Recapitulare: continuitate și funcții derivabile

Ai în spate treizeci și trei de lecții, de la prima întrebare despre ce se întâmplă cu $f(x)$ când $x$ se apropie de un punct, până la regulile lui L'Hôpital. Sunt două unități diferite ca nume, dar una singură ca logică: continuitatea spune că funcția nu se rupe, derivabilitatea spune că nici măcar nu se frânge. Prima e o condiție despre valori, a doua e o condiție despre pante — și a doua o cere pe prima.

Lecția aceasta nu repredă nimic. Ea așază materia pe o hartă, adună într-un singur loc formulele și enunțurile pe care le vei folosi la orice problemă, strânge greșelile care se repetă de la an la an și îți dă exerciții noi, care traversează capitolele în loc să le izoleze. Dacă la un pas simți că nu mai ții minte de unde vine un rezultat, linkul din tabel te duce direct la lecția care îl demonstrează.

Ce vei învăța

• Vei ști să clasifici orice punct de discontinuitate, cu definiția completă a speței I.
• Vei ști să decizi derivabilitatea într-un punct prin cele două derivate laterale și să numești corect colțurile și întoarcerile.
• Vei ști pe de rost tabelul derivatelor și cele cinci reguli de derivare, cu domeniile lor.
• Vei ști să enunți, cu toate ipotezele, teoremele lui Fermat, Rolle, Lagrange și regulile lui L'Hôpital.
• Vei ști să citezi fiecare consecință împreună cu proprietarul ei și să aplici șirul lui Rolle pe orice domeniu.

Hai să descoperim împreună

1. Harta celor treizeci și trei de lecții

Materia are două etaje. Primul răspunde la întrebarea „funcția are valori bine legate între ele?"; al doilea, la întrebarea „funcția are o pantă bine definită?".

Întrebarea de control care ordonează tot capitolul: ce vreau să aflu despre funcție într-un punct — dacă e legată acolo, sau dacă are pantă acolo? Prima întrebare cere limite laterale; a doua cere rapoarte de creștere. Nu se amestecă niciodată.

2. Continuitatea: o definiție și trei verificări

Definiția. $f$ este continuă în $x_0\in D$ dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$. Echivalent, cu șiruri: pentru orice $x_n\to x_0$ din domeniu, $f(x_n)\to f(x_0)$. Dacă $x_0$ e punct izolat, $f$ e continuă în $x_0$ prin convenție.

În practică se verifică trei lucruri, în această ordine, și toate trei trebuie să iasă:

1. $x_0$ aparține domeniului, deci $f(x_0)$ există;
2. cele două limite laterale, $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$, există și sunt egale (deci limita există);
3. valoarea comună este chiar $f(x_0)$.

Ordinea nu e decorativă: dacă $f(x_0)$ nu există, nu mai are rost să calculezi nimic — punctul nu e de discontinuitate, ci pur și simplu nu e în domeniu. La capetele închise ale unui interval, continuitatea cerută este cea laterală dinspre interior.

Ce se moștenește gratis: suma, diferența, produsul, câtul cu numitor nenul și compunerea funcțiilor continue sunt continue, iar inversa unei funcții bijective și continue este continuă (se admite fără demonstrație). De aceea o funcție elementară e continuă pe tot domeniul ei, iar verificarea din definiție rămâne pentru trei situații: funcțiile pe ramuri, în punctele de racord; funcțiile cu modul, unde expresia de sub modul se anulează; funcțiile cu parte întreagă sau construite prin cazuri.

3. Discontinuitățile: cuvântul care se pierde este „finite"

• $x_0$ e punct de discontinuitate de speța I dacă limitele laterale $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$ există și sunt FINITE (fără ca $l_s(x_0)=f(x_0)=l_d(x_0)$).
• $x_0$ e punct de discontinuitate de speța a II-a dacă nu e de speța I: cel puțin una dintre limitele laterale nu există sau este infinită.

Formularea „speța I înseamnă că limitele laterale există" este incompletă și greșită. Contraexemplul care o dărâmă: $f(x)=\frac{1}{x^2}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=1$ are ambele limite laterale în $0$ egale cu $+\infty$ — deci ele există — și totuși punctul e de speța a II-a.

