Recapitulare: continuitate și derivate: pe scurt

Două unități, o singură logică: continuitatea spune că funcția nu se rupe, derivabilitatea spune că nici măcar nu se frânge — și a doua o cere pe prima.

Continuitatea în $x_0$ se verifică în trei pași: $f(x_0)$ există; cele două limite laterale există și sunt egale; valoarea comună este chiar $f(x_0)$. Verificarea din definiție rămâne pentru funcțiile pe ramuri, cele cu modul și cele cu parte întreagă — restul sunt continue „din construcție".

La discontinuități, cuvântul care se pierde este finite: speța I cere ca ambele limite laterale să existe și să fie finite; altfel punctul e de speța a II-a, iar saltul nici nu se definește.

Derivata este $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$. Funcția are derivată dacă limita există în $\overline{\mathbb{R}}$ și este derivabilă dacă limita e și finită. Diagnosticul se pune cu derivatele laterale: finite și egale — derivabilă; diferite, cu cel puțin una finită — punct unghiular; infinite și de semne contrare — punct de întoarcere; infinite și egale — tangentă verticală. Filtrul care scurtează totul: dacă $f$ nu e continuă în $x_0$, nu e derivabilă acolo.

Teoremele se citează cu toate ipotezele: Fermat (punct de extrem interior, funcție derivabilă acolo), Rolle (continuă pe intervalul închis, derivabilă pe cel deschis, valori egale la capete), Lagrange, L'Hôpital. Iar consecințele se numesc mereu împreună cu proprietarul: „Consecința 2 a teoremei lui Lagrange", nu doar „Consecința 2".

Exerciții din această mini-lecție

1. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=1$, are în $x_0=0$:

   • a) punct de discontinuitate de speța I, cu saltul $0$
   • b) punct de discontinuitate de speța a II-a
   • c) continuitate
   • d) punct unghiular
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) punct de discontinuitate de speța a II-a

   Ambele limite laterale în $0$ sunt $+\infty$: ele există, dar nu sunt finite, iar speța I le cere pe amândouă finite. Punctul este deci de speța a II-a, iar saltul nu se definește. Formularea „speța I înseamnă că limitele laterale există" este exact greșeala pe care o dărâmă acest exemplu.

2. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$, are în $x_0=0$:

   • a) punct unghiular
   • b) punct de întoarcere
   • c) derivată finită
   • d) tangentă verticală: derivata există și este $+\infty$, dar funcția nu e derivabilă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) tangentă verticală: derivata există și este $+\infty$, dar funcția nu e derivabilă

   Raportul $\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$ tinde la $+\infty$ din ambele părți, deci derivata există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar este infinită: funcția nu e derivabilă. Punctul de întoarcere cere derivate laterale infinite de semne contrare, ca la $\sqrt{|x|}$, iar punctul unghiular cere derivate finite și diferite, ca la $|x|$.

3. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+ax$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=4\ln x+b$ pentru $x>1$, este derivabilă în $x_0=1$ pentru:

   • a) $a=4$, $b=5$
   • b) $a=2$, $b=1$
   • c) $a=2$, $b=3$
   • d) $a=3$, $b=4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $a=2$, $b=3$

   Se pun ambele condiții, în ordine. Continuitatea: $f(1)=1+a$, iar limita la dreapta este $4\ln 1+b=b$, deci $1+a=b$. Derivabilitatea, prin Consecința 3 a teoremei lui Lagrange: pe ramura stângă $f^{\prime }(x)=2x+a\to 2+a$, pe cea dreaptă $f^{\prime }(x)=\frac{4}{x}\to 4$, deci $a=2$ și apoi $b=3$. Fără continuitate, derivabilitatea nici nu se pune.