Rangul unei matrice: definiția cu minori

Privește sistemul $x+2y-z+3t=1$, $2x-y+3z+t=4$, $3x+y+2z+4t=5$. Are trei ecuații — dar, dacă aduni primele două, obții exact a treia. A treia ecuație nu adaugă nimic: e o consecință a celorlalte, scrisă cu alte cuvinte. Sistemul are trei rânduri și două informații.

Situația nu e o curiozitate, ci regula în problemele reale, unde datele vin din măsurători care se repetă sau se combină între ele. Ne trebuie așadar un număr care să spună, privind doar tabloul coeficienților, câtă informație conține el cu adevărat. Acest număr se numește rangul matricei și se măsoară cu determinanți.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este un minor de ordin $k$ al unei matrice și câți asemenea minori există.
• Vei ști definiția rangului și de ce este bine definit pentru orice matrice.
• Vei ști să calculezi rangul unei matrice, coborând sau urcând după ordinul minorilor.
• Vei ști să legi rangul de inversabilitate: o matrice pătratică de ordin $n$ are rangul $n$ exact când determinantul ei este nenul.
• Vei ști să recunoști, din valoarea rangului, câte ecuații ale unui sistem sunt cu adevărat independente.
• Vei ști să calculezi rangul unei matrice cu parametru, discutând pe cazuri.

Hai să descoperim împreună

1. Minorii unei matrice

Fie $A$ o matrice de tip $m\times n$ și fie $k$ un număr natural, $1\le k\le \min (m,n)$.

Definiție. Se numește minor de ordin $k$ al matricei $A$ determinantul matricei pătratice de ordin $k$ obținute din $A$ păstrând elementele aflate la intersecția a $k$ linii și a $k$ coloane, alese oarecum, dar păstrându-le ordinea.

Un minor de ordin $1$ este chiar un element al matricei. Un minor de ordin $2$ se obține tăind două linii și două coloane, și așa mai departe. Numărul minorilor de ordin $k$ este $C_m^k\cdot C_n^k$: atâtea moduri de a alege liniile, înmulțit cu atâtea moduri de a alege coloanele.

Exemplu. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 4& 0& 1\end{array}\right)$ există $C_2^1\cdot C_3^1=6$ minori de ordin $1$ (cele șase elemente) și $C_2^2\cdot C_3^2=3$ minori de ordin $2$, câte unul pentru fiecare pereche de coloane:

$$\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& 0\end{array}\right|=4,\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 1\end{array}\right|=-10,\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 0& 1\end{array}\right|=-1.$$

Minori de ordin $3$ nu există: matricea are doar două linii.

2. Definiția rangului

Definiție. Fie $A$ o matrice nenulă. Se numește rangul lui $A$, și se notează $\mathrm{rang}A$, cel mai mare ordin al unui minor nenul al lui $A$. Prin convenție, $\mathrm{rang}{O}_{m,n}=0$.

Formulat pe litere: $\mathrm{rang}A=r$ înseamnă două lucruri deodată —

• există cel puțin un minor de ordin $r$ nenul;
• toți minorii de ordin $r+1$ (dacă mai există) sunt nuli.

Amândouă condițiile trebuie verificate; prima singură arată doar că $\mathrm{rang}A\ge r$. Rangul este bine definit pentru orice matrice, pentru că mulțimea ordinelor pentru care există minori nenuli este finită și nevidă (o matrice nenulă are cel puțin un element nenul, adică un minor nenul de ordin $1$).

3. Primele proprietăți

1. $0\le \mathrm{rang}A\le \min (m,n)$, pentru că nu se pot alege mai multe linii decât are matricea și nici mai multe coloane. O matrice de tip $3\times 5$ nu poate avea rangul $4$.
2. $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}{}^{t}A$. Prin transpunere, fiecare minor al lui $A$ devine transpusul lui în ${}^{t}A$, iar transpusa nu schimbă determinantul (Proprietatea 1 din proprietățile determinanților). Minorii nenuli sunt aceiași, deci și ordinul maxim este același. Consecință practică: liniile și coloanele au aceleași drepturi.
3. $\mathrm{rang}(\alpha A)=\mathrm{rang}A$ pentru orice $\alpha \ne 0$: dintr-un minor de ordin $k$ al lui $\alpha A$ se scoate factorul $\alpha$ din fiecare dintre cele $k$ linii (Proprietatea 3, factorul comun), deci el este minorul corespunzător al lui $A$ înmulțit cu ${\alpha }^k\ne 0$ — nenul exact când era și acela.
4. Pentru $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$: $\mathrm{rang}A=n⟺\det A\ne 0⟺A$ este inversabilă. Singurul minor de ordin $n$ este chiar $\det A$, deci rangul atinge maximul exact când acest determinant nu se anulează. Este criteriul determinantului, citit în limbajul rangului. O matrice pătratică cu $\mathrm{rang}A<n$ se numește singulară.