De aici vine și distincția de limbaj pe care baremele o verifică: „limita este $+\infty$" înseamnă că limita există, în $\overline{\mathbb{R}}$, dar nu e finită; „limita nu există" e altceva și se spune numai când chiar așa e, ca la $\sin \frac{1}{x}$ în $0$. Saltul $l_d(x_0)-l_s(x_0)$ se definește numai la speța I.

4. De la continuitate la derivabilitate

Definiția primară, cea din care se rezolvă totul: $$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Funcția are derivată în $x_0$ dacă această limită există în $\overline{\mathbb{R}}$; este derivabilă în $x_0$ dacă limita există și e finită. Distincția aceasta, aparent de nuanță, e cea care separă punctele obișnuite de întoarceri și de tangentele verticale.

Cu derivatele laterale $f_s^{\prime }(x_0)$ și $f_d^{\prime }(x_0)$, diagnosticul are patru ieșiri:

Filtrul care scurtează calculele: derivabilă $\Rightarrow$ continuă, deci dacă $f$ nu e continuă în $x_0$, nu are rost să calculezi derivate laterale — nu e derivabilă și gata. Reciproca e falsă: $|x|$ e continuă în $0$ și nederivabilă acolo.

Etaloanele de ținut minte: $f(x)=|x|$ are în $0$ un punct unghiular ($f_s^{\prime }(0)=-1$, $f_d^{\prime }(0)=1$); $f(x)=\sqrt{|x|}$ are în $0$ un punct de întoarcere; $f(x)=\sqrt[3]{x}$ are $f^{\prime }(0)=+\infty$ din ambele părți, deci tangentă verticală, dar nu punct de întoarcere; iar $f(x)=\sqrt{x}$ are în $0$ doar derivată la dreapta, pentru că la stânga funcția nici nu e definită.

5. Tabelul derivatelor și regulile

Acesta este tabelul de reprodus, cu tot cu coloana domeniilor — coloana din mijloc e cea care aduce puncte la Bacalaureat M1 și cea care se uită cel mai des.

Trei observații care fac diferența dintre un tabel învățat și unul înțeles:

• rândurile $x^n$, $x^{-n}$ și $x^r$ nu se contopesc, pentru că domeniile lor diferă; pentru exponent real neîntreg se lucrează pe $(0,+\infty )$;
• $\sqrt{x}$ e continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$ — precizarea se repetă de fiecare dată când radicalul apare într-un studiu de funcție;
• rândul lui $\sqrt[n]{x}$ nu se extinde în afara lui $(0,+\infty )$. Pentru $\sqrt[3]{x}$ pe tot $\mathbb{R}$, derivabilitatea în punctele negative se justifică din definiție, iar în $0$ se discută separat, ca mai sus. Derivatele funcțiilor $\arcsin$, $\arccos$, $\mathrm{arctg}$, $\mathrm{arcctg}$ nu fac parte din acest tabel și nu apar în niciun exercițiu al clasei.

Regulile, în forma în care se scriu: $$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime };(\alpha f{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime };(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime };{\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2},g\ne 0;(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$$

Iar derivata a doua, $f^{\prime \prime }=(f^{\prime }{)}^{\prime }$, este pur și simplu derivata derivatei; programa se oprește la ordinul doi.

6. Cele patru teoreme, cu ipotezele întregi

La Bacalaureat M1 se depunctează ipotezele lipsă, deci enunțurile se învață cuvânt cu cuvânt.

Teorema lui Fermat (se demonstrează): fie $f:I\to \mathbb{R}$, $I$ interval, și $x_0$ un punct de extrem local din interiorul lui $I$. Dacă $f$ e derivabilă în $x_0$, atunci $f^{\prime }(x_0)=0$.

Teorema lui Rolle (se admite fără demonstrație): fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și cu $f(a)=f(b)$. Atunci există $c\in (a,b)$ cu $f^{\prime }(c)=0$.

Teorema lui Lagrange (se demonstrează): fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$. Atunci există $c\in (a,b)$ cu $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a),\text{echivalent}{f}^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Regulile lui L'Hôpital (se admit fără demonstrație): fie $x_0$ punct de acumulare al lui $I$ și $f,g$ derivabile pe $I\setminus \{x_0\}$, cu $g^{\prime }(x)\ne 0$ acolo. Dacă suntem în cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$ și dacă există $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=\ell \in \overline{\mathbb{R}}$, atunci există și $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\ell$.

