Rangul unei matrice: minori: pe scurt

Un minor de ordin $k$ al unei matrice $A$ de tip $m\times n$ este determinantul obținut păstrând elementele de la intersecția a $k$ linii cu $k$ coloane, alese oricum, dar în ordinea lor din matrice. Numărul acestor minori este $C_m^k\cdot C_n^k$.

Definiție. $\mathrm{rang}A$ este cel mai mare ordin al unui minor nenul al lui $A$; prin convenție $\mathrm{rang}{O}_{m,n}=0$. Afirmația $\mathrm{rang}A=r$ cere două justificări: există un minor nenul de ordin $r$ și toți minorii de ordin $r+1$ sunt nuli. Un singur minor nenul arată doar că $\mathrm{rang}A\ge r$ — de aici vine greșeala cea mai frecventă.

Proprietăți: $0\le \mathrm{rang}A\le \min (m,n)$; $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}{}^{t}A$, deci liniile și coloanele au aceleași drepturi; $\mathrm{rang}(\alpha A)=\mathrm{rang}A$ pentru $\alpha \ne 0$. Pentru $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$: $\mathrm{rang}A=n⟺\det A\ne 0⟺A$ este inversabilă.

Sensul temei: rangul numără liniile cu adevărat independente, adică ecuațiile care aduc informație nouă. O linie care e suma sau un multiplu al altora nu ridică rangul. La un sistem se calculează întotdeauna ambele ranguri, al lui $A$ și al matricei extinse $\overline{A}$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru o matrice $A$ de tip $3\times 4$, ca să demonstrezi că $\mathrm{rang}A=2$ trebuie să arăți că:

   • a) există un minor nenul de ordin $2$ și toți minorii de ordin $3$ sunt nuli
   • b) există un minor nenul de ordin $2$
   • c) toți minorii de ordin $3$ sunt nuli
   • d) toți minorii de ordin $2$ sunt nenuli
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) există un minor nenul de ordin $2$ și toți minorii de ordin $3$ sunt nuli

   Definiția cere cel mai mare ordin al unui minor nenul, deci două condiții deodată. Numai existența unui minor nenul de ordin $2$ dă $\mathrm{rang}A\ge 2$, iar numai anularea celor de ordin $3$ dă $\mathrm{rang}A\le 2$; adevărul se obține din amândouă. Nu se cere ca toți minorii de ordin $2$ să fie nenuli — e suficient unul singur.

2. Rangul matricei $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 2& 1& 1\\ 3& -1& 4\end{array}\right)$ este:

   • a) $1$
   • b) $3$
   • c) $2$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $2$

   Se observă că $L_3=L_1+L_2$, deci singurul minor de ordin $3$, adică $\det A$, este nul și $\mathrm{rang}A\le 2$. Minorul din primele două linii și primele două coloane este $\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right|=5\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$. Rangul $0$ ar însemna matricea nulă.

3. Fie $A$ o matrice de tip $3\times 5$. Care dintre afirmațiile următoare este ADEVĂRATĂ?

   • a) $\mathrm{rang}A$ poate fi egal cu $4$
   • b) $\mathrm{rang}A\le 3$
   • c) dacă $A$ are un minor nenul de ordin $2$, atunci $\mathrm{rang}A=2$
   • d) $\mathrm{rang}A$ se calculează numai după ce se află $\det A$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\mathrm{rang}A\le 3$

   Marginea $\mathrm{rang}A\le \min (m,n)=\min (3,5)=3$ vine din faptul că nu se pot alege $4$ linii dintr-o matrice care are doar $3$: minori de ordin $4$ nici nu există. Un minor nenul de ordin $2$ dă doar $\mathrm{rang}A\ge 2$, iar $\det A$ nici nu are sens aici — matricea nu este pătratică.