L_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 3& m-1\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3-3L_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& m-7\end{array}\right).$$

Toți coeficienții folosiți au fost numere, deci nicio transformare nu a fost interzisă. Acum discuția e imediată: pentru $m\ne 7$ ultima linie e nenulă și $\mathrm{rang}A=3$; pentru $m=7$ ea devine nulă și $\mathrm{rang}A=2$. Este exact rezultatul obținut la lecția precedentă prin determinantul $\det A=m-7$.

Un ultim cuvânt despre viitor: aceleași transformări, aplicate matricei extinse a unui sistem, dau metoda lui Gauss de rezolvare, pe care o vei studia la lecția despre metoda lui Gauss. Deocamdată ele ne servesc doar la citit rangul.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O matrice de ordinul al patrulea

Determinați rangul matricei $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 2& 1& 0& 3\\ 0& 1& 1& 2\\ 3& 2& 3& 6\end{array}\right)$.

Rezolvare. Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_4\leftarrow L_4-3L_1$ obținem liniile $(0,1,-4,1)$ și $(0,2,-3,3)$. Apoi $L_3\leftarrow L_3-L_2$ și $L_4\leftarrow L_4-2L_2$ dau $(0,0,5,1)$ și $(0,0,5,1)$, iar $L_4\leftarrow L_4-L_3$ anulează ultima linie:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& -4& 1\\ 0& 0& 5& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

Trei linii nenule, deci $\mathrm{rang}A=3$. Cu minori ar fi trebuit calculat $\det A$ și apoi, la nevoie, până la $16$ minori de ordin $3$.

Exemplul 2 — Matricea $4\times 5$ din deschidere

Determinați rangul matricei $A=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& 1& 3\\ 2& 4& 1& 3& 5\\ 1& 2& 1& 2& 2\\ 3& 6& 1& 4& 8\end{array}\right)$.

Rezolvare. Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$ și $L_4\leftarrow L_4-3L_1$, cele trei linii de jos devin toate $(0,0,1,1,-1)$. Apoi $L_3\leftarrow L_3-L_2$ și $L_4\leftarrow L_4-L_2$ le anulează pe ultimele două:

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& 1& 3\\ 0& 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

Două linii nenule, deci $\mathrm{rang}A=2$. Cinci transformări, în loc de cei $45$ de determinanți din deschidere.

Observă și că pivoții sunt în coloanele $1$ și $3$, nu în $1$ și $2$: nu e o greșeală, ci exact ce permite definiția — pivotul liniei a doua trebuie doar să fie strict la dreapta celui de deasupra.

Exemplul 3 — Când primul element este $0$

Determinați rangul matricei $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 1& 1& 0\\ 2& 0& -1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Colțul din stânga-sus este $0$, deci nu poate fi pivot; aducem sus a doua linie prin $L_1\leftrightarrow L_2$. Apoi $L_3\leftarrow L_3-2L_1$ dă linia $(0,-2,-1)$, iar $L_3\leftarrow L_3+L_2$ o anulează:

$$\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 1& 1& 0\\ 2& 0& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 2& 0& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& -2& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right).$$

Deci $\mathrm{rang}A=2$. Verificare pe cealaltă cale: $\det A=0$ (se observă că $L_1+L_3=2L_2$, deci liniile sunt dependente), iar minorul $\left|\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-2\ne 0$ — același răspuns.

Exemplul 4 — Cum eviți fracțiile

Determinați rangul matricei $A=\left(\begin{array}{cccc}2& 4& 6& 8\\ 1& 3& 5& 7\\ 3& 5& 7& 9\end{array}\right)$.

Rezolvare. Toate elementele primei linii se împart la $2$, deci aplicăm $L_1\leftarrow \frac{1}{2}{L}_1$ (permis, pentru că $\frac{1}{2}\ne 0$) și pivotul devine $1$. Urmează $L_2\leftarrow L_2-L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& -1& -2& -3\end{array}\right)\stackrel{L_3\leftarrow L_3+L_2}{\to }\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

Deci $\mathrm{rang}A=2$. Sfatul practic: caută întâi o linie care are $1$ pe prima poziție, sau adu una acolo; altfel vei lucra cu fracții încă de la primul pas.