Cele trei capcane ale ultimei: se verifică întâi că e caz de nedeterminare; se derivează numărătorul și numitorul separat, nu cu regula câtului; reciproca nu e valabilă. Celelalte nedeterminări se reduc la acestea două, prin transformări scrise explicit.

Câte o capcană și la primele două: la Fermat, reciproca e falsă ($x^3$ are derivata nulă în $0$ fără extrem acolo), iar ipoteza „din interior" e esențială; la Rolle, ipoteza care se uită cel mai des este continuitatea pe intervalul închis.

7. Consecințele, fiecare cu proprietarul ei

În capitol există cinci enunțuri numite „Consecința 1", „Consecința 2" sau „Consecința 3", dar ele aparțin la două teoreme diferite. De aceea, într-o recapitulare — și în orice barem — numele se scrie întotdeauna împreună cu proprietarul.

Un „prin Consecința 2" scris fără proprietar poate însemna două lucruri diferite și e, în cel mai bun caz, ambiguu. Iar la Consecința 2 a teoremei lui Lagrange se adaugă avertismentul permanent: concluzia se formulează pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale.

8. Șirul lui Rolle: rețeta în cinci pași

Șirul lui Rolle separă soluțiile ecuației $f(x)=0$: spune câte sunt și în ce intervale se află. Rețeta are cinci pași, iar primul este verificarea domeniului:

1. se stabilește domeniul $D$ (ca reuniune de intervale) și se verifică derivabilitatea;
2. se rezolvă $f^{\prime }(x)=0$ și se rețin soluțiile din $D$, crescător: $x_1<x_2<\cdots <x_k$;
3. se calculează $f(x_1),\dots ,f(x_k)$ și limitele la capetele fiecărui interval din $D$;
4. se completează tabelul cu valorile și, dedesubt, cu semnele lor;
5. se citește: între două valori consecutive de semne contrare există exact o soluție; o valoare nulă înseamnă că punctul e el însuși soluție; între două valori de același semn nu există nicio soluție.

Tabelul are trei rânduri, în ordinea $x$ / $f(x)$ / semnul, iar la capete se scriu limitele, nu celule goale. Iată-l pe modelul $f(x)=x^3-3x-1$, cu $f^{\prime }(x)=3x^2-3$:

Trei schimbări de semn, deci ecuația are exact trei soluții reale. Două precizări de format, care se cer separat: dacă domeniul are un punct exclus, se scriu două tabele, câte unul pe fiecare interval, nu unul singur cu bară; iar cel de „exact $n$ soluții" se argumentează pe două picioare — Rolle dă „cel mult", iar consecința de semn a proprietății valorilor intermediare dă „cel puțin".

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei puncte, trei diagnostice

Clasificați punctul indicat pentru fiecare funcție: $f(x)=\frac{|x|}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$, în $x_0=0$; $g(x)=\frac{1}{(x-2{)}^2}$ pentru $x\ne 2$ și $g(2)=0$, în $x_0=2$; $h(x)=\sin \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $h(0)=0$, în $x_0=0$.

Rezolvare. La $f$: $l_s(0)=-1$, $l_d(0)=1$, amândouă finite, deci speța I, cu saltul $1-(-1)=2$.

La $g$: ambele limite laterale sunt $+\infty$ — ele există, dar nu sunt finite, deci speța a II-a; saltul nu se definește.

La $h$: luăm $x_n=\frac{1}{2n\pi }\to 0$ și $y_n=\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2n\pi }\to 0$. Atunci $h(x_n)=0$, iar $h(y_n)=1$: două șiruri cu imagini de limite diferite, deci limita nu există. Punct de speța a II-a, dar din alt motiv decât la $g$ — și justificarea scrisă trebuie să spună care.

Exemplul 2 — Parametri, cu ambele condiții

Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, dată prin $f(x)=x^2+ax+b$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=3\ln x+2$ pentru $x>1$, este derivabilă în $x_0=1$.

Rezolvare. Continuitatea întâi (fără ea nu există derivabilitate): $f(1)=1+a+b$, iar $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=3\ln 1+2=2$. Deci $1+a+b=2$.

