Recapitulare: drepte în planul cartezian: pe scurt

Toată unitatea stă pe o singură idee: orice afirmație geometrică despre puncte și drepte devine un calcul cu numere. „Coliniare" înseamnă „un determinant este nul", „perpendiculare" înseamnă $a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$, iar aria este jumătate din modulul unui determinant.

Cele patru forme ale ecuației dreptei au nume fixe: explicită $y=mx+n$, generală $ax+by+c=0$, prin punct cu panta dată $y-y_0=m(x-x_0)$ și prin două puncte, cu varianta ei cu determinant. Cazul vertical se spune de fiecare dată: $x=a$ nu are pantă (nu „pantă infinită", ci nedefinită, fiindcă $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există), nu se scrie explicit și corespunde cazului $b=0$.

Cele două fețe ale lui $\Delta$, ambele corecte, ambele cerute: determinantul de ordinul $3$ format din coordonatele a trei puncte decide coliniaritatea ($\Delta =0$) și dă aria, $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$; determinantul de ordinul $2$ format din coeficienții a două ecuații decide poziția relativă a dreptelor. Când apar amândouă, se scrie o propoziție care spune care este care.

Trusa de măsurat: distanța dintre puncte, distanța de la un punct la o dreaptă $\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (după aducerea la forma generală), scurtătura $d(C,AB)=\frac{|\Delta |}{AB}$ și piciorul perpendicularei.

Optimizarea din acest capitol se face fără derivate: mărimea e constantă, liniară (extreme în capete) sau pătratică (vârful parabolei).

Exerciții din această mini-lecție

1. Despre dreapta de ecuație $x=3$ este adevărat că:

   • a) nu are pantă, pentru că $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există
   • b) are panta $0$
   • c) are panta infinită
   • d) se poate scrie sub forma $y=mx+n$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) nu are pantă, pentru că $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există

   Panta se definește ca $m=\mathrm{tg}\alpha$, unde $\alpha$ este unghiul făcut cu semiaxa pozitivă $Ox$. Pentru o verticală, $\alpha =90^{\circ }$, iar tangenta nu există acolo — de aceea se spune „panta nu este definită", nu „panta este infinită". Dreapta verticală corespunde cazului $b=0$ din ecuația generală și nu se poate scrie sub formă explicită. Panta $0$ o au orizontalele $y=b$.

2. Într-o problemă apar două obiecte notate $\Delta$. Cel de ordinul al treilea, format din coordonatele a trei puncte:

   • a) decide dacă două drepte sunt concurente
   • b) dă panta dreptei determinate de primele două puncte
   • c) decide coliniaritatea și dă aria, prin $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$
   • d) este determinantul sistemului format din ecuațiile a două drepte
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) decide coliniaritatea și dă aria, prin $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$

   Determinantul de coliniaritate lucrează cu puncte și răspunde la două întrebări deodată: punctele sunt coliniare exact când $\Delta =0$, iar dacă nu sunt, jumătate din modulul lui este aria triunghiului. Determinantul sistemului este alt obiect — de ordinul $2$, format din coeficienții ecuațiilor —, iar el decide dacă dreptele sunt concurente. Aceeași literă, două roluri: se precizează în scris care este care.

3. Dreapta care trece prin $P(2,-3)$ și este perpendiculară pe $d:4x-3y+1=0$ are ecuația generală:

   • a) $4x-3y-17=0$
   • b) $3x+4y-6=0$
   • c) $4x+3y+1=0$
   • d) $3x+4y+6=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $3x+4y+6=0$

   Criteriul sigur este cel cu coeficienți: perpendicularitatea cere $a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$. Pentru $3x+4y+c=0$ avem $4\cdot 3+(-3)\cdot 4=0$, deci direcția e corectă; punând condiția ca $P$ să fie pe dreaptă, $6-12+c=0$, obținem $c=6$. Prima variantă este o paralelă la $d$, nu o perpendiculară.