Exemplul 5 — Trei linii care spun același lucru

Determinați rangul matricei $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 5& 8\\ 3& 7& 11\end{array}\right)$.

Rezolvare. $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ dă $(0,1,2)$, iar $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ dă tot $(0,1,2)$. Apoi $L_3\leftarrow L_3-L_2$ anulează ultima linie, deci $\mathrm{rang}A=2$.

Rezultatul se citește și direct pe matricea inițială: $L_3=L_1+L_2$. Eliminarea a găsit singură relația, fără să fie nevoie să o observăm dinainte — acesta e marele avantaj al metodei.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& m& 6\\ 1& 1& m\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det A$. b) Determinați valorile lui $m$ pentru care $\mathrm{rang}A<3$. c) Pentru $m=3$, determinați $\mathrm{rang}A$.

Rezolvare. a) Dezvoltăm după prima linie:

$$\det A=(m^2-6)-2(2m-6)+3(2-m)=m^2-6-4m+12+6-3m=m^2-7m+12=(m-3)(m-4).$$

b) $\mathrm{rang}A<3$ înseamnă $\det A=0$, adică $m\in \{3,4\}$. Pentru orice alt $m$, $\mathrm{rang}A=3$.

c) Pentru $m=3$ matricea este $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 6\\ 1& 1& 3\end{array}\right)$. Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ obținem $(0,-1,0)$, cu $L_3\leftarrow L_3-L_1$ obținem $(0,-1,0)$, iar $L_3\leftarrow L_3-L_2$ anulează ultima linie. Rămân două linii nenule, deci $\mathrm{rang}A=2$.

Să exersăm

Scrie fiecare transformare deasupra săgeții, cu notația din lecție. La final, numără liniile nenule — și, dacă vrei un control, verifică rezultatul cu un minor.

1. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$.

2. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 3\\ 2& -2& 4& 6\\ 1& 1& 0& 1\end{array}\right)$.

3. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& 0\\ 3& 5& 1\end{array}\right)$.

4. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 3\\ 1& 0& 2& 1\\ 3& 1& 1& 4\end{array}\right)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Înmulțirea unei linii cu $0$ este o transformare elementară."

6. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 4\end{array}\right)$, având grijă la primul pivot.

7. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right)$.

8. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 1& 5& 9\\ 2& 6& 5\end{array}\right)$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă în forma eșalonată a unei matrice cu $4$ linii apare o linie nulă, atunci rangul este $3$."

10. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 2& 4& 1& 7\\ 3& 6& 1& 10\end{array}\right)$ și precizează în ce coloane se află pivoții.

11. Determină, în funcție de $m\in \mathbb{R}$, rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& m\end{array}\right)$, folosind transformări elementare.

12. (Problemă aplicată.) Patru senzori măsoară același fenomen și dau, în patru momente, liniile $(1,0,2,1)$, $(2,1,0,3)$, $(0,1,1,2)$ și $(3,2,3,6)$. Află rangul tabloului și spune câți senzori aduc, de fapt, informație independentă.

13. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 3& 5\\ 3& 4& 7\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$.

14. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 2& 1\end{array}\right)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 1& m\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculează $\det A$. b) Arată, prin transformări elementare, că $\mathrm{rang}A=2$ pentru orice $m$.

16. Explică, în trei-patru fraze, de ce o transformare de tipul $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ nu poate mări rangul și nici nu îl poate micșora.

17. Aplică pe matricea de la exercițiul $3$ mai întâi metoda minorilor, apoi transformările elementare, și compară numărul de operații făcute pe fiecare cale.

18. (Provocare.) Fie $A$ matricea de tip $4\times 4$ cu elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ egal cu $i+j-1$, adică $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 6\\ 4& 5& 6& 7\end{array}\right)$. Arată că $\mathrm{rang}A=2$ și explică, într-o singură frază, de ce rezultatul rămâne același oricât de mare ar fi matricea construită după aceeași regulă.