Derivabilitatea apoi, cu Consecința 3 a teoremei lui Lagrange: pe $(-\infty ,1)$ avem $f^{\prime }(x)=2x+a$, cu limita $2+a$; pe $(1,+\infty )$ avem $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x}$, cu limita $3$. Egalitatea $2+a=3$ dă $a=1$, apoi $b=0$.

Verificare: pentru $x\le 1$, $f(x)=x^2+x$, deci $f(1)=2$, iar ramura dreaptă tinde tot la $2$; derivatele laterale sunt amândouă $3$. ✓

Exemplul 3 — Colț, întoarcere, tangentă verticală

Studiați derivabilitatea în punctul indicat: $u(x)=|x^2-4|$ în $x_0=2$; $v(x)=\sqrt{|x-1|}$ în $x_0=1$; $w(x)=\sqrt[3]{x-1}$ în $x_0=1$.

Rezolvare. Toate trei sunt continue în punctul indicat, deci nu putem elimina niciuna din start.

La $u$: pentru $x$ puțin sub $2$, $u(x)=4-x^2$, cu $u^{\prime }(x)=-2x$ și limita $-4$; pentru $x$ puțin peste $2$, $u(x)=x^2-4$, cu limita $4$. Derivatele laterale sunt finite și diferite: punct unghiular.

La $v$: raportul $\frac{\sqrt{|x-1|}}{x-1}$ tinde la $-\infty$ la stânga și la $+\infty$ la dreapta — infinite și de semne contrare: punct de întoarcere. (Verificat numeric: rapoartele calculate în $1\pm 10^{-8}$ depășesc $10^4$ în valoare absolută, cu semne opuse.)

La $w$: raportul $\frac{\sqrt[3]{x-1}}{x-1}=\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1{)}^2}}$ tinde la $+\infty$ din ambele părți. Funcția are derivată în $1$, egală cu $+\infty$, dar nu e derivabilă acolo; graficul are tangentă verticală și nu e punct de întoarcere.

Exemplul 4 — Derivata ca pantă

Determinați ecuațiile tangentelor la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-15x+4$, paralele cu dreapta $d:12x-y+5=0$.

Rezolvare. Dreapta $d$ se scrie $y=12x+5$, deci are panta $m=12$ (ecuația explicită). Panta tangentei într-un punct este $f^{\prime }(x_0)$, deci condiția de paralelism este $f^{\prime }(x_0)=12$: $$3x_0^2-15=12⟺x_0^2=9⟺x_0\in \{-3,3\}.$$

Valorile: $f(3)=27-45+4=-14$ și $f(-3)=-27+45+4=22$. Cu ecuația dreptei prin punct, cu panta dată: $$y+14=12(x-3)⟺y=12x-50,y-22=12(x+3)⟺y=12x+58.$$

Ambele au panta $12$ și sunt distincte de $d$, deci sunt într-adevăr paralele cu ea. (Verificat: $12\cdot 3-50=-14$ și $12\cdot (-3)+58=22$.) ✓

Exemplul 5 — Șirul lui Rolle cu parametru

Discutați, după valorile lui $m\in \mathbb{R}$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $2x^3-3x^2-36x+m=0$.

Rezolvare. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-3x^2-36x+m$, polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$. Avem $f^{\prime }(x)=6x^2-6x-36=6(x+2)(x-3)$, cu rădăcinile $-2$ și $3$. Valorile: $f(-2)=-16-12+72+m=44+m$ și $f(3)=54-27-108+m=-81+m$; la capete, $-\infty$ și $+\infty$.

Semnele depind de $m$, iar cele două praguri sunt $m=-44$ și $m=81$:

• $m<-44$: semnele sunt $-,-,-,+$ — o singură schimbare, deci o soluție;
• $m=-44$: valoarea din $-2$ e nulă, deci $-2$ e soluție (dublă), plus una pe ultimul interval: două soluții distincte;
• $-44<m<81$: semnele sunt $-,+,-,+$ — trei schimbări, deci trei soluții;
• $m=81$: valoarea din $3$ e nulă: două soluții distincte;
• $m>81$: semnele sunt $-,+,+,+$ — o soluție.

(Verificat prin eșantionare densă pe $[-20,20]$ pentru $m\in \{-100,-44,0,50,81,120\}$: numărul de schimbări de semn coincide cu discuția.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $x+\frac{25}{x}=13$.