4. Cum se calculează rangul

Coborând. Începi cu ordinul maxim posibil, $\min (m,n)$. Dacă găsești un minor nenul, te-ai oprit. Dacă toți sunt nuli, cobori un ordin. Metoda e sigură, dar poate cere multe determinanți: o matrice $4\times 5$ are $C_4^4\cdot C_5^4=5$ minori de ordin $4$ și $C_4^3\cdot C_5^3=40$ de ordin $3$.

Urcând, prin bordare. În practică se merge invers și se caută inteligent. Pornești de la un element nenul: deci $\mathrm{rang}A\ge 1$. Cauți apoi un minor nenul de ordin $2$ printre cei care îl conțin pe cel găsit — se spune că îl bordezi, adăugându-i o linie și o coloană. Dacă găsești unul, urci la ordinul $3$, tot bordând, și continui până când niciun minor obținut prin bordare nu mai iese nenul.

Bordarea este un mod de a organiza căutarea, nu o definiție nouă: autoritatea rămâne definiția din secțiunea $2$, iar concluzia „rangul este $r$" se justifică arătând un minor nenul de ordin $r$ și anulându-i pe toți cei de ordin $r+1$. Când matricea e mare, calea cu adevărat scurtă este alta și o vei învăța la lecția următoare, Rangul unei matrice prin transformări elementare.

5. Exemplul-etalon: liniile care se repetă

Revenim la sistemul din deschidere. Matricea lui este

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 3\\ 2& -1& 3& 1\\ 3& 1& 2& 4\end{array}\right),L_3=L_1+L_2.$$

Matricea are $C_3^3\cdot C_4^3=4$ minori de ordin $3$, și toți sunt nuli. Nu e nevoie să-i calculezi pe rând: fiecare astfel de minor folosește toate cele trei linii, iar ultima lui linie este suma primelor două. Determinantul se desface atunci, după liniaritatea pe o linie (Proprietatea 4), într-o sumă de doi determinanți, fiecare având două linii egale — deci fiecare nul, prin Proprietatea 6 din proprietățile determinanților.

Rămâne să găsim un minor nenul de ordin $2$; primul încercat merge:

$$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right|=-1-4=-5\ne 0.$$

Așadar $\mathrm{rang}A=2$. Numărul acesta traduce exact observația de la început: dintre cele trei ecuații, doar două aduc informație, iar a treia se obține din ele. Aici este miezul temei — rangul măsoară câte linii sunt cu adevărat independente.

Reține sensul general: dacă o linie a matricei este suma altora, sau dublul alteia, sau, mai general, se obține adunând multipli ai celorlalte, atunci ea nu ridică rangul. Așa se leagă dependența dintre ecuații de numărul de informații pe care sistemul le conține.

6. Rangul matricei sistemului și rangul matricei extinse

Pentru un sistem liniar se calculează două ranguri: al matricei sistemului $A$ și al matricei extinse $\overline{A}$, obținută adăugând la dreapta lui $A$ coloana termenilor liberi.

Fie sistemele cu aceeași matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 3& 0& 2\end{array}\right)$, unde din nou $L_3=L_1+L_2$, deci $\det A=0$ și, cum $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=-3\ne 0$, avem $\mathrm{rang}A=2$.

• Cu termenii liberi $2$, $1$, $3$: și coloana adăugată respectă relația ($2+1=3$), deci toți cei patru minori de ordin $3$ ai lui $\overline{A}$ sunt nuli și $\mathrm{rang}\overline{A}=2$.
• Cu termenii liberi $2$, $1$, $4$: relația se rupe, pentru că $2+1\ne 4$. Minorul format din coloanele $1$, $2$ și a termenilor liberi este $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& -1& 1\\ 3& 0& 4\end{array}\right|=-3\ne 0$, deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3$.