Răspunsuri și explicații

1. $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ dă linia nulă; $L_3\leftarrow L_3-L_1$ dă $(0,-2,-2)$. Forma eșalonată, după $L_2\leftrightarrow L_3$, are două linii nenule, deci $\mathrm{rang}A=2$.

2. $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ dă linia nulă; $L_3\leftarrow L_3-L_1$ dă $(0,2,-2,-2)$. Mutăm linia nulă la sfârșit cu $L_2\leftrightarrow L_3$: forma eșalonată are două linii nenule, deci $\mathrm{rang}A=2$.

3. $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ dă $(0,-1,-2)$, $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ dă $(0,-1,-2)$, iar $L_3\leftarrow L_3-L_2$ anulează ultima linie. Deci $\mathrm{rang}A=2$; se vede și direct că $L_3=L_1+L_2$.

4. Aducem sus linia cu $1$: $L_1\leftrightarrow L_2$. Apoi $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ dă $(0,1,-5,1)$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ dă $(0,1,-5,1)$; $L_3\leftarrow L_3-L_2$ anulează ultima linie. Deci $\mathrm{rang}A=2$.

5. Fals. Transformarea $L_i\leftarrow \alpha L_i$ cere $\alpha \ne 0$. Înmulțirea cu $0$ transformă linia într-una nulă, deci poate micșora rangul (de pildă, matricea $I_2$ are rangul $2$, dar după înmulțirea primei linii cu $0$ rangul devine $1$) și, în plus, nu este reversibilă.

6. Primul element fiind $0$, facem $L_1\leftrightarrow L_2$. Apoi $L_3\leftarrow L_3-2L_1$ dă $(0,-1,-2)$ și $L_3\leftarrow L_3+L_2$ anulează ultima linie. Rămân două linii nenule, deci $\mathrm{rang}A=2$.

7. $L_4\leftarrow L_4-L_1$ dă $(0,1,1,2)$; apoi $L_4\leftarrow L_4-L_2$ dă $(0,0,1,1)$ și $L_4\leftarrow L_4-L_3$ o anulează. Trei linii nenule, deci $\mathrm{rang}A=3$. (Se putea observa direct că $L_4=L_1+L_2+L_3$.)

8. $\det A=3(25-54)-1(5-18)+4(6-10)=-87+13-16=-90\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=3$. Aici metoda minorilor e mai scurtă: un singur determinant lămurește totul.

9. Fals. O linie nulă arată doar că rangul este cel mult $3$; pot exista mai multe linii nule. De exemplu, matricea din Exemplul $2$ are patru linii și, după eliminare, două linii nule — rangul ei este $2$, nu $3$.

10. $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ dă $(0,0,1,1)$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ dă $(0,0,1,1)$; apoi $L_3\leftarrow L_3-L_2$ anulează ultima linie. Rămân două linii nenule, deci $\mathrm{rang}A=2$, cu pivoții în coloanele $1$ și $3$.

11. $L_2\leftarrow L_2-L_1$ dă $(0,1,2)$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$ dă $(0,3,m-1)$, iar $L_3\leftarrow L_3-3L_2$ dă $(0,0,m-7)$. Pentru $m\ne 7$ avem trei linii nenule și $\mathrm{rang}A=3$; pentru $m=7$, ultima linie se anulează și $\mathrm{rang}A=2$.

12. Tabloul este matricea din Exemplul $1$, cu $\mathrm{rang}=3$: doar trei dintre cele patru serii de măsurători sunt independente. A patra este suma primelor trei ($3=1+2+0$, $2=0+1+1$, $3=2+0+1$, $6=1+3+2$), deci nu aduce informație nouă.

13. $L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ și $L_4\leftarrow L_4-L_1$ dau, toate trei, linia $(0,1,1)$. Apoi $L_3\leftarrow L_3-L_2$ și $L_4\leftarrow L_4-L_2$ le anulează pe ultimele două, deci $\mathrm{rang}A=2$.

14. $L_1\leftrightarrow L_2$, apoi $L_3\leftarrow L_3-L_1$ dă $(0,1,1,0)$, iar $L_3\leftarrow L_3-L_2$ o anulează. Rămân două linii nenule, deci $\mathrm{rang}A=2$ (într-adevăr, $L_3=L_1+L_2$ în matricea inițială).