Rezolvare. Pasul 1 — domeniul. Scriem ecuația sub forma $f(x)=0$, cu $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{25}{x}-13$. Domeniul este $D=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$, iar $f$ e derivabilă pe tot $D$. Fiind două intervale, vor fi două tabele.

Pasul 2. $f^{\prime }(x)=1-\frac{25}{x^2}=\frac{x^2-25}{x^2}$, cu rădăcinile $-5$ și $5$, ambele în $D$.

Pasul 3. $f(-5)=-5-5-13=-23$ și $f(5)=5+5-13=-3$. Limitele: la $-\infty$ și la $0^{-}$ funcția tinde la $-\infty$; la $0^{+}$ și la $+\infty$, la $+\infty$.

Pasul 4 — cele două tabele.

Pasul 5 — citirea. Pe $(-\infty ,0)$ nu există nicio schimbare de semn, deci nicio soluție. Pe $(0,+\infty )$ sunt două schimbări, deci exact două soluții, una în $(0,5)$ și una în $(5,+\infty )$. În total, ecuația are două soluții reale, amândouă pozitive.

Verificare independentă: pentru $x\ne 0$, ecuația e echivalentă cu $x^2-13x+25=0$, cu $\Delta =69>0$; suma rădăcinilor e $13>0$ și produsul lor $25>0$, deci amândouă sunt pozitive. ✓

Să exersăm

1. Studiați continuitatea în $x_0=1$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$ pentru $x\le 1$ și $f(x)=3x-1$ pentru $x>1$.

2. Pentru funcția de la exercițiul 1, calculați $f_s^{\prime }(1)$ și $f_d^{\prime }(1)$ și numiți punctul.

3. Clasificați punctul $x_0=0$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{|x|}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=0$, precizând și saltul.

4. Clasificați punctul $x_0=2$ pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{(x-2{)}^2}$ pentru $x\ne 2$ și $f(2)=0$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă limitele laterale ale lui $f$ în $x_0$ există, atunci $x_0$ este punct de discontinuitate de speța I."

6. Determinați $a,b\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$ pentru $x\le 2$ și $f(x)=x^2-2x+3$ pentru $x>2$, este derivabilă în $2$.

7. Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$, are în $0$ un punct de întoarcere.

8. Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x-1}$, are derivată în $1$, dar nu e derivabilă acolo, și explicați de ce punctul nu este de întoarcere.

9. Calculați derivata funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3\sqrt{x}$, precizând pe ce mulțime lucrați.

10. Calculați derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(3x^2+1\right)$.

11. Calculați derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{x^2+4}$, și arătați că $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x$ real.

12. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-15x+4$, în punctul de abscisă $x_0=1$.

13. (Problemă aplicată.) Verificați ipotezele teoremei lui Rolle pentru $f:[-3,0]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+6x^2+9x$, și determinați valoarea lui $c$ din concluzie.

14. Aplicați teorema lui Lagrange funcției $f:[1,e]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$, și determinați $c$.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Consecința 1 a teoremei lui Rolle spune că între două rădăcini consecutive ale derivatei se află cel puțin o rădăcină a funcției."

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1-3x}{x^2}$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^3+6x^2+9x-4=0$.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ derivabilă, cu $f^{\prime }$ având exact două rădăcini reale. Arătați că ecuația $f(x)=0$ are cel mult trei soluții reale și dați un exemplu în care are exact trei.

Răspunsuri și explicații

1. $f(1)=2$, iar $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=3\cdot 1-1=2$. Limitele laterale există, sunt egale cu $2$ și coincid cu $f(1)$: funcția e continuă în $1$.

2. Pe ramura stângă $f^{\prime }(x)=2x$, deci $f_s^{\prime }(1)=2$; pe cea dreaptă $f^{\prime }(x)=3$, deci $f_d^{\prime }(1)=3$. Sunt finite și diferite: punct unghiular. Funcția e continuă, dar nederivabilă în $1$.

3. $l_s(0)=-1$, $l_d(0)=1$, ambele finite: speța I, cu saltul $l_d(0)-l_s(0)=2$.

4. Ambele limite laterale sunt $+\infty$: ele există, dar nu sunt finite, deci punctul e de speța a II-a. Saltul nu se definește.