Două sisteme cu aceleași necunoscute în stânga, dar cu ranguri diferite la dreapta. Compararea celor două numere este exact ceea ce decide dacă sistemul are sau nu soluții — dar regula, cu enunțul ei complet, o vei primi la teorema Kronecker-Capelli. Deocamdată reține doar deprinderea: la un sistem se calculează întotdeauna ambele ranguri.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Rangul unei matrice $3\times 4$ cu linii proporționale

Determinați rangul matricei $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right)$.

Rezolvare. Cum $\min (3,4)=3$, rangul este cel mult $3$. Cei patru minori de ordin $3$ folosesc toți primele două linii, care sunt proporționale ($L_2=2L_1$); prin Proprietatea 7, un determinant cu două linii proporționale este nul, deci toți patru sunt nuli și $\mathrm{rang}A\le 2$.

Alegem liniile $1$ și $3$ și primele două coloane: $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right|=-2\ne 0$. Prin urmare $\mathrm{rang}A=2$.

Exemplul 2 — O matrice pătratică singulară

Determinați rangul matricei $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Singurul minor de ordin $3$ este $\det A$, iar primele două linii sunt proporționale, deci $\det A=0$ și $\mathrm{rang}A\le 2$. Minorul din liniile $1$ și $3$ și coloanele $1$ și $2$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$.

Observă traseul: la o matrice pătratică se calculează întâi determinantul. Dacă e nenul, rangul este maxim și te-ai oprit; dacă e nul, cobori un ordin.

Exemplul 3 — O matrice de ordinul al patrulea

Determinați rangul matricei $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 2& 1& 0& 3\\ 0& 1& 1& 2\\ 3& 2& 3& 6\end{array}\right)$.

Rezolvare. Observăm că $L_4=L_1+L_2+L_3$, deci $\det A=0$ (desfacem după ultima linie și obținem trei determinanți, fiecare cu două linii egale). Așadar $\mathrm{rang}A\le 3$.

Luăm minorul din primele trei linii și primele trei coloane:

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 2& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=1(1\cdot 1-0\cdot 1)-0+2(2\cdot 1-1\cdot 0)=1+4=5\ne 0.$$

Deci $\mathrm{rang}A=3$.

Exemplul 4 — Rangul unei matrice care nu scade niciodată

Arătați că matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 1& m\end{array}\right)$ are rangul $2$, oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Primele două linii sunt proporționale pentru orice $m$, deci $\det A=0$ și $\mathrm{rang}A\le 2$. Pe de altă parte, minorul din liniile $1$ și $3$ și coloanele $1$ și $2$ este $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$, valoare care nu depinde de $m$. Prin urmare $\mathrm{rang}A=2$ pentru orice $m\in \mathbb{R}$.

Merită reținut cum s-a lucrat: am ales, dinadins, un minor în care parametrul nu apare. Este cea mai bună tehnică la matricele cu parametru.

Exemplul 5 — Discuție după parametru

Determinați, în funcție de $m\in \mathbb{R}$, rangul matricei $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& m\end{array}\right)$.

Rezolvare. Dezvoltăm determinantul după prima linie:

$$\det A=(2m-12)-(m-3)+(4-2)=m-7.$$

Cazul $m\ne 7$: $\det A\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=3$.

Cazul $m=7$: $\det A=0$, deci $\mathrm{rang}A\le 2$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$ arată că $\mathrm{rang}A=2$.

Verificare de bun-simț pe valori concrete: pentru $m=8$ obținem $\det A=1\ne 0$, iar pentru $m=4$ obținem $\det A=-3\ne 0$ — ambele confirmă primul caz.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră sistemul $x+y+z=2$, $2x-y+z=1$, $3x+2z=a$, cu $a\in \mathbb{R}$. a) Calculați determinantul matricei sistemului. b) Determinați rangul matricei sistemului. c) Determinați rangul matricei extinse pentru $a=3$ și pentru $a=4$.

Rezolvare. a) $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 3& 0& 2\end{array}\right)$ și $\det A=1(-2-0)-1(4-3)+1(0+3)=-2-1+3=0$.

b) Din $\det A=0$ rezultă $\mathrm{rang}A\le 2$; cum $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=-3\ne 0$, avem $\mathrm{rang}A=2$.

c) Matricea extinsă are coloana termenilor liberi $2$, $1$, $a$. Pentru $a=3$, ultima linie a lui $\overline{A}$ este suma primelor două, deci toți minorii de ordin $3$ sunt nuli și $\mathrm{rang}\overline{A}=2$. Pentru $a=4$, minorul din coloanele $1$, $2$ și $4$ este

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& -1& 1\\ 3& 0& 4\end{array}\right|=1(-4-0)-1(8-3)+2(0+3)=-4-5+6=-3\ne 0,$$

deci $\mathrm{rang}\overline{A}=3$.