15. a) Liniile $1$ și $2$ sunt proporționale ($L_2=2L_1$), deci $\det A=0$ pentru orice $m$ (Proprietatea 7). b) $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ anulează a doua linie, iar $L_3\leftarrow L_3-L_1$ dă $(0,-1,m-3)$; cu $L_2\leftrightarrow L_3$ ducem linia nulă la sfârșit. Rămân două linii nenule indiferent de $m$, pentru că pivotul celei de-a doua este $-1\ne 0$. Deci $\mathrm{rang}A=2$ pentru orice $m\in \mathbb{R}$.

16. Nu poate mări rangul pentru că orice minor al matricei noi se desface, prin aditivitatea determinantului față de o linie, într-o combinație de minori de același ordin ai matricei vechi; dacă toți aceia sunt nuli, și cel nou este nul. Nu poate nici micșora, pentru că transformarea este reversibilă prin $L_i\leftarrow L_i-\alpha L_j$, iar același argument, aplicat invers, dă inegalitatea cealaltă. Din cele două inegalități rezultă egalitatea rangurilor.

17. Cu minori: calculezi $\det A=0$ (un determinant de ordin $3$, adică șase produse), apoi cauți un minor nenul de ordin $2$ — încă un determinant, deci în total două calcule de determinant. Cu transformări: două scăderi de linii pentru a face zerouri sub pivot, plus una finală, adică trei transformări simple, fără niciun determinant. La ordinul $3$ efortul este comparabil; diferența se vede la matrice mai mari.

18. Prima etapă ($L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-3L_1$, $L_4\leftarrow L_4-4L_1$) dă liniile $(0,-1,-2,-3)$, $(0,-2,-4,-6)$ și $(0,-3,-6,-9)$, proporționale între ele; apoi $L_3\leftarrow L_3-2L_2$ și $L_4\leftarrow L_4-3L_2$ le anulează pe ultimele două. Rămân două linii nenule, deci $\mathrm{rang}A=2$. Rezultatul nu depinde de dimensiune pentru că linia $i$ este întotdeauna $L_1+(i-1)\cdot (1,1,\dots ,1)$, deci toate liniile se obțin din două: prima linie și linia constantă.

De reținut

• Cele trei transformări elementare sunt $L_i\leftrightarrow L_j$, $L_i\leftarrow \alpha L_i$ cu $\alpha \ne 0$ și $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$. Toate sunt reversibile.
• Ele nu schimbă rangul, pentru că minorii noi sunt combinații de minori vechi de același ordin, iar transformarea se poate desface.
• Forma eșalonată: liniile nule la sfârșit, fiecare pivot strict la dreapta celui de deasupra. Rangul = numărul liniilor nenule.
• Algoritmul: alegi pivotul (schimbând liniile dacă e nevoie), faci zerouri sub el, treci la submatricea rămasă, numeri liniile nenule.
• Cu parametru: folosește numai coeficienți numerici în transformări și lasă parametrul să ajungă în ultima linie; abia acolo discuți cazurile.

Greșeli frecvente

• Înmulțirea unei linii cu $0$. Nu este transformare elementară și schimbă rangul. Scalarul trebuie să fie mereu nenul.
• Împărțirea la o expresie cu parametru. A împărți linia la $m-7$ presupune, tacit, că $m\ne 7$ — exact cazul care trebuie discutat. Ține-te de coeficienți numerici.
• Numărarea greșită a liniilor nenule. Se numără liniile nenule din forma eșalonată, nu toate liniile matricei și nici numărul de pivoți căutați inițial.
• Oprirea prea devreme. Dacă sub un pivot au mai rămas elemente nenule, forma nu e încă eșalonată, iar numărul de linii nenule poate fi mai mare decât rangul.
• Amestecarea coloanelor la sisteme. Pentru rang, transformările pe coloane sunt permise; când matricea vine de la un sistem, coloanele sunt necunoscutele, deci lucrează pe linii.

Aplică acasă

1. Cronometrul. Ia o matrice $4\times 4$ cu numere de o cifră și află-i rangul de două ori: o dată cu minori, o dată prin eliminare. Cronometrează. Diferența explică de ce metoda a doua e cea folosită în practică.