5. Fals. Lipsește cuvântul finite. Contraexemplul de la exercițiul 4: limitele laterale există (sunt $+\infty$), dar punctul e de speța a II-a.

6. Continuitatea în $2$: $2a+b=4-4+3=3$. Derivabilitatea: $f_s^{\prime }(2)=a$, iar $f_d^{\prime }(2)=\underset{\begin{array}{c}x\to 2\\ x>2\end{array}}{\lim }(2x-2)=2$. Deci $a=2$ și $b=-1$.

7. Raportul $\frac{\sqrt[3]{x^2}}{x}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ tinde la $-\infty$ când $x\to 0$ prin valori negative și la $+\infty$ prin valori pozitive. Derivatele laterale sunt infinite și de semne contrare: punct de întoarcere. (Verificat: rapoartele calculate în $\pm 10^{-15}$ depășesc $10^4$ în modul, cu semne opuse și în creștere.)

8. Raportul $\frac{\sqrt[3]{x-1}}{x-1}=\frac{1}{\sqrt[3]{(x-1{)}^2}}$ tinde la $+\infty$ din ambele părți, pentru că numitorul e pozitiv oricum. Limita există în $\overline{\mathbb{R}}$, deci $f$ are derivată în $1$, $f^{\prime }(1)=+\infty$; nu e finită, deci $f$ nu e derivabilă. Punctul nu e de întoarcere pentru că derivatele laterale au același semn: graficul are tangentă verticală, dar nu se întoarce.

9. Pe $(0,+\infty )$ scriem $f(x)=x^{\frac{7}{2}}$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{7}{2}{x}^{\frac{5}{2}}=\frac{7}{2}{x}^2\sqrt{x}$. Rândul folosit e cel al lui $x^r$ cu $r$ real, valabil doar pe $(0,+\infty )$. (Verificat cu raportul de diferențe centrat în trei puncte.)

10. Cu regula de derivare a funcțiilor compuse: $f^{\prime }(x)=\frac{(3x^2+1{)}^{\prime }}{3x^2+1}=\frac{6x}{3x^2+1}$, definită pe $\mathbb{R}$, pentru că $3x^2+1>0$.

11. $f^{\prime }(x)=\frac{e^x\left(x^2+4\right)-e^x\cdot 2x}{{\left(x^2+4\right)}^2}=\frac{e^x\left(x^2-2x+4\right)}{{\left(x^2+4\right)}^2}$. Trinomul $x^2-2x+4$ are $\Delta =4-16=-12<0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci e strict pozitiv pe $\mathbb{R}$; cum $e^x>0$ și numitorul e un pătrat nenul, $f^{\prime }(x)>0$ peste tot.

12. $f(1)=1-15+4=-10$ și $f^{\prime }(1)=3-15=-12$, deci tangenta este $y+10=-12(x-1)$, adică $y=-12x+2$.

13. $f$ e polinomială, deci continuă pe $[-3,0]$ și derivabilă pe $(-3,0)$; în plus $f(-3)=-27+54-27=0$ și $f(0)=0$, deci $f(-3)=f(0)$. Toate ipotezele sunt îndeplinite. Din $f^{\prime }(x)=3x^2+12x+9=3(x+1)(x+3)=0$ rețin rădăcina din interval: $c=-1$.

14. $f$ e continuă pe $[1,e]$ și derivabilă pe $(1,e)$, cu $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$. Teorema dă $\frac{1}{c}=\frac{\ln e-\ln 1}{e-1}=\frac{1}{e-1}$, deci $c=e-1\approx 1,72$, într-adevăr în $(1,e)$.

15. Fals, de două ori. Consecința 1 a teoremei lui Rolle merge invers (de la rădăcini ale funcției la rădăcini ale derivatei), iar enunțul din întrebare seamănă cu Consecința 2 a teoremei lui Rolle, care spune „cel mult o rădăcină", nu „cel puțin". Exact aici se vede de ce numele se citează cu proprietar.

16. Nedeterminare $\frac{0}{0}$. Prima aplicare a regulii lui L'Hôpital dă $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3e^{3x}-3}{2x}=\frac{3}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{x}$, iar ultima limită este $3$, prin limita fundamentală cu substituția $t=3x$. Rezultatul este $\frac{9}{2}$. (Verificat numeric: valoarea în $x=10^{-4}$ este $4,5002$.)