Să exersăm

Pentru fiecare matrice, spune întâi între ce limite poate fi rangul, apoi caută un minor nenul de ordin cât mai mare și justifică anularea celor de ordin imediat superior.

1. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$.

2. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$.

3. Care este rangul matricei nule $O_{2,3}$? Dar al matricei $I_3$?

4. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& -2& 4\\ 3& -3& 6\end{array}\right)$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Rangul unei matrice de tip $3\times 5$ poate fi egal cu $4$."

6. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$.

7. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& -1& 0\\ 3& 0& 3\end{array}\right)$.

8. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 2& 1& 3& 0\\ 3& 1& 5& -1\end{array}\right)$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $A$ este pătratică de ordin $3$ și $\det A=0$, atunci $\mathrm{rang}A=2$."

10. Determină rangul matricei diagonale $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$.

11. Determină, în funcție de $m\in \mathbb{R}$, rangul matricei $\left(\begin{array}{cc}m& 2\\ 8& m\end{array}\right)$.

12. (Problemă aplicată.) Un magazin notează, pentru trei comenzi, numărul de bucăți din trei produse: comanda I are $(2,1,3)$, comanda a II-a are $(1,-1,0)$, iar comanda a III-a are $(3,0,3)$. Calculează rangul tabloului și explică ce înseamnă valoarea găsită pentru cele trei comenzi.

13. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 3\\ 2& 4& 2& 6\end{array}\right)$.

14. Determină rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& 7\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 7& 11& 15\end{array}\right)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& 9\end{array}\right)$. a) Calculează $\det A$. b) Determină $\mathrm{rang}A$. c) Precizează dacă $A$ este inversabilă și justifică.

16. Explică, în două-trei fraze, de ce $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}{}^{t}A$ pentru orice matrice $A$.

17. Câți minori de ordin $2$ și câți de ordin $3$ are o matrice de tip $3\times 4$? Dar o matrice de tip $4\times 5$?

18. (Provocare.) Arată că matricea $\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 4& 8\\ 1& 3& 9& 27\\ 1& 4& 16& 64\end{array}\right)$ are rangul $4$. Ce ai putea spune, fără niciun calcul, despre rangul unei matrice de acest tip în care două linii ar fi identice?

Răspunsuri și explicații

1. $\det =1\cdot 4-2\cdot 2=0$, deci rangul e cel mult $1$; elementul $1$ este un minor nenul de ordin $1$, deci $\mathrm{rang}A=1$. (A doua linie e dublul primei.)

2. $\det =4-6=-2\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$ — maximul posibil pentru o matrice $2\times 2$.

3. $\mathrm{rang}{O}_{2,3}=0$, prin convenție (toți minorii sunt nuli, la orice ordin). Pentru $I_3$, $\det I_3=1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}{I}_3=3$.

4. Toate liniile sunt multipli ai primei ($L_2=2L_1$, $L_3=3L_1$), deci orice minor de ordin $2$ are două linii proporționale și este nul. Cum elementul $1$ este nenul, $\mathrm{rang}A=1$.

5. Fals. $\mathrm{rang}A\le \min (3,5)=3$, pentru că nu se pot alege $4$ linii dintr-o matrice cu doar $3$ linii; deci nu există niciun minor de ordin $4$.

6. $\det A=0$ (se observă că $L_1+L_3=2L_2$, deci liniile sunt dependente), iar $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 5\end{array}\right|=-3\ne 0$. Prin urmare $\mathrm{rang}A=2$.

7. $L_3=L_1+L_2$, deci $\det A=0$ și $\mathrm{rang}A\le 2$. Cum $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-3\ne 0$, avem $\mathrm{rang}A=2$.

8. $L_3=L_1+L_2$, deci toți cei $4$ minori de ordin $3$ sunt nuli. Minorul din primele două linii și primele două coloane este $\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right|=1\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$.

9. Fals. $\det A=0$ dă doar $\mathrm{rang}A\le 2$. Rangul poate fi $2$, dar și $1$ (de pildă la matricea cu toate liniile egale cu $(1,1,1)$) sau chiar $0$ (matricea nulă $O_3$).

10. $\det A=2\cdot 3\cdot 5=30\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=3$.