2. Fabrica de linii dependente. Scrie trei linii oarecare de câte patru numere, apoi adaugă o a patra egală cu suma primelor două. Verifică prin eliminare că rangul iese cel mult $3$ și urmărește în ce pas apare linia nulă.

3. Pivotul comod. Rezolvă aceeași matrice de două ori, alegând prima dată ca pivot un element egal cu $1$ și a doua oară un element egal cu $3$. Compară cât de urâte devin fracțiile — vei înțelege de ce se caută pivoții egali cu $1$.

Pentru părinți și profesori

Lecția are un mesaj simplu: definiția rangului rămâne cea cu minori, dar calculul se face prin eliminare. De aceea cerința de redactare e mai importantă decât de obicei — fiecare pas trebuie scris cu notația lui ($L_3\leftarrow L_3-2L_1$), altfel profesorul nu poate urmări raționamentul, iar la examen se pierd puncte pe transformări nejustificate.

De verificat în caiet: (1) fiecare transformare este notată deasupra săgeții; (2) scalarul de la $L_i\leftarrow \alpha L_i$ este nenul; (3) forma finală chiar este eșalonată, adică sub fiecare pivot sunt numai zerouri; (4) la matricele cu parametru nu s-a împărțit la nicio expresie care se poate anula. Întrebări de control: „De ce nu se schimbă rangul?"; „Câte linii nenule ai la final?"; „Unde sunt pivoții?".

La BAC M1 subiectul cere de obicei determinantul și apoi rangul; transformările elementare sunt calea rapidă spre a doua parte, mai ales la matricele de tip $3\times 4$. Semn că elevul a înțeles: alege singur metoda — determinant la matrice mici, eliminare la matrice mari — și își verifică rezultatul pe cealaltă cale.

Întrebări frecvente

Care sunt transformările elementare pe linii? Schimbarea a două linii ($L_i\leftrightarrow L_j$), înmulțirea unei linii cu un scalar nenul ($L_i\leftarrow \alpha L_i$, $\alpha \ne 0$) și adunarea la o linie a altei linii înmulțite cu un scalar ($L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$).

De ce transformările elementare nu schimbă rangul? Pentru că orice minor al matricei noi este o combinație de minori de același ordin ai matricei vechi, deci rangul nu poate crește; iar transformările fiind reversibile, nici nu poate scădea. Rezultă egalitatea.

Ce este forma eșalonată a unei matrice? Este forma în care liniile nule stau la sfârșit, iar în fiecare linie nenulă primul element nenul, numit pivot, se află strict la dreapta pivotului din linia de deasupra. Rangul ei este numărul liniilor nenule.

Pot face transformări și pe coloane? Da, pentru calculul rangului, fiindcă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}{}^{t}A$. Când matricea provine dintr-un sistem, coloanele corespund necunoscutelor, deci amestecarea lor cere să reții permutarea făcută; de aceea, la sisteme, se lucrează pe linii.

Ce fac dacă primul element al matricei este $0$? Schimbi liniile între ele, ca să aduci sus o linie cu element nenul pe acea coloană. Dacă întreaga coloană e nulă, treci la coloana următoare și cauți pivotul acolo.

Cum procedez la o matrice cu parametru? Folosești numai transformări cu coeficienți numerici, ca să nu împarți la o expresie care se poate anula, și lași parametrul să ajungă singur în ultima linie. Abia acolo discuți: pentru ce valori acea linie se anulează și pentru ce valori nu.

Când e mai bună metoda minorilor? La matrice mici, mai ales pătratice de ordin $2$ sau $3$, unde un singur determinant poate lămuri totul, și atunci când trebuie doar să arăți că rangul este cel puțin $r$ — pentru asta e de ajuns un minor nenul de ordin $r$.

Cum apare tema la Bacalaureat M1? De obicei ca pas într-o problemă de sisteme: se cere determinantul matricei sistemului, apoi rangul, apoi discuția compatibilității. Transformările elementare scurtează mult partea a doua, cu condiția ca fiecare pas să fie scris explicit.