17. Fie $f(x)=x^3+6x^2+9x-4$, cu $f^{\prime }(x)=3(x+1)(x+3)$ și rădăcinile $-3$, $-1$. Valorile: $f(-3)=-4$ și $f(-1)=-8$; limitele, $-\infty$ și $+\infty$. Șirul de semne este $-,-,-,+$: o singură schimbare, deci ecuația are exact o soluție reală, situată în $(-1,+\infty )$.

18. Fie $x_1<x_2$ rădăcinile lui $f^{\prime }$. Presupunem că $f$ ar avea patru rădăcini. Prin Consecința 1 a teoremei lui Rolle, între oricare două rădăcini consecutive ale lui $f$ se află câte o rădăcină a lui $f^{\prime }$, deci $f^{\prime }$ ar avea cel puțin trei rădăcini — contradicție. Așadar $f$ are cel mult trei rădăcini. Exemplu cu exact trei: $f(x)=2x^3-3x^2-36x$, adică situația $m=0$ din Exemplul 5.

De reținut

• Continuitatea se verifică în trei pași: $f(x_0)$ există, limitele laterale există și sunt egale, valoarea comună este $f(x_0)$. La capetele închise, continuitatea cerută este cea laterală.
• Speța I cere limite laterale FINITE. „Limita este $+\infty$" înseamnă că limita există, dar nu e finită; „limita nu există" e cu totul altceva. Saltul se definește numai la speța I.
• „Are derivată" nu înseamnă „derivabilă". Derivabilă cere limita finită; de aici vin colțul (laterale diferite, cel puțin una finită), întoarcerea (laterale infinite, de semne contrare) și tangenta verticală (laterale infinite, egale).
• Fiecare consecință se citează cu proprietarul ei: Consecința 1 și 2 aparțin teoremei lui Rolle, Consecințele 1, 2 și 3 aparțin teoremei lui Lagrange. Un „prin Consecința 2" fără nume e ambiguu.
• Șirul lui Rolle începe cu domeniul. Un punct exclus înseamnă două tabele, iar la capete se scriu limitele, nu celule goale.

Greșeli frecvente

• „Limitele laterale există, deci e speța I." Greșit: trebuie să fie și finite. Corect: verifici întâi finitudinea, apoi vorbești despre salt.
• Se calculează derivate laterale într-un punct în care funcția nu e continuă. E muncă pierdută: derivabilitatea implică continuitatea, deci discontinuitatea încheie discuția. Corect: verifici continuitatea întâi, iar dacă pică, scrii „nu e derivabilă, pentru că nu e continuă".
• Se folosește rândul lui $\sqrt[n]{x}$ în afara lui $(0,+\infty )$. Corect: pentru $\sqrt[3]{x}$ pe $\mathbb{R}$, derivabilitatea în punctele negative se justifică din definiție, iar în $0$ se studiază separat, cu derivate laterale.
• Se aplică regula lui L'Hôpital fără a verifica nedeterminarea, sau se derivează cu regula câtului. Corect: întâi arăți că ești în $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, apoi derivezi numărătorul și numitorul separat.
• Se enunță teorema lui Rolle „pe $(a,b)$, cu $f(a)=f(b)$", fără continuitatea pe intervalul închis. Corect: continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$, $f(a)=f(b)$ — trei ipoteze, toate scrise.

Aplică acasă

1. Fișa celor cinci consecințe. Scrie pe o singură foaie, cu numele complet, cele două consecințe ale teoremei lui Rolle și cele trei ale teoremei lui Lagrange, fiecare cu un exemplu de o linie. Ține foaia lângă tine când rezolvi; după douăzeci de exerciții nu-ți va mai trebui.
2. Vânătoarea de puncte nederivabile. Alege cinci funcții din viața ta de zi cu zi modelate pe ramuri — tariful unei curse, treptele de impozitare, prețul unui abonament cu depășire de trafic — și, pentru fiecare, spune unde graficul are un colț și ce înseamnă colțul acolo în cuvintele problemei.
3. Cronometrul tabelului derivatelor. Scrie din memorie tabelul celor cincisprezece derivate, cu tot cu coloana domeniilor, și cronometrează-te. Ținta rezonabilă e sub patru minute, fără nicio greșeală de domeniu.