11. $\det A=m^2-16=(m-4)(m+4)$. Pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-4,4\}$ avem $\mathrm{rang}A=2$. Pentru $m=4$ matricea devine $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 8& 4\end{array}\right)$, cu $L_2=2L_1$, deci $\mathrm{rang}A=1$; pentru $m=-4$, $\left(\begin{array}{cc}-4& 2\\ 8& -4\end{array}\right)$ are $L_2=-2L_1$, deci tot $\mathrm{rang}A=1$.

12. Tabloul este matricea de la exercițiul $7$, cu $\mathrm{rang}=2$. Valoarea $2$ arată că doar două comenzi sunt cu adevărat diferite: a treia este chiar suma primelor două ($3=2+1$, $0=1-1$, $3=3+0$), deci nu aduce o structură nouă de produse, ci repetă o combinație a celorlalte.

13. $L_2=2L_1$, deci orice minor de ordin $2$ are liniile proporționale și este nul. Elementul $1$ e nenul, deci $\mathrm{rang}A=1$.

14. $L_3=L_1+L_2$ (se verifică pe fiecare coloană: $3$, $7$, $11$, $15$), deci toți minorii de ordin $3$ sunt nuli. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right|=-2\ne 0$ dă $\mathrm{rang}A=2$.

15. a) Dezvoltând după prima linie, $\det A=(18-12)-(9-4)+(3-2)=2$. b) Cum $\det A=2\ne 0$, minorul de ordin $3$ este nenul, deci $\mathrm{rang}A=3$. c) Da, $A$ este inversabilă: pentru o matrice pătratică de ordin $3$, condițiile $\det A\ne 0$, $\mathrm{rang}A=3$ și „$A$ inversabilă" sunt echivalente.

16. Pentru că fiecare minor de ordin $k$ al lui ${}^{t}A$ este transpusa unui minor de ordin $k$ al lui $A$, iar transpunerea nu schimbă valoarea unui determinant. Cele două matrice au deci exact aceleași valori de minori la fiecare ordin, deci același ordin maxim la care apare un minor nenul.

17. Pentru $3\times 4$: $C_3^2\cdot C_4^2=3\cdot 6=18$ minori de ordin $2$ și $C_3^3\cdot C_4^3=1\cdot 4=4$ de ordin $3$. Pentru $4\times 5$: $C_4^2\cdot C_5^2=6\cdot 10=60$ de ordin $2$, $C_4^3\cdot C_5^3=4\cdot 10=40$ de ordin $3$ și $C_4^4\cdot C_5^4=1\cdot 5=5$ de ordin $4$.

18. Scăzând prima linie din celelalte și apoi continuând calculul, sau dezvoltând direct, se obține $\det A=12\ne 0$; fiind singurul minor de ordin $4$ și fiind nenul, $\mathrm{rang}A=4$. Dacă două linii ar fi identice, orice minor de ordin $4$ ar avea două linii egale, deci ar fi nul, iar rangul ar coborî cel mult la $3$ — fără niciun calcul.

De reținut

• Minor de ordin $k$ = determinantul obținut păstrând elementele de la intersecția a $k$ linii cu $k$ coloane ale matricei. Numărul lor este $C_m^k\cdot C_n^k$.
• $\mathrm{rang}A$ = cel mai mare ordin al unui minor nenul. Se justifică pe două căi: un minor nenul de ordin $r$ și anularea tuturor celor de ordin $r+1$.
• Limitele: $0\le \mathrm{rang}A\le \min (m,n)$, iar $\mathrm{rang}{O}_{m,n}=0$.
• Legătura cu inversabilitatea: pentru $A$ pătratică de ordin $n$, $\mathrm{rang}A=n⟺\det A\ne 0⟺A$ inversabilă.
• Sensul rangului: el arată câte linii sunt cu adevărat independente, adică câte ecuații ale sistemului aduc informație nouă.

Greșeli frecvente

• Concluzia dintr-un singur minor. Un minor nenul de ordin $r$ arată doar că $\mathrm{rang}A\ge r$. Trebuie arătat și că toți minorii de ordin $r+1$ sunt nuli.
• Alegerea unei submatrice care nu e minor. Liniile și coloanele se aleg oricum, dar se păstrează ordinea lor din matrice; nu ai voie să le rearanjezi ca să obții o valoare mai comodă.
• Confuzia „$\det A=0$" cu „$\mathrm{rang}A=n-1$". Determinantul nul spune doar că rangul e strict mai mic decât $n$; el poate coborî oricât, până la $0$.
• Uitarea coloanei termenilor liberi. La un sistem se cer două ranguri, al lui $A$ și al lui $\overline{A}$; cine îl calculează doar pe primul pierde jumătate din informație.
• Alegerea unui minor plin de parametru. La o matrice cu parametru, caută mai întâi un minor care nu îl conține: el dă o margine inferioară a rangului, valabilă în toate cazurile.