Pentru părinți și profesori

Lecția recapitulează două unități mari — „Limite de funcții și continuitate" (partea de continuitate) și „Funcții derivabile" — și răspunde competențelor XI.CS.1.5, XI.CS.4.5 și XI.CS.3.6 din programă. Ea nu introduce noțiuni noi: adună definițiile, tabelul derivatelor, enunțurile complete ale teoremelor și rețeta șirului lui Rolle, apoi le pune la lucru pe exerciții care traversează capitolele.

Ce verifică lecția: (1) clasificarea corectă a discontinuităților, cu cuvântul „finite" prezent în definiția speței I; (2) diagnosticul unui punct prin derivate laterale, cu numele corect — colț, întoarcere, tangentă verticală; (3) reproducerea tabelului derivatelor cu domeniile; (4) enunțarea teoremelor cu toate ipotezele; (5) citarea consecințelor împreună cu teorema din care provin.

Întrebări bune de control: „De ce nu e destul ca limitele laterale să existe?", „Ce verifici mai întâi la o funcție pe ramuri și de ce?", „Pe ce mulțime e derivabilă funcția radical de ordinul al treilea?", „A cui e Consecința 2 pe care tocmai ai folosit-o?". La BAC M1, subiectul al II-lea și mai ales al III-lea conțin aproape sigur o funcție pe ramuri cu parametri, o tangentă și o aplicație a unei consecințe. Semn că elevul a înțeles: înainte de orice derivată laterală, scrie o propoziție despre continuitate.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre „are derivată" și „este derivabilă"? Funcția are derivată în $x_0$ dacă limita raportului de creștere există în dreapta reală încheiată — deci poate fi și $\pm \infty$. Este derivabilă dacă limita există și e finită. Tangenta verticală e exemplul care le desparte: acolo derivata există, dar funcția nu e derivabilă.

Cum deosebesc un punct unghiular de un punct de întoarcere? Amândouă cer continuitate în punct. La punctul unghiular derivatele laterale sunt diferite, iar cel puțin una e finită: graficul are un colț. La punctul de întoarcere ele sunt infinite și de semne contrare: graficul are o semitangentă verticală și se întoarce.

De ce nu ajunge ca limitele laterale să existe pentru speța I? Pentru că ele pot exista și fi infinite, ca la $\frac{1}{x^2}$ în origine. Definiția cere finite; altfel saltul, care e o diferență de numere, nu s-ar putea calcula.

Ce verific prima dată la o funcție definită pe ramuri? Continuitatea în punctul de racord. Dacă funcția nu e continuă acolo, nu e nici derivabilă, iar discuția se încheie într-o propoziție. Abia după ce continuitatea e asigurată se compară derivatele laterale sau se aplică Consecința 3 a teoremei lui Lagrange.

Care sunt ipotezele exacte ale teoremei lui Rolle? Funcția e continuă pe intervalul închis $[a,b]$, derivabilă pe intervalul deschis $(a,b)$ și ia valori egale la capete, $f(a)=f(b)$. Concluzia: există $c$ în interior cu $f^{\prime }(c)=0$. Ipoteza uitată cel mai des este continuitatea pe intervalul închis.

Când pot folosi regulile lui L'Hôpital? Numai după ce ai arătat că ești într-un caz $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, cu funcțiile derivabile în jurul punctului și cu derivata numitorului nenulă. Se derivează numărătorul și numitorul separat, niciodată cu regula câtului, iar dacă limita raportului derivatelor nu există, regula nu spune nimic.

Cum arăt că o ecuație are exact trei soluții reale? Pe două picioare: șirul lui Rolle dă „cel mult" (prin Consecința 2 a teoremei lui Rolle, între două rădăcini consecutive ale derivatei există cel mult o rădăcină a funcției), iar consecința de semn a proprietății valorilor intermediare dă „cel puțin" pe fiecare interval cu capete de semne contrare. Cele două împreună dau „exact".

Ce fac dacă domeniul are un punct exclus la șirul lui Rolle? Scrii două tabele, câte unul pentru fiecare interval al domeniului, și pui în ele limitele laterale la capătul exclus. Tabelul unic cu bară e formatul tabelului de variație, nu al șirului lui Rolle — sunt două obiecte diferite, cu reguli diferite.