Aplică acasă

1. Tabelul care se repetă. Scrie într-un caiet consumul tău de date mobile pe trei săptămâni, pe patru zile alese. Adaugă o a patra linie care să fie suma primelor două și calculează rangul tabloului $4\times 4$ obținut: va fi cel mult $3$, oricât de aleatorii ar fi numerele reale.

2. Numărătoarea minorilor. Pentru o matrice de tip $4\times 4$, numără câți minori are la fiecare ordin, de la $1$ la $4$, și adună totalurile. Vei vedea de ce metoda coborârii nu e practică la matrice mari.

3. Detectivul de dependențe. Ia trei rețete de prăjituri cu aceleași trei ingrediente și verifică dacă una dintre ele este „media" celorlalte două. Dacă da, rangul tabloului scade la $2$ — iar asta înseamnă că una dintre rețete nu aduce nimic nou ca proporții.

Pentru părinți și profesori

Rangul este prima noțiune din capitol care nu se calculează după o formulă, ci după o definiție cu două condiții. De aceea greșeala tipică nu e de calcul, ci de logică: elevul găsește un minor nenul de ordin $2$ și declară rangul $2$, fără să verifice ordinul $3$. Acasă, întrebarea de control este mereu aceeași: „Ai arătat și că toți minorii de ordin imediat superior sunt nuli?".

De verificat în caiet: (1) marginea $\mathrm{rang}A\le \min (m,n)$ este spusă de la început; (2) la matrice pătratice se calculează întâi determinantul; (3) minorul nenul ales este scris explicit, cu liniile și coloanele din care provine; (4) la sisteme se calculează atât $\mathrm{rang}A$, cât și $\mathrm{rang}\overline{A}$.

La BAC M1 rangul apare de regulă în subiectul al II-lea, ca pas intermediar: se cere determinantul matricei sistemului, apoi rangul, apoi discuția compatibilității. Semn că elevul a înțeles: știe să spună, privind o matrice cu două linii proporționale, că rangul este cel mult $2$ — înainte de a calcula orice.

Întrebări frecvente

Ce este rangul unei matrice? Este cel mai mare ordin al unui minor nenul al matricei, adică cel mai mare număr $r$ pentru care se poate alege o submatrice pătratică de ordin $r$ cu determinantul diferit de zero. Pentru matricea nulă, rangul este $0$, prin convenție.

Cum se calculează rangul unei matrice? Cauți un minor nenul de ordin cât mai mare. În practică pornești de la un element nenul și urci, bordând minorul găsit cu câte o linie și o coloană, până când niciun minor de ordinul următor nu mai iese nenul.

Ce legătură este între rang și determinant? Pentru o matrice pătratică de ordin $n$, rangul este $n$ exact atunci când determinantul este nenul, adică exact atunci când matricea este inversabilă. Dacă determinantul este nul, rangul este strict mai mic decât $n$.

Câți minori de ordin $k$ are o matrice de tip $m\times n$? Exact $C_m^k\cdot C_n^k$: alegi $k$ linii din cele $m$ și $k$ coloane din cele $n$. De aceea numărul lor crește repede și metoda coborârii devine incomodă la matrice mari.

De ce spunem că rangul măsoară „câtă informație" conține un sistem? Pentru că o linie care se obține din celelalte (suma lor, un multiplu al uneia) nu ridică rangul. Rangul numără liniile cu adevărat independente, adică ecuațiile care aduc o condiție nouă asupra necunoscutelor.

La ce folosește rangul matricei extinse? Compararea lui $\mathrm{rang}A$ cu $\mathrm{rang}\overline{A}$ decide dacă un sistem are sau nu soluții. Regula completă, cu numele ei, este teorema Kronecker-Capelli, pe care o vei studia peste două lecții.

Cum apare rangul la Bacalaureat M1? Ca pas într-o problemă de sisteme: „calculați determinantul matricei sistemului", „determinați rangul", „discutați compatibilitatea". Aproape întotdeauna matricele sunt de ordin $3$ sau de tip $3\times 4$, cu numere mici, alese ca să se poată lucra fără calculator.